الإمكانات الميدانية
الإمكانات الميدانية
الإمكانات الميدانية
الإمكانات الميدانية
إمكانات المجال الكهربائيشحنة النقطة Q عند نقطة:
مجال اسطوانة مشحونة طويلة بلا حدود (الخيط)
دع المجال ينشأ بواسطة أسطواني لا نهائي سطح نصف القطر R، مشحونة بكثافة خطية ثابتة، حيث د س- الشحنة مركزة على قسم من الاسطوانة (الشكل 2.14).
من اعتبارات التماثل يتبع ذلك هفي أي نقطة سيتم توجيهها على طول نصف القطر، بشكل عمودي على محور الاسطوانة.
تخيل حول اسطوانة (موضوع) متحد المحورسطح مغلق ( اسطوانة داخل اسطوانة) نصف القطر صوالطول ل(قواعد الاسطوانات متعامدة مع المحور). لقواعد الاسطوانة للسطح الجانبي أي. يعتمد على المسافة ص.
وبالتالي، فإن التدفق المتجه عبر السطح قيد النظر يساوي
متى ستكون هناك شحنة على السطح وفقًا لنظرية أوستروجرادسكي-جاوس؟
 .
| (2.5.6) |
إذا، لأن لا توجد شحنات داخل السطح المغلق (الشكل 2.15).
إذا قمنا بتقليل نصف قطر الاسطوانة ر(عند ) ، فمن الممكن الحصول على حقل ذو كثافة عالية جدًا بالقرب من السطح، وعند (،) الحصول على خيط.
27. إمكانات المجال الناتجة عن مستوى لا نهائي مشحون بشكل موحد.
الإمكانات الميدانية- هذه هي خاصية الطاقة الخاصة بالمجال، وهي تصف الطاقة الكامنة التي تمتلكها وحدة الشحن الموجبة الموضوعة عند نقطة معينة في المجال.
وحدة الجهد الكهربائي هي فولت (V).
الإمكانات الميدانيةتساوي نسبة الطاقة الكامنة للشحنة إلى هذه الشحنة:
الإمكانات الميدانيةهي خاصية طاقة للمجال الكهربائي، وككمية قياسية، يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة أو سالبة.
الفرق له معنى مادي الإمكانات الميدانيةحيث أن عمل القوى الميدانية لتحريك شحنة يعبر من خلالها.
مجال الطائرة اللانهائية المشحونة بشكل موحد.
دعونا نقدم مفهوم كثافة الشحنة السطحية > 0، والتي تساوي عدديًا الشحنة لكل وحدة مساحة:
بسبب تجانس الفضاء وتباينه، يجب أن تكون خطوط المجال للمستوى اللانهائي المشحون بشكل موحد متعامدة معه ولها كثافة موحدة، وهو ما يتوافق مع تعريف توحيد المجال ه=const. كسطح مغلق "ملائم"، نختار أسطوانة مستقيمة، يكون سطحها الجانبي موازيًا لخطوط القوة (في كل مكان عليها 0، وبالتالي فإن التدفق عبرها يساوي 0)، والأسطح النهائية لـ المنطقة S موازية للمستوى المشحون (لذلك في كل مكان عليها 
1):
تدفق المجال الموحد همن خلال كلا السطحين المتعامدين عليه، S يساوي ببساطة ه 2S، والشحنة المركزة على مساحة S من السطح المشحون تساوي S:
كثافة الشحنة السطحيةعلى مستوى تعسفي مع المنطقة ستحددها الصيغة:
حيث د س– تتركز الشحنة في المنطقة د س; د س- مساحة سطحية صغيرة بشكل لا نهائي.
دع σ في جميع نقاط المستوى سهو نفسه. تكلفة س- إيجابي. سيكون للتوتر في جميع النقاط اتجاه عمودي على المستوى س(الشكل 2.11).
من الواضح أنه عند النقاط المتناظرة بالنسبة للمستوى، سيكون التوتر هو نفسه في المقدار ومعاكسًا في الاتجاه.
دعونا نتخيل أسطوانة ذات مولدات متعامدة مع المستوى والقواعد Δ س، تقع بشكل متناظر بالنسبة للمستوى (الشكل 2.12).
 | |||
| أرز. 2.11 | أرز. 2.12 | ||
دعونا نطبق نظرية أوستروجرادسكي-غاوس. تدفق ف همن خلال جانب سطح الاسطوانة يساوي الصفر، لأن . لقاعدة الاسطوانة
سيكون التدفق الإجمالي عبر سطح مغلق (الأسطوانة) مساوياً لـ:
هناك شحنة داخل السطح. وبالتالي، من نظرية أوستروجرادسكي-غاوس نحصل على:
;
ومنه يتبين أن شدة المجال للطائرة سيساوي:
 |
||||
| للمجال الكهروستاتيكي خاصية مهمة: إن عمل قوى المجال الكهروستاتيكي عند نقل شحنة من نقطة في المجال إلى أخرى لا يعتمد على شكل المسار، بل يتحدد فقط من خلال موضع نقطتي البداية والنهاية وحجم التهمة. يمتلك مجال الجاذبية أيضًا خاصية مماثلة، وهذا ليس مفاجئًا، حيث يتم وصف قوى الجاذبية وقوى كولوم بنفس العلاقات.نتيجة استقلال العمل عن شكل المسار هي العبارة التالية: إن عمل قوى المجال الكهروستاتيكي عند تحريك شحنة على طول أي مسار مغلق يساوي صفرًا. يتم استدعاء حقول القوة التي لها هذه الخاصيةمحتمل أومحافظ س. في الشكل. 1.4.2 يوضح خطوط المجال لمجال كولومب لشحنة نقطيةس النتيجة التي تم الحصول عليها لا تعتمد على شكل المسار. على المسارين الأول والثاني الموضحين في الشكل. 1.4.2، عمل قوات كولومب هو نفسه. إذا قمت بتغيير اتجاه حركة الشحنة على أحد المسارات سإلى العكس فإن العمل سيتغير علامة. ويترتب على ذلك أن عمل قوى كولوم على المسار المغلق يساوي الصفر. إذا تم إنشاء المجال الكهروستاتيكي بواسطة مجموعة من الشحنات النقطية، فعند تحرك شحنة الاختبار سوظيفة في الشكل. 1.4.2 يوضح خطوط المجال لمجال كولومب لشحنة نقطيةسيتكون المجال الناتج، وفقًا لمبدأ التراكب، من عمل حقول كولومب لشحنات النقاط: نظرًا لأن كل حد من المجموع لا يعتمد على شكل المسار، فإن العمل الإجمالي في الشكل. 1.4.2 يوضح خطوط المجال لمجال كولومب لشحنة نقطيةيكون الحقل الناتج مستقلاً عن المسار ويتم تحديده فقط من خلال موضع نقطتي البداية والنهاية. تسمح لنا خاصية المجال الكهروستاتيكي بتقديم هذا المفهوم الطاقة المحتملة شحنة في مجال كهربائي. للقيام بذلك، يتم تحديد نقطة معينة (0) في الفضاء، والطاقة الكامنة للشحنة س، عند هذه النقطة، يؤخذ يساوي الصفر. طاقة الشحن المحتملة س، توضع عند أي نقطة (1) من الفضاء، بالنسبة إلى نقطة ثابتة (0) يساوي الشغل في الشكل. 1.4.2 يوضح خطوط المجال لمجال كولومب لشحنة نقطية 10، والذي سيحدثه المجال الكهروستاتيكي عند تحريك الشحنة سمن النقطة (1) إلى النقطة (0):
(في الكهرباء الساكنة، يُشار إلى الطاقة عادة بالحرف دبليو، منذ الرسالة هتشير إلى قوة المجال.) كما هو الحال في الميكانيكا، يتم تحديد الطاقة الكامنة حتى قيمة ثابتة، اعتمادًا على اختيار النقطة المرجعية (0). مثل هذا الغموض في تعريف طاقة الوضع لا يؤدي إلى أي سوء فهم، إذ أن المعنى الفيزيائي ليس طاقة الوضع نفسها، بل الاختلاف في قيمها عند نقطتين في الفضاء. رأيك يهمنا!هل كانت المادة المنشورة مفيدة؟ نعم | لا
|
مستوى لا نهائي مشحون بكثافة شحنة سطحية: لحساب شدة المجال الكهربائي الناشئ عن مستوى لا نهائي، نختار أسطوانة في الفضاء، محورها عمودي على المستوى المشحون، وقواعدها موازية له، وتمر إحدى القواعد عبر النقطة الميدانية التي تهمنا. وفقًا لنظرية غاوس، فإن تدفق متجه شدة المجال الكهربائي عبر سطح مغلق يساوي:
Ф=، ومن ناحية أخرى فهو أيضًا: Ф=E
دعونا نساوي الجوانب اليمنى من المعادلات:
دعونا نعبر عن = - من خلال كثافة الشحنة السطحية ونجد شدة المجال الكهربائي:
دعونا نوجد شدة المجال الكهربائي بين الألواح المشحونة بشكل معاكس والتي لها نفس كثافة السطح:
(3)
لنجد الحقل خارج اللوحات:
; ; 
(4)
شدة المجال للكرة المشحونة
(1)
Ф= (2) نقطة غوسية
ل ص< R
; ، لأن (لا توجد شحنات داخل المجال)
ل ص = ر
( ; ; 
) 
من أجل ص > ر
قوة المجال الناتجة عن كرة مشحونة بشكل موحد في جميع أنحاء حجمها
كثافة حجم الشحنة،
موزعة على الكرة:
ل ص< R
( ; ف = ) 
ل ص = ر
من أجل ص > ر
عمل المجال الكهروستاتيكي لتحريك شحنة
المجال الكهروستاتيكي- بريد إلكتروني مجال الشحنة الثابتة .
Fel، الذي يتصرف على التهمة، يحركه، وأداء العمل.
في المجال الكهربائي الموحد Fel = qE هي قيمة ثابتة
مجال العمل (القوة) لا يعتمدعلى شكل المسار وعلى المسار المغلق = صفر.
إذا تحركت شحنة نقطة أخرى Q 0 في المجال الكهروستاتيكي لشحنة نقطية من النقطة 1 إلى النقطة 2 على طول أي مسار (الشكل 1)، فإن القوة المطبقة على الشحنة تقوم ببعض العمل. الشغل المبذول بواسطة القوة F على إزاحة أولية dl يساوي منذ d ل/cosα=dr، إذن  العمل عند نقل الشحنة Q 0 من النقطة 1 إلى النقطة 2 (1) لا يعتمد على مسار الحركة، ولكن يتم تحديده فقط من خلال مواضع النقطتين الأوليتين والأخيرتين. هذا يعني أن المجال الكهروستاتيكي لشحنة نقطية محتمل، والقوى الكهروستاتيكية متحفظة من الصيغة (1) يتضح أن الشغل الذي يتم عندما تتحرك شحنة كهربائية في مجال كهروستاتيكي خارجي على طول مسار مغلق تعسفي L. يساوي الصفر، أي. (2) إذا أخذنا شحنة موجبة نقطة واحدة كشحنة تتحرك في مجال إلكتروستاتيكي، فإن الشغل الأولي لقوى المجال على طول المسار dl يساوي Edl = E لد ل، حيث إي ل= Ecosα - إسقاط المتجه E على اتجاه الإزاحة الأولية. ثم يمكن تمثيل الصيغة (2) كـ  (3) لا يتجزأ  يسمى تداول ناقلات التوتر. وهذا يعني أن دوران متجه شدة المجال الكهروستاتيكي على طول أي كفاف مغلق هو صفر. يسمى مجال القوة الذي له الخاصية (3) الإمكانات. من حقيقة أن تداول المتجه E يساوي الصفر، يترتب على ذلك أن خطوط شدة المجال الكهروستاتيكي لا يمكن إغلاقها؛ فهي بالضرورة تبدأ وتنتهي بشحنات (إيجابية أو سلبية) أو تذهب إلى ما لا نهاية. الصيغة (3) صالحة فقط للمجال الكهروستاتيكي. بعد ذلك، سيتبين أنه في حالة وجود مجال من الشحنات المتحركة، فإن الشرط (3) غير صحيح (بالنسبة له، فإن تداول ناقل الشدة يكون غير صفر). |
نظرية الدورة الدموية للمجال الكهروستاتيكي.
وبما أن المجال الكهروستاتيكي مركزي، فإن القوى المؤثرة على الشحنة في مثل هذا المجال تكون متحفظة. وبما أنه يمثل الشغل الأولي الذي تنتجه قوى المجال على شحنة وحدة، فإن عمل القوى المحافظة على حلقة مغلقة يساوي
محتمل
إن نظام "الشحنة - المجال الكهروستاتيكي" أو "الشحنة - الشحنة" لديه طاقة كامنة، تمامًا كما أن نظام "مجال الجاذبية - الجسم" لديه طاقة كامنة.
تسمى الكمية العددية الفيزيائية التي تميز حالة الطاقة للمجال محتملنقطة معينة في الميدان. يتم وضع شحنة q في مجال، ولها طاقة وضع W. الجهد هو سمة من سمات المجال الكهروستاتيكي.
دعونا نتذكر الطاقة الكامنة في الميكانيكا. طاقة الوضع تكون صفر عندما يكون الجسم على الأرض. وعندما يتم رفع جسم إلى ارتفاع معين، يقال أن الجسم لديه طاقة كامنة.
فيما يتعلق بالطاقة الكامنة في الكهرباء، لا يوجد مستوى للطاقة الكامنة صفر. يتم اختياره بشكل عشوائي. ولذلك، فإن الإمكانات هي كمية فيزيائية نسبية.
طاقة المجال المحتملة هي الشغل الذي تبذله القوة الكهروستاتيكية عند نقل شحنة من نقطة معينة في المجال إلى نقطة ذات جهد صفر.
دعونا نفكر في حالة خاصة عندما يتم إنشاء مجال إلكتروستاتيكي بواسطة شحنة كهربائية Q. لدراسة إمكانات مثل هذا المجال، ليست هناك حاجة لإدخال شحنة q فيه. يمكنك حساب إمكانات أي نقطة في هذا المجال تقع على مسافة r من الشحنة Q.
ثابت العزل الكهربائي للوسط له قيمة معروفة (جدولية) ويميز الوسط الذي يوجد فيه الحقل. للهواء فهو يساوي الوحدة.
الفرق المحتمل
يسمى العمل الذي يقوم به المجال لنقل الشحنة من نقطة إلى أخرى بفرق الجهد
ويمكن تقديم هذه الصيغة في شكل آخر
مبدأ التراكب
جهد المجال الناتج عن عدة شحنات يساوي المجموع الجبري (مع مراعاة إشارة الجهد) مجموع إمكانات مجالات كل حقل على حدة
هذه هي طاقة نظام من الشحنات النقطية الثابتة، وطاقة موصل مشحون منفرد، وطاقة مكثف مشحون.
إذا كان هناك نظام مكون من موصلين مشحونين (مكثف)، فإن الطاقة الإجمالية للنظام تساوي مجموع الطاقات المحتملة للموصلات وطاقة تفاعلها:
طاقة المجال الكهروستاتيكيةنظام رسوم النقاط يساوي: 
طائرة مشحونة بشكل موحد.
يمكن حساب شدة المجال الكهربائي الناتج عن مستوى لا نهائي مشحون بكثافة الشحنة السطحية باستخدام نظرية غاوس.
من شروط التماثل يترتب على ذلك المتجه هفي كل مكان عمودي على الطائرة. بالإضافة إلى ذلك، عند النقاط المتناظرة بالنسبة للمستوى، يكون المتجه هسيكون هو نفسه في الحجم ومتعاكس في الاتجاه.
أما بالنسبة للسطح المغلق، فنختار أسطوانة يكون محورها متعامدا مع المستوى، وتقع قاعدتاها بشكل متناظر بالنسبة للمستوى، كما هو موضح في الشكل.
وبما أن خطوط التوتر موازية لمولدات السطح الجانبي للأسطوانة، فإن التدفق عبر السطح الجانبي يساوي صفرًا. وبالتالي فإن تدفق المتجهات همن خلال سطح الاسطوانة
,
أين هي مساحة قاعدة الاسطوانة. تقطع الاسطوانة شحنة من الطائرة. إذا كانت الطائرة في وسط متناحٍ متجانس مع ثابت العزل الكهربائي النسبي، إذن
عندما لا تعتمد شدة المجال على المسافة بين الطائرات، يسمى هذا المجال منتظمًا. الرسم البياني للتبعية ه (س) للطائرة.
الفرق المحتمل بين نقطتين تقع على مسافة ر 1 و ر 2 من المستوى المشحون يساوي
مثال 2. طائرتان مشحونتان بشكل موحد.
دعونا نحسب شدة المجال الكهربائي الناتج عن طائرتين لا نهائيتين. يتم توزيع الشحنة الكهربائية بشكل موحد مع كثافات السطح و. نجد شدة المجال كتراكب لشدة المجال لكل مستوى. المجال الكهربائي غير صفري فقط في الفضاء بين الطائرات ويساوي .
الفرق المحتمل بين الطائرات 
، أين د-المسافة بين الطائرات.
يمكن استخدام النتائج التي تم الحصول عليها لإجراء حساب تقريبي للحقول التي تم إنشاؤها بواسطة لوحات مسطحة ذات أبعاد محدودة إذا كانت المسافات بينها أقل بكثير من أبعادها الخطية. تظهر أخطاء ملحوظة في مثل هذه الحسابات عند النظر في الحقول القريبة من حواف اللوحات. الرسم البياني للتبعية ه (س) لطائرتين.
مثال 3. قضيب رفيع مشحون.
لحساب شدة المجال الكهربائي الناتج عن قضيب طويل جدًا مشحون بكثافة شحنة خطية، نستخدم نظرية غاوس.
على مسافات كبيرة بما فيه الكفاية من نهايات القضيب، يتم توجيه خطوط شدة المجال الكهربائي بشكل قطري من محور القضيب وتقع في مستويات متعامدة مع هذا المحور. في جميع النقاط المتساوية البعد عن محور القضيب تكون القيم العددية للتوتر هي نفسها إذا كان القضيب في وسط متناحٍ متجانس مع عازل نسبي
نفاذية
لحساب شدة المجال عند نقطة تعسفية تقع على مسافة صمن محور القضيب، ارسم سطحًا أسطوانيًا من خلال هذه النقطة
(انظر الصورة). نصف قطر هذه الاسطوانة هو ص، وارتفاعه ح.
إن تدفقات ناقل التوتر عبر القواعد العلوية والسفلية للأسطوانة ستكون مساوية للصفر، نظرًا لأن خطوط القوة لا تحتوي على مكونات طبيعية على أسطح هذه القواعد. في جميع النقاط على السطح الجانبي للأسطوانة
ه= ثابت.
ولذلك، فإن التدفق الكلي للناقل همن خلال سطح الاسطوانة سيكون مساويا ل
,
وفقا لنظرية غاوس، تدفق المتجه هيساوي المجموع الجبري للشحنات الكهربائية الموجودة داخل السطح (الأسطوانة في هذه الحالة) مقسومًا على حاصل ضرب الثابت الكهربائي وثابت العزل الكهربائي النسبي للوسط
أين شحنة ذلك الجزء من القضيب الموجود داخل الاسطوانة؟ وبالتالي قوة المجال الكهربائي
فرق جهد المجال الكهربائي بين نقطتين متباعدتين ر 1 و ر 2 من محور القضيب نجده باستخدام العلاقة بين شدة المجال الكهربائي وجهده. وبما أن شدة المجال تتغير فقط في الاتجاه الشعاعي، إذن
مثال 4. سطح كروي مشحون.
إن المجال الكهربائي الناتج عن سطح كروي يتم توزيع شحنة كهربائية ذات كثافة سطحية بشكل موحد له طابع متماثل مركزيًا.
يتم توجيه خطوط التوتر على طول أنصاف الأقطار من مركز الكرة وحجم المتجه هيعتمد فقط على المسافة صمن وسط الكرة. لحساب المجال، نختار سطحًا كرويًا مغلقًا نصف قطره ص.
عندما ص
شدة المجال تساوي صفر، لعدم وجود شحنة داخل الكرة.
بالنسبة إلى r > R (خارج الكرة)، وفقًا لنظرية غاوس
,
أين هو ثابت العزل الكهربائي النسبي للوسط المحيط بالكرة.
.
تتناقص الشدة وفقًا لنفس قانون شدة المجال لشحنة نقطية، أي وفقًا للقانون.
عندما ص
من أجل r > R (خارج المجال) 
.
الرسم البياني للتبعية ه (ص) للكرة.
مثال 5. كرة عازلة مشحونة بالحجم.
إذا كان للكرة نصف قطر رمصنوعة من عازل متجانس الخواص مع نفاذية نسبية يتم شحنها بشكل موحد في جميع أنحاء الحجم بكثافة، ثم المجال الكهربائي الذي يخلقه يكون أيضًا متماثلًا مركزيًا.
كما في الحالة السابقة، نختار سطحًا مغلقًا لحساب التدفق المتجه هعلى شكل كرة متحدة المركز، نصف قطرها صيمكن أن تختلف من 0 إلى .
في ص < رتدفق المتجهات همن خلال هذا السطح سيتم تحديده بواسطة التهمة
لذا
في ص < ر(داخل الكرة) 
.
داخل الكرة، يزداد التوتر بشكل طردي مع المسافة من مركز الكرة. خارج الكرة (في ص > ر) في وسط مع ثابت العزل الكهربائي، وناقل التدفق همن خلال السطح سيتم تحديدها بواسطة هذه التهمة.
عندما r o >R o (خارج الكرة) 
.
عند حدود "الكرة - البيئة"، تتغير شدة المجال الكهربائي بشكل مفاجئ، ويعتمد حجمها على نسبة ثوابت العزل الكهربائي للكرة والبيئة. الرسم البياني للتبعية ه (ص) للكرة ().
خارج الكرة ( ص > ر) يتغير جهد المجال الكهربائي طبقا للقانون
.
داخل الكرة( ص < ر) يتم وصف الإمكانات بالتعبير
وفي الختام نقدم عبارات لحساب شدة المجال للأجسام المشحونة بمختلف أشكالها
| الفرق المحتمل | |
 | |
| الجهد االكهربى- الفرق في القيم المحتملة عند النقاط الأولية والنهائية للمسار. الجهد االكهربىيساوي عدديًا عمل المجال الكهروستاتيكي عندما تتحرك وحدة الشحنة الموجبة على طول خطوط قوة هذا المجال. فرق الجهد (الجهد) مستقل عن الاختيار أنظمة الإحداثيات! | |
وحدة فرق الجهد  الجهد هو 1 V إذا، عند تحريك شحنة موجبة قدرها 1 C على طول خطوط القوة، يبذل المجال شغلاً مقداره 1 J. |
موصل- وهو جسم صلب توجد فيه "إلكترونات حرة" تتحرك داخل الجسم.
الموصلات المعدنية محايدة بشكل عام: فهي تحتوي على كميات متساوية من الشحنات السالبة والموجبة. الشحنة الموجبة هي الأيونات الموجودة في عقد الشبكة البلورية، والسلبية هي الإلكترونات التي تتحرك بحرية على طول الموصل. عندما يتم إعطاء موصل كمية زائدة من الإلكترونات، فإنه يصبح مشحونا سلبا، ولكن إذا تم "أخذ" عدد معين من الإلكترونات من الموصل، يصبح مشحونا بشكل إيجابي.
يتم توزيع الشحنة الزائدة فقط على السطح الخارجي للموصل.
1 . شدة المجال عند أي نقطة داخل الموصل صفر.
2 . يتم توجيه المتجه الموجود على سطح الموصل بشكل طبيعي إلى كل نقطة على سطح الموصل.
من حقيقة أن سطح الموصل متساوي الجهد، يترتب على ذلك أنه مباشرة على هذا السطح يتم توجيه المجال بشكل طبيعي إليه عند كل نقطة (الحالة 2 ). إذا لم يكن الأمر كذلك، فبموجب تأثير المكون العرضي، ستبدأ الشحنات في التحرك على طول سطح الموصل. أولئك. توازن الشحنات على الموصل سيكون مستحيلا.
من 1 ويترتب على ذلك منذ ذلك الحين
لا توجد رسوم زائدة داخل الموصل.
يتم توزيع الشحنات فقط على سطح الموصل بكثافة معينة قوتقع في طبقة سطحية رقيقة جدًا (يبلغ سمكها حوالي مسافة أو اثنتين من المسافات البينية).
كثافة الشحن- هذه هي كمية الشحنة لكل وحدة طول أو مساحة أو حجم، وبالتالي تحديد كثافات الشحنة الخطية والسطحية والحجمية، والتي يتم قياسها في نظام SI: بالكولوم لكل متر [C/m]، بالكولوم لكل متر مربع [ C/m² ] وبالكولوم لكل متر مكعب [C/m³]، على التوالي. على عكس كثافة المادة، يمكن أن يكون لكثافة الشحنة قيم موجبة وسالبة، ويرجع ذلك إلى حقيقة وجود شحنات موجبة وسالبة.
مشكلة عامة في الكهرباء الساكنة
ناقلات التوتر,
بواسطة نظرية غاوس 
- معادلة بواسون.
في حالة عدم وجود رسوم بين الموصلات، نحصل عليها
- معادلة لابلاس.
لتعرف الشروط الحدودية على أسطح الموصلات: القيم 
; فإن هذه المشكلة لها حل فريد وفقًا لـ نظرية التفرد.
عند حل المشكلة يتم تحديد القيمة ومن ثم يتم تحديد المجال بين الموصلات من خلال توزيع الشحنات على الموصلات (حسب متجه الجهد على السطح).
دعونا نلقي نظرة على مثال. دعونا نجد الجهد في التجويف الفارغ للموصل.
الإمكانات الموجودة في التجويف تلبي معادلة لابلاس؛
المحتملة على جدران الموصل.
حل معادلة لابلاس في هذه الحالة تافه، وبمبدأ التفرد لا توجد حلول أخرى
، أي. لا يوجد مجال في تجويف الموصل.
معادلة بواسونهي معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية تصف، من بين أمور أخرى
· المجال الكهروستاتيكي،
· مجال درجة الحرارة الثابتة،
· مجال الضغط
· مجال السرعة المحتملة في الهيدروديناميكية.
تم تسميته على اسم الفيزيائي وعالم الرياضيات الفرنسي الشهير سيمون دينيس بواسون.
تبدو هذه المعادلة كما يلي:
أين هو عامل لابلاس أو لابلاس، وهو دالة حقيقية أو معقدة على بعض المتشعبات.
في نظام الإحداثيات الديكارتية ثلاثي الأبعاد، تأخذ المعادلة الشكل التالي:
في نظام الإحداثيات الديكارتية، يُكتب عامل لابلاس بالشكل وتأخذ معادلة بواسون الشكل التالي:
لو ويميل إلى الصفر ثم تتحول معادلة بواسون إلى معادلة لابلاس (معادلة لابلاس هي حالة خاصة من معادلة بواسون):
يمكن حل معادلة بواسون باستخدام دالة جرين؛ انظر، على سبيل المثال، المقالة معادلة بواسون المفحوصة. هناك طرق مختلفة للحصول على الحلول العددية. على سبيل المثال، يتم استخدام خوارزمية تكرارية - "طريقة الاسترخاء".
| سننظر في الموصل الانفرادي، أي الموصل الذي تمت إزالته بشكل كبير من الموصلات والأجسام والشحنات الأخرى. ومن المعروف أن إمكاناتها تتناسب طرديًا مع شحنة الموصل. ومن المعروف من خلال التجربة أن الموصلات المختلفة، على الرغم من أنها مشحونة بشكل متساوٍ، لها إمكانات مختلفة. ولذلك، بالنسبة للموصل المنفرد يمكننا أن نكتب الكمية (1) تسمى السعة الكهربائية (أو ببساطة السعة) للموصل المنفرد. يتم تحديد سعة الموصل المعزول من خلال الشحنة، التي يؤدي اتصالها بالموصل إلى تغيير إمكاناتها بمقدار واحد. تعتمد سعة الموصل الانفرادي على حجمه وشكله، ولكنها لا تعتمد على مادة وشكل وحجم التجاويف داخل الموصل، وكذلك على حالة التجميع. والسبب في ذلك هو توزيع الشحنات الزائدة على السطح الخارجي للموصل. لا تعتمد السعة أيضًا على شحنة الموصل أو إمكاناته. وحدة السعة الكهربائية هي الفاراد (F): 1 F هي سعة هذا الموصل المعزول، الذي يتغير جهده بمقدار 1 فولت عندما يتم نقل شحنة قدرها 1 درجة مئوية إليه. وفقًا لصيغة إمكانات الشحنة النقطية، فإن إمكانات كرة منفردة نصف قطرها R، والتي تقع في وسط متجانس مع ثابت العزل الكهربائي ε، تساوي تطبيق الصيغة (1)، نحصل على أن سعة الشحنة النقطية الكرة (2) يترتب على ذلك أن قدرة الكرة المنفردة تبلغ 1 F، وتقع في الفراغ ولها نصف قطر R=C/(4πε 0)≈9 10 6 كم، وهو أكبر بحوالي 1400 مرة من الكرة المنفردة. نصف قطر الأرض (السعة الكهربائية للأرض C≈0.7 mF). وبالتالي، فإن الفاراد هو قيمة كبيرة إلى حد ما، لذلك يتم استخدام وحدات فرعية متعددة عمليًا - ميليفاراد (mF)، ميكروفاراد (μF)، نانوفاراد (nF)، بيكوفاراد (pF). ويترتب على الصيغة (2) أيضًا أن وحدة الثابت الكهربائي ε 0 هي فاراد لكل متر (F/m) (انظر (78.3)). |
مكثف(من اللات. مكثف- "مدمج"، "سميك") - شبكة ذات طرفين ذات قيمة سعة معينة وموصلية أومية منخفضة؛ جهاز لتجميع الشحنة والطاقة في المجال الكهربائي. المكثف هو مكون إلكتروني سلبي. يتكون عادة من قطبين كهربائيين على شكل لوحة (يسمى بطانات) مفصولة بمادة عازلة سمكها صغير مقارنة بحجم الألواح.
سعة
السمة الرئيسية للمكثف هي سعة، والتي تميز قدرة المكثف على تجميع الشحنات الكهربائية. يشير تعيين المكثف إلى قيمة السعة الاسمية، في حين يمكن أن تختلف السعة الفعلية بشكل كبير اعتمادًا على العديد من العوامل. تحدد السعة الفعلية للمكثف خصائصه الكهربائية. وبالتالي، وفقًا لتعريف السعة، فإن الشحنة الموجودة على اللوحة تتناسب مع الجهد بين اللوحين ( س = CU). تتراوح قيم السعة النموذجية من وحدات بيكوفاراد إلى آلاف الميكروفاراد. ومع ذلك، هناك مكثفات (أيونستورات) بسعة تصل إلى عشرات الفاراد.
سعة مكثف ذو لوح متوازي يتكون من لوحين معدنيين متوازيين بمساحة سيقع كل منها على مسافة ديتم التعبير عن بعضها البعض، في نظام SI بالصيغة: حيث ثابت العزل الكهربائي النسبي للوسط الذي يملأ الفراغ بين الألواح (في الفراغ يساوي الوحدة)، هو الثابت الكهربائي، يساوي عدديًا 8.854187817·10 -12 فهرنهايت/م. هذه الصيغة صالحة فقط عندما دأصغر بكثير من الأبعاد الخطية للصفائح.
للحصول على سعات كبيرة، يتم توصيل المكثفات على التوازي. في هذه الحالة، الجهد بين لوحات جميع المكثفات هو نفسه. إجمالي سعة البطارية موازيعدد المكثفات المتصلة يساوي مجموع سعات جميع المكثفات الموجودة في البطارية.
إذا كانت جميع المكثفات المتوازية لها نفس المسافة بين الألواح وخصائص العزل الكهربائي، فيمكن تمثيل هذه المكثفات كمكثف كبير واحد، مقسم إلى أجزاء من مساحة أصغر.
عندما يتم توصيل المكثفات على التوالي، تكون شحنات جميع المكثفات هي نفسها، حيث يتم إمدادها من مصدر الطاقة فقط إلى الأقطاب الكهربائية الخارجية، وعلى الأقطاب الكهربائية الداخلية يتم الحصول عليها فقط بسبب فصل الشحنات التي كانت تحيد بعضها البعض سابقًا . إجمالي سعة البطارية بالتتابعالمكثفات المتصلة تساوي
أو 
تكون هذه السعة دائمًا أقل من الحد الأدنى لسعة المكثف الموجود في البطارية. ومع ذلك، مع التوصيل المتسلسل، تقل احتمالية تعطل المكثفات، حيث أن كل مكثف يمثل جزءًا فقط من فرق الجهد لمصدر الجهد.
إذا كانت مساحة لوحات جميع المكثفات المتصلة على التوالي هي نفسها، فيمكن تمثيل هذه المكثفات كمكثف كبير واحد، بين اللوحات التي يوجد بها كومة من الألواح العازلة لجميع المكثفات التي تتكون منها.
[عدل] القدرة النوعية
تتميز المكثفات أيضًا بسعة محددة - نسبة السعة إلى حجم (أو كتلة) العازل الكهربائي. يتم تحقيق الحد الأقصى لقيمة السعة المحددة مع الحد الأدنى من سماكة العازل الكهربائي، ولكن في نفس الوقت ينخفض جهد الانهيار.
يتم استخدام أنواع مختلفة من الدوائر الكهربائية طرق توصيل المكثفات. توصيل المكثفاتيمكن إنتاجها: بالتتابع, موازيو سلسلة موازية(يُطلق على الأخير أحيانًا اسم الاتصال المختلط للمكثفات). تظهر الأنواع الموجودة من اتصالات المكثفات في الشكل 1.
الشكل 1. طرق توصيل المكثفات.
Zhidkevich V.I. المجال الكهربائي للطائرة // الفيزياء: مشاكل الحساب. - 2009. - العدد 6. - ص19-23.
يمكن تقسيم المشكلات في الكهرباء الساكنة إلى مجموعتين: مشكلات تتعلق بالشحنات النقطية ومشكلات تتعلق بالأجسام المشحونة التي لا يمكن تجاهل أحجامها.
يعتمد حل مشاكل حساب المجالات الكهربائية وتفاعلات الشحنات النقطية على تطبيق قانون كولوم ولا يسبب أي صعوبات خاصة. والأكثر صعوبة هو تحديد شدة المجال وتفاعل الأجسام المشحونة ذات الأحجام المحدودة: الكرة والأسطوانة والمستوى. عند حساب قوة المجالات الكهروستاتيكية ذات التكوينات المختلفة، ينبغي التأكيد على أهمية مبدأ التراكب واستخدامه عند النظر في المجالات التي تنشأ ليس فقط عن طريق الشحنات النقطية، ولكن أيضًا عن طريق الشحنات الموزعة على السطح والحجم. عند النظر في تأثير الحقل على الشحنة، فإن الصيغة F = التيسير الكمي في الحالة العامة، ينطبق هذا على الأجسام النقطية المشحونة ولا ينطبق إلا في مجال موحد على الأجسام التي تحمل شحنة من أي حجم وشكلس.
ينتج المجال الكهربائي للمكثف عن تراكب حقلين تم إنشاؤهما بواسطة كل لوحة.
في المكثف المسطح، يمكن اعتبار لوحة واحدة بمثابة جسم مشحونس 1وضعت في مجال كهربائي الشدةه 2، تم إنشاؤها بواسطة لوحة أخرى.
دعونا ننظر في العديد من المشاكل.
1. المستوى اللانهائي مشحون بكثافة سطحية σ >0. أوجد شدة المجال هوالمحتملة ϕ على جانبي المستوى، مع الأخذ في الاعتبار أن جهد المستوى يساوي صفرًا. بناء الرسوم البيانية التبعيةالسابق)، ϕ (X). المحور س عموديًا على المستوى، النقطة x=0 تقع على المستوى.
حل. المجال الكهربائي للمستوى اللانهائي منتظم ومتماثل بالنسبة للمستوى. لهالتوتر بين يتم التعبير عن الشدة وفرق الجهد بين نقطتين في مجال إلكتروستاتيكي منتظم بالصيغةحيث س - المسافة بين النقاط، مقاسة على طول خط المجال.ثم ϕ 2 = ϕ 1 -السابق. في العاشر<0 при х>0 التبعيات E(x) و ϕ (x) معروضة في الشكل 1.
2. لوحتان رفيعتان متوازيتان على مستوى الطائرة تقعان على مسافة قصيرةد من بعضها البعض، مشحونة بشكل موحد بشحنة الكثافة السطحيةσ 1 و σ 2. أوجد شدة المجال عند النقاط الواقعة بين اللوحين وخارجها. ارسم رسمًا بيانيًا للتوتر E(x) والمحتملة ϕ (خ)، العد ϕ (0)=0. النظر في الحالات التي: أ)σ 1 = -σ 2 ;
حل.ب) σ 1 = σ 2؛ ج) σ 1 =3 σ 2 -
وبما أن المسافة بين اللوحات صغيرة، فيمكن اعتبارها مستويات لا نهائية.شدة المجال لمستوى موجب الشحنة تساوي وتوجيه
منها؛ يتم توجيه شدة المجال للطائرة ذات الشحنة السالبة نحوها.
وفقًا لمبدأ التراكب، سيتم إنشاء المجال عند أي نقطة قيد النظر بواسطة كل شحنة على حدة.أ) مجالات طائرتين مشحونتين بشحنات متساوية ومعاكسة (مكثف مسطح) تتجمع في المنطقة الواقعة بين المستويين وتلغي بعضها البعض في المناطق الخارجية (الشكل 2،
في أ).<0
ه=
0,
ϕ
X
ب، ج.
إذا كانت المستويات ذات أبعاد محدودة، فإن المجال بين المستويات لن يكون منتظمًا تمامًا، ولن يكون المجال خارج المستويات صفرًا تمامًا.ب) مجالات الطائرات المشحونة بشحنات متساوية في الحجم والإشارة ( σ 1 = σ 2) ، يعوض كل منهما الآخر في المسافة بين الطائرات ويضاف إلى المناطق الخارجية (الشكل 3،<0
при 0
دباستخدام الرسم البياني السابق) ϕ (الشكل 3، ب)، دعونا نبني رسما بيانيا نوعيا للاعتماد
(خ) (الشكل 3، ج). ج) إذا σ 1 = σ
2- إذن مع مراعاة اتجاهات المجالات واختيار الاتجاه لليمين موجب نجد:
3. يظهر الشكل 4 اعتماد التوتر E على المسافة.على إحدى لوحات مكثف مسطح بسعة معس 1=+3سهناك تهمة ، ومن جهة أخرى =+ س 2 س.
حل.تحديد فرق الجهد بين لوحات المكثف. الطريقة الأولى.دع مساحة لوحة المكثف س،والمسافة بينهما د.المجال داخل المكثف منتظم، لذا يمكن تحديد فرق الجهد (الجهد) عبر المكثف بالصيغة U=E*d، حيث E
- شدة المجال داخل المكثف . حيث ه 1، ه 2
- شدة المجال الناتج عن ألواح المكثفات. 
ثم الطريقة الثانية.إضافة تهمة إلى كل لوحة ثم يتم تكثيف اللوحات + سساتورا سوف يكون لها رسوم و-س.مجالات الشحنات المتماثلة للصفائح الموجودة داخل المكثف تلغي بعضها البعض. ولم تغير الشحنات المضافة المجال بين اللوحين، وبالتالي فرق الجهد بمقدار س/ج .
4.
يتم إدخال لوحة معدنية رفيعة مشحونة + في الفراغ الموجود بين ألواح مكثف مسطح غير مشحون. س. تحديد فرق الجهد بين لوحات المكثف.
حل.وبما أن المكثف غير مشحون، فإن المجال الكهربائي يتولد فقط عن طريق اللوحة المشحونةس (الشكل 5). هذا المجال موحد ومتماثل بالنسبة للوحة وكثافتهادع إمكانات اللوحة المعدنية تكون ϕ
. ثم إمكانات اللوحات أوفي المكثفات ستكون متساوية ϕ-
ϕ أ
=
ϕ
ش 1؛ ϕ أ
=
ϕ-إل 1
;
ϕ-
ب
=
ϕ-إل 2
;
ب
=
ϕ-إل 2
.
الفرق المحتمل بين لوحات المكثفات
إذا كانت اللوحة على نفس المسافة من لوحي المكثف، فإن فرق الجهد بين اللوحين يساوي صفرًا.
5. في مجال كهربائي موحد الشدةه 0 توضع لوحة معدنية مشحونة بشكل عمودي على خطوط القوة مع كثافة الشحنة على سطح كل جانب من اللوحة σ (الشكل 6). تحديد شدة المجال ه"داخل وخارج اللوحة وكثافة الشحنة السطحيةσ 1 و σ 2 والتي سوف تظهر على الجانبين الأيسر والأيمن من اللوحة.
حل.الحقل الموجود داخل اللوحة صفر وهو عبارة عن تراكب لثلاثة مجالات: المجال الخارجيه 0، المجال الناتج عن الشحنات الموجودة على الجانب الأيسر من اللوحة، والمجال الناتج عن الشحنات الموجودة على الجانب الأيمن من اللوحة. لذلك،
حيث σ 1 و σ 2- كثافة الشحنة السطحية على الجانبين الأيسر والأيمن من اللوحة والتي تظهر بعد إدخال اللوحة في الميدانه 0. لن يتغير إجمالي الشحن على اللوحة، لذلكσ 1 + σ 2 =2 σ، من حيث σ 1 = σ- ε 0 ه 0
, σ 2 = σ + ε 0 ه 0
. الحقل الموجود خارج اللوحة هو تراكب للمجاله 0 وحقول اللوحة المشحونة ه. إلى يسارلوحات حق اللوحة
6. في مكثف الهواء المسطح، شدة المجال هي E = 10 4 V/m. المسافة بين اللوحاتد= 2 سم، ما هو فرق الجهد إذا تم وضع لوح معدني بسمك بين اللوحين الموازيين لهما؟د 0=0.5 سم (الشكل 7)؟
حل.وبما أن المجال الكهربائي بين اللوحين منتظم U = إد، U = 200 فولت.
إذا قمت بوضع علامة على صفيحة معدنية بين الألواح، فستحصل على نظام مكون من مكثفين متصلين على التوالي مع وجود مسافة بين الألواحد 1و د2. قدرات هذه المكثفاتطاقتهم الإجمالية
بما أن المكثف مفصول عن المصدر الحالي، فإن شحنة المكثف لا تتغير عند إضافة صفيحة معدنية:ف"=CU=С"U 1 ; أين هي قدرة المكثف sator قبل إضافة الصفائح المعدنية إليه. نحصل على:
ش 1= 150 فولت.
7. على لوحاتأ و C، تقع بالتوازي على مسافةد= على مسافة 8 سم، يتم الحفاظ على الإمكانات ج 1= 60 فولت و ج 2 =- 60 فولت على التوالي. تم وضع لوحة مؤرضة بينهما D على مسافة d 1 = 2 سم من اللوحة A. كم تغيرت شدة المجال في الأقسام م وقرص مضغوط؟ بناء الرسوم البيانية التبعية ϕ (س) وه(س).
8. يتم إنشاء مجال إلكتروستاتيكي بواسطة مستوى لا نهائي مشحون بشكل موحد. تبين أن هذا المجال متجانس.
دع كثافة الشحنة السطحية تكون s. من الواضح أن المتجه E لا يمكن أن يكون إلا متعامدًا مع المستوى المشحون. بالإضافة إلى ذلك، فمن الواضح أنه عند النقاط المتناظرة بالنسبة لهذا المستوى، يكون المتجه E هو نفسه في المقدار ومعاكسًا في الاتجاه. يقترح هذا التكوين الميداني أنه يجب اختيار أسطوانة مستقيمة كسطح مغلق، حيث يفترض أن s أكبر من الصفر. إن التدفق عبر السطح الجانبي لهذه الأسطوانة هو صفر، وبالتالي فإن التدفق الإجمالي عبر كامل سطح الأسطوانة سيكون مساوياً لـ 2*E*DS، حيث DS هي مساحة كل طرف. وفقا لنظرية غاوس
حيث s*DS هي الشحنة الموجودة داخل الاسطوانة.
وبتعبير أدق، ينبغي كتابة هذا التعبير على النحو التالي:
حيث En هو إسقاط المتجه E على المستوى الطبيعي n إلى المستوى المشحون، ويتم توجيه المتجه n من هذا المستوى.
حقيقة أن E مستقلة عن المسافة إلى المستوى تعني أن المجال الكهربائي المقابل موحد.
9. ربع دائرة نصف قطرها 56 cm مصنوعة من سلك نحاسي، وشحنة كثافتها الخطية 0.36 nC/m موزعة بشكل منتظم على طول السلك. أوجد الجهد في وسط الدائرة.
بما أن الشحنة موزعة خطيًا على طول السلك، لإيجاد الجهد في المركز، نستخدم الصيغة:
حيث s هي كثافة الشحنة الخطية، dL هو عنصر السلك.
10. في المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية Q، تتحرك الشحنة السالبة -q على طول خط القوة من نقطة تقع على مسافة r 1 من الشحنة Q إلى نقطة تقع على مسافة r 2 . أوجد الزيادة في الطاقة الكامنة للشحنة -q على هذه الإزاحة.
حسب التعريف، الإمكانات هي كمية تساوي عدديًا الطاقة الكامنة لوحدة شحنة موجبة عند نقطة معينة في المجال. لذلك فإن الطاقة الكامنة للشحنة q 2 :
11. عنصرين متطابقين مع القوة الدافعة الكهربية. يتم توصيل جهد 1.2 فولت ومقاومة داخلية قدرها 0.5 أوم على التوازي. يتم إغلاق البطارية الناتجة بمقاومة خارجية تبلغ 3.5 أوم. العثور على التيار في الدائرة الخارجية.
وفقًا لقانون أوم للدائرة بأكملها، فإن شدة التيار في الدائرة الخارجية هي:
حيث E` هي القوة الدافعة الكهربية لبطارية العناصر،
r` هي المقاومة الداخلية للبطارية، والتي تساوي:
إن القوة الدافعة الكهربية للبطارية تساوي مجموع القوة الدافعة الكهربية لثلاثة عناصر متصلة بالسلسلة:
لذلك:
12 دائرة كهربائية تحتوي على أسلاك نحاسية وفولاذية متساوية الطول والقطر متصلة على التوالي. أوجد نسبة كميات الحرارة المنبعثة في هذه الأسلاك.
خذ بعين الاعتبار سلكًا طوله L وقطره d، مصنوعًا من مادة ذات مقاومة p. يمكن العثور على مقاومة السلك R باستخدام الصيغة
حيث s= هي مساحة المقطع العرضي للسلك. عند القوة الحالية I، خلال الوقت t، يتم إطلاق كمية الحرارة Q في الموصل:
في هذه الحالة، انخفاض الجهد عبر السلك يساوي:
مقاومة النحاس:
p1=0.017 μأوم*م=1.7*10 -8 أوم*م
المقاومة الفولاذية:
p2=10 -7 أوم*م
نظرًا لأن الأسلاك متصلة على التوالي، فإن نقاط القوة الحالية فيها هي نفسها وخلال الوقت t يتم إطلاق كميات الحرارة Q1 و Q2 فيها:
12. يوجد ملف دائري يمر به التيار في مجال مغناطيسي منتظم. مستوى الملف عمودي على خطوط المجال. أثبت أن القوى المحصلة المؤثرة على الدائرة من المجال المغناطيسي تساوي صفراً.
بما أن الملف الدائري الذي يمر به التيار موجود في مجال مغناطيسي منتظم، فإن قوة الأمبير تؤثر عليه. وفقًا للصيغة dF=I، يتم تحديد قوة الأمبير الناتجة المؤثرة على ملف يحمل تيارًا بواسطة:
حيث يتم تنفيذ التكامل على طول دائرة معينة مع التيار I. وبما أن المجال المغناطيسي موحد، فيمكن إخراج المتجه B من تحت التكامل وسيتم تقليل المهمة إلى حساب تكامل المتجه. يمثل هذا التكامل سلسلة مغلقة من المتجهات الأولية dL، لذا فهو يساوي الصفر. هذا يعني أن F = 0، أي أن قوة الأمبير الناتجة تساوي صفرًا في مجال مغناطيسي منتظم.
13. ملف قصير يحتوي على 90 لفة وقطره 3 سم يحمل تيارًا كهربيًا. شدة المجال المغناطيسي الناشئ عن التيار المار على محور الملف على مسافة 3 cm منه تساوي 40 A/m. تحديد التيار في الملف.
مع الأخذ في الاعتبار أن الحث المغناطيسي عند النقطة A هو تراكب للتحريض المغناطيسي الناتج عن كل دورة في الملف بشكل منفصل:
للعثور على المنعطف B، نستخدم قانون Biot-Savart-Laplace.
حيث dBturn هو الحث المغناطيسي للمجال الناتج عن العنصر الحالي IDL عند النقطة التي يحددها ناقل نصف القطر r. دعنا نحدد العنصر dL في النهاية ونرسم متجه نصف القطر r منه إلى النقطة A. سنقوم بتوجيه ناقل dBturn وفقًا لقاعدة المثقاب.
وفقا لمبدأ التراكب:
حيث يتم التكامل على جميع عناصر dLturn. دعونا نحلل dBturn إلى مكونين dBturn(II) - بالتوازي مع مستوى الحلقة وdBturn(I) - عمودي على مستوى الحلقة. ثم
لاحظ ذلك 
لأسباب تتعلق بالتماثل ولأن المتجهات dBturn(I) هي متجهات مشتركة، فإننا نستبدل تكامل المتجهات بتكامل عددي:
حيث dBturn(I) =dBturn*cosb و
بما أن dl عمودي على r
دعونا نخفض بمقدار 2p ونستبدل cosb بـ R/r1
دعونا نعبر عن I من هنا، مع العلم أن R=D/2
وفقًا للصيغة التي تربط الحث المغناطيسي وقوة المجال المغناطيسي:
ثم حسب نظرية فيثاغورس من الرسم:
14. يطير إلكترون في مجال مغناطيسي منتظم في اتجاه عمودي على خطوط القوة بسرعة 10010 6 م/ث، ويتحرك على طول قوس دائري نصف قطره 2.1 سم.
سيتم التأثير على الإلكترون الذي يتحرك في مجال مغناطيسي منتظم بواسطة قوة لورنتز المتعامدة مع سرعة الإلكترون وبالتالي يتم توجيهها نحو مركز الدائرة:
بما أن الزاوية بين v وI هي 90 0:
بما أن القوة Fl موجهة نحو مركز الدائرة، ويتحرك الإلكترون حول الدائرة تحت تأثير هذه القوة، إذن
دعونا نعبر عن الحث المغناطيسي:
15. إطار مربع طول ضلعه 12 سم، مصنوع من سلك نحاس، موضوع في مجال مغناطيسي، يتغير الحث المغناطيسي له حسب القانون B = B 0 · Sin (ωt)، حيث B 0 = 0.01 T , ω = 2 · π/ T و T=0.02 ثانية. مستوى الإطار عمودي على اتجاه المجال المغناطيسي. أوجد أكبر قيمة للقوة الدافعة الكهربية. التحريض الذي يحدث في الإطار.
مساحة الإطار المربع S=a 2. التغير في التدفق المغناطيسي dj، عندما يكون مستوى الإطار عموديًا dj=SdB
يتم تحديد emf المستحث
سيكون E الحد الأقصى عند cos(wt)=1
