व्यावहारिक कार्य

अंक शास्त्र

1. किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करना। पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँ हैं।

2. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न। एक चर के एक फ़ंक्शन का अध्ययन और ग्राफ़ बनाना।

3. परीक्षण "कार्यों के अध्ययन के लिए विभेदक कलन का अनुप्रयोग।"

4. अनिश्चित समाकलन ढूँढना। निश्चित अभिन्नों की गणना.

5. निर्धारकों की गणना.

6. क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना। परीक्षा।

7. "सेट" विषय पर समस्याओं का समाधान। तर्क बीजगणित सूत्र.

8. यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं की गणना. कुल संभाव्यता सूत्र.

9. संख्यात्मक विशेषताओं की गणना.

10. परीक्षण "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत"

11. सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप।

12. विभिन्न रूपों में सम्मिश्र संख्याओं वाली क्रियाएँ।

गणित में व्यावहारिक कार्य के लिए पद्धति संबंधी निर्देश

पाठ्यक्रम 2

व्यावहारिक पाठ शैक्षिक प्रक्रिया को व्यवस्थित करने का एक रूप है, जिसमें छात्रों को असाइनमेंट पर और शिक्षक के मार्गदर्शन में एक या अधिक व्यावहारिक कार्य करना शामिल होता है।

इस प्रकार, गणित की व्यावहारिक कक्षाओं में छात्रों में समस्याओं को हल करने की क्षमता विकसित होती है, जिसका उपयोग भविष्य में विशेष विषयों में व्यावसायिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

व्यावहारिक कार्य के दौरान, छात्र सूचना स्रोतों का उपयोग करने, नियामक दस्तावेजों और अनुदेशात्मक सामग्रियों, संदर्भ पुस्तकों के साथ काम करने, चित्र, आरेख, तालिकाएँ बनाने, विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने और गणना करने की क्षमता में महारत हासिल करते हैं।

गणित में व्यावहारिक पाठों के दौरान हल की जाने वाली समस्याएं:

1) व्याख्यान के दौरान प्राप्त गणित में सैद्धांतिक ज्ञान का विस्तार और समेकन;

2) छात्रों में गणित की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आवश्यक व्यावहारिक कौशल और क्षमताओं का विकास करना;

3) गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में छात्रों की स्व-शिक्षा की आवश्यकता का विकास और ज्ञान और कौशल में सुधार;

4) गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में रचनात्मक दृष्टिकोण और अनुसंधान दृष्टिकोण का गठन;

5) भविष्य के विशेषज्ञ के पेशेवर रूप से महत्वपूर्ण गुणों का निर्माण और अर्जित ज्ञान को पेशेवर क्षेत्र में लागू करने के कौशल का निर्माण।

व्यावहारिक पाठ संख्या 1.कार्य सीमाओं की गणना. पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँ हैं।

विषय : कार्य सीमाओं की गणना.

लक्ष्य: गणित की मौलिक शाखाओं के क्षेत्र में बुनियादी ज्ञान का अधिग्रहण . कार्यों की सीमाओं की गणना पर ज्ञान को आत्मसात करने का परीक्षण करना। इस विषय पर ज्ञान को दोहराएँ और व्यवस्थित करें।

कार्य:

रचनात्मक पेशेवर सोच का विकास;

विज्ञान की भाषा में महारत, अवधारणाओं को संचालित करने का कौशल;

समस्याओं को स्थापित करने और हल करने के कौशल में महारत हासिल करना;

सैद्धांतिक और व्यावहारिक प्रशिक्षण को गहरा करना;

छात्रों की पहल और स्वतंत्रता का विकास।

कंप्यूटिंग कौशल को सुदृढ़ बनाना;

गणितीय भाषण पर काम करना जारी रखें.

स्वतंत्र कार्य के लिए कौशल का निर्माण, पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना, स्वतंत्र रूप से ज्ञान प्राप्त करने के लिए कौशल;

पाठ के साथ काम करते समय मुख्य बात को उजागर करने की क्षमता का विकास;

स्वतंत्र सोच का गठन, मानसिक संचालन: तुलना, विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण, सादृश्य;

कार्यों को पूरा करने की संस्कृति पर छात्रों को ज्ञान की शक्ति को गहरा करने और बढ़ाने के लिए व्यवस्थित कार्य की भूमिका दिखाएं;

छात्रों की रचनात्मक क्षमताओं का विकास।

व्यावहारिक कार्य प्रदान करना:

व्यावहारिक कार्य के लिए पद्धति संबंधी अनुशंसाओं की सैद्धांतिक सामग्री।

गणित, - श्रृंखला: माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा। - रोस्तोव-ऑन-डॉन "फीनिक्स", पी।

व्यावहारिक पाठ की प्रगति.

1.पाठ के विषय का निरूपण, शैक्षणिक अनुशासन के अन्य विषयों के साथ विषय के संबंध की व्याख्या;

2.कक्षा के लिए छात्रों की तैयारी की जाँच करना;

3. विषय के अनुसार और अनुशासन के कार्य कार्यक्रम के अनुसार वास्तविक पाठ का संचालन करना:

"कार्यों की सीमाओं की गणना" विषय पर सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करें।

विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाओं का उपयोग करके कार्यों की सीमाओं की गणना पर स्वतंत्र कार्य करें।

सुरक्षा प्रश्नों का उत्तर दें।

सैद्धांतिक जानकारी और पद्धति संबंधी सिफारिशें

समस्या समाधान पर.

1. सैद्धांतिक सामग्री की प्रस्तुति.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) वेरिएबल x के स्थान पर x की प्रवृत्ति को प्रतिस्थापित करें।

2) यदि चरण 1 को पूरा करने के बाद हमें फॉर्म की अनिश्चितता मिलती है https://pandia.ru/text/78/405/images/image003_6.png' width='19' ऊंचाई='22 src='>और प्रतिस्थापित करें ऋण के साथ तीर: (एक्स-ए)।

3) यदि, चरण 1 को पूरा करने के बाद, हमें फॉर्म की अनिश्चितता प्राप्त होती है https://pandia.ru/text/78/405/images/image002_13.png" width='18' ऊंचाई='31 src='> त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों से जुड़े, हमें पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करना चाहिए।

परिभाषा।पहली उल्लेखनीय सीमा को सीमा कहा जाता है

https://pandia.ru/text/78/405/images/image007_4.png" alt='$\displaystyle \lim_(x\to0)\dfrac(\sin x)(x)=1. $" width="102" height="52">!}

5) परिभाषा:दूसरी उल्लेखनीय सीमासीमा कहलाती है

इस सीमा द्वारा दी गई संख्या गणितीय विश्लेषण और गणित की अन्य शाखाओं दोनों में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। नंबर पर कॉल किया जाता है प्राकृतिक लघुगणक का आधार ( https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_4.png" alt='$ e$" width="11" height="14">показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:!}

2. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

उदाहरण 1

https://pandia.ru/text/78/405/images/image015_1.png" width=”28″ ऊंचाई=”30 src=”>= -4

हमने नियम 1) का उपयोग किया और x के स्थान पर वह प्रतिस्थापित किया जिसके लिए x को प्रयास करना चाहिए, अर्थात x=2।

उदाहरण 2

https://pandia.ru/text/78/405/images/image017_1.png" width=”154” ऊंचाई=”32 src=”>.png” width=”21” ऊंचाई=”30 src=”>= 5

उदाहरण 3

https://pandia.ru/text/78/405/images/image021_1.png" width=”199″ ऊंचाई=”37 src=”>.png” width=”137″ ऊंचाई=”35 src=”>. पीएनजी" चौड़ाई = "138" ऊंचाई = "24 स्रोत = ">=3+3=6

उदाहरण 4

https://pandia.ru/text/78/405/images/image004_7.png" width=”22″ ऊंचाई=”31 src=”>.png” width=”104” ऊंचाई=”46 src=”>. पीएनजी" ऊँचाई = "30 स्रोत = ">

उदाहरण 5

https://pandia.ru/text/78/405/images/image032_0.png" width=”61″ ऊंचाई=”46 src=”>.png” ऊंचाई=”30 src=”>=2

उदाहरण 6

https://pandia.ru/text/78/405/images/image036_0.png" width=”18” ऊंचाई=”28 src=”>

बी)

वी)

3. ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का समेकन।

कार्यों की सीमाओं की गणना पर स्वतंत्र कार्य करें।

व्यावहारिक कार्य क्रमांक 1. विकल्प 1 फ़ंक्शन की सीमा की गणना करें: 1. . 2. . 3. . 10. .

व्यावहारिक कार्य क्रमांक 1. विकल्प 2 फ़ंक्शन की सीमा की गणना करें: 1. . 2. . 3. . 10.

व्यावहारिक कार्य क्रमांक 2.

विषय : किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना। एक चर के एक फलन का अध्ययन करना और एक ग्राफ बनाना।

लक्ष्य : किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा के अभ्यास ज्ञान का परीक्षण, प्राथमिक कार्यों, जटिल कार्यों, व्युत्क्रम कार्यों के व्युत्पन्न खोजने की क्षमता, व्युत्पन्न और विभेदन नियमों की तालिका का उपयोग करना, एक जटिल और व्युत्क्रम फ़ंक्शन की अवधारणा, क्षमता कार्यों का अध्ययन करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना।

व्यावहारिक कार्य उपलब्ध कराना:

पाठ्यपुस्तक। "अंक शास्त्र"। - एम.: बस्टर्ड, 2010.

अंक शास्त्र। एम: फोरम-इन्फा 2008।

व्यावहारिक कार्य विकल्प के साथ व्यक्तिगत कार्ड।

1. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की सैद्धांतिक सामग्री और उदाहरण।

परिभाषा:बिंदु x पर फ़ंक्शन f(x) (f"(x)) का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image061_0.png" width=”209 ऊंचाई=235” ऊंचाई=”235”>

विभेदीकरण के नियम.

यदि फ़ंक्शन f(x) और g(x) में व्युत्पन्न हैं, तो

2. (u+v)'=u'+v'

3. (उव)'=उ'व+व'उ

4. (सी यू)'=सी यू', जहां सी=स्थिरांक

5..png" width=”49″ ऊंचाई=”54 src=”>

6. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न:

f′(g(x))=f′(g) g′(x)

2. उदाहरण.

1..png" width=”61" ऊँचाई=”41 src=”>.png” width=”20” ऊँचाई=”41 src=”>.png” width=”20” ऊँचाई=”41 src=”> .png" चौड़ाई = "69" ऊँचाई = "41 src = ">+4)।

फ़ंक्शन दो कारकों का उत्पाद है: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image071_0.png" width=”72″ ऊंचाई=”41 src=”>.png” width=” 64" ऊँचाई = "41 src = ">.png" चौड़ाई = "19" ऊँचाई = "41 src = ">.png" चौड़ाई = "45" ऊँचाई = "51 src = ">।

फ़ंक्शन दो अभिव्यक्तियों का भागफल है: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image079.png' width='52' ऊंचाई='41 src='>..png' width= "215" " ऊँचाई = "57 src = ">.png" चौड़ाई = "197 ऊँचाई = 36" ऊँचाई = "36">

समाधान। आइए जटिल कार्यों के विभेदन के नियम (सूत्र 6) का उपयोग करके इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

5. यदि , तो

6. य = एक्स 3 – 3एक्स 2 + 5एक्स+2. आइए खोजें य "(–1).

य " = 3एक्स 2 – 6एक्स+5. इसलिए, य "(–1) = 14.

7. अगर य= लॉग एक्सओल एक्स, वह य" = (एलएन एक्स)"क्योंकि एक्स+एल.एन एक्स(क्योंकि) एक्स) " =1/एक्स∙क्योंकि एक्स-एलएन एक्सपाप एक्स।

एक फंक्शन दिया जाए. इसका अध्ययन करने के लिए आपको चाहिए:

1) इसकी परिभाषा का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। यदि यह बहुत कठिन नहीं है, तो सीमा ज्ञात करना भी उपयोगी है। (हालाँकि, कई मामलों में, खोजने का प्रश्न तब तक के लिए स्थगित कर दिया जाता है जब तक कि कार्य की चरम सीमाएँ न मिल जाएँ।)

2) फ़ंक्शन के सामान्य गुणों का पता लगाएं जो उसके व्यवहार को निर्धारित करने में मदद करेंगे: क्या फ़ंक्शन सम है या विषम, क्या यह आवधिक है।

3) पता लगाएं कि जब तर्क परिभाषा के क्षेत्र के सीमा बिंदुओं तक पहुंचता है, तो फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, यदि ऐसे सीमा बिंदु हैं। यदि किसी फ़ंक्शन में असंततता बिंदु हैं, तो फ़ंक्शन के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की उपस्थिति के लिए इन बिंदुओं की भी जाँच की जानी चाहिए। तिरछे अनंतस्पर्शी खोजें।

4) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, जिसमें शर्त के तहत फ़ंक्शन के मान की गणना करना शामिल है:

OX अक्ष के साथ: y=0;

ओए अक्ष के साथ: x=0.

अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने से एक जटिल बीजगणितीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता हो सकती है, जो, शायद, केवल लगभग ही किया जा सकता है। फ़ंक्शन की जड़ें और असंततता बिंदु ढूंढने के बाद, हम इन बिंदुओं के बीच प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित कर सकते हैं। यह या तो अंतराल में किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करके या अंतराल विधि का उपयोग करके किया जा सकता है।

5) एकरसता के अंतराल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न ढूंढें और असमानता को हल करें:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image089.png' width='49' ऊंचाई='19 src='>, फ़ंक्शन कम हो रहा है।

एकरसता के अंतरालों को खोजने के बाद, हम तुरंत स्थानीय चरम के बिंदु निर्धारित कर सकते हैं: जहां वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है, स्थानीय मैक्सिमा स्थित होते हैं, और जहां कमी को वृद्धि से बदल दिया जाता है, स्थानीय मिनिमा स्थित होते हैं।

6) उत्तलता और अवतलता के अंतराल का पता दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके किया जाता है..png" width='39' ऊंचाई='19 src='> अंतराल पर:

यदि https://pandia.ru/text/78/405/images/image090.png' width='39' ऊंचाई='19 src='>‹0, तो फ़ंक्शन ग्राफ़ वक्र उत्तल है।

साथ ही, हम विभक्ति बिंदुओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित करते हैं जिन पर फ़ंक्शन उत्तलता की दिशा बदलता है (और निरंतर होता है)।

7) अनंतस्पर्शी और अतिरिक्त बिंदुओं के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाना। यह बिंदु अनिवार्य नहीं है, लेकिन ऐसे बिंदुओं को खोजने से फ़ंक्शन और उसके ग्राफ़ का अध्ययन पूर्ण और पूर्ण हो जाता है।

ध्यान दें कि ड्राइंग पर फ़ंक्शन के अध्ययन के दौरान प्राप्त होने वाले बिंदुओं को समन्वय अक्षों और ग्राफ़ पर तुरंत प्लॉट करना उपयोगी होता है। इससे रास्ते में ग्राफ़ की उपस्थिति को समझने में मदद मिलती है।

3. इसे स्वयं करें:

विकल्प	फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न खोजें:	विकल्प	फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न खोजें:
	1.y=6-		1. y=-6- 5.y=
	1. y=-7-1		1. y=-7-1
	1.y=4x-3tgx+6x-8		1.y=-5x+2ctgx+3x-2

पाठ मकसद:

शिक्षात्मक- विभेदन सूत्र जानें; विभेदन नियम;
एक जटिल कार्य का विभेदन; व्युत्पन्न का भौतिक और ज्यामितीय अर्थ;
किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण।

विकासात्मक -कार्यों के व्युत्पन्न ढूंढने में सक्षम हो; भौतिक अर्थ, ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करके समस्याओं को हल करें; किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें; किए गए कार्यों को गणितीय रूप से सही ढंग से समझाएं और उचित ठहराएं।

शैक्षिक-स्वतंत्रता, जिम्मेदारी, प्रतिबिंब विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना
(ब्रेक के दौरान, सलाहकार (छात्रों की) जांच करते हैं और ग्रेड प्रदान करते हैं)।

तृतीय. लक्ष्य निर्धारण और प्रेरणा

शिक्षक छात्रों को सूचित करते हैं कि यह पाठ "डेरिवेटिव की गणना" विषय पर अंतिम पाठ है और उन्हें अपने स्वयं के लक्ष्य तैयार करने के लिए आमंत्रित करते हैं।

शिक्षक: "महान दार्शनिक कन्फ्यूशियस ने एक बार कहा था: "तीन रास्ते ज्ञान की ओर ले जाते हैं: प्रतिबिंब का मार्ग सबसे अच्छा मार्ग है, अनुकरण का मार्ग सबसे आसान मार्ग है, और अनुभव का मार्ग सबसे कड़वा मार्ग है।" इसलिए आज कक्षा में, आप में से प्रत्येक यह निर्धारित करेगा कि वह इस विषय के ज्ञान के लिए किस मार्ग पर है।

छात्रों को डेरिवेटिव की गणना में अपने ज्ञान और कौशल का प्रदर्शन करने का काम दिया जाता है और उन्हें एक पाठ योजना दी जाती है।

स्टेज I:"याद रखें" कार्ड का उपयोग करके कार्य पूरा करना।
(विभेदीकरण के सूत्रों और नियमों के ज्ञान का परीक्षण)।

चरण II:ज्ञान की पुनरावृत्ति और सामान्यीकरण पर मौखिक फ्रंटल कार्य।

चरण III:"परीक्षण पूर्वानुमान" (इस कार्य को करते समय, सलाहकारों की सहायता स्वीकार्य है)।

मैंचरण V:एक व्यावहारिक समस्या का समाधान.

चरण V:स्वतंत्र काम

कार्य और गृहकार्य के चरण I, III, V का मूल्यांकन किया जाता है। सलाहकार परिणामों की जाँच करते हैं और उन्हें मूल्यांकन तालिका में दर्ज करते हैं।

मूल्यांकन के मानदंड: "5"- 19-20 अंक;
"4"- 15-18 अंक;
"3"- 10-14 अंक.

ज्ञान के मार्ग

1. संदर्भ ज्ञान का पुनरुत्पादन और सुधार

स्टेज I

लक्ष्य:विभेदीकरण के सूत्रों और नियमों के ज्ञान पर नियंत्रण, आत्म-नियंत्रण

याद करना! एफ.आई. ______________________________________________________
	यौगिक
सी, सी - विपक्ष टी
	एफ"(x)+ जी"(एक्स)
एफ(एक्स)* जी(एक्स)

इस कार्य के अंत में, "व्युत्पन्न तालिका" का उपयोग करके एक स्व-परीक्षण किया जाता है। सत्यापन के लिए कार्ड सलाहकारों को सौंप दिए जाते हैं (कार्ड में सुधार की अनुमति नहीं है)।

वी. ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण
चरण II.

1. मौखिक ललाट कार्य।

एक।इस स्थिति के लिए एक कार्य बनाएं और इसे हल करें।

1. बिंदु t = 3 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। (उत्तर: 21.)

2. बिंदु t = 3 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाएं। (उत्तर: y = 21x-45.)।

3. यदि गति का नियम सूत्र द्वारा दिया गया है, तो उस क्षण t=3c पर पिंड की गति और त्वरण ज्ञात करें। (उत्तर: 21 मी/से., 16 मी./से.²)।

4. बिंदु t = 3 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक ज्ञात करें। (उत्तर: 21.)।

5. बिंदु t = 3 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात करें और स्पर्शरेखा और ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच कोण का प्रकार निर्धारित करें। (उत्तर: tgα, कोण α न्यून कोण है)

बी. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें

2. चरण III"परीक्षण पूर्वानुमान"

इस कार्य के अंत में, अंतिम उत्तरों के आधार पर एक स्व-परीक्षण किया जाता है और परीक्षण सलाहकारों को सौंप दिया जाता है। (कार्ड में सुधार की अनुमति नहीं है)।
उत्तर:

1 विकल्प
विकल्प 2

1. समस्या का समाधान

मैंस्टेज वी
उन्नत स्तर की समस्या का फ्रंटल समाधान (समाधान सलाहकारों द्वारा कक्षा के साथ मिलकर किया जाता है)।

काम

किस पैरामीटर मान पर एकिसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाएँ

X अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर खींचे गए बिंदु आपस में 60° का कोण बनाते हैं?

ग्राफ़ एक परवलय है जिसकी ऊपर की ओर शाखाएँ X अक्ष को दो बिंदुओं पर काटती हैं (मामला)। ए=0 समस्या के अर्थ को संतुष्ट नहीं करता):

नौवीं. सारांशित करना और ग्रेडिंग करना

1. प्रश्न: क) क्या पाठ का उद्देश्य प्राप्त हो गया है?
ख) कौन सा चरण सबसे कठिन लगा?
ग) सबसे दिलचस्प क्या था?

2. सलाहकार परिणामों की घोषणा करते हैं (रास्ते में छात्रों की संख्या और नाम
अनुकरण, चिंतन के तरीके और अनुभव के तरीके)।

व्यावहारिक पाठ

विषय:डेरिवेटिव ढूँढना. फ़ंक्शंस के अध्ययन और ग्राफ़ बनाने के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग।

लक्ष्य: डेरिवेटिव की गणना में महारत हासिल करें, डेरिवेटिव का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का पता लगाना सीखें

शिक्षा के साधन:व्यावहारिक अभ्यासों के लिए नोटबुक, विषय पर प्रस्तुतियाँ, इंटरनेट संसाधन।

1. विषयों पर सैद्धांतिक सामग्री पर विचार करें: "डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम", "फ़ंक्शन का चरम", "उत्तलता, अवतलता"। संक्रमण का बिन्दु।"

2. असाइनमेंट के नमूनों की समीक्षा करें।

3. पूर्ण परीक्षण कार्य संख्या 1।

नियंत्रण प्रश्न:

1. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) परिभाषित करें। अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु के काफी छोटे पड़ोस में फ़ंक्शन की वृद्धि के संकेत के बारे में क्या कहा जा सकता है?

2. किसी फलन के चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें क्या हैं? उनका ज्यामितीय अर्थ क्या है?

3. किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने का नियम क्या है?

4. किसी अंतराल पर वक्र की उत्तलता (अवतलता) को परिभाषित करें।

5. किसी वक्र की उत्तलता और अवतलता का अंतराल ज्ञात करने का नियम क्या है?

6. वक्र का विभक्ति बिंदु. उसे कैसे ढूंढें?

7. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिदम क्या है?

डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

अगर पर=ƒ( और), यू=φ(x), फिर पर¢ ( एक्स)=ƒ¢ (i)·φ¢ (एक्स).

किसी राशि का व्युत्पन्न.

अगर पर(एक्स)=और(एक्स)+वी (एक्स), वह पर¢ (एक्स)=और¢ (एक्स)+वी ¢ (एक्स)

उत्पाद का व्युत्पन्न.

अगर y(x)=u(एक्स)· वी (एक्स), वह पर¢ = और¢ · वी + यू · वी ¢ .

विशेष रूप से, ( साथ· और)¢ =सी· और¢, अर्थात अचर गुणनखंड को व्युत्पन्न चिन्ह के नीचे से हटा दिया जाता है। इसे सत्यापित करना आसान है

(यू 2 ) ¢ = 2 तुम तुम ¢ , (यू 3 ) ¢ =3यू 2 यू ¢ , … , (यू एन ) ¢ =एन·यू n–1 यू ¢ .

भागफल का व्युत्पन्न.

तो अगर
.

व्युत्पन्न तालिका

1. (साथ)¢ =0

एक जटिल कार्य के लिए: यदि यू=यू(एक्स), वह:

2. (एक्स)¢ =1

3. (एक्स α )¢ = α · एक्सα-1, ए- कोई भी वास्तविक संख्या।

.

3.

4. (ए एक्स ) ¢ =ए एक्स · एल.एन ए

4.

5. (लकड़ी का लट्ठा ए एक्स) ¢ =

.

5.

6. (पाप एक्स)¢ =क्योंकि x

6.

7. (क्योंकि x)¢ = -पाप x

7.

8. (टीजी एक्स)¢ =

8.

9. (सीटीजी एक्स)¢ =

9.

10.

10.

11.

11.

12.

12.

13.

13.

उदाहरणों की समीक्षा करें

उदाहरण 1।

y=(3-2 पाप 5x ) 4 | हम इसके लिए व्युत्पन्न सूत्र लागू करते हैं और α ,पाप यू |

य ¢ =4·(3–2·sin5x) 3·(3–2sin5x) ¢ =4·(3–2·sin5x) 3 ·(0–2·cos5x·5) = -40·(3–2·sin5x) 3 .

उदाहरण 2.

.

उदाहरण 3.

.

उदाहरण 4.

उदाहरण 5.

.

समारोह का चरम

चरम सीमा पर किसी फ़ंक्शन का अध्ययन डेरिवेटिव के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक है। आइए मिनिमा और मैक्सिमा की परिभाषा देखें और उन्हें कैसे खोजें।

मान लीजिए कि फलन ƒ( एक्स) एक निश्चित समुच्चय और एक बिंदु पर परिभाषित और अवकलनीय है एक्सइसके अंदर 0 एक बिंदु है.

परिभाषा।समारोह ƒ (एक्स) बिंदु पर एक्स 0 है अधिकतम(न्यूनतम), यदि बिंदु का ऐसा कोई पड़ोस है एक्स 0, जो सभी के लिए है एक्सइस क्षेत्र से ƒ (एक्स) < ƒ (एक्स 0 ) (ƒ (एक्स) > ƒ (एक्स 0 )).

डॉट एक्स 0 को तब एक बिंदु कहा जाता है अधिकतम(न्यूनतम)।

चावल। 1.

एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाया गया है जिसमें दो अधिकतम बिंदु हैं ( एक्स 1 और एक्स 3) और दो न्यूनतम अंक ( एक्स 2 और एक्स 4), और अधिकतम मान न्यूनतम से कम हो सकता है ( ƒ (एक्स 1 ) < ƒ (एक्स 4)). यह इस तथ्य पर जोर देता है कि हम किसी फ़ंक्शन की विलक्षणता को केवल एक निश्चित बिंदु के पास ही चिह्नित करते हैं।

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों को चरम मान या कहा जाता है चरम. उपरोक्त ग्राफ से पता चलता है कि चरम बिंदु ( एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , एक्स 4) फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल निर्धारित करें, जिनमें से प्रत्येक में व्युत्पन्न एक निश्चित चिह्न बनाए रखता है। चरम बिंदुओं पर, निश्चित रूप से, व्युत्पन्न शून्य पर चला जाता है। आइए हम इसके बारे में एक प्रमेय तैयार करें आवश्यक शर्त एक चरम का अस्तित्व.

प्रमेय.यदि फ़ंक्शन ƒ (एक्स) बिंदु पर एक्स 0 का एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, अर्थात। एक्स 0)=0.

आइए तुरंत ध्यान दें कि यह स्थिति पर्याप्त नहीं है, यानी विपरीत कथन हमेशा सत्य नहीं होता है। समानता से ƒ ¢ ( एक्स 0)= जरूरी नहीं कि बिंदु पर 0 उसका अनुसरण करे एक्स 0 एक अति है.

इसकी पुष्टि फ़ंक्शन के साथ एक उदाहरण से होती है ƒ (एक्स)=x 3 .

हम ढूंढ लेंगे ƒ ¢ ( एक्स)= 3एक्स 2 . बिंदु पर एक्स=0 ƒ ¢ (0)=0 . लेकिन मुद्दे के उतना करीब जितना आप चाहें एक्स=0 हम पाएंगे एक्स> 0, कहाँ ƒ (एक्स)=x 3 > 0, हम ढूंढ लेंगे एक्स< 0, где ¦ (एक्स)=एक्स 3 < 0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки एक्स=0, सभी के लिए कहाँ एक्सएक बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स=0 सबसे बड़ा या सबसे छोटा होगा. इसलिए बिंदु एक्स=0 एक चरम बिंदु नहीं है.

कोई अलग तरह से बहस कर सकता है. व्युत्पन्न के बाद से ƒ ¢ (x)=3x 2 , फिर फ़ंक्शन फू(x)=x 3 किसी भी वास्तविक x के लिए वृद्धि होती है और इसका कोई एक्स्ट्रेमा नहीं होता है।

वे बिंदु जिन पर आवश्यक चरम स्थिति संतुष्ट होती है (ƒ ¢ (x)=0)कहा जाता है गंभीर .

जाहिर है, उन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा जहां ƒ है ¢ (एक्स)=0,एक्स-अक्ष ऑक्स के समानांतर .

पर्याप्त स्थितिचरम सीमा निम्नलिखित प्रमेयों में दी गई है।

प्रमेय 1.अगर एक्स 0 फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु है और जब इससे होकर गुजरता है तो व्युत्पन्न चिह्न बदल जाता है एक्स 0 एक चरम बिंदु है, अर्थात्, यदि व्युत्पन्न चिह्न को प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह एक अधिकतम बिंदु है, और यदि यह माइनस से प्लस में साइन बदलता है, तो यह न्यूनतम बिंदु है।

ध्यान दें कि यदि व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है तो किसी बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है। पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके चरम का अध्ययन करने का नियम स्कूल पाठ्यक्रम से जाना जाता है। कभी-कभी दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति तैयार करना अधिक सुविधाजनक होता है।

मान लीजिए कि फलन ƒ( एक्स) कुछ डोमेन में दो बार भिन्न है (अर्थात् ƒ( एक्स) है ˒¢ ( एक्स) और ƒ ¢¢ ( एक्स)).

प्रमेय 2.अगर एक्स 0 - फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु फू(एक्स)और ¢¢ (एक्स 0 ) > 0 , वह एक्स 0 – न्यूनतम बिंदु, यदि ƒ ¢¢ (एक्स 0 ) < 0, то एक्स 0 – अधिकतम बिंदु.

दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उत्तलता या अवतलता निर्धारित की जाती है।

उत्तलता, अवतलता। संक्रमण का बिन्दु।

वक्र y=˒(एक्स) कहा जाता है उत्तल रूप सेवां नीचेउसका कोई भी स्पर्शरेखा

ƒ ¢¢ ( एक्स) < 0.

वक्र y=˒(एक्स) कहा जाता है नतोदर एक अंतराल पर यदि वक्र के सभी बिंदु झूठ बोलते हैं उच्च उसका कोई भी स्पर्शरेखा इस अंतराल पर. फिर इस अंतराल पर

ƒ ¢¢(x) > 0

परिभाषा। संक्रमण का बिन्दु वक्र वह बिंदु है जहां वक्र एक तरफ उत्तल और दूसरी तरफ अवतल होता है।

विभक्ति बिंदु पर ƒ ¢¢ ( एक्स)=0.

तो, दूसरे व्युत्पन्न का चिह्न (साथ ही फ़ंक्शन का चिह्न और उसका पहला व्युत्पन्न) फ़ंक्शन ग्राफ़ की विशेषताओं को इंगित करता है। आइए उन पर फिर से नजर डालें।

अगर सबके लिए एक्सअंतराल पर ( ए, बी) ƒ (एक्स) > 0 (ƒ (एक्स) < 0), तो ग्राफ़ x-अक्ष के ऊपर (नीचे) स्थित है।

अगर सबके लिए एक्सअंतराल पर ( ए, बी) ƒ ¢ ( एक्स) > 0 (ƒ ¢ ( एक्स) < 0), то функция на (ए, बी) बढ़ता (घटता) है।

अगर सबके लिए एक्सअंतराल पर ( ए, बी) ƒ ¢¢ ( एक्स) > 0 (ƒ ¢¢ ( एक्स) < 0), то график на (ए, बी) उत्तल अवतल)।

समीकरण ˒( एक्स)=0 फ़ंक्शन के "शून्य" को परिभाषित करता है, अर्थात ऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु।

समीकरण ƒ ¢ ( एक्स)=0 महत्वपूर्ण बिंदुओं को परिभाषित करता है।

समीकरण ƒ ¢¢ ( एक्स)=0 संभावित विभक्ति बिंदुओं को परिभाषित करता है।

कार्य अध्ययन योजना

फ़ंक्शन का अध्ययन करना ƒ (एक्स) और प्लॉटिंग y=˒(एक्स) पाया जाना चाहिए:

1) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र और समन्वय अक्षों के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु;

2) एकरसता के अंतराल;

3) इन बिंदुओं पर एक्स्ट्रेमा और फ़ंक्शन मान के बिंदु;

4) ग्राफ की उत्तलता और अवतलता के अंतराल;

5) ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु;

6) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में सभी प्राप्त बिंदुओं का निर्माण करें (कभी-कभी, ग्राफ़ को स्पष्ट करने के लिए, अतिरिक्त अंक प्राप्त होते हैं) और ग्राफ़ स्वयं।

किसी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान

अनुकूलन पद्धति की कुछ समस्याओं को हल करते समय, किसी निश्चित खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे या सबसे बड़े मान को खोजने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। फ़ंक्शन इन मानों तक या तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के अंत तक पहुंचता है।

खोज योजनाफ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ƒ (एक्स) खंड पर [ ए, बी].

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें ƒ ¢ ( एक्स).

2. समीकरण से क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए ƒ ¢ ( एक्स)=0.

3. उन महत्वपूर्ण बिंदुओं का चयन करें जो इस खंड से संबंधित हैं [ ए, बी] और फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें ƒ (एक्स) ऐसे प्रत्येक बिंदु पर।

4. फ़ंक्शन मानों की गणना करें ƒ (एक्स) खंड के अंत में: ƒ( ए) और फू( बी).

5. प्राप्त फ़ंक्शन मानों में से, सबसे बड़े (सबसे बड़े) और सबसे छोटे (सबसे छोटे) का चयन करें।

उदाहरण 2.

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें फू(एक्स)=एक्स 3 -9x 2 +24х–10खंड पर.

1. ƒ ¢ ( एक्स)= 3एक्स 2 – 9·2 एक्स 2 + 24.

2. ¢ ( एक्स)=0, 3(एक्स 2 –6एक्स+8)=0, एक्स 1 =2, एक्स 2 =4.

3. बिंदु x 2 =4 खंड से संबंधित नहीं है। इसलिए, हम फ़ंक्शन के मान की गणना केवल बिंदु पर करते हैं एक्स 1 =2

ƒ(2)=2 3 –9·2 2 +24·2–10=10.

4. खंड के अंत में फ़ंक्शन मान: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3 3 –9·3 2 +24·3–10, ƒ(3)=8.

5. प्राप्त मूल्य:

फू(2)=10, फू(0)= –10, फू(3)=8.

उच्चतम मान 10 है और बिंदु पर पहुंच गया है एक्स=2. सबसे छोटा -10 के बराबर है और बिंदु पर प्राप्त किया जाता है एक्स=0.

उदाहरण 3.

वक्र की उत्तलता और अवतलता और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल ज्ञात करें y=x+36एक्स 2 –2एक्स 3 –एक्स 4 .

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, अर्थात। एक्सЄ(–∞, +∞).

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें।

पर¢ =1+72 एक्स–6एक्स 2 –4एक्स 3 .

पर¢¢ =72-12 एक्स–12एक्स 2 = –12(एक्स 2 +एक्स–6).

Eq से. पर¢¢ =0 हमें विभक्ति बिंदु का भुज मिलता है:

–12(एक्स 2 +एक्स–6)=0 एक्स 1 = –3; एक्स 2 =2.

आइए संकेत को परिभाषित करें पर¢¢ अंतराल पर

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

एक्स

(–∞, –3)

(–3; 2)

(2; +∞)

पर¢¢

वक्र आकार

उत्तल

मोड़

नतोदर

मोड़

उत्तल

आइए विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें:

पर(–3)=726; एम 1 (-3; 726) - विभक्ति बिंदु

पर(2)=114; एम 2 (2; 114) - विभक्ति बिंदु।

अंतराल (-3; 2) पर वक्र अवतल होता है। अंतराल पर (–∞; –3) और (2; +∞) – उत्तल।

असाइनमेंट के नमूने

कार्य क्रमांक 1.

फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट ढूंढें और ग्राफ़ बनाएं

समारोह ƒ (एक्स) सभी वास्तविक के लिए परिभाषित है एक्सऔर प्रत्येक संकेतित अंतराल पर निरंतर है: (-∞; -1), [-1; 0], (0, +∞). आइए फ़ंक्शन का अन्वेषण करें ƒ (एक्स) बिंदुओं पर निरंतरता के लिए एक्स= -1 और एक्स=0.

ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक बिंदु पर एकतरफा सीमाएँ पाएंगे।

चूँकि एकतरफा सीमाएँ अलग-अलग हैं एक्स = –1 – प्रथम प्रकार का असंततता बिंदु.

एकतरफ़ा सीमाएँ समान होती हैं, अर्थात् बिंदु x=0 पर फलन की एक सीमा होती है

आइए इस सीमा की तुलना बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से करें:

क्योंकि
में फिर x=0 पर फलन ƒ(x) सतत है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें (एक्स), मान लें कि

1)
– एक सीधी रेखा का समीकरण,

2)
– ऊपरी अर्धवृत्त का समीकरण
मूल बिंदु पर केंद्र और एकता के बराबर त्रिज्या, और शर्त के तहत -1 £ एक्स£ 0 समीकरण
एक चौथाई वृत्त को परिभाषित करता है.

3) के लिए एक्स > 0 ग्राफ़ समीकरण द्वारा दिया गया है
. हम समीकरण से ऑक्स अक्ष के साथ इस वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं
x > 0 के लिए. x= π एन, कहाँ एन =1, 2, 3, 4,

चावल। 2.

कार्य क्रमांक 2.

एक रेखा की स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए
उन बिंदुओं पर जहां एक्स=0 और एक्स=4. स्पर्शरेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए। एक चित्र बनाओ.

एक रेखा की स्पर्श रेखा का समीकरण y=˒(x)की तरह लगता है

कहाँ पर 0 =ƒ( एक्स 0).

बिंदु पर एक्स=0 पर(0)=˒(0)=5.

पर¢ =ƒ ¢ (एक्स)=एक्स–3 ˒¢ (0)= –3.

एम 1 (0, 5) का रूप है y- 5= –3(एक्स–0) या

आप= –3एक्स+5.

बिंदु पर एक्स=4 पर(4)=˒(4)=1. फू¢ (4)=4-3=1.

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण एम 2(4,1) का स्वरूप है y- 1=एक्स-4 या

y=x–3.

हम सिस्टम को हल करके स्पर्शरेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त करते हैं

चौराहे की जगह एम 3 (2, –1).

कोना φ स्पर्शरेखाओं के बीच हम सूत्र से पाते हैं:

,

कहाँ क 1 = –3; क 2 =1 – स्पर्श रेखाओं का कोणीय गुणांक.

.

कोना φ =आर्कटीजी 2.

आइए इस लाइन का निर्माण करें
- बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय एक्स=3, क्योंकि पर¢ =0 बजे एक्स=3. हम ढूंढ लेंगे
. डॉट एम 4 (3; ) परवलय का शीर्ष है।

आर

है। 3.

कार्य क्रमांक 3.

फ़ंक्शन का अन्वेषण करें
और इसकी साजिश रचें.

1. यह फलन एक बहुपद है (आप कोष्ठक खोल सकते हैं, हमें तीसरी डिग्री का बहुपद मिलता है), इसलिए यह किसी के लिए परिभाषित, निरंतर और अवकलनीय है एक्स.

2. आइए व्युत्पन्न खोजें।

.

Eq से. पर¢ =0 आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 3 एक्स·( एक्स–2)=0, एक्स 1 =0, एक्स 2 =2.

आइए उनका अन्वेषण करें।

एक्स

(–∞, 0)

(0; 2)

(2; +∞)

पर ¢

पर

3. तो, फ़ंक्शन अंतराल (-∞, 0) और (2, +∞) पर बढ़ता है, अंतराल (0; 2) पर घटता है, अधिकतम x=0 पर और न्यूनतम x=2 पर होता है:

पर अधिकतम = पर(0)=4; परमिनट = पर(2)=0.

4. आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें।

पर¢¢ = 6·( एक्स-1).

जहाँ वक्र उत्तल है पर¢¢ < 0, т. е. 6·(एक्स–1) < 0, एक्स < 1.

जहां वक्र अवतल है पर¢¢ > 0, यानी एक्स > 1.

अतः, अंतराल (-∞, 1) पर वक्र उत्तल है; और अंतराल (1, +∞) पर यह अवतल है।

5. हम समीकरण से विभक्ति बिंदु ज्ञात करते हैं पर¢¢ =0. इस प्रकार, एक्स=1 - विभक्ति बिंदु का भुज, क्योंकि यह बिंदु वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल को अलग करता है। विभक्ति बिंदु कोटि: पर(1)=2.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ पर=(एक्स+1)·( एक्स-2) 2 ऑक्स अक्ष पर प्रतिच्छेद करता है पर=0, अर्थात् कब एक्स= -1 और एक्स=2;

ओए अक्ष को पार करता है एक्स=0, अर्थात् कब पर=4. हमें तीन अंक मिले: (-1; 0), (2; 0), (0; 4)। हम सभी प्राप्त बिंदुओं को तालिका में दर्ज करेंगे, और उनके निकट वाले बिंदुओं को भी जोड़ देंगे।

–2

–1

–16

आर

है। 4 वक्र y=(x+1)(x–2) 2.

कार्य क्रमांक 1

हम आपके लिए ऐसे कार्य प्रस्तुत करते हैं जिनके एक, दो, तीन या अधिक सही उत्तर हो सकते हैं। सभी सही उत्तरों की संख्याओं पर गोला लगाएँ।

1. यदि
फिर फ़ंक्शन

1) बढ़ रहा है

2)घटना

3) स्थिर

2. यदि

1)बढ़ना

2)घटना

3. यदि
, फिर फ़ंक्शन

1)बढ़ना

2)घटना

4. यदि
, फिर फ़ंक्शन

1)बढ़ना 3)घटना

2) स्थिर 4) नीरस

5. कार्य
है

1) सम

2) यहां तक ​​कि नहीं

3) न तो सम और न ही विषम

4) आवधिक

5) आवधिक नहीं

6) त्रिकोणमिति

7) प्राथमिक

6. कार्य
है

1) सम

2) विषम

3) न तो सम और न ही विषम

4) आवधिक

5) आवधिक नहीं

6) त्रिकोणमितीय

7) प्राथमिक

2) वीयरस्ट्रैस 4) डिरिचलेट 6) लीबनिज़

8) समाधान
समीकरण

1) 0 3) 0 और 3 5) 2 7) 3

2) 2 और 3 4) 2 6) -5 और 1 8) 5 और 1

9) असमानता का समाधान

1) (; 1) 3) (; 1) 5) (-;1)

2) (1; 5) 4) (2; ) 6)

10) विधि
राशि मिल गयी है

1) वैक्टर

2) सीधा

3) खंड

11) यदि
, फिर फ़ंक्शन

1) अवतल 3) उत्तल 5) घटता हुआ

2) मोनोटोनिक 4) वृद्धिशील 6) स्थिर

12) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र बराबर है

1) (;0)

2) (0; )

3) (-;)

4) (0;1)

5)

6)

7) (-1;1)

8)

9)

13) समारोह
है

1) सांकेतिक

2) त्रिकोणमितीय

3) शक्ति

4) लघुगणक

14) यदि फलन y = एक्स तो वह है

1) सम

2) विषम

3) न तो सम और न ही विषम

15) कार्य
पर
है