Plokštuma – aprašomoji geometrija. Uždaviniai su plokštuma Pagrindinės linijos plokštumoje

Priklausomybės ženklai gerai žinomi iš planimetrijos kurso. Mūsų užduotis yra atsižvelgti į juos geometrinių objektų projekcijų atžvilgiu.

Taškas priklauso plokštumai, jei jis priklauso tiesei, esančiai šioje plokštumoje.

Priklausymas tiesiajai plokštumai nustatomas pagal vieną iš dviejų kriterijų:

a) tiesė eina per du šioje plokštumoje esančius taškus;

b) tiesė eina per tašką ir yra lygiagreti šioje plokštumoje esančioms tiesėms.

Naudodami šias savybes, kaip pavyzdį išspręskime problemą. Tegul plokštuma yra apibrėžta trikampiu ABC. Būtina sukurti trūkstamą projekciją D 1 taškas D priklausantis šiai plokštumai. Konstrukcijų seka tokia (2.5 pav.).

Per tašką D 2 mes atliekame tiesią projekciją d, guli lėktuve DABC, kertantis vieną iš trikampio kraštinių ir taško A 2. Tada taškas 1 2 priklauso tiesėms A 2 D 2 ir C 2 IN 2. Todėl galime gauti jo horizontalią projekciją 1 1 į C 1 IN 1 per ryšio liniją. Sujungimo taškai 1 1 ir A 1, gauname horizontalią projekciją d 1. Aišku, kad esmė D 1 priklauso jai ir yra ant projekcijos jungties su tašku linijos D 2 .

Problemos, kaip nustatyti, ar priklauso taškas, ar tiesi plokštuma, išsprendžiamos gana paprastai. Fig. 2.6 paveiksle parodyta tokių problemų sprendimo eiga. Siekiant aiškumo, plokštumą apibrėžiame trikampiu.

Ryžiai. 2.6. Uždaviniai nustatyti, ar taškas priklauso tiesei plokštumai.

Norint nustatyti, ar taškas priklauso E lėktuvas DABC, nubrėžkite tiesią liniją per jos priekinę projekciją E 2 A 2. Darant prielaidą, kad tiesė a priklauso plokštumai DABC, pastatykime jo horizontaliąją projekciją A 1 susikirtimo taškuose 1 ir 2. Kaip matome (2.6 pav., a), tiesūs A 1 nepereina per tašką E 1. Todėl taškas E ÏDABC.

Priklausymo linijai problema V trikampio plokštumos ABC(2.6 pav., b), pakanka naudoti vieną iš tiesių projekcijų V 2 pastatykite kitą V 1* atsižvelgiant į tai ВÌDAВС. Kaip matome, V 1* ir V 1 nesutampa. Todėl tiesiai Ë DABC.

Lygių linijos plokštumoje

Lygių linijų apibrėžimas buvo pateiktas anksčiau. Lygio linijos, priklausančios duotai plokštumai, vadinamos pagrindinis . Šios linijos (tiesios linijos) vaidina svarbų vaidmenį sprendžiant daugybę aprašomosios geometrijos problemų.

Panagrinėkime lygių linijų konstravimą trikampio apibrėžtoje plokštumoje (2.7 pav.).

Ryžiai. 2.7. Trikampiu apibrėžtos plokštumos pagrindinių tiesių konstravimas

Horizontali plokštuma DABC pradedame piešdami jo priekinę projekciją h 2, kuri, kaip žinoma, yra lygiagreti ašiai Oi. Kadangi ši horizontali linija priklauso šiai plokštumai, ji eina per du plokštumos taškus DABC, būtent taškai A ir 1. turintys priekines projekcijas A 2 ir 1 2, išilgai ryšio linijos gauname horizontalias projekcijas ( A 1 jau yra) 1 1 . Taškų sujungimas A 1 ir 1 1 , turime horizontalią projekciją h 1 horizontali plokštuma DABC. Profilio projekcija h 3 horizontalios plokštumos DABC bus lygiagreti ašiai Oi pagal apibrėžimą.

Priekinė plokštuma DABC yra sukonstruotas panašiai (2.7 pav.), tik tas skirtumas, kad jo brėžinys prasideda horizontalia projekcija f 1, nes žinoma, kad jis yra lygiagretus OX ašiai. Profilio projekcija f 3 frontai turi būti lygiagrečiai OZ ašiai ir pereiti per iškyšas SU 3, 2 3 tų pačių taškų SU ir 2.

Lėktuvo profilio linija DABC turi horizontalią r 1 ir priekyje r 2 projekcijos lygiagrečios ašims OY Ir OZ ir profilio projekcija r 3 galima gauti iš priekio naudojant susikirtimo taškus IN ir 3 s D ABC.

Priklauso tiesiajai plokštumai:

2) tiesė priklauso plokštumai, jei ji eina per tašką, priklausantį duotai plokštumai, ir yra lygiagreti kuriai nors šios plokštumos tiesei.

Iš šių dviejų priklausymo tiesiai plokštumai požymių galima padaryti tokias išvadas:

1) jei plokštuma pateikiama pėdsakais, tai linija priklauso plokštumai, jei linijos pėdsakai yra ant to paties pavadinimo pėdsakų plokštumoje;

2) tiesė priklauso plokštumai, jei ji turi bendrą tašką su vienu plokštumos pėdsaku ir yra lygiagreti kitam pėdsakui.

Apsvarstykite plokštumą Q bendroje padėtyje, apibrėžtą pėdsakais (17 pav.). Tiesi linija NM priklauso šiai plokštumai, nes jos pėdsakai yra ant to paties pavadinimo plokštumų pėdsakų.

18 paveiksle pavaizduota plokštuma, apibrėžta susikertančių tiesių t ir n. Norint sukurti tiesią liniją, esančią šioje plokštumoje, pakanka savavališkai nubrėžti vieną iš projekcijų, pavyzdžiui, horizontalią c1, ir tada suprojektuoti šios linijos susikirtimo taškus su plokštumos tiesiomis linijomis į priekinę plokštumą. Per gautus taškus eis priekinė tiesės c2 projekcija.

17 pav. 18 pav

Pagal antrąją padėtį tiesė h, priklausanti plokštumai P, yra nubrėžta 19 paveiksle - ji turi tašką N (N1, N2) bendrą su plokštuma P ir yra lygiagreti tiesei, kuri yra plokštumoje - horizontalus pėdsakas P1.

19 pav. 20 pav

Panagrinėkime konkrečios padėties plokštumas. Jei tiesė ar figūra priklauso horizontaliai projektuojančiai plokštumai (20 pav.), tai šių geometrinių elementų horizontalios projekcijos sutampa su horizontaliu plokštumos pėdsaku.

Jei tiesi arba plokščia figūra priklauso priekyje išsikišusiai plokštumai, tai šių geometrinių elementų priekinės projekcijos sutampa su priekiniu plokštumos pėdsaku.

Taško priklausymas plokštumai:

Taškas priklauso plokštumai, jei jis priklauso tiesei, esančiai šioje plokštumoje.

Pavyzdys: duota plokštuma P (a || b). Žinoma taško B, priklausančio plokštumai P, projekcija. Raskite taško B priekinę projekciją (21 pav.).

22, 23, 24 paveiksluose parodytas fragmentiškas šios problemos sprendimas:

1) nubrėžkite bet kurią tiesią liniją per B1 (žinoma taško B projekcija),

gulėti plokštumoje P - tam tiesė turi turėti du bendrus taškus su plokštuma. Juos pažymėkime brėžinyje – M1 ir K1;

2) sukonstruoti priekines šių taškų projekcijas pagal tai, ar taškai priklauso tiesėms, ty M2 tiesėje a, K2 tiesėje b. Nubrėžkime priekinę tiesės projekciją per priekines taškų projekcijas;

21 pav. 22 pav

kitų pristatymų santrauka

„Dvikampių kampų nustatymas“ – tiesi linija, nubrėžta tam tikroje plokštumoje. Meskime siją. Piramidės pagrindas. Dvikampiai kampai piramidėse. Užduotis. Taškas K. Problemų sprendimas. Apibrėžimas. Rombas. Statmenos plokštumos. Raskite dvikampį kampą. Pastatykime BK. Taškai M ir K yra ant skirtingų veidų. Taškas M yra vienoje iš dvikampio kampo, lygaus 30, paviršių. Apibrėžimas ir savybės. Linijinio kampo konstrukcija. Raskite kampą. Nubrėžkite statmeną.

„Pagrindinės stereometrijos aksiomos“ – pirmosios stereometrijos pamokos. Lėktuvas. Geometrija. Senovės kinų patarlė. Stereometrijos aksiomų išvados. Erdvinių figūrų vaizdai. Stereometrijos dalykas. Tiesios linijos taškai yra plokštumoje. Keturi lygiakraščiai trikampiai. Stereometrijos aksiomos. Išvados iš aksiomų. Aksioma. Cheopso piramidė. Lėktuvai turi bendrą tašką. Geometriniai kūnai. Pagrindinės figūros erdvėje. Šaltiniai ir nuorodos.

„Piramidės samprata“ – lygūs kampai. Šiuolaikinės pramonės įmonės modelis. Piramidės chemijoje. Piramidė geometrijoje. Keliaukite po pasaulį. Piramidės atkarpos plokštumose. Kelionės maršrutas. Projekcijos. Egipto piramidės. Piramidės pagrindas. Pjūvio pėdsakas. Šoninis šonkaulis. Teisinga piramidė. Virtuali kelionė į piramidžių pasaulį. Testo klausimai. Gretimi šoniniai veidai. Gizos stebuklai. Pakopinės piramidės. Daugiakampis.

„Dekarto sistema“ – Dekarto sistemos apibrėžimas. Koordinačių sistemos samprata. Bet kurio taško koordinatės. Dekarto koordinačių sistema. Stačiakampė koordinačių sistema. Dekarto koordinačių įvedimas erdvėje. Taško koordinatės. Renė Dekartas. Klausimai, kuriuos reikia užpildyti. Vektorinės koordinatės.

„Simetrijos gamtoje pavyzdžiai“ – diskreti simetrija. Simetrinio pasiskirstymo pavyzdžiai. Simetrija gamtoje. Išorinės kristalo formos simetrija. Cilindro simetrija. Simetrijos rūšys. Gamtos objektai. Kas yra simetrija. Simetrija yra pagrindinė gamtos savybė. Simetrija geografijoje. Simetrija biologijoje. Žmonės, daugelis gyvūnų ir augalų turi dvišalę simetriją. Simetrija geologijoje. Simetrija fizikoje.

„Lygiagretainės problemos“ – apskritimų centrai. Lygiagretainio perimetras. Lygiagretainio plotas. Segmentų lygybė. Aštrus kampas. Du apskritimai. Lygiagretainio savybė. Vidurinė linija. Kampai. Lygiagretainio ženklai. Kvadratas. Keturkampis. dalis. Trikampiai. Taškai. Apskritimo liestinė. Įrodymas. Lygiagretainio savybės. Lygiagretainio aukštis. Įstrižainė. Geometrija. Apskritimas. Lygiagretainio įstrižainės.

Apibrėžimas. Tiesė ir plokštuma vadinamos lygiagrečiomis, jei jos neturi bendrų taškų (a ||)

Lygiagretumo tarp tiesės ir plokštumos ženklas.

Teorema. Jei tiesė, kuri nėra tam tikroje plokštumoje, yra lygiagreti tam tikrai tiesei, kuri yra šioje plokštumoje, tada ji yra lygiagreti pačiai plokštumai.

Išvados.

Tiesės ir plokštumos santykinės padėties atvejai:

A) tiesė yra plokštumoje;
b) tiesė ir plokštuma turi tik vieną bendrą tašką;
c) tiesė ir plokštuma neturi vieno bendro taško.

Abipusio plokštumų išdėstymo atvejai:

Lygiagrečių plokštumų savybės:

Uždaviniai ir testai tema "3 tema. "Tiesės ir plokštumos lygiagretumas; plokštumų lygiagretumas“.

Plokštumų lygiagretumas
Pamokos: 1 Užduotys: 8 Testai: 1
Tiesių linijų, linijos ir plokštumos lygiagretumas - Tiesių ir plokštumų lygiagretumas, 10 klasė
Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai. Lygiagrečių tiesių aksioma - Lygiagrečios linijos 7 klasė
Pamokos: 2 Užduotys: 11 Testų: 1
Santykinė linijų padėtis erdvėje. Kampas tarp tiesių linijų - Tiesių ir plokštumų lygiagretumas, 10 klasė
Pamokos: 1 Užduotys: 9 Testai: 1
Tiesės ir plokštumos statmena - Tiesių ir plokštumų statmenumas, 10 klasė
Pamokos: 1 Užduotys: 10 Testų: 1

Tema „Stereometrijos aksiomos“ vaidina svarbų vaidmenį plėtojant erdvines koncepcijas, todėl stenkitės įtraukti daugiau modelių (kartono ir mezgimo adatų) ir brėžinių.

Tema „Paralelizmas erdvėje“ suteikia žinių apie tiesių ir plokštumų lygiagretumą erdvėje. Šioje medžiagoje apibendrinta informacija, žinoma iš planimetrijos apie tiesių lygiagretumą. Naudodamiesi teoremos apie tiesės, lygiagrečios duotajai, egzistavimo ir unikalumo pavyzdį, jūs suprantate, kad reikia iš naujo įrodyti planimetrijos pagrindu žinomus faktus tais atvejais, kai kalbame apie taškus ir linijas erdvėje. , o ne apie konkretų lėktuvą.

Įrodinėjimo uždaviniai daugeliu atvejų sprendžiami pagal analogiją su įrodinėjimo teoremomis. Norint išspręsti atkarpų ilgių skaičiavimo uždavinius, reikia pakartoti planimetrijos kursą: trikampių lygybė ir panašumas, apibrėžimai, stačiakampio, lygiagretainio, rombo, kvadrato, trapecijos savybės ir charakteristikos.

Taškas priklauso tiesei, jei jo projekcijos guli ant to paties pavadinimo projekcijų šioje tiesėje (21a pav.).

Taškas priklauso plokštumai, jei jis yra šioje plokštumoje esančioje tiesėje (21b pav.).

Tiesė priklauso plokštumai, jei eina per du šioje plokštumoje esančius taškus (21c pav.).

Tiesė yra lygiagreti plokštumai, jei ji lygiagreti bet kuriai toje plokštumoje esančiai tiesei. 22 paveiksle pavaizduota tiesė t, lygiagreti tiesei b, priklausančiai plokštumai Σ: t // b О Σ (aÇ b).

22 pav

Per bet kurį erdvės tašką galite nubrėžti begalinį skaičių linijų, lygiagrečių nurodytai plokštumai.

Tai užduotis nustatyti bendrą tiesės ir plokštumos tašką. Jis taip pat vadinamas susitikimo tašku. Panagrinėkime tiesės susikirtimą su tam tikros padėties plokštuma.

Plokštuma Σ yra apibrėžta trikampiu ABC ir yra horizontaliai išsikišusi plokštuma. Tiesės k susitikimo taškas su plokštuma Σ nustatomas pagal horizontaliąją projekciją. Priekinė taško K projekcija užbaigiama naudojant ryšio liniją. Simbolinis užrašas atrodys taip: k Ç Σ (ABC) = K.

Linijos matomumas plokštumos atžvilgiu nustatomas naudojant priekyje konkuruojančius 1 ir 2 taškus.

23 pav

Tiesės susikirtimas su bendra plokštuma parodytas 24 paveiksle. Šiuo atveju tiesę būtina aptverti projektavimo plokštumoje.

tО Σ ^ П 2 - tiesi linija t priklauso plokštumai Σ, kuri yra statmena horizontaliai projekcijų plokštumai. Šios plokštumos susikirtimo su šia linija linija yra (1, 2). Tada randamas šios linijos susikirtimo su tiesia taškas t, kuris bus tiesės ir plokštumos susitikimo taškas. Linijos matomumas plokštumos atžvilgiu nustatomas naudojant konkuruojančius taškus. Paimkime horizontaliai konkuruojančius taškus 3 ir 4. Kadangi taškas 3, priklausantis tiesei, pasirodė esantis žemesnis už tašką 4, todėl tiesė horizontalioje plokštumoje į dešinę nuo susikirtimo taško yra nematoma. Tada paimame frontaliai konkuruojančius taškus 1 ir 5. Plokštumai priklausantis taškas 1 yra arčiau, todėl tiesi linija yra už plokštumos ir yra nematoma frontalinėje projekcijoje nuo taško 1 iki taško K.

24 pav

Specialios tiesios linijos, priklausančios plokštumai, apima horizontalias, priekines ir profilines tiesias linijas. Šių linijų konstrukcija naudojama sprendžiant daugelį aprašomosios geometrijos problemų. Jų vaizdas pateiktas 25 pav. Be to, horizontalioje plokštumoje horizontalė turi natūralų dydį, frontalinėje plokštumoje - frontalinę, o profilio plokštumoje - profilio tiesią liniją.

25 pav