Lauko potencialas

Lauko potencialas

Lauko potencialas

lauko potencialai

Elektrinio lauko potencialas taškinis įkrovimas Q taške:

Įkrauto be galo ilgo cilindro laukas (sriegis)

Tegul lauką sukuria begalinis cilindras R spindulio paviršius, įkrautas pastoviu tiesiniu tankiu, kur d q– įkrova sutelkta į cilindro sekciją (2.14 pav.).

Iš simetrijos svarstymų išplaukia, kad E bet kuriame taške bus nukreiptas išilgai spindulio, statmenos cilindro ašiai.

Įsivaizduokite aplink cilindrą (siūlą) bendraašis uždaras paviršius ( cilindras cilindre) spindulys r ir ilgis l(cilindrų pagrindai statmeni ašiai). Cilindrų pagrindams šoniniam paviršiui t.y. priklauso nuo atstumo r.

Vadinasi, vektoriaus srautas per nagrinėjamą paviršių yra lygus

Kada paviršiuje bus krūvis Pagal Ostrogradskio-Gausso teoremą, vadinasi

.

(2.5.6)

Jei, nes Uždarojo paviršiaus viduje nėra krūvių (2.15 pav.).

Jei sumažinsime cilindro spindulį R(prie ), tada galima gauti labai didelio intensyvumo lauką šalia paviršiaus ir, esant , gauti siūlą.

27. Lauko potencialas, sukurtas tolygiai įkrautos begalinės plokštumos.

Lauko potencialas- tai lauko energijos charakteristika, kuri apibūdina potencialią energiją, kurią turėtų teigiamas vienetinis krūvis, esantis tam tikrame lauko taške.

Elektrinio potencialo vienetas yra voltas (V).

Lauko potencialas lygus krūvio potencinės energijos ir šio krūvio santykiui:

Lauko potencialas yra elektrinio lauko charakteristika ir, kaip skaliarinis dydis, gali įgyti teigiamas arba neigiamas reikšmes.

Skirtumas turi fizinę prasmę lauko potencialai, nes per jį išreiškiamas lauko jėgų darbas perkelti krūvį.

Vienodai įkrautos begalinės plokštumos laukas.

Įveskime paviršiaus krūvio tankio >0 sąvoką, skaitinį lygų krūviui ploto vienete:

Dėl erdvės homogeniškumo ir izotropijos tolygiai įkrautos begalinės plokštumos lauko linijos turi būti jai statmenos ir turėti vienodą tankį, atitinkantį lauko vienodumo apibrėžimą. E=konst. Kaip „patogų“ uždarą paviršių pasirenkame tiesų cilindrą, kurio šoninis paviršius yra lygiagretus jėgos linijoms (visur ant jo 0, todėl srautas per jį lygus 0), o galinius paviršius S sritis yra lygiagreti įkrautai plokštumai (taigi visur ant jų 1):

Vienodas lauko srautas E per abu jai statmenus galinius paviršius S tiesiog lygus E 2S, o krūvis, sutelktas į įkrauto paviršiaus plotą S, yra lygus S:

Paviršinio krūvio tankis savavališkoje plokštumoje su plotu S nustatoma pagal formulę:

kur d q– krūvis sutelktas į d sritį S; d S– fiziškai be galo mažas paviršiaus plotas.

Tegul σ visuose plokštumos taškuose S yra tas pats. Įkrauti q– teigiamas. Įtempimo kryptis visuose taškuose bus statmena plokštumai S(2.11 pav.).

Akivaizdu, kad taškuose, kurie yra simetriški plokštumos atžvilgiu, įtampa bus vienodo dydžio ir priešingos krypties.

Įsivaizduokime cilindrą, kurio generatricos statmenos plokštumai ir pagrindai Δ S, esantis simetriškai plokštumos atžvilgiu (2.12 pav.).

	Ryžiai. 2.11	Ryžiai. 2.12

Taikykime Ostrogradskio-Gauso teoremą. Srautas F E per cilindro paviršiaus šoną yra lygus nuliui, nes . Cilindro pagrindui

Bendras srautas per uždarą paviršių (cilindrą) bus lygus:

Paviršiaus viduje yra krūvis. Vadinasi, iš Ostrogradskio – Gauso teoremos gauname:

;

iš kurios matyti, kad plokštumos lauko stiprumas S yra lygus:

Elektrostatinis laukas turi svarbią savybę: elektrostatinio lauko jėgų darbas perkeliant krūvį iš vieno lauko taško į kitą nepriklauso nuo trajektorijos formos, o yra nulemtas tik pradžios ir pabaigos taškų padėties. ir krūvio dydį. Gravitacinis laukas taip pat turi panašią savybę, ir tai nenuostabu, nes gravitacinės ir Kulono jėgos apibūdinamos tais pačiais santykiais. Darbo nepriklausomumo nuo trajektorijos formos pasekmė yra toks teiginys: Elektrostatinio lauko jėgų darbas judant krūviui bet kuria uždara trajektorija yra lygus nuliui. Jėgos laukai, turintys šią savybę, vadinami potencialą arba konservatyvus q. Fig. 1.4.2 rodo taškinio krūvio Kulono lauko lauko linijas K Gautas rezultatas nepriklauso nuo trajektorijos formos. I ir II trajektorijose, parodytose fig. 1.4.2, Kulono jėgų darbas yra toks pat. Jei pakeisite krūvio judėjimo kryptį vienoje iš trajektorijų qį priešingą, tada darbas pakeis ženklą. Iš to išplaukia, kad uždaroje trajektorijoje Kulono jėgų darbas lygus nuliui. Jei elektrostatinį lauką sukuria taškinių krūvių rinkinys, tada bandomajam krūviui judant q Darbas Fig. 1.4.2 rodo taškinio krūvio Kulono lauko lauko linijas gautas laukas pagal superpozicijos principą susideda iš taškinių krūvių Kulono laukų darbo: Kadangi kiekvienas sumos narys nepriklauso nuo trajektorijos formos, tai bendras darbas Fig. 1.4.2 rodo taškinio krūvio Kulono lauko lauko linijas Gautas laukas nepriklauso nuo kelio ir yra nulemtas tik pradžios ir pabaigos taškų padėties. Elektrostatinio lauko potencialo savybė leidžia pristatyti sąvoką potenciali energija įkrauti elektriniame lauke. Tam erdvėje parenkamas tam tikras taškas (0) ir potenciali krūvio energija q, esantis šiame taške, yra lygus nuliui. Potencialaus krūvio energija q, esantis bet kuriame erdvės taške (1), fiksuoto taško (0) atžvilgiu yra lygus darbui Fig. 1.4.2 rodo taškinio krūvio Kulono lauko lauko linijas 10, kurį sukurs elektrostatinis laukas judinant krūvį q nuo 1 punkto iki 0 punkto: W p1 = Fig. 1.4.2 rodo taškinio krūvio Kulono lauko lauko linijas 10 . (Elektrostatikoje energija paprastai žymima raide W, nuo laiško Ežymi lauko stiprumą.) Kaip ir mechanikoje, potenciali energija nustatoma iki pastovios vertės, priklausomai nuo pasirinkto atskaitos taško (0). Toks potencialios energijos apibrėžimo dviprasmiškumas nesukelia jokių nesusipratimų, nes fizinė reikšmė yra ne pati potenciali energija, o jos verčių skirtumas dviejuose erdvės taškuose. Mums svarbi Jūsų nuomonė! Ar publikuota medžiaga buvo naudinga? Taip | Nr IEŠKA SVETAINĖS:

Begalinė plokštuma, įkrauta paviršiaus krūvio tankiu: begalinės plokštumos sukuriamam elektrinio lauko stiprumui apskaičiuoti erdvėje pasirenkame cilindrą, kurio ašis statmena įkrautai plokštumai, o pagrindai lygiagrečios jai, o vienas bazių eina per mus dominantį lauko tašką. Pagal Gauso teoremą elektrinio lauko stiprumo vektoriaus srautas per uždarą paviršių yra lygus:

Ф=, kita vertus, tai taip pat: Ф=E

Sulyginkime dešiniąsias lygčių puses:

Išreikškime = - per paviršiaus krūvio tankį ir suraskime elektrinio lauko stiprumą:

Raskime elektrinio lauko stiprumą tarp priešingai įkrautų plokščių, kurių paviršiaus tankis yra toks pat:

(3)

Raskime lauką už plokščių:

; ; (4)

Įkrautos sferos lauko stipris

(1)

Ф= (2) Gauso taškas

už r< R

; , nes (sferoje nėra mokesčių)

Jei r = R

( ; ; )

Skirta r > R

Lauko stiprumas, kurį sukuria rutulys, vienodai įkraunamas visame tūryje

Tūrinio įkrovimo tankis,

paskirstytas per kamuolį:

Dėl r< R

( ; Ф= )

Jei r = R

Skirta r > R

ELEKTROSTATINIO LAUKO DARBAS, KURIAME JUDINTI

Elektrostatinis laukas- el stacionaraus krūvio laukas.
Fel, veikdamas pagal užtaisą, jį judina, atlikdamas darbą.
Tolygiame elektriniame lauke Fel = qE yra pastovi reikšmė

Darbo laukas (el. jėga) nepriklauso ant trajektorijos formos ir ant uždaros trajektorijos = nulis.

Jei taškinio krūvio Q elektrostatiniame lauke kitas taškinis krūvis Q 0 juda iš taško 1 į tašką 2 bet kuria trajektorija (1 pav.), tai jėga, kuri veikia krūvį, šiek tiek veikia. Jėga F atliktas darbas elementariame poslinkyje dl lygus Kadangi d l/cosα=dr, tada Darbas perkeliant krūvį Q 0 iš taško 1 į tašką 2 (1) nepriklauso nuo judėjimo trajektorijos, o yra nulemtas tik pradinio 1 ir galutinio 2 taškų padėties. Tai reiškia, kad taškinio krūvio elektrostatinis laukas yra potencialus, o elektrostatinės jėgos yra konservatyvios. Iš (1) formulės aišku, kad darbas, kuris atliekamas, kai elektros krūvis juda išoriniame elektrostatiniame lauke savavališku uždaru keliu L. yra lygus nuliui, t.y. (2) Jei vieną tašką teigiamą krūvį laikysime elektrostatiniame lauke judančiu krūviu, tai elementarus lauko jėgų darbas išilgai kelio dl yra lygus Edl = E l d l, kur E l= Ecosα – vektoriaus E projekcija į elementariojo poslinkio kryptį. Tada (2) formulė gali būti pavaizduota kaip (3) Integralas vadinama įtempimo vektoriaus cirkuliacija. Tai reiškia, kad elektrostatinio lauko stiprumo vektoriaus cirkuliacija išilgai bet kurio uždaro kontūro yra lygi nuliui. Jėgos laukas, turintis savybę (3), vadinamas potencialu. Iš to, kad vektoriaus E cirkuliacija lygi nuliui, išplaukia, kad elektrostatinio lauko stiprumo linijos negali būti uždarytos, jos būtinai prasideda ir baigiasi krūviais (teigiamais ar neigiamais) arba eina į begalybę. Formulė (3) galioja tik elektrostatiniam laukui. Vėliau bus parodyta, kad judančių krūvių lauko atveju (3) sąlyga nėra teisinga (jai intensyvumo vektoriaus cirkuliacija yra nulinė).

Elektrostatinio lauko cirkuliacijos teorema.

Kadangi elektrostatinis laukas yra centrinis, jėgos, veikiančios krūvį tokiame lauke, yra konservatyvios. Kadangi tai reiškia elementarų darbą, kurį lauko jėgos sukuria vienetiniu krūviu, konservatyviųjų jėgų darbas uždaroje kilpoje yra lygus

Potencialas

Sistema „krūvis – elektrostatinis laukas“ arba „krūvis – krūvis“ turi potencialią energiją, kaip ir „gravitacinio lauko – kūno“ sistema turi potencialią energiją.

Vadinamas fizikinis skaliarinis dydis, apibūdinantis lauko energetinę būseną potencialą duotas taškas lauke. Krūvis q yra patalpintas į lauką, jo potencinė energija W. Potencialas yra elektrostatinio lauko charakteristika.

Prisiminkime potencialią energiją mechanikoje. Potenciali energija lygi nuliui, kai kūnas yra ant žemės. O kai kūnas pakeliamas iki tam tikro aukščio, sakoma, kad kūnas turi potencinę energiją.

Kalbant apie potencialią energiją elektroje, nėra nulinio potencialios energijos lygio. Jis pasirenkamas atsitiktinai. Todėl potencialas yra santykinis fizinis dydis.

Potencialaus lauko energija – tai darbas, kurį atlieka elektrostatinė jėga, perkeliant krūvį iš tam tikro lauko taško į nulinio potencialo tašką.

Panagrinėkime ypatingą atvejį, kai elektrostatinį lauką sukuria elektros krūvis Q. Norint ištirti tokio lauko potencialą, nereikia įvesti į jį krūvio q. Galite apskaičiuoti bet kurio tokio lauko taško, esančio atstumu r nuo krūvio Q, potencialą.

Terpės dielektrinė konstanta turi žinomą reikšmę (lentelė) ir apibūdina terpę, kurioje yra laukas. Orui tai lygu vienybei.

Potencialus skirtumas

Lauko atliktas darbas perkeliant krūvį iš vieno taško į kitą vadinamas potencialų skirtumu

Ši formulė gali būti pateikta kita forma

Superpozicijos principas

Kelių krūvių sukuriamo lauko potencialas lygus algebrinei (atsižvelgiant į potencialo ženklą) kiekvieno lauko laukų potencialų sumai atskirai

Tai yra stacionarių taškinių krūvių sistemos energija, pavienio įkrauto laidininko energija ir įkrauto kondensatoriaus energija.

Jei yra dviejų įkrautų laidininkų (kondensatoriaus) sistema, tai bendra sistemos energija yra lygi savų potencialių laidininkų energijų ir jų sąveikos energijos sumai:

Elektrostatinio lauko energija taškinių mokesčių sistema yra lygi:

Vienodai įkrautas lėktuvas.
Elektrinio lauko stiprumą, kurį sukuria begalinė plokštuma, įkrauta paviršiaus krūvio tankiu, galima apskaičiuoti naudojant Gauso teoremą.

Iš simetrijos sąlygų išplaukia, kad vektorius E visur statmenai plokštumai. Be to, taškuose, simetriškuose plokštumos atžvilgiu, vektorius E bus vienodo dydžio ir priešingos krypties.
Kaip uždarą paviršių pasirenkame cilindrą, kurio ašis yra statmena plokštumai, o pagrindai yra simetriškai plokštumos atžvilgiu, kaip parodyta paveikslėlyje.
Kadangi įtempimo linijos yra lygiagrečios cilindro šoninio paviršiaus generatrams, srautas per šoninį paviršių yra lygus nuliui. Todėl vektoriaus srautas E per cilindro paviršių

,

kur yra cilindro pagrindo plotas. Cilindras nupjauna užtaisą iš plokštumos. Jei plokštuma yra vienalytėje izotropinėje terpėje su santykine dielektrine konstanta, tada

Kai lauko stiprumas nepriklauso nuo atstumo tarp plokštumų, toks laukas vadinamas vienodu. Priklausomybės grafikas E (x) lėktuvui.

Galimas skirtumas tarp dviejų taškų, esančių atstumu R 1 ir R 2 iš įkrautos plokštumos yra lygus

2 pavyzdys. Dvi vienodai įkrautos plokštumos.
Apskaičiuokime dviejų begalinių plokštumų sukuriamą elektrinio lauko stiprumą. Elektros krūvis pasiskirsto tolygiai pagal paviršiaus tankį ir . Lauko stiprumą randame kaip kiekvienos plokštumos lauko stiprių superpoziciją. Elektrinis laukas lygus nuliui tik erdvėje tarp plokštumų ir lygus .

Galimas skirtumas tarp plokštumų , Kur d- atstumas tarp plokštumų.
Gauti rezultatai gali būti naudojami apytiksliai apskaičiuoti baigtinių matmenų plokščių plokščių sukuriamus laukus, jei atstumai tarp jų yra daug mažesni už jų linijinius matmenis. Pastebimos tokių skaičiavimų klaidos atsiranda svarstant laukus šalia plokščių kraštų. Priklausomybės grafikas E (x) dviem lėktuvams.

3 pavyzdys. Plonas įkrautas strypas.
Norint apskaičiuoti elektrinio lauko stiprumą, kurį sukuria labai ilgas strypas, įkrautas tiesiniu krūvio tankiu, naudojame Gauso teoremą.
Pakankamai dideliais atstumais nuo strypo galų elektrinio lauko intensyvumo linijos nukreiptos radialiai nuo strypo ašies ir yra statmenose šiai ašiai plokštumose. Visuose taškuose, esančiuose vienodu atstumu nuo strypo ašies, skaitinės įtempimo vertės yra vienodos, jei strypas yra vienalytėje izotropinėje terpėje su santykiniu dielektriku.
pralaidumas

Apskaičiuoti lauko stiprumą savavališkame taške, esančiame per atstumą r nuo strypo ašies per šį tašką nubrėžkite cilindrinį paviršių
(žr. paveikslėlį). Šio cilindro spindulys yra r, ir jo aukštis h.
Įtempimo vektoriaus srautai per viršutinį ir apatinį cilindro pagrindą bus lygūs nuliui, nes jėgos linijos neturi komponentų, normalių šių pagrindų paviršiams. Visuose cilindro šoninio paviršiaus taškuose
E= konst.
Todėl visas vektoriaus srautas E per cilindro paviršių bus lygus

,

Pagal Gauso teoremą vektoriaus srautas E lygi elektrinių krūvių, esančių paviršiaus (šiuo atveju cilindro) viduje, algebrinei sumai, padalytai iš terpės elektrinės konstantos ir santykinės dielektrinės konstantos sandaugos

kur yra tos strypo dalies, esančios cilindro viduje, krūvis. Todėl elektrinio lauko stiprumas

Elektrinio lauko potencialų skirtumas tarp dviejų taškų, esančių atstumu R 1 ir R 2 nuo strypo ašies, randame naudojant ryšį tarp elektrinio lauko intensyvumo ir potencialo. Kadangi lauko stiprumas keičiasi tik radialine kryptimi, tai

4 pavyzdys. Įkrautas sferinis paviršius.
Elektrinis laukas, kurį sukuria sferinis paviršius, ant kurio tolygiai pasiskirsto paviršiaus tankio elektrinis krūvis, yra centre simetriškas.

Įtempimo linijos nukreiptos išilgai spindulių nuo sferos centro ir vektoriaus dydžio E priklauso tik nuo atstumo r nuo sferos centro. Norėdami apskaičiuoti lauką, pasirenkame uždarą spindulio sferinį paviršių r.
Kai r o E = 0.
Lauko stiprumas lygus nuliui, nes sferos viduje nėra krūvio.
Jei r > R (už sferos ribų), pagal Gauso teoremą

,

kur yra sferą supančios terpės santykinė dielektrinė konstanta.

.

Intensyvumas mažėja pagal tą patį dėsnį, kaip ir taškinio krūvio lauko stiprumas, t.y. pagal dėsnį.
Kai r o .
R > R (už sferos ribų) .
Priklausomybės grafikas E (r) sferai.

5 pavyzdys. Tūriu įkrautas dielektrinis rutulys.
Jei rutulys turi spindulį R pagamintas iš homogeninio izotropinio dielektriko, kurio santykinis pralaidumas yra tolygiai įkraunamas visame tūryje tankiu , tada jo sukuriamas elektrinis laukas taip pat yra simetriškas.
Kaip ir ankstesniu atveju, vektoriaus srautui apskaičiuoti pasirenkame uždarą paviršių E koncentrinio rutulio pavidalu, kurio spindulys r gali skirtis nuo 0 iki .
At r < R vektoriaus srautas E per šį paviršių bus nustatytas krūvis

Taigi

At r < R(rutulio viduje) .
Rutulio viduje įtampa didėja tiesiogiai proporcingai atstumui nuo rutulio centro. Už kamuolio ribų (at r > R) terpėje su dielektrine konstanta , srauto vektoriumi E per paviršių lems krūvis.
Kai r o > R o (už kamuolio ribų) .
Ties „rutulio – aplinkos“ riba staigiai keičiasi elektrinio lauko stiprumas, kurio dydis priklauso nuo rutulio ir aplinkos dielektrinių konstantų santykio. Priklausomybės grafikas E (r) kamuoliui ().

Už kamuolio ( r > R) elektrinio lauko potencialas kinta pagal dėsnį

.

rutulio viduje ( r < R) potencialas apibūdinamas išraiška

Pabaigoje pateikiame įvairių formų įkrautų kūnų lauko stiprių skaičiavimo išraiškas

Potencialus skirtumas
Įtampa- potencialių verčių skirtumas pradiniame ir galutiniame trajektorijos taškuose. Įtampa yra skaitine prasme lygus elektrostatinio lauko darbui, kai vienetinis teigiamas krūvis juda šio lauko jėgos linijomis. Potencialų skirtumas (įtampa) nepriklauso nuo pasirinkimo koordinačių sistemos!
Potencialų skirtumo vienetas Įtampa yra 1 V, jei, judant 1 C teigiamą krūvį jėgos linijomis, laukas atlieka 1 J darbą.

Dirigentas- tai kietas kūnas, kuriame kūne juda „laisvieji elektronai“.

Metaliniai laidininkai paprastai yra neutralūs: juose yra vienodas neigiamų ir teigiamų krūvių kiekis. Teigiamai įkrauti yra jonai kristalinės gardelės mazguose, neigiami - elektronai, laisvai judantys išilgai laidininko. Kai laidininkui suteikiamas perteklinis elektronų kiekis, jis įkraunamas neigiamai, tačiau jei iš laidininko „paimamas“ tam tikras elektronų skaičius, jis įkraunamas teigiamai.

Perteklinis krūvis paskirstomas tik per išorinį laidininko paviršių.

1 . Lauko stipris bet kuriame laidininko taške yra lygus nuliui.

2 . Laidininko paviršiuje esantis vektorius nukreiptas normaliai į kiekvieną laidininko paviršiaus tašką.

Iš to, kad laidininko paviršius yra ekvipotencialus, išplaukia, kad tiesiai ant šio paviršiaus laukas kiekviename taške yra nukreiptas jam normaliai (sąlyga 2 ). Jei taip nebūtų, tada, veikiant tangentiniam komponentui, krūviai pradėtų judėti laidininko paviršiumi. tie. laidininko krūvių pusiausvyra būtų neįmanoma.

Nuo 1 iš to seka, kad nuo

Laidininko viduje nėra perteklinių krūvių.

Krūviai paskirstomi tik tam tikro tankio laidininko paviršiuje s ir yra išsidėstę labai ploname paviršiniame sluoksnyje (jo storis yra maždaug vienas ar du tarpatominiai atstumai).

Įkrovimo tankis- tai krūvio kiekis, tenkantis ilgio, ploto ar tūrio vienetui, taip nustatant tiesinį, paviršinį ir tūrinį krūvio tankį, kuris matuojamas SI sistemoje: kulonais metrui [C/m], kulonais kvadratiniam metrui [ C/m² ] ir kulonais atitinkamai kubiniam metrui [C/m³]. Skirtingai nuo materijos tankio, krūvio tankis gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, taip yra dėl to, kad yra teigiamų ir neigiamų krūvių.

Bendra elektrostatikos problema

Įtempimo vektorius,

pagal Gauso teoremą

- Puasono lygtis.

Tuo atveju, kai tarp laidininkų nėra krūvių, gauname

- Laplaso lygtis.

Tegu žinomos ribinės sąlygos ant laidininkų paviršių: reikšmės ; tada ši problema turi unikalų sprendimą pagal unikalumo teorema.

Sprendžiant uždavinį, nustatoma reikšmė ir tada laukas tarp laidininkų nustatomas pagal krūvių pasiskirstymą ant laidininkų (pagal įtampos vektorių paviršiuje).

Pažiūrėkime į pavyzdį. Raskime įtampą tuščioje laidininko ertmėje.

Potencialas ertmėje atitinka Laplaso lygtį;

potencialas ant laidininko sienelių.

Laplaso lygties sprendimas šiuo atveju yra trivialus, o pagal unikalumo teoremą kitų sprendinių nėra

, t.y. laidininko ertmėje nėra lauko.

Puasono lygtis yra elipsinė dalinė diferencialinė lygtis, kuri, be kita ko, apibūdina

· elektrostatinis laukas,

· stacionarus temperatūros laukas,

· slėgio laukas,

· greičio potencialo laukas hidrodinamikoje.

Jis pavadintas garsaus prancūzų fiziko ir matematiko Simeono Deniso Puasono vardu.

Ši lygtis atrodo taip:

kur yra Laplaso operatorius arba Laplasas ir yra tikroji arba sudėtinga tam tikro kolektoriaus funkcija.

Trimatėje Dekarto koordinačių sistemoje lygtis yra tokia:

Dekarto koordinačių sistemoje Laplaso operatorius rašomas tokia forma, o Puasono lygtis yra tokia:

Jeigu f linkusi į nulį, tada Puasono lygtis virsta Laplaso lygtimi (Laplaso lygtis yra ypatingas Puasono lygties atvejis):

Puasono lygtis gali būti išspręsta naudojant Greeno funkciją; žr., pavyzdžiui, straipsnį Screened Puasono lygtis. Skaitmeniniams sprendimams gauti yra įvairių būdų. Pavyzdžiui, naudojamas iteracinis algoritmas - „atsipalaidavimo metodas“.

Laikysime pavienį laidininką, t. y. laidininką, gerokai nutolusį nuo kitų laidininkų, kūnų ir krūvių. Jo potencialas, kaip žinoma, yra tiesiogiai proporcingas laidininko krūviui. Iš patirties žinoma, kad skirtingi laidininkai, nors ir vienodai įkrauti, turi skirtingą potencialą. Todėl atskiram laidininkui galime parašyti Kiekis (1) vadinamas atskiro laidininko elektrine talpa (arba tiesiog talpa). Izoliuoto laidininko talpą lemia krūvis, kurio susisiekimas su laidininku pakeičia jo potencialą vienu. Vieno laidininko talpa priklauso nuo jo dydžio ir formos, bet nepriklauso nuo laidininko viduje esančių ertmių medžiagos, formos ir dydžio, taip pat nuo jo agregacijos būklės. Taip yra dėl to, kad pertekliniai krūviai pasiskirsto ant išorinio laidininko paviršiaus. Talpa taip pat nepriklauso nuo laidininko krūvio ar jo potencialo. Elektrinės talpos vienetas yra faradas (F): 1 F – tokio izoliuoto laidininko, kurio potencialas pakinta 1 V, kai jam perduodamas 1 C krūvis. Pagal taškinio krūvio potencialo formulę pavienio R spindulio rutulio, esančio homogeninėje terpėje, kurios dielektrinė konstanta ε, potencialas yra lygus Taikant (1) formulę, gauname, kad rutulys (2) Iš to išplaukia, kad pavienio kamuoliuko talpa būtų 1 F, esantis vakuume ir kurio spindulys R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, kuris yra maždaug 1400 kartų didesnis nei Žemės spindulys (Žemės elektrinė talpa C≈0,7 mF). Vadinasi, faradas yra gana didelė reikšmė, todėl praktikoje naudojami keli vienetai – milifaradas (mF), mikrofaradas (μF), nanofaradas (nF), pikofaradas (pF). Iš (2) formulės taip pat išplaukia, kad elektrinės konstantos ε 0 vienetas yra faradas vienam metrui (F/m) (žr. (78.3)).

Kondensatorius(nuo lat. kondensatas- „kompaktiškas“, „sustorintas“ - dviejų gnybtų tinklas, turintis tam tikrą talpos vertę ir mažą ominį laidumą; prietaisas elektrinio lauko krūviui ir energijai kaupti. Kondensatorius yra pasyvus elektroninis komponentas. Paprastai susideda iš dviejų plokštelės formos elektrodų (vadinamų pamušalai), atskirtas dielektriku, kurio storis yra mažas, palyginti su plokščių dydžiu.

Talpa

Pagrindinė kondensatoriaus savybė yra jo talpa, apibūdinantis kondensatoriaus gebėjimą kaupti elektros krūvį. Kondensatoriaus žymėjimas rodo vardinės talpos vertę, o tikroji talpa gali labai skirtis priklausomai nuo daugelio veiksnių. Tikroji kondensatoriaus talpa lemia jo elektrines savybes. Taigi, pagal talpos apibrėžimą, plokštės įkrova yra proporcinga įtampai tarp plokščių ( q = CU). Tipinės talpos vertės svyruoja nuo pikofaradų vienetų iki tūkstančių mikrofaradų. Tačiau yra kondensatorių (jonistorių), kurių talpa iki dešimčių faradų.

Lygiagrečios plokštės kondensatoriaus, susidedančio iš dviejų lygiagrečių metalinių plokščių su plotu, talpa S kiekvienas yra per atstumą d viena nuo kitos, SI sistemoje išreiškiama formule: , kur santykinė terpės, užpildančios erdvę tarp plokščių, dielektrinė konstanta (vakuume, lygi vienetui), yra elektrinė konstanta, skaitinė lygi 8,854187817·10 −12 F/m. Ši formulė galioja tik tada, kai d daug mažesnis už linijinius plokščių matmenis.

Norint gauti dideles talpas, kondensatoriai jungiami lygiagrečiai. Šiuo atveju įtampa tarp visų kondensatorių plokščių yra vienoda. Bendra akumuliatoriaus talpa lygiagrečiai prijungtų kondensatorių yra lygus visų baterijoje esančių kondensatorių talpų sumai.

Jei visi lygiagrečiai sujungti kondensatoriai turi vienodą atstumą tarp plokščių ir vienodas dielektrines savybes, tai šie kondensatoriai gali būti pavaizduoti kaip vienas didelis kondensatorius, padalintas į mažesnio ploto fragmentus.

Kai kondensatoriai jungiami nuosekliai, visų kondensatorių įkrovimai yra vienodi, nes jie tiekiami iš maitinimo šaltinio tik į išorinius elektrodus, o ant vidinių elektrodų jie gaunami tik dėl krūvių, kurie anksčiau neutralizavo vienas kitą, atskyrimo. . Bendra akumuliatoriaus talpa nuosekliai prijungti kondensatoriai yra lygūs

Arba

Ši talpa visada yra mažesnė už minimalią akumuliatoriaus kondensatoriaus talpą. Tačiau naudojant nuoseklųjį ryšį sumažėja kondensatorių gedimo galimybė, nes kiekvienas kondensatorius sudaro tik dalį įtampos šaltinio potencialų skirtumo.

Jei visų nuosekliai sujungtų kondensatorių plokščių plotas yra vienodas, tada šie kondensatoriai gali būti pavaizduoti kaip vienas didelis kondensatorius, tarp kurio plokščių yra visų jį sudarančių kondensatorių dielektrinių plokščių krūva.

[taisyti] Specifinis pajėgumas

Kondensatoriams taip pat būdinga specifinė talpa – talpos ir dielektriko tūrio (arba masės) santykis. Didžiausia specifinės talpos vertė pasiekiama esant minimaliam dielektriko storiui, tačiau tuo pačiu sumažėja jo gedimo įtampa.

Naudojamos įvairios elektros grandinės kondensatorių prijungimo būdai. Kondensatorių pajungimas gali būti gaminami: nuosekliai, lygiagrečiai Ir serija-lygiagreti(pastarasis kartais vadinamas mišriu kondensatorių jungtimi). Esami kondensatorių jungčių tipai parodyti 1 paveiksle.

1 pav. Kondensatorių pajungimo būdai.

Židkevičius V.I. Elektrinis plokštumos laukas // Fizika: skaičiavimo problemos. - 2009. - Nr. 6. - P. 19-23.

Elektrostatikos problemas galima suskirstyti į dvi grupes: problemas dėl taškinių krūvių ir problemas dėl įkrautų kūnų, kurių dydžių negalima ignoruoti.

Elektrinių laukų ir taškinių krūvių sąveikos skaičiavimo uždavinių sprendimas pagrįstas Kulono dėsnio taikymu ir nesukelia ypatingų sunkumų. Sunkiau nustatyti baigtinių dydžių įkrautų kūnų: rutulio, cilindro, plokštumos lauko stiprumą ir sąveiką. Skaičiuojant įvairių konfigūracijų elektrostatinių laukų stiprumą, reikėtų pabrėžti superpozicijos principo svarbą ir pasinaudoti, kai atsižvelgiama į laukus, kuriuos sukuria ne tik taškiniai, bet ir paviršiuje bei tūryje pasiskirstę krūviai. Svarstant lauko poveikį krūviui, formulė F=qE bendruoju atveju jis galioja taškinio krūvio kūnams ir tik vienodame lauke taikomas bet kokio dydžio ir formos kūnams, turintiems krūvį q.

Kondensatoriaus elektrinis laukas susidaro dėl dviejų kiekvienos plokštės sukurtų laukų superpozicijos.

Plokščiame kondensatoriuje viena plokštė gali būti laikoma korpusu su įkrovimuq 1patalpintas į elektrinį intensyvumo lauką E 2, sukurta kita plokštele.

Panagrinėkime keletą problemų.

1. Begalinė plokštuma įkraunama paviršiaus tankiu σ >0. Raskite lauko stiprumą E ir potencialas ϕ abiejose plokštumos pusėse, atsižvelgiant į plokštumos potencialą, lygų nuliui. Sukurkite priklausomybės grafikus E(x), ϕ (X). x ašis statmenai plokštumai, taškas x=0 yra plokštumoje.

Sprendimas. Begalinės plokštumos elektrinis laukas yra tolygus ir simetriškas plokštumos atžvilgiu. Joįtampa tarp vienodo elektrostatinio lauko dviejų taškų intensyvumas ir potencialų skirtumas išreiškiamas formule kur x - atstumas tarp taškų, matuojamas išilgai lauko linijos. Tada ϕ 2 = ϕ 1 - Pvz. Prie x<0 при х>0 Priklausomybės E(x) ir ϕ (x) pateikti 1 paveiksle.

2. Dvi plokštumos lygiagrečios plonos plokštės, esančios nedideliu atstumu d vienas nuo kito, tolygiai įkrauti paviršiaus tankio krūviuσ 1 ir σ 2. Raskite lauko stiprius taškuose, esančiuose tarp plokščių ir išorėje. Nubraižykite įtampos priklausomybę E(x) ir potencialas ϕ (x), skaičiuojant ϕ (0) = 0. Apsvarstykite atvejus, kai: a)σ 1 = -σ 2;

Sprendimas. b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 = 3 σ 2 -

Kadangi atstumas tarp plokščių yra mažas, jas galima laikyti begalinėmis plokštumomis. Teigiamo krūvio plokštumos lauko stipris lygus ir režisavo

iš jos; neigiamo krūvio plokštumos lauko stiprumas nukreiptas į ją.

Pagal superpozicijos principą laukas bet kuriame nagrinėjamame taške bus kuriamas pagal kiekvieną krūvį atskirai. a) Dviejų plokštumų, įkrautų vienodo ir priešingo ženklo krūviais (plokščiasis kondensatorius), laukai sumuojasi srityje tarp plokštumų ir panaikina vienas kitą išorinėse srityse (2 pav.

At A).<0 E= 0, ϕ X =0; 0 val d E= 0, grafikaiįtampos ir potencialo priklausomybė nuo atstumo X parodytos 2 paveiksle,

b, c.

Jei plokštumos yra baigtinių matmenų, tai laukas tarp plokštumų nebus griežtai vienodas, o laukas už plokštumų nebus tiksliai nulis. b) Plokštumų laukai, įkrauti krūviais, kurių dydis ir ženklas ( σ 1 = σ 2), kompensuoja vienas kitą tarp plokštumų ir sumuoja išorinėse srityse (3 pav.,<0 при 0A). Prie x

d Naudojant grafiką E(x) ϕ (3 pav., b), sudarykime kokybinį priklausomybės grafiką

(x) (3 pav., c). c) Jei σ 1 = σ

2, tada, atsižvelgdami į laukų kryptis ir pasirinkę kryptį į dešinę kaip teigiamą, randame:

3. Įtempimo E priklausomybė nuo atstumo parodyta 4 pav. Ant vienos iš plokščio kondensatoriaus, kurio talpa, plokščių SUq 1=+3q yra mokestis , ir iš kitos pusės =+ q 2 q.

Sprendimas. Nustatykite potencialų skirtumą tarp kondensatoriaus plokščių. 1-as metodas. Leiskite kondensatoriaus plokštės plotui S, ir atstumas tarp jų d. Laukas kondensatoriaus viduje yra vienodas, todėl potencialų skirtumą (įtampą) per kondensatorių galima nustatyti pagal formulę U=E*d, kur E

- lauko stiprumas kondensatoriaus viduje. kur E 1, E 2

- kondensatoriaus plokščių sukuriamas lauko stiprumas.

Tada 2-as metodas. Pridėkite mokestį prie kiekvienos plokštės Tada plokštės kondensuojamos + q satora turės mokesčių ir -q. Kondensatoriaus viduje esančių plokščių identiškų krūvių laukai vienas kitą panaikina. Papildomi krūviai nepakeitė lauko tarp plokščių, taigi ir potencialų skirtumo q/C .

4. Į tarpą tarp neįkrauto plokščio kondensatoriaus plokščių įkišama plona metalinė plokštelė su krūviu +. q. Nustatykite potencialų skirtumą tarp kondensatoriaus plokščių.

Sprendimas. Kadangi kondensatorius nėra įkrautas, elektrinį lauką sukuria tik plokštė, turinti krūvį q (5 pav.). Šis laukas yra vienodas, simetriškas plokštės ir jo intensyvumo atžvilgiuTegul metalinės plokštės potencialas yra ϕ . Tada plokščių potencialai A Ir IN kondensatoriai bus lygūs ϕ- ϕ A = ϕ El 1; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Potencialų skirtumas tarp kondensatorių plokščiųJei plokštė yra tokiu pat atstumu nuo kondensatoriaus plokščių, tada potencialų skirtumas tarp plokščių yra lygus nuliui.

5. Vienodame intensyvumo elektriniame lauke E 0 įkrauta metalinė plokštė dedama statmenai jėgos linijoms su krūvio tankiu kiekvienos plokštės pusės paviršiuje σ (6 pav.). Nustatykite lauko stiprumą E" plokštės viduje ir išorėje bei paviršiaus krūvio tankisσ 1 ir σ 2 , kuris bus rodomas kairėje ir dešinėje plokštės pusėse.

Sprendimas. Plokštelės viduje esantis laukas yra lygus nuliui ir yra trijų laukų superpozicija: išorinis laukas E 0, kairėje plokštės pusėje esančių krūvių sukuriamas laukas ir dešinėje plokštės pusėje esančių krūvių sukuriamas laukas. Vadinasi,kur σ 1 ir σ 2 - paviršiaus krūvio tankis kairėje ir dešinėje plokštės pusėse, kuris atsiranda po to, kai plokštelė įvedama į lauką E 0. Bendras įkrovimas lėkštėje nepasikeis, todėlσ 1 + σ 2 = 2 σ, iš kur σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Laukas už plokštės yra lauko superpozicija E 0 ir įkrautų plokščių laukai E. Į kairę nuo lėkštės Dešinė plokštė

6. Plokščiame oro kondensatoriuje lauko stipris E = 10 4 V/m. Atstumas tarp plokščių d= 2 cm Kam bus lygus potencialų skirtumas, jei tarp plokščių lygiagrečiai padėtas storio metalinis lakštas?d 0=0,5 cm (7 pav.)?

Sprendimas. Kadangi elektrinis laukas tarp plokščių yra vienodas, tada U=Ed, U=200V.

Jei tarp plokščių pažymėsite metalinį lakštą, gausite dviejų nuosekliai sujungtų kondensatorių sistemą su atstumu tarp plokščiųd 1 ir d2. Šių kondensatorių talposJų bendras pajėgumas

Kadangi kondensatorius yra atjungtas nuo srovės šaltinio, kondensatoriaus įkrova nesikeičia, kai pridedamas metalinis lakštas: q"=CU=С"U 1 ; kur yra kondensatoriaus talpa prieš įdėdami į jį metalinį lakštą. Mes gauname:

U 1= 150 V.

7. Ant lėkščių A ir C, esantys lygiagrečiai per atstumą d= 8 cm atstumu vienas nuo kito, potencialai išlaikyti ϕ 1= 60 V ir ϕ 2 =- Atitinkamai 60 V. Tarp jų buvo padėta įžeminta plokštė D atstumu d 1 = 2 cm nuo plokštės A. Kiek pasikeitė lauko stiprumas atkarpose AD ir CD? Sukurkite priklausomybės grafikus ϕ (x) ir E(x).

8. Elektrostatinį lauką sukuria tolygiai įkrauta begalinė plokštuma. Parodykite, kad šis laukas yra vienalytis.

Tegul paviršiaus krūvio tankis yra s. Akivaizdu, kad vektorius E gali būti statmenas tik įkrautai plokštumai. Be to, akivaizdu, kad taškuose, simetriškuose šios plokštumos atžvilgiu, vektorius E yra vienodo dydžio ir priešingos krypties. Ši lauko konfigūracija rodo, kad tiesus cilindras turėtų būti pasirinktas kaip uždaras paviršius, kai daroma prielaida, kad s yra didesnis už nulį. Debitas per šio cilindro šoninį paviršių yra lygus nuliui, todėl bendras srautas per visą cilindro paviršių bus lygus 2*E*DS, kur DS yra kiekvieno galo plotas. Pagal Gauso teoremą

kur s*DS yra cilindro viduje esantis krūvis.

Tiksliau, ši išraiška turėtų būti parašyta taip:

čia En yra vektoriaus E projekcija į normaliąją n į įkrautą plokštumą, o vektorius n nukreiptas iš šios plokštumos.

Tai, kad E nepriklauso nuo atstumo iki plokštumos, reiškia, kad atitinkamas elektrinis laukas yra vienodas.

9. Iš varinės vielos pagamintas ketvirtis apskritimas, kurio spindulys yra 0,36 nC/m, tolygiai paskirstytas išilgai vielos. Raskite potencialą apskritimo centre.

Kadangi krūvis yra tiesiškai paskirstytas išilgai vielos, norėdami rasti potencialą centre, naudojame formulę:

Kur s yra linijinis krūvio tankis, dL yra vielos elementas.

10. Taškinio krūvio Q sukurtame elektriniame lauke neigiamas krūvis -q juda jėgos linija iš taško, esančio atstumu r 1 nuo krūvio Q, į tašką, esantį atstumu r 2 . Raskite šio poslinkio krūvio -q potencialios energijos prieaugį.

Pagal apibrėžimą potencialas yra dydis, lygus vieneto teigiamo krūvio potencialiai energijai tam tikrame lauko taške. Todėl potenciali krūvio energija q 2:

11. Du identiški elementai su emf. Lygiagrečiai prijungta 1,2 V ir 0,5 omo vidinė varža. Gauta baterija uždaryta iki 3,5 omo išorinės varžos. Raskite srovę išorinėje grandinėje.

Pagal Ohmo dėsnį visai grandinei srovės stipris išorinėje grandinėje yra:

kur E` yra elementų baterijos emf,

r` yra vidinė akumuliatoriaus varža, kuri yra lygi:

Akumuliatoriaus emf yra lygus trijų nuosekliai sujungtų elementų emf sumai:

Taigi:

12 Elektros grandinėje yra nuosekliai sujungti vienodo ilgio ir skersmens variniai ir plieniniai laidai. Raskite šilumos kiekių, išsiskiriančių šiuose laiduose, santykį.

Apsvarstykite vielą, kurios ilgis L ir skersmuo d, pagaminta iš medžiagos, kurios varža p. Laido varžą R galima rasti pagal formulę

Kur s = vielos skerspjūvio plotas. Esant srovės stipriui I, per laiką t laidininke išsiskiria šilumos kiekis Q:

Šiuo atveju įtampos kritimas per laidą yra lygus:

Vario varža:

p1 = 0,017 μOm*m = 1,7*10 -8 Ohm*m

plieno varža:

p2 = 10 -7 Ohm*m

kadangi laidai sujungti nuosekliai, srovės stipriai juose yra vienodi ir per laiką t juose išsiskiria Q1 ir Q2 šilumos kiekiai:

12. Yra apskrita ritė, kurios srovė yra vienodame magnetiniame lauke. Ritės plokštuma yra statmena lauko linijoms. Įrodykite, kad atstojamosios jėgos, veikiančios grandinę iš magnetinio lauko, yra lygios nuliui.

Kadangi apskrita ritė su srove yra vienodame magnetiniame lauke, ją veikia Ampero jėga. Pagal formulę dF=I, susidariusią amperinę jėgą, veikiančią srovę nešančią ritę, lemia:

Kai integravimas atliekamas išilgai nurodyto kontūro su srove I. Kadangi magnetinis laukas yra vienodas, vektorių B galima išimti iš po integralo ir užduotis bus sumažinta iki vektorinio integralo apskaičiavimo. Šis integralas reiškia uždarą elementariųjų vektorių dL grandinę, todėl jis lygus nuliui. Tai reiškia, kad F = 0, tai yra, gaunama Ampero jėga yra lygi nuliui vienodame magnetiniame lauke.

13. Trumpa ritė, kurioje yra 90 vijų ir kurios skersmuo 3 cm, teka srovę. Srovės sukuriamo magnetinio lauko stipris ant ritės ašies 3 cm atstumu nuo jos yra 40 A/m. Nustatykite srovę ritėje.

Atsižvelgiant į tai, kad magnetinė indukcija taške A yra magnetinių indukcijų superpozicija, kurią sukuria kiekvienas ritės posūkis atskirai:

Norėdami rasti B posūkį, naudojame Biot-Savart-Laplace dėsnį.

Kur dBturn yra srovės elemento IDL sukuriamo lauko magnetinė indukcija spindulio vektoriaus r nustatytame taške. Pažymime elementą dL iš jo į tašką A. Mes nukreipsime dBturn vektorių pagal gimlet taisyklę.

Pagal superpozicijos principą:

Kai integracija vykdoma per visus dLturn elementus. Išskaidykime dBturn į dvi komponentes dBturn(II) - lygiagrečią žiedo plokštumai ir dBturn(I) - statmeną žiedo plokštumai. Tada

Pastebėjus tai dėl simetrijos ir dėl to, kad vektoriai dBturn(I) yra bendros krypties, vektorinį integravimą pakeičiame skaliariniu:

Kur dBturn(I) =dBturn*cosb ir

Kadangi dl yra statmenas r

Sumažinkime 2p ir pakeiskime cosb į R/r1

Iš čia išreikškime I, žinodami, kad R=D/2

pagal formulę, jungiančią magnetinę indukciją ir magnetinio lauko stiprumą:

tada pagal Pitagoro teoremą iš brėžinio:

14. Elektronas skrenda į vienodą magnetinį lauką statmena jėgos linijoms 10–10 6 m/s greičiu ir juda apskritimo lanku, kurio spindulys yra 2,1 cm. Raskite magnetinio lauko indukciją.

Elektroną, judantį vienodame magnetiniame lauke, veiks Lorenco jėga, statmena elektrono greičiui ir todėl nukreipta į apskritimo centrą:

Kadangi kampas tarp v ir I yra 90 0:

Kadangi jėga Fl nukreipta į apskritimo centrą, o elektronas juda aplink apskritimą veikiamas šios jėgos, tada

Išreikškime magnetinę indukciją:

15. Kvadratinis rėmas, kurio kraštinė yra 12 cm, pagamintas iš varinės vielos, dedamas į magnetinį lauką, kurio magnetinė indukcija kinta pagal dėsnį B = B 0 · Sin (ωt), kur B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T ir T=0,02 s. Rėmo plokštuma yra statmena magnetinio lauko krypčiai. Raskite didžiausią EMF vertę. kadre vykstanti indukcija.

Kvadratinio rėmo plotas S=a 2. Magnetinio srauto pokytis dj, kai kadro plokštuma yra statmena dj=SdB

Nustatomas sukeltas emf

E bus didžiausias, kai cos(wt)=1