Плоскость - Начертательная геометрия. Задачи с плоскостью Главные линии в плоскости

Признаки принадлежности хорошо известны из курса планиметрии. Наша задача рассмотреть их применительно к проекциям геометрических объектов.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

Используя эти свойства, решим в качестве примера задачу. Пусть плоскость задана треугольником АВС . Требуется построить недостающую проекцию D 1 точки D , принадлежащей этой плоскости. Последовательность построений следующая (рис. 2.5).

Через точку D 2 проводим проекцию прямой d , лежащей в плоскости DАВС , пересекающую одну из сторон треугольника и точку А 2 . Тогда точка 1 2 принадлежит прямым А 2 D 2 и C 2 В 2 . Следовательно, можно получить ее горизонтальную проекцию 1 1 на C 1 В 1 по линии связи. Соединив точки 1 1 и А 1 , получаем горизонтальную проекцию d 1 . Ясно, что точка D 1 принадлежит ей и лежит на линии проекционной связи с точкой D 2 .

Достаточно просто решаются задачи на определение принадлежности точки или прямой плоскости. На рис. 2.6 показан ход решения таких задач. Для наглядности изложения задачи плоскость задаем треугольником.

Рис. 2.6. Задачи на определение принадлежности точки и прямой плоскости.

Для того, чтобы определить принадлежит ли точка Е плоскости DАВС , проведем через ее фронтальную проекцию Е 2 прямую а 2 . Считая, что прямая а принадлежит плоскости DАВС , построим ее горизонтальную проекцию а 1 по точкам пересечения 1 и 2. Как видим (рис. 2.6, а), прямая а 1 не проходит через точку Е 1 . Следовательно, точка Е ÏDАВС .

В задаче на принадлежность прямой в плоскости треугольника АВС (рис. 2.6, б), достаточно по одной из проекций прямой в 2 построить другую в 1 * считая, что вÌDАВС . Как видим, в 1 * и в 1 не совпадают. Следовательно, прямая в Ë DАВС .

Линии уровня в плоскости

Определение линий уровня было дано ранее. Линии уровня, принадлежащие данной плоскости, называются главными . Эти линии (прямые) играют существенную роль при решении ряда задач начертательной геометрии.

Рассмотрим построение линий уровня в плоскости, заданной треугольником (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником

Горизонталь плоскости DАВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h 2 , которая, как известно, параллельна оси ОХ . Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости DАВС , а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А 2 и 1 2 , по линии связи получим горизонтальные проекции (А 1 уже есть) 1 1 . Соединив точки А 1 и 1 1 , имеем горизонтальную проекцию h 1 горизонтали плоскости DАВС . Профильная проекция h 3 горизонтали плоскости DАВС будет параллельна оси ОХ по определению.

Фронталь плоскости DАВС строится аналогично (рис. 2.7) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f 1 , так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f 3 фронтали должна быть параллельна оси ОZ и пройти через проекции С 3 , 2 3 тех же точек С и 2.

Профильная линия плоскости DАВС имеет горизонтальную р 1 и фронтальную р 2 проекции, параллельные осям OY и OZ , а профильную проекцию р 3 можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с D АВС .

Принадлежность прямой плоскости :

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости.

Из этих двух признаков принадлежности прямой плоскости можно сделать следующие выводы:

1) если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости;

2) прямая принадлежит плоскости, если она с одним следом плоскости имеет общую точку, а другому следу параллельна.

Рассмотрим плоскость Q, общего положения, задана следами (рисунок 17). Прямая NM принадлежит этой плоскости, поскольку ее следы лежат на одноименных следах плоскостей.

На рисунке 18 показана плоскость, заданная пересекающимися прямыми t и n. Чтобы построить прямую, лежащую в этой плоскости, достаточно провести произвольно одну из проекций, например, горизонтальную c1, а затем спроецировать точки пересечения этой прямой с прямыми плоскости на фронтальную плоскость. Фронтальная проекция прямой c2 пройдет через полученные точки.

Рисунок 17 Рисунок 18

Согласно второму положению на рисунке 19 построена прямая h, принадлежащая плоскости Р, - она имеет точку N (N1, N2) общую с плоскостью Р и параллельна прямой, лежащей в плоскости - горизонтальному следу Р1.

Рисунок 19 Рисунок 20

Рассмотрим плоскости частного положения. Если прямая или фигура принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости (рисунок 20), то горизонтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с горизонтальным следом плоскости.

Если прямая или плоская фигура принадлежит фронтально-проецирующей плоскости, то фронтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с фронтальным следом плоскости.

Принадлежность точки плоскости:

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Пример: Дана плоскость Р (a || b). Известна горизонтальная проекция точки В, принадлежащей плоскости Р. Найти фронтальную проекцию точки В (рисунок 21).

На рисунках 22, 23, 24 показано фрагментарно решение этой задачи:

1) проведем через В1 (известную проекцию точки В) любую прямую,

лежащую в плоскости Р, - для этого прямая должна иметь с плоскостью две общие точки. Отметим их на чертеже - М1 и K1;

2) построим фронтальные проекции этих точек по принадлежности точек прямым, т. е. М2 на прямой а, K2 на прямой b. Проведем через фронтальные проекции точек фронтальную проекцию прямой;

Рисунок 21 Рисунок 22

краткое содержание других презентаций

«Определение двугранных углов» - Прямая, проведенная в данной плоскости. Проведем луч. Основание пирамиды. Двугранные углы в пирамидах. Задача. Точка К. Решение задач. Определение. Ромб. Перпендикулярные плоскости. Найдите величину двугранного угла. Построим BK. Точки М и К лежат в разных гранях. В одной из граней двугранного угла, равного 30, расположена точка М. Определение и свойства. Построение линейного угла. Найдите угол. Провести перпендикуляр.

«Основные аксиомы стереометрии» - Первые уроки стереометрии. Плоскость. Геометрия. Древняя китайская пословица. Следствия из аксиом стереометрии. Изображения пространственных фигур. Предмет стереометрии. Точки прямой лежат в плоскости. Четыре равносторонних треугольника. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Аксиома. Пирамида Хеопса. Плоскости имеют общую точку. Геометрические тела. Основные фигуры в пространстве. Источники и ссылки.

«Понятие пирамиды» - Равные углы. Модель современного промышленного предприятия. Пирамиды в химии. Пирамида в геометрии. Путешествие вокруг света. Сечения пирамиды плоскостями. Маршрут путешествия. Проекции. Египетские пирамиды. Основание пирамиды. След сечения. Боковое ребро. Правильная пирамида. Виртуальное путешествие в мир пирамид. Контрольные вопросы. Смежные боковые грани. Чудеса Гизы. Ступенчатые пирамиды. Многогранник.

«Декартова система» - Определение декартовой системы. Понятие системы координат. Координаты любой точки. Декартова система координат. Прямоугольная система координат. Введение декартовых координат в пространстве. Координаты точки. Рене Декарт. Вопросы для заполнения. Координаты вектора.

«Примеры симметрии в природе» - Дискретная симметрия. Примеры симметричного распределения. Симметрия в природе. Симметрия внешней формы кристалла. Симметрия цилиндра. Виды симметрии. Природные объекты. Что такое симметрия. Симметрия является фундаментальным свойством природы. Симметрия в географии. Симметрия в биологии. Человек, многие животные и растения обладают двусторонней симметрией. Симметрия в геологии. Симметрия в физике.

«Задачи на параллелограмм» - Центры окружностей. Периметр параллелограмма. Площадь параллелограмма. Равенство отрезков. Острый угол. Две окружности. Свойство параллелограмма. Средняя линяя. Углы. Признаки параллелограмма. Площадь. Четырехугольник. Часть. Треугольники. Точки. Касательная к окружности. Доказательство. Свойства параллелограмма. Высота параллелограмма. Диагональ. Геометрия. Окружность. Диагонали параллелограмма.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Выводы.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

А) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Случаи взаимного расположения плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей:

Задачи и тесты по теме "Тема 3. "Параллельность прямой и плоскости; параллельность плоскостей"."

Параллельность плоскостей
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
Параллельность прямых, прямой и плоскости - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых - Параллельные прямые 7 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1

Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.

В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.

Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

Точка принадлежит прямой, если её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой (рис. 21а).

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, лежащей в этой плоскости (рис.21б).

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости (рис.21в).

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 22 изображена прямая t, параллельная прямой b, принадлежащей плоскости Σ: t // b Î Σ (aÇ b).

Рисунок 22

Через любую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости.

Это задача на определение общей точки прямой и плоскости. Её называют также точкой встречи. Рассмотрим пересечение прямой с плоскостью частного положения.

Плоскость Σ задана треугольником АВС и является горизонтально проецирующей плоскостью. Точка встречи прямой k с плоскостью Σ определяется по горизонтальной проекции. Фронтальная проекция точки К достраивается с помощью линии связи. Символическая запись будет выглядеть следующим образом: k Ç Σ (ABC) = K.

Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи фронтально-конкурирующих точек 1 и 2.

Рисунок 23

Пересечение прямой с плоскостью общего положения изображено на рисунке 24. В этом случае нужно заключить прямую в проецирующую плоскость.

t Î Σ ^ П 2 - прямая t принадлежит плоскости Σ, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Линия пересечения этой плоскости с данной - линия (1, 2). Затем находится точка пересечения этой линии с прямой t , которая и будет являться точкой встречи прямой и плоскости. Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи конкурирующих точек. Возьмем горизонтально конкурирующие точки 3 и 4. Так как точка 3, принадлежащая прямой, оказалась ниже чем точка 4, следовательно, прямая на горизонтальной плоскости справа от точки пересечения невидима. Затем берем фронтально конкурирующие точки 1 и 5. Точка 1, принадлежащая плоскости, лежит ближе, следовательно, прямая находится за плоскостью, и она на фронтальной проекции невидима от точки 1 до точки К.

Рисунок 24

К особым прямым, принадлежащим плоскости, относятся горизонталь, фронталь и профильная прямая. Построение этих прямых используется при решении многих задач по начертательной геометрии. Их изображение дано на рисунке 25. Причём на горизонтальной плоскости горизонталь имеет натуральную величину, на фронтальной плоскости - фронталь и на профильной плоскости - профильная прямая.

Рисунок 25