Teorema. Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi împarte latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente.

Dovada. Se consideră triunghiul ABC (Fig. 259) și bisectoarea unghiului său B. Desenați prin vârful C o dreaptă CM, paralelă cu bisectoarea BC, până când se intersectează în punctul M cu continuarea laturii AB. Deoarece BK este bisectoarea unghiului ABC, atunci . Mai mult, ca unghiuri corespunzătoare pentru liniile paralele și ca unghiuri transversale pentru liniile paralele. Prin urmare și prin urmare - isoscel, de unde . Prin teorema despre drepte paralele care intersectează laturile unui unghi, avem și în vedere obținem , ceea ce trebuia să demonstrăm.

Bisectoarea unghiului extern B al triunghiului ABC (Fig. 260) are o proprietate similară: segmentele AL și CL de la vârfurile A și C până la punctul L de intersecție a bisectoarei cu continuarea laturii AC sunt proporționale cu laturile triunghiului:

Această proprietate este dovedită în același mod ca și precedenta: în Fig. 260 o dreaptă auxiliară SM este trasată paralelă cu bisectoarea BL. Cititorul însuși se va convinge de egalitatea unghiurilor VMS și VSM, și deci a laturilor VM și BC ale triunghiului VMS, după care se va obține imediat proporția necesară.

Putem spune că bisectoarea unui unghi extern împarte și latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente; trebuie doar să fiți de acord să permiteți „diviziunea externă” a segmentului.

Punctul L, situat în afara segmentului AC (pe continuarea acestuia), îl împarte exterior în relația dacă. Astfel, bisectoarele unghiului unui triunghi (intern și extern) împart latura opusă (internă și externă) în părți proporționale cu laturile adiacente.

Problema 1. Laturile trapezului sunt egale cu 12 și 15, bazele sunt egale cu 24 și 16. Aflați laturile triunghiului format din baza mare a trapezului și laturile sale extinse.

Soluţie. În notația din Fig. 261 avem o proporție pentru segmentul care servește drept continuare a laturii, din care găsim cu ușurință În mod similar, determinăm a doua latură a triunghiului.

Problema 2. Bazele trapezului sunt 6 și 15. Care este lungimea segmentului paralel cu bazele și împărțind laturile în raport 1:2, numărând de la vârfurile bazei mici?

Soluţie. Să ne uităm la Fig. 262, înfățișând un trapez. Prin vârful C al bazei mici trasăm o linie paralelă cu latura AB, tăind paralelogramul din trapez. De când, atunci de aici găsim. Prin urmare, întregul segment necunoscut KL este egal cu Rețineți că pentru a rezolva această problemă nu este nevoie să cunoaștem laturile laterale ale trapezului.

Problema 3. Bisectoarea unghiului interior B al triunghiului ABC taie latura AC în segmente la ce distanță de la vârfurile A și C va intersecta bisectoarea unghiului exterior B prelungirea AC?

Soluţie. Fiecare dintre bisectoarele unghiului B împarte AC în același raport, dar una intern și cealaltă extern. Să notăm cu L punctul de intersecție al continuării AC și bisectoarea unghiului exterior B. Deoarece AK Să notăm până atunci distanța necunoscută AL și vom avea o proporție A cărei soluție ne dă distanța necesară

Completați singur desenul.

Exerciții

1. Un trapez cu bazele 8 și 18 este împărțit prin linii drepte paralele cu bazele în șase benzi de lățime egală. Aflați lungimile segmentelor drepte care împart trapezul în benzi.

2. Perimetrul triunghiului este 32. Bisectoarea unghiului A împarte latura BC în părți egale cu 5 și 3. Aflați lungimile laturilor triunghiului.

3. Baza unui triunghi isoscel este a, latura este b. Aflați lungimea segmentului care leagă punctele de intersecție ale bisectoarelor colțurilor bazei cu laturile.

Salut din nou! Atunci să luăm un alt segment aici. Să numim acest punct F. Și să presupunem că acest segment FC este paralel cu segmentul AB. Dar și acest unghi al triunghiului ABD este vertical în raport cu acest unghi al triunghiului FDC - asta înseamnă că aceste unghiuri sunt egale. Și asta înseamnă că am demonstrat că raportul dintre această latură și această latură este egal cu raportul BC/CD. Q.E.D. Te văd!

În această lecție, vom analiza în detaliu proprietățile punctelor situate pe bisectoarea unui unghi și punctele care se află pe bisectoarea perpendiculară pe un segment.

Subiect: Cercul

Lecția: Proprietățile bisectoarei unui unghi și bisectoarei perpendiculare a unui segment

Să luăm în considerare proprietățile unui punct situat pe bisectoarea unui unghi (vezi Fig. 1).

Orez. 1

Unghiul este dat, bisectoarea sa este AL, punctul M se află pe bisectoare.

Teorema:

Dacă punctul M se află pe bisectoarea unghiului, atunci este echidistant de laturile unghiului, adică distanțele de la punctul M la AC și la BC ale laturilor unghiului sunt egale.

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale pentru că... au o ipotenuză comună AM, iar unghiurile sunt egale, deoarece AL este bisectoarea unghiului. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit, rezultă că , care este ceea ce trebuia demonstrat. Astfel, un punct de pe bisectoarea unui unghi este echidistant de laturile acelui unghi.

Teorema inversă este adevărată.

Dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi nedezvoltat, atunci se află pe bisectoarea sa.

Orez. 2

Se dă un unghi nedezvoltat, punctul M, astfel încât distanța de la acesta până la laturile unghiului să fie aceeași (vezi Fig. 2).

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea unghiului.

Dovada:

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Din punctul M trasăm perpendicularele MK pe latura AB și MR pe latura AC.

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale pentru că... au o ipotenuză comună AM, catetele MK și MR sunt egale prin condiție. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea elementelor corespunzătoare, unghiurile egale sunt opuse laturi egale; Prin urmare, punctul M se află pe bisectoarea unghiului dat.

Teoremele directe și inverse pot fi combinate.

Teorema

Bisectoarea unui unghi nedezvoltat este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi dat.

Teorema

Bisectoarele AA 1, BB 1, СС 1 ale triunghiului se intersectează într-un punct O (vezi Fig. 3).

Orez. 3

Dovada:

Să considerăm mai întâi două bisectoare BB 1 și CC 1. Se intersectează, punctul de intersecție O există. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem contrariul - chiar dacă aceste bisectoare nu se intersectează, caz în care sunt paralele. Atunci linia dreaptă BC este o secantă, iar suma unghiurilor , aceasta contrazice faptul că în întregul triunghi suma unghiurilor este .

Deci, punctul O al intersecției a două bisectoare există. Să luăm în considerare proprietățile sale:

Punctul O se află pe bisectoarea unghiului, ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale BA și BC. Dacă OK este perpendicular pe BC, OL este perpendicular pe BA, atunci lungimile acestor perpendiculare sunt egale - . De asemenea, punctul O se află pe bisectoarea unghiului și este echidistant de laturile sale CB și CA, perpendicularele OM și OK sunt egale.

Am obținut următoarele egalități:

, adică toate cele trei perpendiculare căzute din punctul O către laturile triunghiului sunt egale între ele.

Ne interesează egalitatea perpendicularelor OL și OM. Această egalitate spune că punctul O este echidistant de laturile unghiului, rezultă că se află pe bisectoarea sa AA 1.

Astfel, am demonstrat că toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Să trecem la considerarea segmentului, bisectoarei sale perpendiculare și proprietăților punctului care se află pe bisectoarea perpendiculară.

Este dat un segment AB, p este bisectoarea perpendiculară. Aceasta înseamnă că dreapta p trece prin mijlocul segmentului AB și este perpendiculară pe acesta.

Teorema

Orez. 4

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 4).

Demonstrează asta

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Sunt dreptunghiulare și egale, pentru că. au un catete comun OM, iar catetele AO și OB sunt egale prin condiție, astfel, avem două triunghiuri dreptunghiulare, egale în două catete. Rezultă că ipotenuzele triunghiurilor sunt și ele egale, adică ceea ce s-a cerut să fie demonstrat.

Rețineți că segmentul AB este o coardă comună pentru multe cercuri.

De exemplu, primul cerc cu un centru în punctul M și raza MA și MB; al doilea cerc cu centrul în punctul N, raza NA și NB.

Astfel, am demonstrat că, dacă un punct se află pe bisectoarea perpendiculară a unui segment, acesta este echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 5).

Orez. 5

Teorema inversă este adevărată.

Teorema

Dacă un anumit punct M este echidistant de capetele unui segment, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Având în vedere un segment AB, o bisectoare perpendiculară pe acesta p, un punct M echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 6).

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea perpendiculară a segmentului.

Orez. 6

Dovada:

Luați în considerare un triunghi. Este isoscel, conform condiției. Luați în considerare mediana unui triunghi: punctul O este mijlocul bazei AB, OM este mediana. Conform proprietății unui triunghi isoscel, mediana trasată la baza sa este atât o altitudine, cât și o bisectoare. Rezultă că . Dar linia p este și perpendiculară pe AB. Știm că în punctul O se poate trasa o singură perpendiculară pe segmentul AB, ceea ce înseamnă că dreptele OM și p coincid, rezultă că punctul M aparține dreptei p, ceea ce trebuia să dovedim.

Teoremele directe și inverse pot fi generalizate.

Teorema

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este locul punctelor echidistante de capetele sale.

După cum știți, un triunghi este format din trei segmente, ceea ce înseamnă că în el pot fi desenate trei bisectoare perpendiculare. Se dovedește că se intersectează la un moment dat.

Bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Se dă un triunghi. Perpendiculare pe laturile sale: P 1 pe latura BC, P 2 pe latura AC, P 3 pe latura AB (vezi Fig. 7).

Demonstrați că perpendicularele P 1, P 2 și P 3 se intersectează în punctul O.

Știți care este punctul de mijloc al unui segment? Bineînțeles că faci. Dar centrul cercului? Aceleaşi.

Care este mijlocul unui unghi?

Puteți spune că acest lucru nu se întâmplă. Dar de ce un segment poate fi împărțit în jumătate, dar un unghi nu? Este foarte posibil - doar nu un punct, dar... linia.

Îți amintești gluma: o bisectoare este un șobolan care aleargă în jurul colțurilor și împarte colțul în jumătate. Deci, definiția reală a bisectoarei este foarte asemănătoare cu această glumă:

Bisectoarea unui triunghi- acesta este segmentul bisectoare al unui unghi al unui triunghi care leagă vârful acestui unghi cu un punct de pe latura opusă.

Cândva, astronomii și matematicienii antici au descoperit multe proprietăți interesante ale bisectoarei. Aceste cunoștințe au simplificat foarte mult viața oamenilor.

Primele cunoștințe care vă vor ajuta în acest sens sunt...

Apropo, vă amintiți toți acești termeni? Îți amintești cum diferă unul de celălalt? Nu? Nu înfricoșător. Să ne dăm seama acum.

• Baza unui triunghi isoscel- aceasta este partea care nu este egală cu oricare alta. Uită-te la poză, de ce parte crezi că este aceasta? Așa este - aceasta este partea.
• Mediana este o linie trasă de la vârful unui triunghi și care împarte latura opusă (asta este din nou) în jumătate. Observați că nu spunem „Media unui triunghi isoscel”. Știi de ce? Deoarece o mediană trasă dintr-un vârf al unui triunghi bisectează latura opusă în ORICE triunghi.
• Înălțimea este o linie trasată de sus și perpendiculară pe bază. ai observat? Vorbim din nou despre orice triunghi, nu doar unul isoscel. Înălțimea în ORICE triunghi este întotdeauna perpendiculară pe bază.

Deci, ți-ai dat seama? Ei bine, aproape.

Pentru a înțelege și mai bine și pentru a vă aminti pentru totdeauna ce sunt bisectoarea, mediana și înălțimea, aveți nevoie de ele comparați unul cu altulși înțelegeți cum se aseamănă și cum diferă unul de celălalt.

În același timp, pentru a vă aminti mai bine, este mai bine să descrieți totul în „limbaj uman”.

Apoi veți opera cu ușurință în limbajul matematicii, dar la început nu înțelegeți acest limbaj și trebuie să înțelegeți totul în limba ta.

Deci, cum sunt ele asemănătoare?

Bisectoarea, mediana și altitudinea - toate „ieșesc” din vârful triunghiului și se odihnesc pe partea opusă și „fac ceva” fie cu unghiul din care ies, fie cu latura opusă.

Cred că e simplu, nu?

Cum sunt ele diferite?

• Bisectoarea împarte unghiul din care iese în jumătate.
• Mediana împarte partea opusă în jumătate.
• Înălțimea este întotdeauna perpendiculară pe partea opusă.

Acum asta e. Este ușor de înțeles. Și odată ce înțelegi, îți poți aminti.

Acum următoarea întrebare.

De ce, în cazul unui triunghi isoscel, bisectoarea pare să fie atât mediana, cât și altitudinea?

Puteți să vă uitați pur și simplu la figură și să vă asigurați că mediana se împarte în două triunghiuri absolut egale.

Asta este! Dar matematicienilor nu le place să-și creadă ochilor. Ei trebuie să demonstreze totul.

Cuvânt înfricoșător?

Nimic de genul asta - e simplu! Uite: ambele au laturi egale și, în general, au o latură comună și. (- bisectoare!) Și astfel se dovedește că două triunghiuri au două laturi egale și un unghi între ele.

Amintim primul semn de egalitate al triunghiurilor (dacă nu vă amintiți, uitați-vă în subiect) și concluzionam că și, prin urmare, = și.

Acest lucru este deja bun - înseamnă că s-a dovedit a fi mediana.

Dar ce este?

Să ne uităm la imagine - . Și am prins-o. Asa si! În sfârșit, ura! Şi.

Ți s-a părut puțin grea această dovadă? Privește imaginea - două triunghiuri identice vorbesc de la sine.

În orice caz, amintiți-vă cu fermitate:

Acum este mai dificil: vom număra unghi între bisectoare în orice triunghi! Nu-ți fie teamă, nu este așa de complicat. Uită-te la poză:

Să-l numărăm. Îți amintești asta suma unghiurilor unui triunghi este?

Să aplicăm acest fapt uimitor.

Pe de o parte, de la:

Adică.

Acum să ne uităm la:

Dar bisectoare, bisectoare!

Să ne amintim despre:

Acum prin scrisori

Nu este surprinzător?

S-a dovedit că unghiul dintre bisectoarele a două unghiuri depinde doar de al treilea unghi!

Ei bine, ne-am uitat la două bisectoare. Dacă sunt trei?!! Se vor intersecta toate la un moment dat?

Sau va fi asa?

Cum crezi? Deci matematicienii au gândit, au gândit și au demonstrat:

Nu este grozav?

Vrei să știi de ce se întâmplă asta?

Treceți la nivelul următor - sunteți gata să cuceriți noi culmi ale cunoștințelor despre bisectoare!

BIZECTORĂ. NIVEL MEDIU

Îți amintești ce este bisectoarea?

Bisectoarea este o linie care bisectează un unghi.

Ați întâlnit o bisectoare în problemă? Încercați să aplicați una (sau uneori mai multe) dintre următoarele proprietăți uimitoare.

1. Bisectoare într-un triunghi isoscel.

Nu ți-e frică de cuvântul „teoremă”? Dacă ți-e frică, atunci este în zadar. Matematicienii sunt obișnuiți să numească o teoremă orice enunț care poate fi dedus cumva din alte enunțuri, mai simple.

Deci, atenție, teoremă!

Să demonstrăm această teoremă, adică să înțelegem de ce se întâmplă asta? Uită-te la isoscel.

Să le privim cu atenție. Și atunci vom vedea asta

1. - general.

Și asta înseamnă (amintește-ți repede primul semn de egalitate a triunghiurilor!) că.

Şi ce dacă? Vrei să spui asta? Și adevărul este că încă nu ne-am uitat la a treia latură și la unghiurile rămase ale acestor triunghiuri.

Acum să vedem. O dată, apoi absolut, și chiar în plus, .

Deci s-a dovedit că

1. a împărțit partea în jumătate, adică s-a dovedit a fi mediana
2. , ceea ce înseamnă că amândoi sunt ca (uită-te din nou la poză).

Deci s-a dovedit a fi o bisectoare și de asemenea o înălțime!

Ura! Am demonstrat teorema. Dar ghici ce, asta nu e tot. De asemenea credincios teorema inversă:

Dovada? Chiar te intereseaza? Citiți următorul nivel de teorie!

Și dacă nu ești interesat, atunci amintește-ți cu fermitate:

De ce să-ți amintești asta cu fermitate? Cum poate ajuta acest lucru? Dar imaginați-vă că aveți o sarcină:

Dat: .

Găsi: .

Îți dai seama imediat, bisectoare și, iată, ea a împărțit latura în jumătate! (dupa conditie...). Dacă vă amintiți cu fermitate că acest lucru se întâmplă numaiîntr-un triunghi isoscel, apoi trageți o concluzie, ceea ce înseamnă că scrieți răspunsul: . Grozav, nu? Desigur, nu toate sarcinile vor fi atât de ușoare, dar cunoștințele vă vor ajuta cu siguranță!

Și acum următoarea proprietate. Gata?

2. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unghiului.

Speriat? Chiar nu e mare lucru. Matematicienii leneși au ascuns patru în două rânduri. Deci, ce înseamnă, „Bisector - locul punctelor"? Aceasta înseamnă că sunt executate imediat douăafirmatii:

1. Dacă un punct se află pe o bisectoare, atunci distanțele dintre el și laturile unghiului sunt egale.
2. Dacă la un moment dat distanțele față de laturile unghiului sunt egale, atunci acest punct Neapărat se află pe bisectoare.

Vedeți diferența dintre afirmațiile 1 și 2? Dacă nu foarte mult, atunci amintiți-vă de Pălărierul din „Alice în Țara Minunilor”: „Deci ce altceva veți spune, de parcă „văd ce mănânc” și „mănânc ce văd” ar fi același lucru!”

Deci trebuie să demonstrăm afirmațiile 1 și 2 și apoi afirmația: „o bisectoare este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi” se va dovedi!

De ce este 1 adevărat?

Să luăm orice punct de pe bisectoare și să îl numim .

Să lăsăm perpendiculare din acest punct către laturile unghiului.

Și acum... pregătiți-vă să vă amintiți semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare! Dacă le-ați uitat, atunci aruncați o privire la secțiune.

Deci...două triunghiuri dreptunghiulare: și. Au:

• Ipotenuza generala.
• (pentru că este bisectoare!)

Aceasta înseamnă - prin unghi și ipotenuză. Prin urmare, catetele corespunzătoare acestor triunghiuri sunt egale! Adică.

Am demonstrat că punctul este la fel (sau egal) distanță de laturile unghiului. Punctul 1 este tratat. Acum să trecem la punctul 2.

De ce este 2 adevărat?

Și hai să conectăm punctele și.

Asta înseamnă că se află pe bisectoare!

Asta este!

Cum pot fi aplicate toate acestea la rezolvarea problemelor? De exemplu, în probleme există adesea următoarea frază: „Un cerc atinge laturile unui unghi...”. Ei bine, trebuie să găsești ceva.

Atunci iti dai seama repede de asta

Și poți folosi egalitatea.

3. Trei bisectoare dintr-un triunghi se intersectează într-un punct

Din proprietatea unei bisectoare de a fi locul punctelor echidistante de laturile unui unghi, urmează următoarea afirmație:

Cum iese mai exact? Dar uite: două bisectoare se vor intersecta cu siguranță, nu?

Și a treia bisectoare ar putea merge așa:

Dar, în realitate, totul este mult mai bine!

Să ne uităm la punctul de intersecție a două bisectoare. Să-i spunem.

Ce am folosit aici de ambele ori? Da punctul 1, desigur! Dacă un punct se află pe o bisectoare, atunci este la fel de îndepărtat de laturile unghiului.

Și așa s-a întâmplat.

Dar priviți cu atenție aceste două egalități! La urma urmei, din ele rezultă că și, prin urmare, .

Și acum va intra în joc punctul 2: dacă distanțele la laturile unui unghi sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoare... ce unghi? Privește din nou poza:

și sunt distanțele față de laturile unghiului și sunt egale, ceea ce înseamnă că punctul se află pe bisectoarea unghiului. A treia bisectoare a trecut prin același punct! Toate cele trei bisectoare se intersectează la un moment dat! Și ca un cadou suplimentar -

Razele înscris cercuri.

(Pentru a fi sigur, uită-te la un alt subiect).

Ei bine, acum nu vei uita niciodată:

Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris în el.

Să trecem la următoarea proprietate... Wow, bisectoarea are multe proprietăți, nu? Și acest lucru este grozav, deoarece cu cât mai multe proprietăți, cu atât mai multe instrumente pentru rezolvarea problemelor bisectoarelor.

4. Bisectoare și paralelism, bisectoare ale unghiurilor adiacente

Faptul că bisectoarea împarte unghiul la jumătate duce în unele cazuri la rezultate complet neașteptate. Aici, de exemplu,

Cazul 1

Grozav, nu? Să înțelegem de ce este așa.

Pe de o parte, desenăm o bisectoare!

Dar, pe de altă parte, există unghiuri care se află în cruce (amintiți-vă tema).

Și acum se dovedește că; arunca pe mijloc: ! - isoscel!

Cazul 2

Imaginați-vă un triunghi (sau uitați-vă la imagine)

Să continuăm partea dincolo de punct. Acum avem două unghiuri:

• - colt interior
• - colțul exterior este afară, nu?

Deci, acum cineva a vrut să deseneze nu una, ci două bisectoare deodată: și pentru și pentru. Ce se va întâmpla?

Va merge? dreptunghiular!

În mod surprinzător, acesta este exact cazul.

Să ne dăm seama.

Care crezi că este suma?

Desigur, - la urma urmei, toți împreună fac un astfel de unghi încât se dovedește a fi o linie dreaptă.

Acum amintiți-vă că și sunt bisectoare și vedeți că în interiorul unghiului există exact jumătate din suma tuturor celor patru unghiuri: și - - adică exact. O poți scrie și sub formă de ecuație:

Deci, incredibil, dar adevărat:

Unghiul dintre bisectoarele unghiurilor interne și externe ale unui triunghi este egal.

Cazul 3

Vedeți că aici totul este la fel ca și pentru colțurile interne și externe?

Sau să ne gândim din nou de ce se întâmplă asta?

Din nou, în ceea ce privește colțurile adiacente,

(așa cum corespunde cu bazele paralele).

Și din nou, se compensează exact jumatate din suma

Concluzie: Dacă problema conține bisectoare adiacent unghiuri sau bisectoare relevante unghiurile unui paralelogram sau trapez, atunci în această problemă cu siguranţă este implicat un triunghi dreptunghic, sau poate chiar un dreptunghi întreg.

5. Bisectoare și latura opusă

Se pare că bisectoarea unui unghi al unui triunghi împarte latura opusă nu doar într-un fel, ci într-un mod special și foarte interesant:

Adică:

Un fapt uimitor, nu-i așa?

Acum vom demonstra acest fapt, dar pregătiți-vă: va fi puțin mai dificil decât înainte.

Din nou - ieșire în „spațiu” - formație suplimentară!

Să mergem drept.

Pentru ce? Vom vedea acum.

Să continuăm bisectoarea până când se intersectează cu linia.

Este aceasta o imagine familiară? Da, da, da, exact la fel ca la punctul 4, cazul 1 - se dovedește că (- bisectoare)

Întins în cruce

Deci, și asta.

Acum să ne uităm la triunghiuri și.

Ce poți spune despre ei?

Sunt... asemănătoare. Ei bine, da, unghiurile lor sunt egale cu cele verticale. Deci, în două colțuri.

Acum avem dreptul să scriem relațiile părților relevante.

Și acum pe scurt:

Oh! Îmi amintește de ceva, nu? Nu asta am vrut să demonstrăm? Da, da, exact asta!

Vedeți cât de grozavă s-a dovedit a fi „umblarea în spațiu” - construcția unei linii drepte suplimentare - fără ea nimic nu s-ar fi întâmplat! Și așa am dovedit asta

Acum îl poți folosi în siguranță! Să ne uităm la încă o proprietate a bisectoarelor unghiurilor unui triunghi - nu vă alarmați, acum partea cea mai grea s-a terminat - va fi mai ușor.

Înțelegem asta

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliatăși decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Ministerul Educației și Științei din Republica Tatarstan

Comitetul Executiv Departamentul Educație

Districtul municipal Bugulma din Republica Tatarstan

Bugulma

MBOU gimnaziu nr.1 cu studiu aprofundat al disciplinelor individuale

Clasa: 9 A

Munca de cercetare

Subiect:Bisectoarea unghiului unui triunghi

Student: Alexandrov A.A.

Șef: Chukanova I.I.

Bugulma, 2012

Conţinut.

1.Introducere …………………………………………………………………………3

2. Partea principală:

2.1. Formularea teoremei asupra bisectoarei unui unghi de triunghi…………..4

2.2. Diverse moduri de a demonstra teorema asupra bisectoarei unui triunghi…………………………………………………………………………………………………………..

2.21. Metoda asemănării………………………………………………………………………………

2.22. Metoda zonei ………………………………………………………… 5

2.23. Cercul circumscris ……………………………………………………………………………………..

2.24 Teorema sinusurilor. ………………………………………………………….6

2.25.Metoda vectorială………………………………………………………7

2.26. Demonstrarea folosind simetria axială…………

2.3. Rezolvarea problemelor de aplicare……………………………………………………..8

2.31. Rezolvarea problemelor din manual………………………………………………………………………....

2.32. Rezolvarea problemelor olimpiadei…………………………………………….

3.Concluzie ………………………………………………………………...........10

4.Literatura folosită …………………………………………………….11

1.Introducere.

Primele concepte geometrice au apărut în timpurile preistorice. Omul nu numai că a observat pasiv natura, dar practic și-a stăpânit și și-a folosit bogăția. Nevoile materiale i-au determinat pe oameni să facă unelte, să taie pietre și să construiască case, să sculpteze ceramică și să înșire un arc. Oamenii și-au tras arcurile, au făcut diverse obiecte cu margini drepte și au ajuns treptat la conceptul abstract de linie dreaptă.

Activitatea umană practică a servit drept bază pentru un lung proces de dezvoltare a conceptelor abstracte și descoperirea celor mai simple dependențe și relații geometrice.

De-a lungul timpului, când s-au acumulat un număr mare de fapte geometrice, oamenii au început să aibă nevoie de generalizare, să înțeleagă dependența unor elemente față de altele, să stabilească conexiuni logice și dovezi. Geometria a devenitștiința numai după apariția în ea a teoremelor și demonstrațiilor.

Printre faptele geometrice de bază se numără teorema asupra bisectoarei unghiului unui triunghi.

Teorema bisectoarei triunghiului este adesea folosită în rezolvarea problemelor geometrice. Teorema este interesantă deoarece există multe metode de demonstrare (metoda asemănării, metoda ariilor, metoda mișcării etc.). Această lucrare oferă doar 4 moduri de a demonstra această teoremă remarcabilă.

Scopul și obiectivele studiului:

Studiați demonstrațiile teoremei bisectoarei triunghiului.

Învață să lucrezi cu desene.

Rezolvați probleme folosind teorema.

Compune și rezolvă probleme practice.

Partea principală.

2.1. Enunțul teoremei asupra bisectoarei unui triunghi.

Teorema: Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi se divide

partea opusă în părți proporționale cu

laturile adiacente ale triunghiului.

DacăBD– bisectoare ∆ABC, apoi egalitatea.

2.2. Diferite moduri de a demonstra teorema bisectoarei

unghiul unui triunghi.

2.21. Metoda similarității

Să facem o directămparalel cu bisectoareaBD.

ABD =  DBC(deoareceBD– bisectoare).

DBC = BCD₁ (deoarecemǁ BDŞiB.C.– secante).

BD₁ C = ABD(deoarecemǁ BDŞiBD₁ - secante).

BCD₁ = BD₁ C.

Deci ∆BCD₁ - isoscel=> B.C.= BD₁ .

∆ABD ∆ AD₁ C(la două colțuri).

Prin urmare:

Q.E.D.

2.22. Metoda zonei.

Se consideră ∆ABDși ∆CBD.

S ∆ ABD : S ∆ CBD = AD : DC (din moment ceh– înălțimea totală).

BD– bisectoare ∆ABC. Fiecare punct al bisectoareiBDechidistant de

petreceri ∆ ABC. MijloaceD.H. = DM- înălțimi ∆ ABDși ∆CBD.

S ∆ ABD : S ∆ CBD = AB : B.C..

Aşa: AB: BC = AD: DCU=> AB: AD = BC: DCU.

Q.E.D.

2.23. Cercul circumscris.

Să descriem în jur de ∆ABCcerc. Să continuămBDpana la intersectia cu

cerc în punctul E.

∆B.A.E.∆ BDC(la două colțuri). Mijloace: (1).

∆B.C.E.∆ RĂU(la două colțuri). Mijloace: (2).

Din moment ce ∆AS– isoscel, atunciA.E. = C.E.. ApoiAB ∙ DC = BC ∙ AD=>

Q.E.D.

2.24. Conform teoremei sinusurilor.

Într-un triunghiABCABD =  DBC = β (deoareceBD– bisectoare ∆ABC).

Se consideră ∆ABD. Conform legii sinusurilor: (1).

Se consideră ∆BCD. Conform legii sinusurilor:

(2).

Prin urmare:.

Q.E.D.

2.25.Metoda vectorului.

Pentru orice punct D al segmentului AC vectorul ,

Undek = si 1-k = .

într-adevăr,

În cazul nostru, vectorul paralel cu vectorul ∙ + ∙ ,

şi prin urmare = : , Atunci = , unde = .

Q.E.D.

2.26. Simetria axială.

Să executăm simetria axialăStriunghiABCrelativBD,

primimS BD (A) = A 1 , S BD (C) = C 1 ŞiS BD (B) = B.

Apoi ∆CDC 1 ∆ ADA 1 (la două colțuri) și ∆ СС 1 B ∆ A.A. 1 B(la două colțuri).

AB = O 1 B(din moment ce ∆ABA 1 – isoscel).

Apoi Şi . Prin urmare, .

Q.E.D.

2.3 Rezolvarea problemelor de aplicare.

2.31.Sarcina din manual.

Mediana și altitudinea împart triunghiul în trei părți egale. Aflați unghiurile triunghiului.

∆ ACH=∆ MCHde-a lungul piciorului și unghi ascuțit.

Prin urmare ∆A.C.M - isoscel, AN=HM. Fie AN = NM = a, MV = 2a.

După proprietatea bisectoarei SM ∆HSoare avem: . Atunci CB=2CH,

RSVN=30⁰ , РВСН = 60⁰ , β =30 ⁰ , РС=90⁰

Raspuns: 30⁰ , 60 ⁰ , 90 ⁰ .

2.32 sarcina olimpiadei.

În triunghiul ABC, laturile AB și BC sunt marcate cu punctele M, respectiv N, cu BM = BN. O dreaptă perpendiculară pe BC este trasată prin punctul M, iar o dreaptă perpendiculară pe AB este trasată prin punctul N. Aceste drepte se intersectează în punctul O. Prelungirea segmentului BO intersectează latura AC în punctul P și o împarte în segmente AP = 5 și PC = 4. Aflați lungimea segmentului BP dacă se știe că BC = 6.

Dat:

ВС=6cm, ВК=4cm, ВК- bisectoare ∆ АВС.

KS=3cm,R ∆ BKC= 1 cm.S ∆ ABC= 60 cm².

Găsiți: AB.

Soluţie:

1. 3. Aricele triunghiurilor cu înălțimi egale sunt legate ca

În această lucrare, citând diverse metode ale acestei demonstrații, am arătat cât de universală este teorema.

Este ușor de înțeles, dar în același timp mă ajută să rezolv probleme foarte complexe și confuze.

După ce am studiat această teoremă, am descoperit o mulțime de lucruri noi pentru mine, mi-am extins cunoștințele și cred că am deschis calea pentru continuarea studiului geometriei..

4. Literatura folosită.

Supliment la jurnalul KVANT Nr. 1/1995.

Articole: L.N.Smolyakov. Încă 13 dovezi ale teoremei despre

bisectoare.//Kvant, nr. 2, 1985.

S.R. Sefibekov. Patru dovezi ale teoremei despre

bisectoare.//Kvant, nr. 8, 1983.

L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I.

Yudina. Manual pentru instituțiile de învățământ general.

Iluminarea, 2003.

I.F. Sharygin. Geometrie clasele 7-9. Moscova, Editura

„Bustard”, 1997.

Colecție unificată de TsOR.

G.K.Pak. „Bisector”. Seria: Pregătirea pentru matematică

olimpiade Vladivostok, 2003.