Sarcină № 1 (1).
Condiție:
Opțiunea 1. P 6, P 8, A 6 2, A 8 5, C 6 2, C 8 5.
Soluţie:
P6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 P 8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320
6 5 = 30 == 8 7 6 = 336
15 = = = 56
Sarcină № 2 (2) .
Condiție:
În cutie sunt 10 cămăși aleatoriu, iar 4 dintre ele sunt de cea mai bună nota. Cumpărătorul ia 3 dintre ele la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca din tricourile luate, cel puțin 1 cămașă să fie de cea mai bună calitate.
Soluţie:
Metoda 1:
A - eveniment de luare a 1 tricou premium
B - eveniment de luare a 2 tricouri premium
C - eveniment de luare a 3 tricouri de clasa superioara
R - eveniment de luare a cel puțin unui tricou de cea mai bună nota
P(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =
2 cale:
A - evenimentul de a lua cel puțin o cămașă de calitate superioară
Niciunul dintre tricourile de clasa superioara nu a fost luat
P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()
P() = = = P(A) = 1 - =
Sarcină № 3 (1) .
Condiție:
Există 3 loturi de piese cu câte 30 de piese fiecare. Numărul de piese standard în primul lot este de 30, în al doilea – 20, în al treilea lot – 15. Dintr-un lot selectat aleatoriu, o parte care se dovedește a fi standard este îndepărtată aleatoriu. Piesa este returnată în lot și o piesă este îndepărtată a doua oară din același lot, ceea ce se dovedește a fi, de asemenea, standard. Găsiți probabilitatea ca piesele să fi fost îndepărtate din al treilea lot.
Soluţie:
A - eveniment de extragere a unei piese standard în fiecare dintre cele două încercări
În 1 - părțile au fost îndepărtate din primul lot
În 2 - părțile au fost îndepărtate din al doilea lot
În 3 - părți au fost extrase din al treilea lot
Deoarece piesele au fost luate dintr-un lot selectat aleatoriu, atunci P(B1) = P(B2) = P(B3) =
(A) = 1 - probabilitatea extragerii pieselor standard dintr-un lot
(A) = = - probabilitatea extragerii pieselor standard din lotul 2
(A) = = - probabilitatea extragerii pieselor standard din lotul 3
PA (B 3) = == =
Sarcină № 4 (3) .
Condiție:
Departamentul de control tehnic verifică standarditatea a 1000 de piese. Probabilitatea ca piesa să fie standard este de 0,9. Găsiți cu probabilitate 0,95 limitele în care m piese standard dintre cele testate.
Soluţie:
P = 0,9 - probabilitatea ca piesa să fie standard
q = 1-P = 0,1 - probabilitatea ca piesa să nu fie standard
Probabilitatea ca valoare absolută abaterile frecvenței relative a pieselor standard de la numărul P nu vor depăși un număr pozitiv?, determinat din formula dublă Laplace:
F(105?) = =0,475
Din tabelul de valori al funcției Ф(х) aflăm că x = 1,96. De unde vine 105? = 1,96, atunci? ? 0,0186.
Astfel, granițele în cadrul cărora m piese standard dintre cele testate, satisface egalitatea:
0,0186 sau 0,8814??0,9186
Prin urmare, numărul necesar de piese standard dintre 1000 testate cu probabilitatea Q = 0,95 se află în limite
881?m?917
Sarcină № 5 (4).
Condiție:
Economistul consideră că probabilitatea unei creșteri a valorii acțiunilor companiei în anul urmator va fi 0,8 dacă economia țării este în creștere și 0,25 dacă economia nu se dezvoltă cu succes. Potrivit experților, probabilitatea redresării economice este de 0,55. Estimați probabilitatea ca acțiunile companiei să crească în anul următor.
Soluţie:
A - evenimentul că acțiunile companiei vor crește anul viitor
N 1 - un eveniment că economia țării va fi în creștere
H 2 - eveniment în care economia țării nu se va dezvolta cu succes
Evenimentele H 1 și H 2 formează un grup complet de evenimente. Deoarece:
P(H 1) = 0,55 - probabilitatea ca economia țării să fie în creștere
P(H 2) = 0,45 - probabilitatea ca economia țării să nu se dezvolte cu succes
0,8 - probabilitatea de creștere a stocurilor atunci când economia țării își revine
0,25 - probabilitatea de creștere a stocurilor dacă economia țării se dezvoltă fără succes
Folosind formula probabilității totale obținem:
P(A) = P(H1) + P(H2) = 0,8 0,55+0,25 0,45 = 0,44+0,1125 = 0,5525
Sarcină № 6 (5).
Condiție:
Un investitor a investit în valorile mobiliare a două firme financiare. În același timp, speră să primească venituri într-un timp specificat de la prima companie cu o probabilitate de 0,88, de la a doua - cu o probabilitate de 0,85. Cu toate acestea, există posibilitatea ca firmele să intre în faliment independent unele de altele, care este estimată la o probabilitate de 0,16 pentru prima firmă și 0,018 pentru a doua. În caz de faliment, investitorul primește doar capitalul investit. Care este probabilitatea de a face profit?
evaluarea gradului valorii probabilităţii
Soluţie:
A - evenimentul în care investitorul realizează profit
B 1 - evenimentul de faliment al primei firme
B 2 - evenimentul de faliment al celei de-a doua firme
C 1 = B 1 - eveniment de faliment numai al primei companii
C 2 = B 2 - caz de faliment numai a celei de-a doua companii
C 3 = B 1 B 2 - eveniment de faliment al ambelor firme
C 4 = - eveniment de lucru al ambelor firme
Р(В 1) = 0,16 - probabilitatea de faliment a primei companii
Р(В 2) = 0,018 - probabilitatea de faliment a celei de-a doua companii
P C1 (A) = 0,85 - probabilitatea de a obține profit în cazul falimentului numai a primei companii
Р С 2 (А) = 0,88 - probabilitatea de a obține un profit în cazul falimentului numai a celei de-a doua companii
Р С 3 (А) = 0 - probabilitatea de a obține un profit dacă ambele firme dau faliment
P C4 (A) = 1 - probabilitatea de a obține profit atunci când ambele firme își desfășoară activitatea
Р(С 1) = 0,16 0,982 = 0,1571 - probabilitatea de faliment a primei companii
Р(С 2) = 0,84 0,018 = 0,0151 - probabilitatea de faliment a celei de-a doua companii
Р(С 3) = 0,16 0,018 = 0,0029 - probabilitatea de faliment a ambelor firme
Р(С 4) = 0,84 0,982 = 0,8223 - probabilitatea ca două firme să lucreze
Apoi, folosind formula probabilității totale, obținem:
P(A) = P C1 (A) P(C 1)+ P C2 (A) P(C 2)+ P C3 (A) P(C 3)+ P C4 (A) P(C 4) =
0.85 0.1571+0.88 0.0151+0 0.0029+1 0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691
Sarcină № 7 (1).
Condiție:
Probabilitatea de a câștiga bilet de loterie egal cu 0,04. Care este probabilitatea ca dintre cele 15 bilete achiziționate să fie 3 câștigătoare?
Soluţie:
Este necesar să se găsească probabilitatea de n=3 succese din N=15 teste Bernoulli cu o probabilitate de succes p=0,04. Conform formulei lui Bernoulli, această probabilitate este egală cu:
P 15 (3) = = 0,04 3 0,96 12 =455 0,000064 0,613=0,018
Sarcină № 8 (6).
Condiție:
Probabilitatea de faliment a uneia dintre cele 9 firme până la sfârșitul anului este de 0,24. Care este probabilitatea ca nu mai mult de 3 firme să intre în faliment până la sfârșitul anului?
P(n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P 9 (0)+P 9 (1)+P 9 (2)+P 9 (3) =
1 0.0846+ 0.24 0.1113+ 0.0576 0.1465+ 0.138 0.01927 =
0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847
Sarcină № 9 (1).
Condiție:
Prețul curent al unei valori mobiliare este o valoare X distribuită normal cu media =55 și varianța D X =4. Aflați probabilitatea ca prețul activului să fie în intervalul de la X 1 =53 la X 2 =57 den. unitati.
Soluţie:
Deci cum M(X)? =55, ? = = 2, atunci
P(53 Sarcină
№
1
0 (7).
Condiție: Venitul total a 10 firme este în medie S=11000. În 80% din cazuri, acest venit se abate de la medie cu cel mult?S = 500. Găsiți probabilitatea ca următorul venit lunar să fie în intervalul între 1000 și 10000. Soluţie: Conform condițiilor problemei =P (10500 2=0.8, =0.4 apoi din tabelul de valori al funcției Ф(х) găsim =1,28, ? = =390,625 P(1000 Un algoritm pentru determinarea probabilității unui eveniment și îndeplinirea așteptărilor statistice. Estimarea valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitatea acestora. Calculul așteptărilor matematice, varianței și abaterii standard. Analiza caracteristicilor caracteristice. test, adaugat 13.01.2014 Aplicarea definiției clasice a probabilității în rezolvarea problemelor economice. Determinarea probabilității ca piesele defecte și nedefecte să intre în ansamblu. Calculul probabilității și statisticilor valorii eșantionului folosind formula lui Bernoulli. test, adaugat 18.09.2010 Definiția clasică a probabilității unui eveniment. Metode de calcul a apariției unui eveniment așteptat. Construirea unui poligon de distribuție. Căutați variabile aleatoare cu o densitate de distribuție dată. Rezolvarea problemelor legate de tema probabilității. sarcină, adăugată la 14.01.2011 Aplicarea definiției clasice a probabilității pentru a găsi combinații date între un anumit număr de părți. Determinarea probabilității ca un pasager să meargă la prima casă de bilete. Folosind teorema locală a lui Moivre-Laplace pentru a estima abaterea. test, adaugat 23.11.2014 Apariția teoriei probabilităților ca știință. Definiția clasică a probabilității. Frecvența producerii evenimentului. Operațiuni pe evenimente. Adunarea și înmulțirea probabilității. Schemă de testare independentă repetată (sistemul Bernoulli). Formula probabilității totale. rezumat, adăugat 22.12.2013 Conceptul general și caracteristicile celui mai simplu spațiu al rezultatelor elementare. Metode de calcul a probabilității unui eveniment. Modelul probabilistic clasic, principalele sale proprietăți și dovezi. Axiome de bază ale teoriei probabilităților, exemple de rezolvare a problemelor. rezumat, adăugat 24.04.2009 Metode de calcul a apariției unui eveniment. Rezolvarea problemelor legate de teoria probabilităților. Folosind tabelul funcției Laplace pentru a determina frecvențele teoretice ale legii distribuției normale. Determinarea varianței eșantionului corectat. test, adaugat 14.03.2015 Caracteristicile unui grup complet de evenimente ca un set al tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment. Metode de determinare a probabilității evenimentelor în probleme de diferite direcții. Găsirea probabilității numărului de piese nestandardizate. Construirea funcției de distribuție. sarcină, adăugată 19.03.2011 Studierea esenței și formularea de ipoteze despre legea distribuției probabilităților datelor experimentale. Conceptul și evaluarea asimetriei. Decizia asupra formei legii distribuției probabilității pentru rezultat. Trecerea de la o valoare aleatorie la o valoare non-aleatorie. lucrare curs, adaugat 27.04.2013 Determinarea și evaluarea probabilității de apariție a unui anumit eveniment. O tehnică pentru rezolvarea unei probleme folosind teorema de adunare și înmulțire, formula probabilității totale sau Bayes. Aplicarea schemei lui Bernoulli în rezolvarea problemelor. Calculul abaterii pătrate. Adesea începem analiza probabilității cu preliminare, a priori valorile de probabilitate ale evenimentelor care ne interesează. Apoi din surse de informații precum eșantion, raport, experiență etc. primim informatii suplimentare despre evenimentul care ne intereseaza. Având aceste noi informații, putem clarifica și recalcula valorile probabilităților a priori. Noi valori de probabilitate pentru aceleași evenimente de interes pentru noi vor fi deja a posteriori probabilități (post-experimentale). Teorema lui Bayes ne oferă o regulă pentru calcularea unor astfel de probabilități. Lasă evenimentul A se poate întâmpla doar cu unul dintre evenimente B 1, B 2, B 3,…, B n, formând un grup complet. Să fie cunoscute probabilitățile P(B 1), P(B 2), P(B 3),…, P(B n). De la evenimente În i formați un grup complet, apoi . Sunt cunoscute și probabilitățile condiționate ale evenimentului A: P(A/B 1), P(A/B 2),…, P(A/B i),…, P(A/B n).Întrucât nu se știe dinainte care dintre evenimente În i se va întâmpla un eveniment A, apoi evenimente În i se numesc ipoteze. Este necesar să se determine probabilitatea unui eveniment Ași supraestimează probabilitățile evenimentelor În i luând în considerare informații complete despre eveniment A. Probabilitatea evenimentului A definit ca: Această probabilitate se numește probabilitate deplină. Dacă evenimentul A poate avea loc numai cu unul dintre evenimentele B 1, B 2, B 3,..., B n, formând un grup complet de evenimente incompatibile numite ipoteze, atunci probabilitatea evenimentului A este egală cu suma produse ale probabilităților fiecăruia dintre evenimentele B 1, B 2, B 3 ,…, B n, la probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului A. Probabilitățile condiționate ale ipotezelor sunt calculate folosind formula: Acestea sunt formulele lui Bayes (numite după matematicianul englez T. Bayes, care le-a publicat în 1764), unde numitorul P(A) este probabilitatea totală. Exemplul 1. Un economist estimează că probabilitatea ca prețul acțiunilor unei companii să crească anul viitor este de 0,75 dacă economia țării este în plină expansiune; și aceeași probabilitate este egală cu 0,30 dacă economia țării nu se dezvoltă cu succes. În opinia sa, probabilitatea redresării economice anul viitor este de 0,80. Folosind ipotezele unui economist, cât de probabil este ca acțiunile companiei să crească în preț în anul următor? Soluţie. Să definim evenimentele: A- „Acțiunile companiei vor crește în preț anul viitor.” Eveniment A– „acțiunile companiei vor crește în preț anul viitor” - se poate întâmpla doar împreună cu una dintre ipoteze: B 1– economia țării va fi în creștere și B 2– economia țării nu se va dezvolta cu succes. În funcție de condiție, probabilitățile ipotezelor sunt cunoscute: P(B1)= 0,8; P(B2)= 0,2 și probabilitățile condiționate ale evenimentului A: P(A/B 1)= 0,75; P(A/B2)= 0,3. Ipotezele formează un grup complet, suma probabilităților lor este egală cu 1. Luați în considerare evenimentul A– aceasta (sau B 1 A sau B 2 A). Evenimente B 1 AȘi B 2 A –B 1Și B 2- incompatibil. Evenimente B 1Și A, B 2Și A- dependent. Cele de mai sus ne permit să aplicăm pentru a determina probabilitatea dorită a unui eveniment A formula probabilitatii totale: Răspuns: 0,66. Exemplul 2. Economistul consideră că în perioada de creștere economică activă, dolarul american va crește în valoare cu o probabilitate de 0,7; într-o perioadă de creștere economică moderată, dolarul va crește cu o probabilitate de 0,4; iar la rate scăzute de creștere economică, dolarul va crește în preț cu o probabilitate de 0,2. În orice perioadă de timp, probabilitatea unei creșteri economice puternice este de 0,3, creșterea economică moderată este de 0,5 și creșterea scăzută este de 0,2. Să presupunem că dolarul se apreciază în perioada curentă. Care este probabilitatea ca perioada analizată să coincidă cu o perioadă de creștere economică activă? Soluţie. Să definim evenimentele: A- „Dolarul devine din ce în ce mai scump.” Se poate întâmpla doar împreună cu una dintre ipotezele: B 1– „creștere economică activă”; B 2– „creștere economică moderată”; B 3– „creștere economică scăzută”. După condiție, sunt cunoscute probabilitățile preexperimentale (a priori) ale ipotezelor și probabilitățile condiționate ale evenimentului. A: P(B1)= 0,3; P(B2)= 0,5; P(B3)= 0,2. P(A/B 1)= 0,7; P(A/B2)= 0,4; P(A/B3)= 0,2. Ipotezele formează un grup complet, suma probabilităților lor este egală cu 1. 1.Eveniment A– aceasta (sau B 1 A, sau B 2 A, sau B 3 A). Evenimente B 1 AȘi B 2 AȘi B 3 A – incompatibil în perechi, din moment ce evenimentele B 1, B 2Și B 3– incompatibil.Evenimente B 1Și A, B 2Și A, AȘi B 2– dependent.După condiţie se cere găsirea probabilităţii rafinate (post-experimentale, posterioare) a primei ipoteze, i.e. este necesar să se găsească probabilitatea creșterii economice active, cu condiția ca dolarul să crească în preț (eveniment A sa întâmplat deja), adică P(B 1 /A)-? Folosind formula lui Bayes (5.2) și înlocuind valorile probabilității date, avem: Revenire așteptată și abatere standard. Acest exemplu vă va oferi o modalitate practică de a calcula performanța la care ne putem aștepta de la un portofoliu de investiții. Sunt date două tipuri de stocuri și trei stări ale economiei: Calculați abaterea standard și randamentul așteptat pentru fiecare tip de stoc. Riscul și rentabilitatea portofoliului. Să ne întoarcem la Exemplul 11.1 și să presupunem că aveți 20.000 USD în total. Dacă investești 6.000 USD în acțiuni A, iar restul în B, care va fi rentabilitatea așteptată și abaterea standard a portofoliului dvs.? Risc și întoarcere. Să presupunem că luați în considerare următoarea situație: Dacă rata fără risc este de 8%, aceste titluri sunt evaluate corect? Care ar fi rata fără risc dacă valorile mobiliare ar fi evaluate corect? CAPM. Să presupunem că rata fără risc este de 8%. Randamentul așteptat pe piață este de 14%. Dacă un anumit tip de activ are (3 = 0,6), atunci care este randamentul așteptat al activului respectiv pe baza CAPM? Dacă un alt activ are o rentabilitate așteptată de 20%, atunci care ar trebui să fie coeficientul (3)? Răspunsuri Randamentele așteptate sunt calculate ca produsul dintre randamentele posibile și probabilitățile acestora: E( R A) = 0,1 x (-0,2) + 0,6 x (0,1) + 0,3 x (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 x (0,3) + 0,6 x (0,2) + 0,3 x (0,5) = 30% Incoerența este calculată ca suma produselor abaterilor pătrate ale randamentelor așteptate și a probabilităților acestora: Od = 0,1 x (-0,2 - 0,25)2 + 0,6 x (0,1 - 0,25)2 + 0,3 x (0,7 - 0,25)2 = = 0,1 x (-0,45)2 + 0,6 x (-0,15)2 + 0,3 x (0,45)2 = 0,1 x 0,2025 + 0,6 x 0,0225 + 0,3 x 0,2025 = 0,0945 a2, = 0,1 x (0,3 - 0,3)2 + 0,6 x (0,2 - 0,3)2 + 0,3 x (0,5 - 0,3)2 = 0,1 x (0,0)2 + 0,6 x (-0,1)2 + 0,3 x (0,2)2 = 0,1 x 0,0 + 0,6 x 0,01 + 0,3 x 0,04 = 0,0180 Abaterile standard sunt: aA = VO.0945 = 30.74% aB = VO.0180 = 13.42 % Greutatea fiecărui tip de acțiuni din portofoliu este: 6.000 USD/20.000 = 0,3 și 14.000 USD/20.000 = 0,7. Atunci randamentul așteptat al portofoliului va fi: Sh/U = 0,3 x E(RA) + 0,7 x E(RB) = 0,3 x 25% + 0,7 x 30% = 28,50% Atunci randamentul portofoliului este E( Rp) = 0,1 x (0,15) + 0,6 x (0,17) - 0 3 x (0,56) = 28,50%. Acesta este același rezultat pe care l-am obținut mai devreme. Să calculăm volatilitatea portofoliului Sau = 0,1 x (0,15 - 0,285)2 + 0,6 x (0,17 - 0,285)2 + 0,3 x (0,56 - 0,285)2 = 0,03245 Atunci abaterea standard este rădăcina pătrată de 0,03245 și este egală cu 18,01% Dacă calculăm raportul risc-recompensă pentru acțiunile fiecărei companii, ajungem la (19% - 8%)/1,6 = 6,875% pentru Cooley și 6,67% pentru Cooley. Față de Cooley, randamentul așteptat al lui Cooley este prea scăzut. de aceea ea preturile sunt prea mari Dacă titlurile de valoare ale ambelor companii sunt evaluate corect, atunci acestea ar trebui să ofere aceeași recompensă de risc. Așa că putem stabili ecuația (19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2 După ce am făcut transformări algebrice mici, obținem /?у= 7% (19% - Rf) = (16% - OTRAVĂ 1,6/1,2) 19% - 16% x (4/3) = Rf - Rf x (4/3) yu=7% Deoarece randamentul așteptat al pieței este de 14%, prima de risc de piață este în mod corespunzător (14% - 8%) = 6% (rata fără risc este de 8%). Primul tip de titluri au P = 0,6, ceea ce înseamnă randamentul așteptat. este 8% + 0,6x6%= 11,6% Pentru al doilea tip, prima de risc este de 20% - 8% = 12% Deoarece aceasta este exact de două ori mai mare decât prima de risc de piață, atunci coeficientul p trebuie să fie exact egal cu 2. Putem verifica acest lucru folosind teoria CAPM 20% = 8% + x p P, = 12%/6% = 2,0 Întrebări și sarcini Rentabilitatea preconizată a portofoliului. Dacă un portofoliu are o investiție pozitivă în fiecare activ, poate rentabilitatea așteptată a unui astfel de portofoliu să fie mai mare decât rentabilitatea fiecărui activ din acel portofoliu? Mai puțin? Dacă răspundeți da la una sau ambele întrebări, vă rugăm să oferiți un exemplu care să vă susțină decizia. Volatilitatea și diversificarea activelor individuale. Adevărat sau fals: Cea mai importantă caracteristică în determinarea randamentului așteptat al unui portofoliu bine diversificat este volatilitatea deținerilor individuale ale portofoliului. Explica. Riscul de portofoliu. Dacă un portofoliu are investiții pozitive în fiecare activ, poate abaterea standard a acelui portofoliu să fie mai mică decât abaterea standard a fiecărui activ din acel portofoliu? Ce poți spune despre b dintr-un astfel de portofoliu? Rentabilitatea portofoliului. Folosind informațiile din capitolul anterior despre istoria pieței de valori, care a fost randamentul unui portofoliu care a fost alocat în mod egal între acțiunile comune și obligațiunile guvernamentale pe termen lung? Care este repartizată în mod egal între acțiunile mici și bonurile de trezorerie? CAPM. Folosind CAPM, dovediți că coeficientul primei de risc a două active este egal cu coeficienții acestora p. Rentabilitatea portofoliului și variațiile. Având în vedere următoarele informații despre un portofoliu format din trei tipuri de titluri, determinați: Dacă ai investit 30% în AȘi B, 40% în C, care va fi randamentul așteptat al portofoliului? Impermanenta? Deviație standard? Dacă rata de rentabilitate aşteptată Billet de stat este 5,25%, atunci care va fi prima de risc a portofoliului? Dacă rata inflației așteptată este de 5%, care este randamentul real așteptat al portofoliului? Care este prima de risc reală pentru portofoliu? Analiza portofoliului. Doriți să creați un portofoliu cu același nivel de risc ca și piața de valori în ansamblu. Ai 200.000 USD. Cu informațiile de mai jos, completați elementele lipsă: Analiza portofoliului. Aveți 100.000 USD de investit în oricare dintre titlurile de valoare D, fie în F, fie într-un activ fără risc. Trebuie să-ți investești toți banii. Scopul tău este să creezi un portofoliu cu o rentabilitate așteptată de 10% și doar 60% din risc în comparație cu restul pieței. Dacă D are un randament așteptat de 20% și P = 1,50, F are un randament așteptat de 15% și P = 1,15, rata fără risc este de 5%, atunci câți bani vei investi în F? Risc sistematic versus nesistematic. Aveți următoarele informații: Prima de risc de piață este de 8%, iar rata fără risc este de 6%. Ce tip de titluri prezintă cel mai mare risc sistematic? Care tip are cel mai mare risc nesistematic? Ce fel de titluri sunt cele mai riscante? Explica. Întrebări avansate Coeficienți b. Poate un activ riscant să aibă b = 0? Explica. Folosind modelul CAPM, care va fi rentabilitatea așteptată a unui astfel de activ? Poate un activ riscant să aibă un coeficient b negativ? Ce prezice? CAPM despre nivelul rentabilității așteptate pentru un astfel de activ? Poți explica răspunsul tău? Linia de stare bursieră ( SML). Să presupunem că luați în considerare următoarea situație: Să presupunem că aceste titluri au preț corect. Bazat pe CAPM, determinați care va fi rentabilitatea așteptată de pe piață? Care este pariul fără risc? Examen CFA– examen pentru obținerea unui certificat de analist financiar, care se eliberează profesioniștilor în investiții din Statele Unite. Soluţie. Să fie cazul că o parte luată la întâmplare din producția generală de mașini automate este standard. Acest eveniment are loc împreună cu una dintre ipoteze Ipotezele formează un grup complet de evenimente, suma probabilităților lor este egală cu 1. Probabilitățile condiționate ale evenimentului care ne interesează sunt egale cu: Vom găsi probabilitatea dorită a unui eveniment folosind formula probabilității totale, care în cazul nostru se va scrie după cum urmează: În sfârșit o înțelegem Sarcina 2. Un tipograf folosește 2 seturi de fonturi de volum egal, unul care conține 80% și 2 conținând 70% font de înaltă calitate. Tipul selectat aleatoriu dintr-un set selectat aleatoriu s-a dovedit a fi de înaltă calitate. Găsiți probabilitatea ca această literă să fie luată din al 2-lea set. Soluţie. Evenimentul este o scrisoare de înaltă calitate luată la întâmplare. Ca și în problema anterioară, ea apare împreună cu una dintre ipoteze După condiție Unde În acest caz A 3.1. Din cele 20 de piese selectate, 5 au fost realizate pe mașina nr. 1, 10 au fost realizate pe mașina nr. 2, iar restul au fost realizate pe mașina nr. 3. Probabilitatea de a produce o piesă standard pe mașina nr. 1 este de 0,96, la mașina nr. 2 – 0,98. Găsiți probabilitatea de a produce o piesă standard pe mașina nr. 3 dacă probabilitatea de a obține o piesă standard din cele 20 specificate prin selecție aleatorie este 0,98. A 3.2. Piesele sunt primite pentru asamblare de la 4 mașini. Al doilea dă 40%, A 3.3. Din 20 de trăgători, 7 au lovit ținta cu o probabilitate de 0,6; A 3.4. Trei loturi de piese conțin 1/2, 2/3 și, respectiv, 1/2 defecte. S-a luat 1 parte din fiecare lot și A 3,5. Dintr-un lot de 4 părți, una a fost luată la întâmplare și s-a dovedit a fi A 3.6. Numărul de produse defecte dintre cele 6 produse este necunoscut în prealabil și toate ipotezele despre numărul de produse defecte sunt la fel de probabile. Produsul luat la întâmplare s-a dovedit a fi defect. Găsi A 3.7. 2 cutii conțin fiecare 20 de părți, dintre care prima cutie conține 12, iar a doua cutie conține 15 părți standard. O parte este transferată din prima casetă în a doua. Determinați probabilitatea ca piesa apoi îndepărtată aleatoriu din a doua casetă să fie standard. A 3.8. Magazinul a primit lămpi electrice produse de două fabrici. Dintre acestea, 70% au fost fabricate de prima fabrică, iar restul de a 2-a. Se știe că 3% din lămpile din prima fabrică și 5% din lămpile din a 2-a fabrică nu respectă standardul. Care este probabilitatea ca o lampă aleasă la întâmplare să fie una standard? A 3.9. Din 20 de tragători, 7 au lovit ținta cu o probabilitate de 0,9; A 3.10. Prin stația de lângă stație trec autobuzele rutelor nr.2, nr.3, nr.10 și nr.29. Călătorul așteaptă autobuzul nr.2 sau nr.10. Dintre cele 50 de autobuze care circulă, sunt 6 autobuze. Nr. 2 și 9 - Nr. 10. Găsiți probabilitatea ca, în primul rând, un autobuz care se apropie de o stație să se afle pe ruta de care are nevoie pasagerul dacă se presupune că apariția oricărui autobuz la stație este la fel de probabilă. A 3.11. Sunt 2 cutii de produse, iar într-o cutie totul A 3.12. Dintr-un recipient care conține aceeași cantitate A 3.13. 2 cutii conțin fiecare 20 de părți, dintre care A 3.14. Se știe că 5% din toți bărbații și 25% dintre toate femeile sunt daltonici. Un număr egal de bărbați și femei au sosit la examen. Persoana aleasă la întâmplare s-a dovedit a fi daltonică. A 3.15. Din 18 tragători, 5 au lovit ținta cu o probabilitate de 0,8; 7 – cu probabilitate 0,7; 4 – cu probabilitate 0,6; 2 – cu probabilitate 0,5. Un trăgător ales aleatoriu a tras o lovitură, dar a ratat ținta. Cărui grup a aparținut cel mai probabil acest shooter? A 3.16. Se știe că 96% dintre produsele fabricate îndeplinesc standardele. O schemă de control simplificată este considerată adecvată A 3.17. Dispozitivul poate fi asamblat din înaltă calitate A 3.18. Probabilitatea ca în timpul funcționării computerului să apară o defecțiune în unitatea aritmetică, în RAM și în A 3.19. Din cei zece studenți care au venit să susțină examenul de teoria probabilităților și au luat bilete, 2 cunosc 20 de bilete din 30, 1 a reușit să repete doar 15 bilete, studenții rămași cunosc toate cele 30 de bilete. După ce timpul alocat pregătirii a trecut, examinatorul cheamă aleatoriu unul dintre elevi să răspundă. Care este probabilitatea ca persoana chemată să promoveze examenul dacă cunoașterea biletului garantează promovarea examenului cu o probabilitate de 0,85 și dacă A 3.20.Într-un grup de 25 de persoane care au venit să susțină un examen de teoria probabilităților, sunt 5 studenți excelenți, 12 bine pregătiți, 5 satisfăcător pregătiți și 3 slab pregătiți. Elevii excelenți cunosc toate cele 30 de întrebări ale programului, studenții bine pregătiți știu 25, studenții pregătiți satisfăcător știu 15, iar studenții slab pregătiți știu doar 10 întrebări. Un student a fost chemat la întâmplare și a răspuns la două întrebări. Aflați probabilitățile evenimentelor: a) elevul este excelent sau bine pregătit; b) elevul este pregătit satisfăcător; c) elevul este slab pregătit. A 3.21. Există 3 tipuri de televizoare la vânzare. Produse A 3,22. La transfuzia de sânge, este necesar să se țină cont de grupa sanguină a donatorului și a pacientului. O persoană cu grupa sanguină 4 poate fi transfuzată cu sânge de orice tip; o persoană cu grupa de sânge 2 sau 3 poate fi transfuzată cu sânge din același grup sau 1; A 3,23. O cutie conține 20 de mingi de tenis, dintre care 15 noi și 5 folosite. Pentru a juca, 2 bile sunt alese la întâmplare și returnate după joc. Apoi, pentru al doilea joc, se mai trag și alte 2 bile la întâmplare. Care este probabilitatea ca Jocul 2 să fie jucat cu mingi noi? A 3,24. Atelierul produce tuburi de imagine pentru televizoare, cu 70% din toate tuburile de imagine destinate televizoarelor color și 30% pentru alb-negru. Se știe că 50% din toate produsele sunt exportate, iar din numărul total de tuburi de imagine destinate televizoarelor color, 40% sunt exportate. Găsiți probabilitatea ca un cinescop luat la întâmplare pentru inspecție, destinat unui televizor alb-negru, să fie trimis spre export. A 3,25. Există 25 de loturi de același tip de produse: 10 loturi a câte 10 produse fiecare, dintre care 8 sunt standard, 2 sunt nestandard; 5 loturi a câte 8 produse fiecare, dintre care 6 standard, 2 non-standard; 5 loturi a câte 8 produse fiecare, dintre care 6 standard, 2 non-standard; 5 loturi de 5 produse, dintre care 4 standard, 1 non-standard. O parte este eliminată dintr-un lot selectat aleatoriu. Care este probabilitatea ca acesta să fie non-standard? A 3,26. Trei dactilografe tasteau manuscrisul. Primul a dactilografiat 1/3 din întregul manuscris, al 2-lea - 1/4, restul - al 3-lea. Probabilitatea ca prima dactilografă să greșească este de 0,15, a 2-a – 0,1, a 3-a – 0,1. A fost detectată o eroare în timpul verificării. Găsiți probabilitatea ca eroarea să fi fost făcută de prima dactilografă. A 3,27. Probabilitatea de a produce o piesă cu un defect este de 0,05. Probabilitatea de a detecta un defect este de 0,95, iar probabilitatea ca o piesă bună să fie respinsă este de 0,02. Aflați probabilitatea ca: a) partea să fie acceptată; b) piesa acceptată se dovedește a fi defectă; c) piesa neacceptată nu va fi defecte. A 3,28. S-a stabilit a priori că numărul de piese defecte nu depășește 3 la 100 și toate valorile (0, 1, 2, 3) ale numărului de piese defecte A 3,29. Studentul nu cunoaște toate lucrările de examen. În ce caz șansele de a trece examenul sunt mai mari: când este primul care trage biletul sau nu este primul? Și 3.30. Urna conține o minge de culoare necunoscută - cu aceeași probabilitate să fie albă sau neagră. 1 bilă albă este aruncată în urnă, iar după o amestecare minuțioasă, 1 bilă este extrasă la întâmplare. A 3.31. Dispozitivele de același tip sunt produse de trei fabrici într-un raport de 2:5:8, iar probabilitatea de defecte pentru aceste fabrici A 3,32.Șaptezeci la sută din tuburile de imagine disponibile în depozitul studioului de televiziune au fost fabricate de fabrica nr. 1, restul de fabrica nr. 2. Probabilitatea ca cinescopul instalației nr. 1 să reziste la durata de viață a garanției este de 0,9, pentru instalația nr. 2 această probabilitate este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca un cinescop luat la întâmplare să reziste perioadei de garanție. A 3,33. Două cutii conțin fiecare 20 de părți, dintre care prima cutie conține 16, iar a doua cutie conține 10 părți standard. O parte este scoasă din prima casetă și transferată în a doua. Determinați probabilitatea ca o piesă apoi îndepărtată aleatoriu din a doua casetă să fie standard? A 3,34. Din cele 20 de piese selectate, 5 au fost realizate pe mașina nr. 1, 10 pe mașina nr. 2, iar restul pe mașina nr. 3. Probabilitatea de a produce o piesă standard la mașina nr. 1 este de 0,96, la mașina nr. 2 – 0,98. Găsiți probabilitatea de a produce o piesă standard pe a treia mașină dacă probabilitatea de a obține o piesă standard din cele 20 specificate prin selecție aleatorie este 0,97. A 3,35. Operatorul stației radar detectează o aeronavă inamică cu o probabilitate de 0,8 și confundă interferența cu o aeronavă cu A 3,36. Din 20 de trăgători, șapte au lovit ținta cu o probabilitate de 0,6; opt cu o probabilitate de 0,5 și cinci cu o probabilitate de 0,7. A 3,37. Pentru construcția instalației, plăcile de beton armat sunt furnizate de la 4 fabrici de ciment în cantități de 50, 10, 40 și 30 buc. A 3,38. Economistul estimează că probabilitatea ca prețul acțiunilor unei companii să crească anul viitor va fi de 0,75 dacă economia țării este în plină expansiune și de 0,30 dacă economia nu se dezvoltă bine. Potrivit experților, probabilitatea redresării economice este de 0,6. Estimați probabilitatea ca acțiunile companiei să crească în anul următor. A 3,39. Un investitor a investit în valorile mobiliare a două firme financiare. Totodată, speră să primească venituri într-un timp specificat de la prima companie cu o probabilitate de 0,9; din a doua - cu probabilitatea 1, există însă posibilitatea falimentului firmelor independent unele de altele, care este estimată pentru prima companie cu o probabilitate de 0,1; pentru al doilea – 0,02. În cazul falimentului unei companii, investitorul primește doar capitalul investit. Care este probabilitatea ca investitorul să obțină profit? A 3.40. Atelierul meșteșugăresc angajează 3 meșteri și 6 dintre ucenicii acestora. Masterul permite defecte în fabricarea unui produs cu o probabilitate de 0,05; elev – cu probabilitate 0,15. Produsul primit de la atelier s-a dovedit a fi defect. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost făcut de un meșter? Blocul B C 3a Inspectorii fiscali inspectează activitățile întreprinderilor: primul servește A) întreprinderea aleasă aleatoriu nu are datorii; B) primul inspector a fost inspectat de primul inspector? Documente similare
. (5.1)
Valori mobiliare Beta Revenire așteptată
Cooley, Inc. 1,6
19%
Moyer Co. 1,2
16%
Active Investiții, $ b
Vedere A
1,20
Vedere B
0,85
Vedere C
??
1,40
Activ fără riscuri ??
??
Titluri de valoare ale companiei b Revenire așteptată
Abel Co. 1,15
18%
Baker Co. 0,80
15%
Este necesar să introduceți și să definiți cu precizie ipotezeȘi eveniment final 
, indicați probabilitățile ipotezelor 
și probabilitățile condiționate ale evenimentului la apariția fiecărei ipoteze 
. În acest caz, ar trebui să se formeze setul de ipoteze grup complet de evenimente, deci suma probabilităților lor este egală cu 1: 
.
^
Rezolvarea problemelor tipice
Sarcina 1. Ansamblul primește piese de la 3 mașini automate, a căror productivitate este în raport de 2:3:5. Defecte ale produselor lor sunt de 2%, 1%, respectiv 3%. Aflați probabilitatea ca o parte luată la întâmplare din producția totală de mașini să fie standard. 
, constând în faptul că partea cu i-a-a mitralieră. Probabilitățile acestor ipoteze:
; 
; 
.
; 
; 
.
– litera s i-mult – ale căror probabilităţi 
. Ipoteze 
Și 
formează un grup complet de evenimente.
, 
. Trebuie să găsim probabilitatea 
, adică supraestimează probabilitatea unei ipoteze având în vedere că evenimentul a avut deja loc. Folosim Formula Bayes
,
– formula probabilității totale.
.
^
Sarcini de raportat profesorului
Blocul A
iar al treilea - 30% din produsele care intră în montaj. Prima mașină produce 0,125% din defecte, iar a doua, a treia și a patra – 0,25% fiecare. Ce procent din produs merge la asamblare de la a 4-a mașină, dacă probabilitatea ca piesele defecte să ajungă la asamblare este de 0,00225?
8 – cu probabilitate 0,5 și 5 – cu probabilitate 0,7. Un trăgător ales aleatoriu a tras o lovitură, lovind ținta. Cărui grup a aparținut cel mai probabil acest shooter?
Au fost gasite 2 defecte. Determinați probabilitatea ca o piesă de bună calitate să aparțină celui de-al treilea lot.
benignă. Orice număr de piese de bună calitate este la fel de posibil. Care ipoteză despre numărul de piese defecte este cea mai probabilă și care este probabilitatea acesteia?
probabilitatea ca: a) numărul de produse defecte să fie 6; b) produsul defect luat este singurul.
8 – cu probabilitate 0,5 și 5 – cu probabilitate 0,6. Un trăgător ales aleatoriu a tras o lovitură, dar a ratat ținta. Cărui grup a aparținut cel mai probabil acest shooter?
produsele sunt de bună calitate, iar în 2 - doar jumătate. Produsul, luat la întâmplare din caseta selectată, s-a dovedit a fi de bună calitate. Cât de diferite sunt probabilitățile ca un articol să aparțină primei și a doua casete, dacă numărul de articole din casete
aceeași?
piese de la 4 întreprinderi, am luat o parte pentru inspecție. Care este probabilitatea de a detecta produse defecte dacă produsele a 2 întreprinderi conțin 3/4 piese defecte și toate
Sunt produsele altor întreprinderi de bună calitate?
Prima cutie are 16, iar a doua cutie are 10 standard. 2 părți sunt scoase din prima cutie și plasate în a doua cutie. Defini
probabilitatea ca o parte să fie îndepărtată la întâmplare din
Al 2-lea sertar va fi standard.
Care este probabilitatea ca acesta să fie bărbat?
produse standard cu o probabilitate de 0,98 și produse nestandard cu o probabilitate de 0,05. Găsiți probabilitatea ca un produs care a trecut controlul simplificat să îndeplinească standardele.
piese și din piese de calitate obișnuită. 40% dintre dispozitive sunt asamblate din piese de înaltă calitate. Dacă dispozitivul este asamblat din piese de înaltă calitate, atunci fiabilitatea acestuia (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timp t) este egal cu 0,95; dacă din părţi obişnuite
calitate, apoi 0,7. Dispozitivul a fost testat de-a lungul timpului tȘi
a lucrat impecabil. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie asamblat din piese de înaltă calitate.
alte dispozitive sunt legate ca 3:2:5. Probabilitățile de detectare a unei defecțiuni în dispozitivul aritmetic, RAM și alte dispozitive sunt, respectiv, egale cu 0,8; 0,9; 0,9. Găsiți probabilitatea ca o defecțiune să apară la mașină să fie detectată.
Fără să știi biletul, poți trece examenul doar cu o probabilitate de 0,1?
Prima fabrică conține 20% televizoare cu defecte ascunse,
2 – 10% și al 3-lea – 5%. Care este probabilitatea de a cumpăra un televizor funcțional dacă magazinul a primit 30% televizoare de la prima fabrică, 20% de la a 2-a și 50% de la a 3-a?
O persoană cu grupa sanguină 1 poate fi transfuzată doar cu sânge din grupa 1. Din populație, 33,7% au primul, 37,5% al doilea, 20,9% al treilea și 7,9% a patra grupă de sânge. Găsiți probabilitatea ca un pacient la întâmplare să poată primi o transfuzie de sânge de la un donator aleatoriu.
piese sunt la fel de posibile. Care este probabilitatea ca printre cele 1000 de piese fabricate disponibile sa nu existe defecte, daca din 100 de piese luate la inspectie nu existau defecte?
S-a dovedit a fi alb. Care este probabilitatea ca în urnă să rămână ceva?
bila alba?
respectiv egal cu 0,05, 0,03, 0,02. Dispozitivul achiziționat s-a dovedit a fi defect. Care este probabilitatea ca acesta să fie făcut
prima planta?
probabilitate 0,1. În 15% din cazuri, ecranul operatorului este afișat
împiedicare. Operatorul a luat o decizie cu privire la prezența în aer
spațiul aeronavei inamice. Determinați probabilitatea ca semnalul să fi fost primit efectiv de la aeronavă.
Un trăgător ales aleatoriu a tras o lovitură, lovind ținta. Cărui grup a aparținut cel mai probabil acest shooter?
respectiv. Fiecare dintre fabrici permite defecte în producția de plăci (nerespectarea GOST), egală în termeni procentuali cu 1, 5, 2 și, respectiv, 3. Care este probabilitatea ca o placă luată la întâmplare să îndeplinească cerințele GOST?
Blocul C
Dintre piesele care sosesc pentru asamblare de la prima mașină, 0,1% sunt defecte, de la a doua - 0,2%, de la a treia - 0,25%, de la a patra - 0,5%. Ratele lor de productivitate sunt, respectiv, 4: 3: 2: 1. Partea luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Aflați probabilitatea ca acesta să fi fost realizat: a) pe primul; b) pe a doua; c) pe a treia; d) pe a patra mașină. Cum se verifică corectitudinea calculelor acestor probabilități?
Pentru a participa la competițiile sportive de calificare a elevilor, patru elevi au fost selectați din prima grupă, șase din a doua și cinci elevi din a treia. Probabilitățile ca un student selectat din primul, al doilea și al treilea grup să ajungă în echipa institutului sunt 0,5, 0,4 și, respectiv, 0,3. Un participant selectat aleatoriu la concurs a fost inclus în echipă. Căruia dintre aceste trei grupuri aparține cel mai probabil?
Există cinci puști, dintre care trei au obiective optice. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură de la o pușcă cu o vizor optic este de 0,95 pentru un anumit trăgător și de 0,8 fără o vizor optic. Găsiți probabilitatea de a lovi ținta dacă trăgătorul trage o lovitură dintr-o pușcă luată la întâmplare.
De la prima mașină, 40% merg la asamblare, de la a doua - 30%, de la a treia - 20%, de la a patra - 10% din toate piesele. Dintre piesele primei mașini, 0,1% au fost defecte, a doua - 0,2%, a treia - 0,25% și a patra - 0,5%. Găsiți probabilitatea ca o piesă primită pentru asamblare să fie defectă.
Tuburile radio sunt produse în două fabrici, prima furnizează 70% din toate produsele, iar a doua - 30%. Din 100 de lămpi de la prima fabrică, 80 sunt standard, iar din 100 de lămpi de la a doua fabrică, doar 60 sunt standard. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente: a) clientul a primit o lampă standard; b) lampa a fost produsă de prima fabrică, dacă se știe că s-a dovedit a fi standard.
În unele industrii, 30% din produse sunt produse în prima fabrică, 25% în a doua, iar restul în a treia. La prima fabrică, defectele reprezintă 1% din volumul total al produselor produse, la a doua - 1,5%, la a treia - 2%. Produsul achizitionat de cumparator s-a dovedit a fi defect. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost produs în prima fabrică?
Există trei urne cu aspect identic. Prima are 3 bile albe si 4 negre, a doua are 5 albe si 7 negre, a treia are doar bile albe. Dintr-o urnă se extrage o minge la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca el să fie alb.
Trei trăgători au tras simultan în țintă, rezultând o gaură în ea. Probabilitatea de a lovi primul trăgător este de 0,3, al doilea – 0,5, al treilea – 0,8. Găsiți probabilitatea ca cel de-al doilea trăgător să lovească ținta.
Există trei urne cu aspect identic. Prima conține 4 bile albe și 6 negre, a doua conține toate bilele albe, a treia conține toate bilele negre. Se extrage o minge dintr-o urna aleasa aleatoriu. Aflați probabilitatea ca: a) bila să fie neagră; b) mingea a fost scoasă din prima urna dacă s-a dovedit a fi albă.
Studentul știe răspunsurile la 25 de bilete din 30. Un bilet a fost deja scos înaintea lui. Care este probabilitatea ca studentul să cunoască biletul primit?
În grup sunt 20 de fete și 10 băieți. 4 fete și 3 băieți nu și-au terminat temele. Studentul chemat la întâmplare s-a dovedit a fi nepregătit. Care este probabilitatea să fie băiat?
întreprinderi, inclusiv 
% nu au datorii, în al doilea rând 
întreprinderi, dintre care 
% fără datorii. Care este probabilitatea ca:
Număr
opțiune
Datele inițiale
Număr
opțiune
Datele inițiale
%
%
%
%
De la 3.1
50
15
70
20
C 3.6
55
20
75
40
C 3.2
70
25
80
30
C 3.7
85
35
95
15
De la 3.3
65
20
75
40
C 3.8
90
25
70
30
C 3.4
80
25
100
40
C 3.9
80
20
55
45
C 3.5
70
30
90
20
Din 3.10
60
30
90
50
