Cercetare

Pe subiect

„Metode de rezolvare ecuații pătratice »

Efectuat:
grupa 8 clasa „G”.

Șef de lucru:
Benkovskaia Maria Mihailovna

Scopurile si obiectivele proiectului.

1. Arată că matematica, ca orice altă știință, are propriile ei mistere nerezolvate.
2. Subliniați că matematicienii se disting prin gândirea non-standard. Și uneori ingeniozitate și intuiție bun matematician Pur și simplu uimitor!
3. Arătaţi că însăşi încercarea de a rezolva ecuaţii pătratice a contribuit la dezvoltarea de noi concepte şi idei în matematică.
4. Învață să lucrezi cu diverse surse de informații.
5. Continuați muncă de cercetare matematică

Etapele cercetării

1. Istoria apariției ecuațiilor pătratice.

2. Definirea unei ecuații pătratice și a tipurilor acesteia.

3. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formula discriminantă.

4. Francois Viète și teorema sa.

5. Proprietăți ale coeficienților pentru găsirea rapidă a rădăcinilor unei ecuații pătratice.

6. Orientare practică.

Prin ecuații, teoreme

Am rezolvat multe probleme.

(Chaucer, poet englez, evul mediu.)

etapă. Istoria apariției ecuațiilor pătratice.

Nevoia de a rezolva ecuații nu numai de gradul I, ci și de gradul II, a fost cauzată în antichitate de nevoia de a rezolva probleme legate de găsirea zonelor. terenuriși lucrări de pământ de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și matematicii în sine.

Babilonienii au fost capabili să rezolve ecuații patratice în jurul anului 2000 î.Hr. Regula pentru rezolvarea acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cele moderne, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii să găsească regula. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivel inalt dezvoltarea algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Aritmetica lui Diofant conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații diverse grade, cu toate acestea, nu conține o prezentare sistematică a algebrei.

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatele astronomice „Aryabhattiam”, compilate în 499. Aryabhatta, matematician și astronom indian. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a subliniat regula generala soluții de ecuații pătratice reduse la o singură formă canonică:

Tratatul algebric al lui Al-Khwarizmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul enumeră 6 tipuri de ecuații. Pentru al-Khwarizmi, care nu știa numere negative, termenii fiecărei ecuații sunt aditivi, nu subtraende. În același timp, ecuațiile care nu au soluții pozitive nu sunt în mod evident luate în considerare la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete, al-Khorezmi, ca toți oamenii de știință până în secolul al XVII-lea, nu ia în considerare soluția zero;

Tratatul lui Al-Khwarizmi este prima carte care a ajuns până la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și a formulelor pentru rezolvarea lor.

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice modelate după al-Khwarizmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă se distinge prin caracterul complet și claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat independent câteva metode algebrice noi pentru rezolvarea problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din „Cartea lui Abacus” au fost transferate în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII și parțial din secolele al XVIII-lea.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică pentru toate combinațiile posibile de semne coeficienții b,c a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generala Viet o are, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii din secolul al XVI-lea care au luat în considerare nu numai rădăcinile pozitive, ci și negative. Abia în secolul al XVII-lea, datorită lucrărilor lui Girrard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice a căpătat forma sa modernă.

RESĂ:

Probleme care implică ecuații pătratice au fost întâlnite încă din 499.

ÎN India antică concursurile publice de rezolvare a problemelor dificile erau frecvente – OLIMPIDE .

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2016-04-11

Reprezentanți ai diferitelor civilizații: Egiptul antic, Babilonul antic, Grecia antică, India antică, China antică, Orientul Medieval, Europa stăpânește tehnici de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Pentru prima dată, matematicienii Egiptului Antic au reușit să rezolve o ecuație pătratică. Unul dintre papirusurile matematice conține următoarea problemă:

„Găsiți laturile unui câmp în formă de dreptunghi dacă aria lui este de 12 și lungimile sale sunt egale cu lățimea.” „Lungimea câmpului este de 4”, spune papirusul.

Mileniile au trecut, iar numerele negative au intrat în algebră. Rezolvând ecuația x²= 16, obținem două numere: 4, –4.

Desigur, în problema egipteană am lua X = 4, deoarece lungimea câmpului poate fi doar o cantitate pozitivă.

Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici aveau câteva tehnici generale pentru rezolvarea problemelor cu cantități necunoscute. Regula de rezolvare a ecuațiilor pătratice prezentată în textele babiloniene este în esență aceeași cu cea modernă, dar nu se știe cum babilonienii „au ajuns până aici”. Dar în aproape toate textele papirus și cuneiforme găsite sunt date doar probleme cu soluții. Autorii și-au furnizat doar ocazional calculele numerice cu comentarii sumbre, cum ar fi: „Uite!”, „Fă asta!”, „Ai găsit-o pe cea potrivită!”

Matematicianul grec Diophantus a compus și a rezolvat ecuații patratice. Aritmetica sa nu conține o prezentare sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații de diferite grade.

Probleme privind alcătuirea ecuațiilor pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aria-bhatiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta.

Un alt om de știință indian Brahmagupta (secolul al VII-lea) a subliniat regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de forma ax² + bx = c.

În India antică, competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, așa om învăţat eclipsează gloria altuia în adunările populare propunând și rezolvând probleme algebrice.” Problemele erau adesea prezentate sub formă poetică.

Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars:

Un stol de maimuțe pline de joc

După ce am mâncat pe săturate, m-am distrat.

Partea a opta dintre ei se jucau în poiiana din piață.

Și doisprezece pe vițe... au început să sară, atârnând...​

Câte maimuțe erau?

Spune-mi, în pachetul ăsta?

Soluția lui Bhaskara arată că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori.

Cele mai vechi texte matematice chinezești care au ajuns până la noi datează de la sfârșitul secolului I. î.Hr. În secolul II. î.Hr. Matematica în nouă cărți a fost scrisă. Mai târziu, în secolul al VII-lea, a fost inclus în colecția „Zece tratate clasice”, care a fost studiată timp de multe secole. Matematica în nouă cărți explică cum să găsești rădăcina pătrată folosind formula pentru pătratul sumei a două numere.

Metoda a fost numită „tian-yuan” (literal „element ceresc”) - așa au desemnat chinezii o cantitate necunoscută.​

Primul manual pentru rezolvarea problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă a fost lucrarea omului de știință din Bagdad din secolul al IX-lea. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Cuvântul „al-jabr” de-a lungul timpului s-a transformat în binecunoscutul cuvânt „algebră”, iar însăși opera lui al-Khorezmi a devenit Punct de startîn dezvoltarea științei rezolvării ecuațiilor. Tratatul de algebric al lui Al-Khwarizmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără șase tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

-pătrate egale cu rădăcini, adică ah ² = bх;

-pătrate număr egal, adică ah ² = s;

-rădăcinile sunt egale cu numărul, adică ax = c;

-pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile, adică ah ²+ с = bх;

-pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul, adică ah ² + bх = с;

-rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele, adică bx + c = ax ²;

Tratatul lui Al-Khwarizmi este prima carte care a ajuns la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și oferă formule pentru rezolvarea lor.

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice modelate după al-Khwarizmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a introdus numere negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din „Cartea Abacului” au fost incluse în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial din secolul al XVIII-lea.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică x ² + bх = с, pentru toate combinațiile posibile de semne ale coeficienților b și с a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Vieta are o derivație generală a formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice, dar a recunoscut și numai rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă rădăcinile pozitive și negative, acestea sunt luate în considerare. Abia în secolul al XVII-lea, datorită lucrărilor lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice a căpătat forma sa modernă.

​

​

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

satul Kopevo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice de al-Khorezmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II, chiar și în cele mai vechi timpuri, a fost cauzată de necesitatea rezolvării unor probleme legate de găsirea suprafețelor de teren și cu lucrări de săpături cu caracter militar, precum și ca și în cazul dezvoltării astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut fi rezolvate în jurul anului 2000 î.Hr. e. babilonienii.

Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare al algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

Aritmetica lui Diofant nu conține o prezentare sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații de diferite grade.

Când compune ecuații, Diophantus selectează cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Problema 11.„Găsiți două numere, știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condițiile problemei rezultă că numerele cerute nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor nu ar fi egal cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mult decât jumătate din suma lor, adică . 10 + x, celălalt este mai puțin, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x .

De aici ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele necesare este egal cu 12 , alte 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele necesare ca necunoscut, atunci vom ajunge la o soluție a ecuației

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Este clar că, alegând jumătate de diferență a numerelor necesare drept necunoscut, Diophantus simplifică soluția; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații cuadratice în India

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a conturat o regulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

În India antică, competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de concursuri: „Așa cum soarele strălucește stelele cu strălucirea sa, tot așa un om învățat va eclipsa gloria altuia în adunările publice, propunând și rezolvând probleme algebrice”. Problemele erau adesea prezentate sub formă poetică.

Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars.

Problema 13.

„O turmă de maimuțe pline de frumusețe și douăsprezece de-a lungul viței...

Autoritățile, după ce au mâncat, s-au distrat. Au început să sară, să atârne...

Sunt ei în piață, partea a opta Câte maimuțe erau acolo?

Mă distram în poiană. Spune-mi, în pachetul ăsta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

si pentru a completa partea stanga a acestei ecuații la pătrat, se adaugă la ambele părți 32 2 , apoi obțineți:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice în al - Khorezmi

În tratatul de algebric al-Khorezmi, este dată o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

2) „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax 2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numerele”, adică. ah 2 + bx = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c = ax 2 .

Pentru al-Khorezmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt sumanzi și nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că în probleme practice specifice nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezi geometrice.

Problema 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (implică rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, ceea ce rămâne este 4. Luați rădăcina din 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5. , obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul lui al-Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și oferă formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în Europa XIII - XVII bb

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de-a lungul liniilor lui al-Khwarizmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât din țările islamice, cât și din Grecia antică, se remarcă prin caracterul complet și claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din Cartea Abacului au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2 + bx = c,

pentru toate combinațiile posibile de semne coeficiente b , Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei pentru rezolvarea unei ecuații pătratice în formă generală este disponibilă de la Vieth, dar Vieth a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alții calea oamenilor de știință rezolvarea ecuațiilor pătratice ia o formă modernă.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, numită după Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + D, înmulțit cu A - A 2 , egal BD, Acea A egală ÎN si egali D ».

Pentru a înțelege pe Vieta, ar trebui să ne amintim asta A, ca orice literă vocală, însemna necunoscutul (nostru X), vocale ÎN, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea Vieta de mai sus înseamnă: dacă există

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor cu formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viète a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul vieții este încă departe de a fi aspect modern. Nu a recunoscut numerele negative și de aceea, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile erau pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină clădire maiestuoasă algebră. Se găsesc ecuații cuadratice aplicare largă la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a VIII-a) până la absolvire.

Acasă > Raport

Instituție de învățământ municipală școală secundară numită după Eroi Uniunea Sovietică
Sotnikova A.T. și Shepeleva N. G. satul Uritskoye

Raport pe subiect:

„Istoria originii

ecuații pătratice"

Pregătite de:Izotova Iulia,
Ampleeva Elena,
Shepelev Nikolay,

Dyachenko Yuri.

Oh, matematica. De secole ești acoperit de glorie,

Lumina tuturor luminilor pământești.

Tu ești regina maiestuoasă

Nu e de mirare că Gauss l-a botezat.

Strict, logic, maiestuos,

Subțire în zbor, ca o săgeată,

Gloria ta nestingherită

De-a lungul secolelor, ea a câștigat nemurirea.

Lăudăm mintea umană,

Afacerile lui mâini magice,

Speranța acestui secol,

Regina tuturor științelor pământești.

Astăzi vrem să vă spunem

Istoria originii

Ce ar trebui să știe fiecare elev -

Istoria ecuațiilor pătratice.

Euclid, în secolul al III-lea î.Hr e. a dedicat întreaga carte a doua algebrei geometrice în „Principiile” sale, unde a fost adunat tot materialul necesar pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Euclid (Eνκλειδηζ), matematician antic grec, autor al primului tratat teoretic de matematică care a ajuns la noi

Cunoștințele despre Euclid sunt extrem de puține. Singurul lucru care poate fi considerat de încredere este că el activitate științifică a avut loc la Alexandria în secolul al III-lea î.Hr. e. Euclid este primul matematician al școlii alexandrine. A lui loc de muncă principal„Principii” (în formă latinizată - „Elemente”) conține o prezentare a planimetriei, stereometriei și o serie de întrebări în teoria numerelor; în el a rezumat dezvoltarea anterioară a matematicii grecești și a creat fundația dezvoltare ulterioară matematică. Stârc - Matematician și inginer grec pentru prima dată în Grecia în secolul I d.Hr. oferă o modalitate pur algebrică de a rezolva o ecuație pătratică.

Stârcul Alexandriei; Stârc, secolul I n. e., mecanic și matematician grec. Momentul vieții sale este incert, se știe doar că l-a citat pe Arhimede (care a murit în 212 î.Hr.), iar el însuși a fost citat de Pappus (c. 300 d.Hr.). În prezent, opinia predominantă este că a trăit în secolul I. n. e. A studiat geometria, mecanica, hidrostatica, optica; a inventat un prototip de motor cu abur și instrumente de nivelare de precizie. Cele mai populare au fost mașini automate precum teatrele automate, fântânile etc. El a descris teodolitul, bazat pe legile staticii și cineticii, și a oferit o descriere a pârghiei, blocului, șurubului și vehiculelor militare. În optică a formulat legile reflexiei luminii, în matematică - metode de măsurare a celor mai importante forme geometrice. Principalele lucrări ale lui G. sunt Ietrică, Pneumatică, Automatopoetică, Mecanică (franceză; lucrarea se păstrează în întregime în arabă), Catoptică (știința oglinzilor; păstrată doar în Traducere latină) și alții G. a folosit realizările predecesorilor săi: Euclid, Arhimede, Strato din Lampsacus. Stilul lui este simplu și clar, deși uneori este prea laconic sau nestructurat. Interesul pentru lucrările lui G. a apărut în secolul al III-lea. n. e. Greacă, apoi studenți bizantini și arabi au comentat și au tradus lucrările sale.

Diophantus- un om de știință grec în secolul al III-lea d.Hr., fără a apela la geometrie, a rezolvat unele ecuații pătratice pur algebric și a notat ecuația în sine și soluția ei în formă simbolică

„Îți voi spune cum matematicianul grec Diophantus a compus și a rezolvat ecuații patratice. Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui:„Găsiți două numere știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96.”

1. Din condiţiile problemei rezultă că numerele cerute nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egali, atunci produsul lor nu ar fi 96, ci 100.

2. Deci unul dintre ei va fi mai mult de jumătate din suma lor, adică. 10 + x, celălalt este mai mic, adică. 10 – x.

3. Diferența dintre ele este de 2x.

4. De aici rezultă ecuația (10 + x) * (10 – x) = 96

100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0

5. Răspuns x = 2. Unul dintre numerele pe care le căutăm este 12,
altele - 8. Soluția x = - 2 nu există pentru Diofant, deoarece Matematica greacă știa doar numere pozitive.” Diophantus a știut să rezolve ecuații foarte complexe și le-a folosit pentru necunoscute. denumiri de litere, a introdus un caracter special pentru calcul, a folosit abrevieri de cuvinte. Bhaskare – Akaria- Matematician indian în secolul al XII-lea d.Hr. deschis metoda generala rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Să ne uităm la una dintre problemele matematicienilor indieni, de exemplu, problema Bhaskara:

„Un stol de maimuțe se distrează: o opta parte din numărul lor total într-un pătrat se zbârnește în pădure, restul de douăsprezece țipă în vârful dealului. Spune-mi, câte maimuțe sunt?”

Comentând problema, aș dori să spun că problema corespunde ecuației (x/8) 2 + 12 = x. Bhaskara scrie ca x 2 – 64x = - 768. Adunând pătratul lui 32 de ambele părți, ecuația devine:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

După ce luăm rădăcina pătrată obținem: x – 32 =16.

"ÎN în acest caz,, spune Bhaskara, „unitățile negative ale primei părți sunt astfel încât unitățile din a doua parte sunt mai mici decât ele și, prin urmare, acestea din urmă pot fi considerate atât pozitive, cât și negative, și obținem valoarea dublă a necunoscutului: 48 și 16.”

Este necesar să concluzionam: soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori.

Se propune rezolvarea vechii probleme indiene Bhaskara:

„Un pătrat de o cincime dintre maimuțe, redus cu trei, s-a ascuns în grotă, o maimuță s-a cățărat într-un copac și a fost vizibilă. Câte maimuțe erau? De remarcat că această problemă poate fi rezolvată într-un mod elementar, reducându-se la o ecuație pătratică.
Al - Khorezmi - Savant arab care în 825 a scris cartea „Cartea restaurării și opoziției”. Acesta a fost primul manual de algebră din lume. De asemenea, a dat șase tipuri de ecuații pătratice și pentru fiecare dintre cele șase ecuații a formulat în cuvinte o regulă specială pentru rezolvarea acesteia. În tratatul lui Khorezmi, există 6 tipuri de ecuații, exprimându-le după cum urmează:

1. „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică. ah 2 = in.

2. „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax 2 = c.

3. „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah = s.

4. „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică. ax 2 + c = in.

5. „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numerele”, adică. ax 2 + inx = s.

6. „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică în + c = ax 2.

Să analizăm problema al-Khorezmi, care se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice. „Pătratul și numărul sunt egale cu rădăcinile”. De exemplu, un pătrat și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini ale aceluiași pătrat, adică. întrebarea este, ce se formează dintr-un pătrat, care, după ce îi adaugă 21, devine egal cu 10 rădăcini ale aceluiași pătrat?

ȘI Folosind a 4-a formulă al-Khorezmi, elevii ar trebui să scrie: x 2 + 21 = 10x

Francois Viet - Matematician francez, a formulat și demonstrat o teoremă privind suma și produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice reduse.

Arta pe care o expun este nouă, sau cel puțin a fost atât de coruptă de timp și denaturată de influența barbarilor, încât am crezut că este necesar să-i dau o înfățișare cu totul nouă.

Francois Viet

Iet Francois (1540-13/12/1603) s-a născut în orașul Fontenay-le-Comte din provincia Poitou, nu departe de celebra cetate La Rochelle. După ce a primit studii juridice, de la vârsta de nouăsprezece ani a practicat cu succes dreptul în oras natal. Ca avocat, Viet se bucura de autoritate și respect în rândul populației. A fost un om cu o mare educație. Știa astronomie și matematică și tot timp liber a dat acestor stiinte.

Pasiunea principală Vieta era matematică. A studiat profund lucrările clasicilor Arhimede și Diophantus, cei mai apropiați predecesori ai lui Cardano, Bombelli, Stevin și alții. Viet nu numai că i-a admirat, ci a văzut în ei un mare defect, care era dificultatea de înțelegere din cauza simbolismului verbal: aproape toate acțiunile și semnele erau scrise în cuvinte, nu exista nici un indiciu al acelor reguli convenabile, aproape automate, pe care le noi acum. utilizare. Era imposibil să scrieți și, prin urmare, să începeți într-o formă generală comparații algebrice sau orice alte expresii algebrice. Fiecare tip de ecuație cu coeficienți numerici a fost rezolvat după o regulă specială. Prin urmare, a fost necesar să se demonstreze că există așa ceva actiuni generale peste toate numerele care nu depind de aceste numere în sine. Viet și adepții săi au stabilit că nu contează dacă numărul în cauză este numărul de obiecte sau lungimea segmentului. Principalul lucru este că puteți efectua operații algebrice cu aceste numere și, ca rezultat, puteți obține din nou numere de același fel. Aceasta înseamnă că pot fi desemnate prin niște semne abstracte. Viet a făcut tocmai asta. El nu numai că și-a introdus calculul literal, dar a făcut o descoperire fundamental nouă, stabilindu-și scopul de a studia nu numerele, ci operațiile asupra lor. Această metodă de înregistrare a permis Viet-ului să facă descoperiri importante atunci când studiază proprietăți generale ecuații algebrice. Nu este o coincidență că pentru aceasta Vieta este numit „părintele” algebrei, fondatorul simbolurilor literelor.

Resurse informaționale:

http :// som. fio. ru/ Resurse/ Karpuhina/2003/12/ Complimentat%20 muncă/ Concert/ index1. htm

http :// pagini. marsu. ru/ iac/ şcoală/ s4/ pagină74. html