Tema „Cercuri înscrise și circumscrise în triunghiuri” este una dintre cele mai dificile din cursul de geometrie. Ea petrece foarte puțin timp în clasă.

Problemele geometrice ale acestei teme sunt incluse în partea a doua a examenului Lucrări de examinare unificată de stat pe curs liceu. Finalizarea cu succes a acestor sarcini necesită o cunoaștere solidă a faptelor geometrice de bază și o anumită experiență în rezolvarea problemelor geometrice.
Pentru fiecare triunghi există un singur cerc circumscripțional. Acesta este un cerc pe care se află toate cele trei vârfuri ale unui triunghi cu parametri dați. Găsirea razei sale poate fi necesară nu numai într-o lecție de geometrie. Designerii, tăietorii, mecanicii și reprezentanții multor alte profesii trebuie să se ocupe constant de asta. Pentru a-i găsi raza, trebuie să cunoașteți parametrii triunghiului și proprietățile acestuia. Centrul cercului circumferitor se află în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale triunghiului.
Vă aduc în atenție toate formulele de găsire a razei unui cerc circumscris și nu doar a unui triunghi. Pot fi vizualizate formule pentru cercul înscris.

a, b. Cu - laturile triunghiului

α - unghi opusA,
S-aria unui triunghi,

p- semiperimetrul

Apoi pentru a găsi raza ( R) a cercului circumferitor folosind formulele:

La rândul său, aria triunghiului poate fi calculată folosind una dintre următoarele formule:

Iată încă câteva formule.

1. Raza cercului circumscris în jurul unui triunghi echilateral. Dacă A latura triunghiului atunci

2. Raza cercului circumscris în jurul unui triunghi isoscel. Lăsa a, b- laturile triunghiului, atunci

Vei avea nevoie

• Triunghi cu parametrii dați
• Busolă
• Rigla
• Pătrat
• Tabelul sinusurilor și cosinusurilor
• Concepte matematice
• Determinarea înălțimii unui triunghi
• Formule sinus și cosinus
• Formula ariei triunghiului

Instrucțiuni

Desenați un triunghi cu parametrii necesari. Un triunghi are fie trei laturi, fie două laturi și un unghi între ele, fie o latură și două unghiuri adiacente. Etichetați vârfurile triunghiului ca A, B și C, unghiurile ca α, β și γ și laturile opuse vârfurilor ca a, b și c.

Desenați în toate laturile triunghiului și găsiți punctul lor de intersecție. Notați înălțimile ca h cu indicii corespunzători pentru laturi. Găsiți punctul de intersecție și etichetați-l cu O. Va fi centrul cercului. Astfel, razele acestui cerc vor fi segmentele OA, OB și OS.

Găsiți raza folosind două formule. În primul rând, trebuie să calculați mai întâi. Este egal cu toate laturile triunghiului cu sinusul oricăruia dintre unghiuri împărțit la 2.

În acest caz, raza cercului circumscris este calculată prin formula

Pentru cealaltă, lungimea uneia dintre laturi și sinusul unghiului opus sunt suficiente.

Calculați raza și descrieți circumferința triunghiului.

Sfaturi utile

Amintiți-vă care este înălțimea unui triunghi. Aceasta este o perpendiculară desenată dintr-un colț spre partea opusă.

Aria unui triunghi poate fi reprezentată și ca produsul dintre pătratul uneia dintre laturi și sinusurile a două unghiuri adiacente, împărțit de două ori sinusul sumei acestor unghiuri.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Surse:

• tabel cu raze de cerc circumscrise
• Raza unui cerc circumscris unui echilateral

Este considerat circumscris în jurul unui poligon dacă atinge toate vârfurile acestuia. Ceea ce este de remarcat este că centrul unui astfel de cerc coincide cu punctul de intersecție al perpendicularelor trase din punctele mijlocii ale laturilor poligonului. Rază descris cerc depinde complet de poligonul în jurul căruia este descris.

Vei avea nevoie

• Cunoașteți laturile unui poligon și aria/perimetrul acestuia.

Instrucțiuni

Notă

Un cerc poate fi desenat în jurul unui poligon numai dacă acesta este regulat, adică. toate laturile sale sunt egale și toate unghiurile sale sunt egale.
Teza că centrul unui cerc circumscris unui poligon este intersecția bisectoarelor sale perpendiculare este valabilă pentru toate poligoanele regulate.

Surse:

• cum se găsește raza unui poligon

Dacă este posibil să construiți un cerc circumscris pentru un poligon, atunci aria acestui poligon este mai mică decât aria cercului circumscris, dar mai multă zonă cerc înscris. Pentru unele poligoane, formule de găsire rază cercuri înscrise și circumscrise.

Instrucțiuni

Un cerc înscris într-un poligon care atinge toate laturile poligonului. Pentru un triunghi rază cercuri: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, unde p este semiperimetrul; a, b, c - laturile triunghiului. Pentru că formula este simplificată: r = a/(2*3^1/2), a este latura triunghiului.

Un cerc circumscris în jurul unui poligon este un cerc pe care se află toate vârfurile poligonului. Pentru un triunghi, raza se găsește prin formula: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), unde p este semiperimetrul; a, b, c - laturile triunghiului. Pentru cea corectă este mai ușor: R = a/3^1/2.

Pentru poligoane, nu este întotdeauna posibil să aflați raportul dintre razele înscrise și lungimile laturilor sale. Mai des se limitează la construirea unor astfel de cercuri în jurul poligonului și apoi fizice rază cercuri folosind instrumente de măsură sau spațiu vectorial.
Pentru a construi cercul circumscris unui poligon convex, bisectoarele celor două colțuri ale acestuia sunt construite la intersecția lor se află centrul cercului circumscris. Raza va fi distanța de la punctul de intersecție al bisectoarelor până la vârful oricărui colț al poligonului. Centrul înscris la intersecția perpendicularelor construite în interiorul poligonului din centrele laturilor (aceste perpendiculare sunt mediane). Este suficient să construiți două astfel de perpendiculare. Raza cercului înscris este egală cu distanța de la punctul de intersecție al perpendicularelor mediane pe latura poligonului.

Video pe tema

Notă

Este imposibil să înscrii un cerc într-un poligon dat arbitrar și să descrii un cerc în jurul lui.

Sfaturi utile

Un cerc poate fi înscris într-un patrulater dacă a+c = b+d, unde a, b, c, d sunt laturile patrulaterului în ordine. Un cerc poate fi descris în jurul unui patrulater dacă unghiurile sale opuse se adună până la 180 de grade;

Pentru un triunghi, astfel de cercuri există întotdeauna.

Sfat 4: Cum să găsiți aria unui triunghi pe baza a trei laturi

Găsirea ariei unui triunghi este una dintre cele mai frecvente probleme în planimetria școlară. Cunoașterea celor trei laturi ale unui triunghi este suficientă pentru a determina aria oricărui triunghi. În cazuri speciale de triunghiuri echilaterale, este suficient să cunoaștem lungimile a două și, respectiv, a unei laturi.

Vei avea nevoie

• lungimile laturilor triunghiurilor, formula lui Heron, teorema cosinusului

Instrucțiuni

Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este următoarea: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Dacă scriem semiperimetrul p, obținem: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Puteți obține o formulă pentru aria unui triunghi din considerații, de exemplu, aplicând teorema cosinusului.

După teorema cosinusului, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Folosind notatiile introduse, acestea se pot scrie si sub forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Prin urmare, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Aria unui triunghi se găsește și prin formula S = a*c*sin(ABC)/2 folosind două laturi și unghiul dintre ele. Sinusul unghiului ABC poate fi exprimat prin el folosind identitatea trigonometrică de bază: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Prin înlocuirea sinusului în formula pentru zonă și scriind-o , puteți ajunge la formula pentru aria triunghiului ABC.

Video pe tema

Cele trei puncte care definesc unic un triunghi în sistemul de coordonate carteziene sunt vârfurile acestuia. Cunoscând poziția lor față de fiecare axă de coordonate, puteți calcula orice parametri ai acestei figuri plate, inclusiv cei limitați de perimetrul acesteia pătrat. Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

Utilizați formula lui Heron pentru a calcula suprafața triunghi. Implică dimensiunile celor trei laturi ale figurii, așa că începeți calculele cu . Lungimea fiecărei laturi trebuie să fie egală cu rădăcina sumei pătratelor lungimilor proiecțiilor sale pe axele de coordonate. Dacă notăm coordonatele A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) și C(X₃,Y₃,Z₃), lungimile laturilor lor pot fi exprimate astfel: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pentru a simplifica calculele, introduceți o variabilă auxiliară - semiperimetrul (P). Din faptul că aceasta este jumătate din suma lungimilor tuturor laturilor: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

calculati pătrat(S) folosind formula lui Heron - luați rădăcina produsului semiperimetrului și diferența dintre acesta și lungimea fiecărei laturi. ÎN vedere generala se poate scrie astfel: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁) -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁-) X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Pentru calcule practice, este convenabil să folosiți calculatoare specializate. Acestea sunt scripturi găzduite pe serverele unor site-uri care vor face totul calculele necesare pe baza coordonatelor pe care le-ați introdus în formularul corespunzător. Singurul astfel de serviciu este că nu oferă explicații și justificări pentru fiecare pas al calculelor. Prin urmare, dacă sunteți interesat doar de rezultatul final, și nu de calculele generale, accesați, de exemplu, pagina http://planetcalc.ru/218/.

În câmpurile de formular, introduceți fiecare coordonată a fiecărui vârf triunghi- sunt aici ca Ax, Ay, Az etc. Dacă triunghiul este specificat prin coordonate bidimensionale, scrieți zero în câmpurile Az, Bz și Cz. În câmpul „Acuratețea calculului”, setați numărul necesar de zecimale făcând clic pe mouse-ul cu plus sau minus. Nu este necesar să apăsați butonul portocaliu „Calculați” situat sub formular, calculele se vor face fără acesta. Veți găsi răspunsul lângă inscripția „Zona triunghi" - este situat imediat sub butonul portocaliu.

Surse:

• găsiți aria unui triunghi cu vârfuri în puncte

Uneori în jurul unui poligon convex îl puteți desena în așa fel încât vârfurile tuturor colțurilor să se afle pe el. Un astfel de cerc în raport cu poligonul ar trebui numit circumscris. A ei centru nu trebuie să fie în interiorul perimetrului figurii înscrise, ci folosind proprietățile descrise cerc, găsirea acestui punct nu este de obicei foarte dificilă.

Vei avea nevoie

• Riglă, creion, raportor sau pătrat, busolă.

Instrucțiuni

Dacă poligonul în jurul căruia trebuie să descrii un cerc este desenat pe hârtie, pentru a găsi centru iar un cerc este suficient cu o riglă, creion și raportor sau pătrat. Măsurați lungimea oricărei laturi a figurii, determinați mijlocul acesteia și plasați un punct auxiliar în acest loc din desen. Folosind un pătrat sau un raportor, trageți un segment în interiorul poligonului perpendicular pe această latură până când acesta se intersectează cu latura opusă.

Faceți aceeași operație cu orice altă parte a poligonului. Intersecția celor două segmente construite va fi punctul dorit. Aceasta rezultă din proprietatea principală a descrisului cerc- a ei centruîntr-un poligon convex cu orice latură se află întotdeauna în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare trasate pe acestea

Foarte des, atunci când rezolvați probleme geometrice, trebuie să efectuați acțiuni cu figuri auxiliare. De exemplu, găsirea razei unui cerc înscris sau circumscris etc. Acest articol vă va arăta cum să găsiți raza unui cerc circumscris de un triunghi. Sau, cu alte cuvinte, raza cercului în care este înscris triunghiul.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi - formulă generală

Formula generală este următoarea: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), unde R este raza cercului circumscris, p este perimetrul triunghiului împărțit la 2 (semi-perimetrul). a, b, c – laturile triunghiului.

Aflați raza circumferinței triunghiului dacă a = 3, b = 6, c = 7.

Astfel, pe baza formulei de mai sus, calculăm semiperimetrul:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Inlocuim valorile in formula si obtinem:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Răspuns: R = 126/16√5

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi echilateral

Pentru a afla raza unui cerc circumscris cca triunghi echilateral, există o formulă destul de simplă: R = a/√3, unde a este mărimea laturii sale.

Exemplu: Latura unui triunghi echilateral este 5. Aflați raza cercului circumscris.

Deoarece toate laturile unui triunghi echilateral sunt egale, pentru a rezolva problema trebuie doar să introduceți valoarea acestuia în formulă. Se obține: R = 5/√3.

Răspuns: R = 5/√3.

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi dreptunghic

Formula este următoarea: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, unde a și b sunt catetele și c este ipotenuza. Dacă adăugați pătratele catetelor într-un triunghi dreptunghic, obțineți pătratul ipotenuzei. După cum se poate vedea din formulă, această expresie se află sub rădăcină. Calculând rădăcina pătratului ipotenuzei, obținem lungimea în sine. Înmulțirea expresiei rezultate cu 1/2 ne duce în cele din urmă la expresia 1/2 × c = c/2.

Exemplu: Calculați raza cercului circumscris dacă catetele triunghiului sunt 3 și 4. Înlocuiți valorile în formulă. Se obține: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

În această expresie, 5 este lungimea ipotenuzei.

Răspuns: R = 2,5.

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi isoscel

Formula este următoarea: R = a²/√(4a² – b²), unde a este lungimea coapsei triunghiului și b este lungimea bazei.

Exemplu: Calculați raza unui cerc dacă șoldul lui = 7 și baza = 8.

Rezolvare: Înlocuiți aceste valori în formulă și obțineți: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Răspunsul poate fi scris direct astfel.

Răspuns: R = 49/√132

Resurse online pentru calcularea razei unui cerc

Poate fi foarte ușor să te încurci în toate aceste formule. Prin urmare, dacă este necesar, puteți utiliza calculatoare online, care vă va ajuta în rezolvarea problemelor de găsire a razei. Principiul de funcționare al unor astfel de mini-programe este foarte simplu. Înlocuiți valoarea laterală în câmpul corespunzător și obțineți un răspuns gata făcut. Puteți alege mai multe opțiuni pentru rotunjirea răspunsului: la zecimale, sutimi, miimi etc.

Primul nivel

Cerc circumscris. Ghid vizual (2019)

Prima întrebare care poate apărea este: ce este descris - în jurul a ce?

Ei bine, de fapt, uneori se întâmplă în jurul oricărui lucru, dar vom vorbi despre un cerc circumscris în jurul (uneori se spune și „despre”) un triunghi. Ce este?

Și imaginați-vă, are loc un fapt uimitor:

De ce este acest fapt surprinzător?

Dar triunghiurile sunt diferite!

Și pentru toată lumea există un cerc care va trece prin toate cele trei vârfuri, adică cercul circumscris.

Dovada asta informatie uimitoare pot fi găsite în următoarele niveluri de teorie, dar aici observăm doar că dacă luăm, de exemplu, un patrulater, atunci nu pentru toată lumea va exista un cerc care trece prin cele patru vârfuri. De exemplu, un paralelogram este un patrulater excelent, dar nu există niciun cerc care să treacă prin toate cele patru vârfuri ale sale!

Și există doar pentru un dreptunghi:

Poftim, și fiecare triunghi are întotdeauna propriul său cerc circumscris!Și chiar este întotdeauna destul de ușor să găsești centrul acestui cerc.

Știi ce e asta bisectoare perpendiculară?

Acum să vedem ce se întâmplă dacă luăm în considerare până la trei bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului.

Se dovedește (și tocmai asta trebuie dovedit, deși nu vom face) că toate cele trei perpendiculare se intersectează într-un punct. Priviți imaginea - toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

Crezi că centrul cercului circumscris se află întotdeauna în interiorul triunghiului? Doar imaginați-vă - nu întotdeauna!

Dar dacă unghi ascuțit, apoi - în interior:

Ce să faci cu un triunghi dreptunghic?

Și cu un bonus suplimentar:

Întrucât vorbim despre raza cercului circumscris: cu ce este egală pentru un triunghi arbitrar? Și există un răspuns la această întrebare: așa-numitul .

Și anume:

Și, desigur,

1. Existența și centrul circumcercului

Aici apare întrebarea: există un astfel de cerc pentru fiecare triunghi? Se dovedește că da, pentru toată lumea. Și mai mult, vom formula acum o teoremă care răspunde și la întrebarea unde se află centrul cercului circumscris.

Arata asa:

Să fim curajoși și să demonstrăm această teoremă. Dacă ați citit deja subiectul „” și ați înțeles de ce trei bisectoare se intersectează la un moment dat, atunci vă va fi mai ușor, dar dacă nu l-ați citit, nu vă faceți griji: acum ne vom da seama.

Vom efectua demonstrația folosind conceptul de locus al punctelor (GMT).

Ei bine, de exemplu, setul de bile este „locul geometric” al obiectelor rotunde? Nu, desigur, pentru că există... pepeni rotunzi. Este un set de oameni, un „loc geometric”, care poate vorbi? Nici nu, pentru că există bebeluși care nu pot vorbi. În viață, este în general dificil să găsești un exemplu de „locație geometrică a punctelor” reală. E mai ușor în geometrie. Iată, de exemplu, exact ceea ce avem nevoie:

Aici mulțimea este bisectoarea perpendiculară, iar proprietatea „ ” este „a fi echidistant (un punct) de la capetele segmentului”.

Să verificăm? Deci, trebuie să vă asigurați de două lucruri:

1. Orice punct care este echidistant de capetele unui segment este situat pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Să conectăm c și c. Atunci linia este mediana și înălțimea b. Aceasta înseamnă - isoscel - ne-am asigurat că orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este la fel de îndepărtat de puncte și.

Să luăm mijlocul și să ne conectăm și. Rezultatul este mediana. Dar, în funcție de condiție, nu numai mediana este isoscelă, ci și înălțimea, adică bisectoarea perpendiculară. Aceasta înseamnă că punctul se află exact pe bisectoarea perpendiculară.

Toate! Am verificat pe deplin faptul că Bisectoarea perpendiculară a unui segment este locul punctelor echidistante de capetele segmentului.

Toate acestea sunt bine și bune, dar am uitat de cercul circumscris? Deloc, tocmai ne-am pregătit o „trebune pentru atac”.

Luați în considerare un triunghi. Să desenăm două perpendiculare bisectoriale și, să zicem, la segmentele și. Se vor intersecta la un moment dat, pe care îl vom numi.

Acum, fii atent!

Punctul se află pe bisectoarea perpendiculară;
punctul se află pe bisectoarea perpendiculară.
Și asta înseamnă, și.

De aici decurg mai multe lucruri:

În primul rând, punctul trebuie să se afle pe a treia bisectoare perpendiculară pe segment.

Adică bisectoarea perpendiculară trebuie să treacă și ea prin punct și toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

În al doilea rând: dacă desenăm un cerc cu un centru într-un punct și o rază, atunci și acest cerc va trece atât prin punct, cât și prin punct, adică va fi un cerc circumscris. Aceasta înseamnă că există deja că intersecția celor trei bisectoare perpendiculare este centrul cercului circumscris pentru orice triunghi.

Și ultimul lucru: despre unicitate. Este clar (aproape) că punctul poate fi obținut într-un mod unic, prin urmare cercul este unic. Ei bine, vom lăsa „aproape” pentru reflecția ta. Deci am demonstrat teorema. Puteți striga „Ura!”

Ce se întâmplă dacă problema cere „găsește raza cercului circumscris”? Sau invers, raza este dată, dar trebuie să găsești altceva? Există o formulă care relaționează raza cercului circumferitor de celelalte elemente ale triunghiului?

Vă rugăm să rețineți: teorema sinusului spune că pentru a găsi raza cercului circumscris, aveți nevoie de o latură (orice!) și unghiul opus acesteia. Asta e tot!

3. Centrul cercului - interior sau exterior

Acum întrebarea este: poate centrul cercului circumscris să se afle în afara triunghiului?
Răspuns: pe cât posibil. Mai mult, acest lucru se întâmplă întotdeauna într-un triunghi obtuz.

Și în general vorbind:

CERCUL CIRCULAR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

1. Cerc circumscris unui triunghi

Acesta este cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale acestui triunghi.

2. Existența și centrul circumcercului

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru finalizarea cu succes Examen de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată și decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 999 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de probleme cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, la toate nivelurile de complexitate.” Cu siguranță va fi suficient pentru a pune mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

De fapt, acesta este mult mai mult decât un simplu simulator - un întreg program de antrenament. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată perioada de existență a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Demonstrații de teoreme privind proprietățile cercului circumscris unui triunghi

Bisectoare perpendiculară pe un segment de dreaptă

Definiția 1. Bisectoare perpendiculară pe un segment numită dreptă perpendiculară pe acest segment şi care trece prin mijlocul lui (fig. 1).

Teorema 1. Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este situat la aceeași distanță de capete acest segment.

Dovada . Să considerăm un punct arbitrar D situat pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB (Fig. 2) și să demonstrăm că triunghiurile ADC și BDC sunt egale.

Într-adevăr, aceste triunghiuri sunt triunghiuri dreptunghiulare în care catetele AC și BC sunt egale, iar catetul DC este comun. Egalitatea triunghiurilor ADC și BDC implică egalitatea segmentelor AD și DB. Teorema 1 este demonstrată.

Teorema 2 (Conversați cu teorema 1). Dacă un punct se află la aceeași distanță de capetele unui segment, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Dovada . Să demonstrăm teorema 2 prin contradicție. În acest scop, presupunem că un punct E este la aceeași distanță de capetele segmentului, dar nu se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. Să aducem această presupunere într-o contradicție. Să luăm mai întâi în considerare cazul în care punctele E și A se află de-a lungul laturi diferite din perpendiculara mijlocie (Fig. 3). În acest caz, segmentul EA intersectează bisectoarea perpendiculară la un moment dat, pe care o vom nota cu litera D.

Să demonstrăm că segmentul AE este mai lung decât segmentul EB. Într-adevăr,

Astfel, în cazul în care punctele E și A se află pe părți opuse ale bisectoarei perpendiculare, avem o contradicție.

Acum luați în considerare cazul când punctele E și A se află de aceeași parte a bisectoarei perpendiculare (Fig. 4). Să demonstrăm că segmentul EB este mai lung decât segmentul AE. Într-adevăr,

Contradicția rezultată completează demonstrația teoremei 2

Cerc circumscris unui triunghi

Definiția 2. Un cerc circumscris unui triunghi, se numește cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului (Fig. 5). În acest caz se numește triunghiul triunghi înscris într-un cerc sau triunghi înscris.

Proprietățile cercului circumscris unui triunghi. Teorema sinusurilor

Figura	Desen	Proprietate
Bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului		se intersectează la un punct .
Centru cerc circumscris unui triunghi ascuțit		Centrul descris despre unghiular acut interior triunghi.
Centru cerc circumscris unui triunghi dreptunghic		Centrul a descris despre dreptunghiular mijlocul ipotenuzei .
Centru cerc circumscris unui triunghi obtuz		Centrul descris despre obtuz-unghiular cerc triunghiular minciuni in afara triunghi.
		,
Pătrat triunghi		S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C ,
Circumradius		Pentru orice triunghi egalitatea este adevărată:

Bisectoare perpendiculare pe laturile unui triunghi

Toate bisectoarele perpendiculare , tras de laturile unui triunghi arbitrar, se intersectează la un punct .

Cerc circumscris unui triunghi

Orice triunghi poate fi înconjurat de un cerc . Centrul unui cerc circumscris unui triunghi este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Centrul cercului circumscris unui triunghi ascuțit

Centrul descris despre unghiular acut cerc triunghiular minciuni interior triunghi.

Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic

Centrul a descris despre dreptunghiular cerc triunghiular este mijlocul ipotenuzei .

Centrul cercului circumscris unui triunghi obtuz

Centrul descris despre obtuz-unghiular cerc triunghiular minciuni in afara triunghi.

Pentru orice triunghi sunt adevărate următoarele egalități (teorema sinusului): , unde a, b, c sunt laturile triunghiului, A, B, C sunt unghiurile triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Aria unui triunghi

Pentru orice triunghi egalitatea este adevărată: S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C , unde A, B, C sunt unghiurile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Circumradius

Pentru orice triunghi egalitatea este adevărată: unde a, b, c sunt laturile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Demonstrații de teoreme privind proprietățile cercului circumscris unui triunghi

Teorema 3. Toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile unui triunghi arbitrar se intersectează într-un punct.

Dovada . Să considerăm două bisectoare perpendiculare trasate pe laturile AC și AB ale triunghiului ABC și să notăm punctul lor de intersecție cu litera O (Fig. 6).

Deoarece punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AC, atunci, în virtutea teoremei 1, egalitatea este valabilă:

Deoarece punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB, atunci, în virtutea teoremei 1, este valabilă următoarea egalitate:

Prin urmare, egalitatea este adevărată:

de unde, folosind teorema 2, concluzionăm că punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul BC. Astfel, toate cele trei bisectoare perpendiculare trec prin același punct, așa cum trebuie demonstrat.

Consecinţă. Orice triunghi poate fi înconjurat de un cerc . Centrul unui cerc circumscris unui triunghi este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Dovada . Să considerăm punctul O, în care se intersectează toate bisectoarele trasate la laturile triunghiului ABC (Fig. 6).

La demonstrarea teoremei 3 s-a obținut următoarea egalitate:

din care rezultă că un cerc cu centru în punctul O și cu raze OA, OB, OC trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului ABC, ceea ce trebuia demonstrat.