Exemplul 1. Dată o funcție f(X) = 3X 2 + 4X– 5. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X) la punctul grafic cu abscisa X 0 = 1.
Soluţie. Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:
= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.
Apoi f(X 0) = f(1) = 2; (X 0) = = 10. Ecuația tangentei are forma:
y = (X 0) (X – X 0) + f(X 0),
y = 10(X – 1) + 2,
y = 10X – 8.
Răspuns. y = 10X – 8.
Exemplul 2. Dată o funcție f(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X), paralel cu linia y = 2X – 11.
Soluţie. Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:
= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.
Deoarece tangenta la graficul functiei f(X) la punctul de abscisă X 0 este paralel cu dreapta y = 2X– 11, atunci panta sa este egală cu 2, adică ( X 0) = 2. Să găsim această abscisă din condiția ca 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Această egalitate este valabilă numai atunci când X 0 = 0 și la X 0 = 2. Întrucât în ambele cazuri f(X 0) = 5, apoi drept y = 2X + b atinge graficul funcției fie în punctul (0; 5), fie în punctul (2; 5).
În primul caz, egalitatea numerică 5 = 2×0 + este adevărată b, Unde b= 5, iar în al doilea caz egalitatea numerică 5 = 2×2 + este adevărată b, Unde b = 1.
Deci sunt două tangente y = 2X+ 5 și y = 2X+ 1 la graficul funcției f(X), paralel cu linia y = 2X – 11.
Răspuns. y = 2X + 5, y = 2X + 1.
Exemplul 3. Dată o funcție f(X) = X 2 – 6X+ 7. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X), trecând prin punct A (2; –5).
Soluţie. Deoarece f(2) –5, apoi punctul A nu aparține graficului funcției f(X). Lăsa X 0 - abscisa punctului tangent.
Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:
= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.
Apoi f(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. Ecuația tangentei are forma:
y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,
y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.
De la punctul A aparține tangentei, atunci egalitatea numerică este adevărată
–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,
Unde X 0 = 0 sau X 0 = 4. Aceasta înseamnă că prin punct A puteți desena două tangente la graficul funcției f(X).
Dacă X 0 = 0, atunci ecuația tangentei are forma y = –6X+ 7. Dacă X 0 = 4, atunci ecuația tangentei are forma y = 2X – 9.
Răspuns. y = –6X + 7, y = 2X – 9.
Exemplul 4. Funcții date f(X) = X 2 – 2X+ 2 și g(X) = –X 2 – 3. Să scriem ecuația tangentei comune la graficele acestor funcții.
Soluţie. Lăsa X 1 - abscisa punctului de tangenta a dreptei dorite cu graficul functiei f(X), A X 2 - abscisa punctului de tangență al aceleiași drepte cu graficul funcției g(X).
Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:
= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.
Apoi f(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. Ecuația tangentei are forma:
y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,
y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)
Să găsim derivata funcției g(X):
= (–X 2 – 3)′ = –2 X.
Luați în considerare următoarea figură:
Acesta descrie o anumită funcție y = f(x), care este diferențiabilă în punctul a. Punctul M cu coordonatele (a; f(a)) este marcat. O secantă MR este trasată printr-un punct arbitrar P(a + ∆x; f(a + ∆x)) al graficului.
Dacă acum punctul P este deplasat de-a lungul graficului către punctul M, atunci linia dreaptă MR se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. De aici putem formula definiția unei tangente la graficul unei funcții.
Tangenta la graficul unei functii
Tangenta la graficul unei funcții este poziția limită a secantei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă către el.
În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu derivata acestei funcții în acest punct f’(x0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii f diferentiabila in punctul x0 este o anumita dreapta care trece prin punctul (x0;f(x0)) si avand un coeficient unghiular f’(x0).
Ecuația tangentei
Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A(x0; f(x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea formă:
Deoarece coeficientul nostru de pantă este egal cu derivata f’(x0), atunci ecuația va lua următoarea formă: y = f’(x0)*x + b.
Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Inlocuim valoarea rezultata in ecuatia tangentei:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 în punctul x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4*(x - 2). Deschizând parantezele și aducând termeni similari obținem: y = 4*x - 7.
Răspuns: y = 4*x - 7.
Schema generala de alcatuire a ecuatiei tangentei la graficul funcției y = f(x):
1. Determinați x0.
2. Calculați f(x0).
3. Calculați f’(x)
Pe scena modernă dezvoltarea educației, una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități care gândesc creativ. Capacitatea de creativitate la elevi poate fi dezvoltată numai dacă sunt atrași sistematic de elementele de bază activitati de cercetare. Fundația pentru ca elevii să-și folosească puterile, abilitățile și talentele creative este formată de cunoștințe și abilități cu drepturi depline. În acest sens, problema formării unui sistem de cunoștințe și abilități de bază pentru fiecare subiect al cursului de matematică școlară este de o importanță nu mică. În același timp, abilitățile cu drepturi depline trebuie să fie scop didactic nu sarcini individuale, ci un sistem atent gândit al acestora. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interconectate care interacționează care au integritate și o structură stabilă.
Să luăm în considerare o tehnică pentru a-i învăța pe elevi cum să scrie o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții. În esență, toate problemele de găsire a ecuației tangentei se rezumă la necesitatea de a selecta dintr-o mulțime (mănunchi, familie) de linii pe acelea care satisfac o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. În acest caz, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:
a) un punct situat pe planul xOy (creion central de linii);
b) coeficient unghiular (fascicul paralel de drepte).
În acest sens, la studierea subiectului „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de probleme:
1) probleme pe o tangentă dată de punctul prin care trece;
2) probleme pe o tangentă dată de panta acesteia.
Instruirea în rezolvarea problemelor tangente a fost realizată folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovici. Diferența sa fundamentală față de cele deja cunoscute este că abscisa punctului tangent se notează cu litera a (în loc de x0) și, prin urmare, ecuația tangentei ia forma
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(comparați cu y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Aceasta tehnica metodica, în opinia noastră, permite elevilor să înțeleagă rapid și ușor unde în ecuația generală tangente sunt scrise coordonatele punctului curent și unde sunt punctele tangente.
Algoritm pentru alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y = f(x)
1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2. Găsiți f(a).
3. Aflați f „(x) și f „(a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f "(a) în ecuație generală tangentă y = f(a) = f „(a)(x – a).
Acest algoritm poate fi compilat pe baza identificării independente a operațiunilor de către studenți și a secvenței implementării lor.
Practica a arătat că soluția secvențială a fiecăreia dintre problemele cheie folosind un algoritm vă permite să dezvoltați abilitățile de a scrie ecuația unei tangente la graficul unei funcții în etape, iar pașii algoritmului servesc ca puncte de referință pentru acțiuni. . Această abordare este în concordanță cu teoria formarea treptată acțiuni mentale, dezvoltate de P.Ya. Galperin și N.F. Talizina.
În primul tip de sarcini au fost identificate două sarcini cheie:
- tangenta trece printr-un punct situat pe curbă (problema 1);
- tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (problema 2).
Sarcina 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției 
în punctul M(3; – 2).
Soluţie. Punctul M(3; – 2) este un punct tangent, deoarece
1. a = 3 – abscisa punctului tangent.
2. f(3) = – 2.
3. f „(x) = x 2 – 4, f „(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ecuația tangentei.
Problema 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = – x 2 – 4x + 2 care trece prin punctul M(– 3; 6).
Soluţie. Punctul M(– 3; 6) nu este un punct de tangență, deoarece f(– 3) 6 (Fig. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f „(x) = – 2x – 4, f „(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ecuația tangentei.
Tangenta trece prin punctul M(– 3; 6), prin urmare, coordonatele ei satisfac ecuația tangentei.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Dacă a = – 4, atunci ecuația tangentei este y = 4x + 18.
Dacă a = – 2, atunci ecuația tangentei are forma y = 6.
În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:
- tangenta este paralelă cu o dreaptă (problema 3);
- tangenta trece la un anumit unghi fata de dreapta data (problema 4).
Problema 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = x 3 – 3x 2 + 3, paralele cu dreapta y = 9x + 1.
1. a – abscisa punctului tangent.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f „(x) = 3x 2 – 6x, f „(a) = 3a 2 – 6a.
Dar, pe de altă parte, f "(a) = 9 (condiția de paralelism). Aceasta înseamnă că trebuie să rezolvăm ecuația 3a 2 – 6a = 9. Rădăcinile sale sunt a = – 1, a = 3 (Fig. 3). ).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – ecuația tangentei;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f „(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – ecuația tangentei.
Problema 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 – 3x + 1, trecând cu un unghi de 45° la dreapta y = 0 (Fig. 4).
Soluţie. Din condiția f „(a) = tan 45° găsim a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – abscisa punctului tangent.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f „(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – ecuația tangentei.
Este ușor de demonstrat că rezolvarea oricărei alte probleme se rezumă la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două probleme ca exemplu.
1. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabola y = 2x 2 – 5x – 2, dacă tangentele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola în punctul cu abscisa 3 (Fig. 5).
Soluţie. Deoarece abscisa punctului tangent este dată, prima parte a soluției este redusă la problema cheie 1.
1. a = 3 – abscisa punctului de tangenta a uneia dintre laturile unghiului drept.
2. f(3) = 1.
3. f „(x) = 4x – 5, f „(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ecuația primei tangente.
Fie a unghiul de înclinare al primei tangente. Deoarece tangentele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare al celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x – 20 a primei tangente avem tg a = 7. Să aflăm
Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este egală cu .
Soluție suplimentară se reduce la sarcina cheie 3.
Fie B(c; f(c)) punctul de tangență al celei de-a doua drepte, atunci
1. – abscisa celui de-al doilea punct de tangenta.
2. 
3. 
4. 
– ecuația celei de-a doua tangente.
Notă. Coeficientul unghiular al tangentei poate fi găsit mai ușor dacă elevii cunosc raportul dintre coeficienții dreptelor perpendiculare k 1 k 2 = – 1.
2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor
Soluţie. Problema se rezumă la găsirea abscisei punctelor de tangență ale tangentelor comune, adică la rezolvarea problemei cheie 1 în vedere generala, întocmind un sistem de ecuații și soluția lui ulterioară (Fig. 6).
1. Fie a abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f „(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Fie c abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției 
2. 
3. f „(c) = c.
4.
Din moment ce tangentele sunt generale, atunci
Deci y = x + 1 și y = – 3x – 3 sunt tangente comune.
Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este de a pregăti elevii să recunoască în mod independent tipul de problemă cheie atunci când rezolvă probleme mai complexe care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, formula o ipoteză etc.). Astfel de sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie incluse ca componentă. Să luăm ca exemplu problema (inversa cu problema 1) de a găsi o funcție din familia tangentelor sale.
3. Pentru ce b și c sunt dreptele y = x și y = – 2x tangente la graficul funcției y = x 2 + bx + c?
Fie t abscisa punctului de tangență al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de tangență al dreptei y = – 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x va lua forma y = (2t + b)x + c – t 2 , iar ecuația tangentei y = – 2x va lua forma y = (2p + b)x + c – p 2 .
Să compunem și să rezolvăm un sistem de ecuații
Răspuns: 
Acest program matematic găsește ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)\) într-un punct specificat de utilizator \(a\).
Programul nu numai că afișează ecuația tangentei, dar afișează și procesul de rezolvare a problemei.
Acest calculator online poate fi util pentru elevii de liceu scoala secundaraîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.
Dacă trebuie să găsiți derivata unei funcții, atunci pentru aceasta avem sarcina Găsiți derivata.
Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de intrare în funcții, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.
Introduceți expresia funcției \(f(x)\) și numărul \(a\) Găsiți ecuația tangentei S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Puțină teorie.
Pantă directă
Să ne amintim că programul funcție liniară\(y=kx+b\) este o linie dreaptă. Se numește numărul \(k=tg \alpha \). panta unei drepte, iar unghiul \(\alpha \) este unghiul dintre această linie și axa Ox
Dacă \(k>0\), atunci \(0 Dacă \(kEcuația tangentei la graficul funcției
Dacă punctul M(a; f(a)) aparține graficului funcției y = f(x) și dacă în acest punct se poate desena o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa x, apoi din sensul geometric al derivatei rezultă că coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(a). În continuare, vom dezvolta un algoritm pentru alcătuirea unei ecuații pentru o tangentă la graficul oricărei funcții.
Fie date pe graficul acestei funcții o funcție y = f(x) și un punct M(a; f(a)); să se știe că f"(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la grafic funcţie dată la un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx + b, deci sarcina este de a găsi valorile coeficienților k și b.
Totul este clar cu coeficientul unghiular k: se știe că k = f"(a). Pentru a calcula valoarea lui b, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f(a)) Aceasta înseamnă că dacă substituim coordonatele punctului M în ecuația unei drepte, obținem egalitatea corectă: \(f(a)=ka+b\), adică \(b = f(a) -. ka\).
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților k și b în ecuația dreptei:
Am primit ecuația tangentei la graficul unei funcții\(y = f(x) \) în punctul \(x=a \).
Algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la graficul funcției \(y=f(x)\)
1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera \(a\)
2. Calculați \(f(a)\)
3. Găsiți \(f"(x)\) și calculați \(f"(a)\)
4. Înlocuiți numerele găsite \(a, f(a), f"(a) \) în formula \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
Articolul oferă o explicație detaliată a definițiilor, semnificația geometrică a derivatei cu notații grafice. Ecuația unei linii tangente va fi luată în considerare cu exemple, se vor găsi ecuațiile unei tangente la curbele de ordinul 2.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1
Unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b se numește unghi α, care se măsoară de la direcția pozitivă a axei x la dreapta y = k x + b în direcția pozitivă.
În figură, direcția x este indicată printr-o săgeată verde și un arc verde, iar unghiul de înclinare printr-un arc roșu. Linia albastră se referă la linia dreaptă.
Definiția 2
Panta dreptei y = k x + b se numește coeficient numeric k.
Coeficientul unghiular este egal cu tangentei dreptei, cu alte cuvinte k = t g α.
- Unghiul de înclinare al unei drepte este egal cu 0 numai dacă este paralelă în jurul lui x și panta este egală cu zero, deoarece tangenta lui zero este egală cu 0. Aceasta înseamnă că forma ecuației va fi y = b.
- Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este acut, atunci condițiile 0 sunt îndeplinite< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 și există o creștere a graficului.
- Dacă α = π 2, atunci locația dreptei este perpendiculară pe x. Egalitatea este specificată de x = c, valoarea c fiind un număr real.
- Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este obtuz, atunci corespunde condițiilor π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает sens negativ, iar graficul este în scădere.
O secantă este o dreaptă care trece prin 2 puncte ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, o secanta este o linie dreaptă care este trasată prin oricare două puncte de pe graficul unei anumite funcții.
Figura arată că A B este o secante, iar f (x) este o curbă neagră, α este un arc roșu, indicând unghiul de înclinare al secantei.
Când coeficientul unghiular al unei drepte este egal cu tangentei unghiului de înclinare, este clar că tangentei unui triunghi dreptunghic A B C se poate găsi prin raportul dintre latura opusă față de cea adiacentă.
Definiția 4
Obținem o formulă pentru găsirea unei secante de forma:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, unde abscisele punctelor A și B sunt valorile x A, x B și f (x A), f (x B) sunt funcțiile de valori în aceste puncte.
Evident, coeficientul unghiular al secantei este determinat folosind egalitatea k = f (x B) - f (x A) x B - x A sau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , iar ecuația trebuie scrisă ca y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) sau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
Secanta împarte graficul vizual în 3 părți: la stânga punctului A, de la A la B, la dreapta lui B. Figura de mai jos arată că există trei secante care sunt considerate coincidente, adică sunt stabilite folosind un ecuație similară.
Prin definiție, este clar că o linie dreaptă și secanta ei în în acest caz, se potrivesc.
O secanta poate intersecta graficul unei anumite funcții de mai multe ori. Dacă există o ecuație de forma y = 0 pentru o secantă, atunci numărul de puncte de intersecție cu sinusoida este infinit.
Definiția 5
Tangenta la graficul functiei f (x) in punctul x 0 ; f (x 0) este o dreaptă care trece printr-un punct dat x 0; f (x 0), cu prezența unui segment care are multe valori x apropiate de x 0.
Exemplul 1
Să aruncăm o privire mai atentă la exemplul de mai jos. Atunci este clar că linia definită de funcția y = x + 1 este considerată tangentă la y = 2 x în punctul cu coordonatele (1; 2). Pentru claritate, este necesar să luați în considerare graficele cu valori apropiate de (1; 2). Funcția y = 2 x este afișată cu negru, linia albastră este linia tangentă, iar punctul roșu este punctul de intersecție.
Evident, y = 2 x se îmbină cu linia y = x + 1.
Pentru a determina tangenta, ar trebui să luăm în considerare comportamentul tangentei A B pe măsură ce punctul B se apropie infinit de punctul A Pentru claritate, prezentăm un desen.
Secanta A B, indicată de linia albastră, tinde spre poziția tangentei însăși, iar unghiul de înclinare al secantei α va începe să tinde spre unghiul de înclinare al tangentei însăși α x.
Definiția 6
Tangenta la graficul funcției y = f (x) în punctul A este considerată a fi poziția limită a secantei A B, deoarece B tinde spre A, adică B → A.
Acum să trecem la considerarea semnificației geometrice a derivatei unei funcții într-un punct.
Să trecem la considerarea secantei A B pentru funcția f (x), unde A și B cu coordonatele x 0, f (x 0) și x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) și ∆ x este notat ca increment al argumentului . Acum funcția va lua forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pentru claritate, să dăm un exemplu de desen.
Să luăm în considerare rezultatul triunghi dreptunghic A B C. Folosim definiția tangentei pentru a rezolva, adică obținem relația ∆ y ∆ x = t g α . Din definiția unei tangente rezultă că lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Conform regulii derivatei într-un punct, avem că derivata f (x) în punctul x 0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, unde ∆ x → 0 , atunci o notăm f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Rezultă că f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, unde k x este notat ca panta tangentei.
Adică, constatăm că f' (x) poate exista în punctul x 0, și ca tangente la un grafic dat al funcției în punctul de tangență egal cu x 0, f 0 (x 0), unde valoarea lui panta tangentei în punctul este egală cu derivata în punctul x 0 . Atunci obținem că k x = f " (x 0) .
Sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct este că este dat conceptul existenței unei tangente la graficul în același punct.
Pentru a scrie ecuația oricărei drepte pe un plan, este necesar să existe un coeficient unghiular cu punctul prin care trece. Notația sa este considerată x 0 la intersecție.
Ecuația tangentă la graficul funcției y = f (x) în punctul x 0, f 0 (x 0) ia forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).
Aceasta înseamnă că valoarea finală a derivatei f „(x 0) poate determina poziția tangentei, adică pe verticală, cu condiția lim x → x 0 + 0 f „(x) = ∞ și lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ sau absență deloc în condiția lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
Locația tangentei depinde de valoarea coeficientului ei unghiular k x = f "(x 0). Când este paralelă cu axa o x, obținem că k k = 0, când paralel cu o y - k x = ∞ și forma ecuația tangentă x = x 0 crește cu k x > 0, scade pe măsură ce k x< 0 .
Exemplul 2
Alcătuiți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 în punctul cu coordonatele (1; 3) și determinați unghiul de înclinare.
Soluţie
Prin condiție, avem că funcția este definită pentru toate numerele reale. Constatăm că punctul cu coordonatele specificate de condiția, (1; 3) este un punct de tangență, atunci x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.
Este necesar să găsiți derivata în punctul cu valoarea - 1. Înțelegem asta
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Valoarea lui f' (x) în punctul de tangență este panta tangentei, care este egală cu tangentei pantei.
Atunci k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Rezultă că α x = a r c t g 3 3 = π 6
Răspuns: ecuația tangentei ia forma
y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Pentru claritate, dăm un exemplu într-o ilustrație grafică.
Culoarea neagră este folosită pentru graficul funcției originale, Culoarea albastră– imaginea unei tangente, punct roșu – punct de tangență. Figura din dreapta arată o vedere mărită.
Exemplul 3
Determinați existența unei tangente la graficul unei funcții date
y = 3 · x - 1 5 + 1 în punctul cu coordonatele (1 ; 1) . Scrieți o ecuație și determinați unghiul de înclinare.
Soluţie
Prin condiție, avem că domeniul de definire al unei funcții date este considerat a fi mulțimea tuturor numerelor reale.
Să trecem la găsirea derivatei
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Dacă x 0 = 1, atunci f' (x) este nedefinit, dar limitele sunt scrise ca lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ și lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ceea ce înseamnă existența tangentă verticală în punctul (1; 1).
Răspuns: ecuația va lua forma x = 1, unde unghiul de înclinare va fi egal cu π 2.
Pentru claritate, să-l descriem grafic.
Exemplul 4
Aflați punctele de pe graficul funcției y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, unde
- Nu există tangentă;
- Tangenta este paralelă cu x;
- Tangenta este paralelă cu dreapta y = 8 5 x + 4.
Soluţie
Este necesar să se acorde atenție domeniului de aplicare al definiției. Prin condiție, avem că funcția este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Extindem modulul și rezolvăm sistemul cu intervale x ∈ - ∞ ; 2 şi [-2; + ∞). Înțelegem asta
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Este necesar să se diferențieze funcția. Avem asta
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Când x = − 2, atunci derivata nu există deoarece limitele unilaterale nu sunt egale în acel punct:
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Calculăm valoarea funcției în punctul x = - 2, de unde obținem asta
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, adică tangenta în punctul ( - 2 - 2) nu va exista.
- Tangenta este paralelă cu x când panta este zero. Atunci k x = t g α x = f "(x 0). Adică, este necesar să se găsească valorile unui astfel de x atunci când derivata funcției o transformă la zero. Adică, valorile lui f ' (x) vor fi punctele de tangență, unde tangenta este paralelă cu x .
Când x ∈ - ∞ ; - 2, atunci - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, iar pentru x ∈ (- 2; + ∞) obținem 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Calculați valorile funcției corespunzătoare
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Prin urmare - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 sunt considerate a fi punctele necesare ale graficului funcției.
Să ne uităm la o reprezentare grafică a soluției.
Linia neagră este graficul funcției, punctele roșii sunt punctele de tangență.
- Când liniile sunt paralele, coeficienții unghiulari sunt egali. Apoi este necesar să căutați puncte pe graficul funcției unde panta va fi egală cu valoarea 8 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați o ecuație de forma y "(x) = 8 5. Atunci, dacă x ∈ - ∞; - 2, obținem că - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, iar dacă x ∈ ( - 2 ; + ∞), atunci 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.
Prima ecuație nu are rădăcini deoarece discriminantul este mai mic decât zero. Să scriem asta
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
O altă ecuație are două rădăcini reale, deci
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Să trecem la găsirea valorilor funcției. Înțelegem asta
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Puncte cu valori - 1; 4 15, 5; 8 3 sunt punctele în care tangentele sunt paralele cu dreapta y = 8 5 x + 4.
Răspuns: linie neagră – graficul funcției, linie roșie – graficul lui y = 8 5 x + 4, linie albastră – tangente în puncte - 1; 4 15, 5; 8 3.
Poate exista un număr infinit de tangente pentru funcții date.
Exemplul 5
Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor disponibile ale funcției y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, care sunt situate perpendicular pe dreapta y = - 2 x + 1 2.
Soluţie
Pentru a compila ecuația tangentei, este necesar să se găsească coeficientul și coordonatele punctului tangente, pe baza condiției de perpendicularitate a dreptelor. Definiția este următoarea: produsul coeficienților unghiulari care sunt perpendiculari pe liniile drepte este egal cu - 1, adică scris ca k x · k ⊥ = - 1. Din condiția avem că coeficientul unghiular este situat perpendicular pe dreapta și este egal cu k ⊥ = - 2, atunci k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.
Acum trebuie să găsiți coordonatele punctelor de atingere. Trebuie să găsiți x și apoi valoarea lui pentru o funcție dată. Rețineți că din sensul geometric al derivatei la punct
x 0 obținem că k x = y "(x 0). Din această egalitate găsim valorile lui x pentru punctele de contact.
Înțelegem asta
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Această ecuație trigonometrică va fi folosită pentru a calcula ordonatele punctelor tangente.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk sau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z este o mulțime de numere întregi.
au fost găsite x puncte de contact. Acum trebuie să treceți la căutarea valorilor lui y:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 sau y 0 = - 4 5 + 1 3
Din aceasta obţinem că 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sunt punctele de tangență.
Răspuns: ecuaţiile necesare se vor scrie ca
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Pentru o reprezentare vizuală, luați în considerare o funcție și o tangentă pe o dreaptă de coordonate.
Figura arată că funcţia este situată pe intervalul [ - 10 ; 10 ], unde linia neagră este graficul funcției, liniile albastre sunt tangente, care sunt situate perpendicular pe dreapta dată de forma y = - 2 x + 1 2. Punctele roșii sunt puncte de atingere.
Ecuațiile canonice ale curbelor de ordinul 2 nu sunt funcții cu o singură valoare. Ecuațiile tangente ale acestora sunt compilate conform schemelor cunoscute.
Tangent la un cerc
A defini un cerc cu centru în punctul x c e n t e r ; y c e n t e r şi raza R, aplicaţi formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .
Această egalitate poate fi scrisă ca o unire a două funcții:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Prima funcție este situată în partea de sus, iar a doua în partea de jos, așa cum se arată în figură.
Pentru a compila ecuația unui cerc în punctul x 0; y 0 , care este situat în semicercul superior sau inferior, ar trebui să găsiți ecuația graficului unei funcții de forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r sau y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r la punctul indicat.
Când în punctele x c e n t e r ; y c e n t e r + R și x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangente pot fi date de ecuațiile y = y c e n t e r + R și y = y c e n t e r - R , iar în punctele x c e n t e r + R ; y c e n t e r şi
x c e n t e r - R ; y c e n t e r va fi paralel cu o y, atunci obținem ecuații de forma x = x c e n t e r + R și x = x c e n t e r - R .
Tangent la o elipsă
Când elipsa are un centru în x c e n t e r ; y c e n t e r cu semiaxele a și b, atunci poate fi specificat folosind ecuația x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.
O elipsă și un cerc pot fi notate prin combinarea a două funcții, și anume semielipsa superioară și inferioară. Atunci obținem asta
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Dacă tangentele sunt situate la vârfurile elipsei, atunci ele sunt paralele cu x sau despre y. Mai jos, pentru claritate, luați în considerare figura.
Exemplul 6
Scrieți ecuația tangentei la elipsa x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 în punctele cu valorile lui x egale cu x = 2.
Soluţie
Este necesar să găsiți punctele tangente care corespund valorii x = 2. Substituim în ecuația existentă a elipsei și aflăm că
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Apoi 2; 5 3 2 + 5 și 2; - 5 3 2 + 5 sunt punctele tangente care aparțin semielipsei superioare și inferioare.
Să trecem la găsirea și rezolvarea ecuației elipsei în raport cu y. Înțelegem asta
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Evident, semielipsa superioară este specificată folosind o funcție de forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, iar jumătatea elipsă inferioară y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.
Să aplicăm un algoritm standard pentru a crea o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții într-un punct. Să scriem că ecuația pentru prima tangentă la punctul 2; 5 3 2 + 5 va arăta ca
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Constatăm că ecuația celei de-a doua tangente cu o valoare în punct
2; - 5 3 2 + 5 ia forma
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Grafic, tangentele sunt desemnate după cum urmează:
Tangenta la hiperbola
Când o hiperbolă are un centru în x c e n t e r ; y c e n t e r şi vârfuri x c e n t e r + α ; y c e n t e r şi x c e n t e r - α ; y c e n t e r , are loc inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, dacă cu vârfuri x c e n t e r ; y c e n t e r + b și x c e n t e r ; y c e n t e r - b , atunci este specificat folosind inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
O hiperbolă poate fi reprezentată ca două funcții combinate ale formei
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r sau y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e · r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
În primul caz avem că tangentele sunt paralele cu y, iar în al doilea sunt paralele cu x.
Rezultă că pentru a găsi ecuația tangentei la o hiperbolă este necesar să aflăm cărei funcție îi aparține punctul de tangență. Pentru a determina acest lucru, este necesar să se substituie în ecuații și să se verifice identitatea.
Exemplul 7
Scrieți o ecuație pentru tangentei la hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 la punctul 7; - 3 3 - 3 .
Soluţie
Este necesar să se transforme înregistrarea soluției pentru găsirea unei hiperbole folosind 2 funcții. Înțelegem asta
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 și y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Este necesar să se identifice cărei funcție îi aparține un punct dat cu coordonatele 7; - 3 3 - 3 .
Evident, pentru a verifica prima funcție este necesar y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, atunci punctul nu aparține graficului, întrucât egalitatea nu se menține.
Pentru a doua funcție avem că y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ceea ce înseamnă că punctul aparține graficului dat. De aici ar trebui să găsiți panta.
Înțelegem asta
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Răspuns: ecuația tangentei poate fi reprezentată ca
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
Este clar descris astfel:
Tangent la o parabolă
Pentru a crea o ecuație pentru tangenta la parabola y = a x 2 + b x + c în punctul x 0, y (x 0), trebuie să utilizați un algoritm standard, apoi ecuația va lua forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) O astfel de tangentă la vârf este paralelă cu x.
Ar trebui să definiți parabola x = a y 2 + b y + c ca uniunea a două funcții. Prin urmare, trebuie să rezolvăm ecuația pentru y. Înțelegem asta
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Să o reprezentăm grafic ca:
Pentru a afla dacă un punct x 0, y (x 0) aparține unei funcții, procedați ușor conform algoritmului standard. O astfel de tangentă va fi paralelă cu o y față de parabolă.
Exemplul 8
Scrieți ecuația tangentei la graficul x - 2 y 2 - 5 y + 3 când avem un unghi de tangentă de 150 °.
Soluţie
Începem soluția reprezentând parabola ca două funcții. Înțelegem asta
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
Valoarea pantei este egală cu valoarea derivatei în punctul x 0 al acestei funcții și este egală cu tangentei unghiului de înclinare.
Primim:
k x = y „(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
De aici determinăm valoarea x pentru punctele de contact.
Prima funcție va fi scrisă ca
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Evident, nu există rădăcini reale, deoarece am primit o valoare negativă. Concluzionăm că nu există o tangentă cu un unghi de 150° pentru o astfel de funcție.
A doua funcție va fi scrisă ca
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Avem că punctele de contact sunt 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Răspuns: ecuația tangentei ia forma
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Să o reprezentăm grafic astfel:
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
