Valoarea absolută a unui număr A este distanța de la origine la punct DAR(A).

Pentru a înțelege această definiție, înlocuim o variabilă A orice număr, de exemplu 3 și încercați să-l citiți din nou:

Valoarea absolută a unui număr 3 este distanța de la origine la punct DAR(3 ).

Devine clar că modulul nu este altceva decât distanța obișnuită. Să încercăm să vedem distanța de la origine la punctul A( 3 )

Distanța de la originea coordonatelor până la punctul A( 3 ) este egal cu 3 (trei unități sau trei pași).

Modulul unui număr este indicat prin două linii verticale, de exemplu:

Modulul numărului 3 se notează după cum urmează: |3|

Modulul numărului 4 se notează după cum urmează: |4|

Modulul numărului 5 se notează după cum urmează: |5|

Am căutat modulul numărului 3 și am aflat că este egal cu 3. Așa că scriem:

Se citește ca: „Modulul lui trei este de trei”

Acum să încercăm să găsim modulul numărului -3. Din nou, ne întoarcem la definiție și înlocuim numărul -3 în ea. Doar în loc de un punct A utilizați un punct nou B. punct A am folosit deja în primul exemplu.

Modulul numărului este 3 numiți distanța de la origine la punct B(—3 ).

Distanța de la un punct la altul nu poate fi negativă. Prin urmare, modulul oricărui număr negativ, fiind o distanță, nu va fi nici negativ. Modulul numărului -3 va fi numărul 3. Distanța de la origine până la punctul B(-3) este, de asemenea, egală cu trei unități:

Se citește ca: „Modulul unui număr minus trei este trei”

Modulul numărului 0 este 0, deoarece punctul cu coordonata 0 coincide cu originea, adică. distanta de la origine la punct O(0) este egal cu zero:

„Modulul lui zero este zero”

Tragem concluzii:

• Modulul unui număr nu poate fi negativ;
• Pentru un număr pozitiv și zero, modulul este egal cu numărul în sine, iar pentru unul negativ, cu numărul opus;
• Numerele opuse au module egale.

Numerele opuse

Se numesc numerele care diferă doar prin semne opus. De exemplu, numerele -2 și 2 sunt opuse. Ele diferă doar prin semne. Numărul −2 are un semn minus, iar 2 are un semn plus, dar nu îl vedem, deoarece plus, așa cum am spus mai devreme, în mod tradițional nu este scris.

Mai multe exemple de numere opuse:

Numerele opuse au module egale. De exemplu, să găsim module pentru −2 și 2

Figura arată că distanța de la origine la puncte A(−2)și B(2) egal cu doi pasi.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Unul dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să vedem pentru început cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor fac clic pe ecuații pătratice, dar cu un concept atât de departe de cel mai complex, cum ar fi un modul are atât de multe probleme?

În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, atunci când rezolvă o ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă și apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Dar ce se întâmplă dacă un modul este întâlnit în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar în cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Dam mai multe exemple pentru fiecare caz.

Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulul numărului A numărul însuși se numește dacă A nenegativ şi -A dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:

|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0

Vorbind despre semnificația geometrică a modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - este să coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna dată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Orice număr poate fi în modul, dar rezultatul aplicării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.

Acum să trecem la rezolvarea ecuațiilor.

1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.

Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:

(±c dacă c > 0

Dacă |x| = c, atunci x = (0 dacă c = 0

(fără rădăcini dacă cu< 0

1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;

2) |x| = -5, deoarece -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, atunci x = 0.

2. O ecuație de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să scăpăm de modul. O facem astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum este necesar să rezolvăm separat fiecare dintre ecuațiile obținute. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci

x + 2 = 4 sau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci

x 2 - 5 = 11 sau x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 fără rădăcini

3) |x 2 – 5x| = -8 , deoarece -opt< 0, то уравнение не имеет корней.

3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). După semnificația modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă latura sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci avem:

f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x - 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluție:

2x - 1 = 5x - 10 sau 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combinați O.D.Z. iar soluția, obținem:

Rădăcina x \u003d 11/7 nu se potrivește conform O.D.Z., este mai mică de 2, iar x \u003d 3 satisface această condiție.

Răspuns: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluție:

x - 1 \u003d 1 - x 2 sau x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1

3. Combinați soluția și O.D.Z.:

Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.

Răspuns: x = 0, x = 1.

4. O ecuație de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 sau x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1

Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (schimbarea variabilei). Această metodă de soluție este cel mai ușor de explicat cu un exemplu specific. Deci, să fie dată o ecuație pătratică cu un modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem că t \u003d 1 sau t \u003d 5. Să revenim la înlocuire:

|x| = 1 sau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Să ne uităm la un alt exemplu:

x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem t \u003d -2 sau t \u003d 1. Să revenim la înlocuire:

|x| = -2 sau |x| = 1

Fără rădăcini x = ± 1

Răspuns: x = -1, x = 1.

6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.

1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. pentru că 4 > 0, atunci obținem două ecuații:

3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.

Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -unu< 0, а во втором x = ±7.

Răspuns x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:

3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Nu există rădăcini.

Răspuns: x = -3, x = 1.

Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda de spațiere. Dar o vom lua în considerare în continuare.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Instruire

Dacă modulul este reprezentat ca o funcție continuă, atunci valoarea argumentului său poate fi fie pozitivă, fie negativă: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Este ușor de observat că adunarea și scăderea numerelor complexe urmează aceeași regulă ca și adunarea și .

Produsul a două numere complexe este:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Deoarece i^2 = -1, rezultatul final este:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Operațiile de ridicare la putere și extragerea unei rădăcini pentru numerele complexe sunt definite în același mod ca și pentru numerele reale. Totuși, în domeniul complex, pentru orice număr, există exact n numere b astfel încât b^n = a, adică n rădăcini de gradul al n-lea.

În special, aceasta înseamnă că orice ecuație algebrică de gradul al n-lea dintr-o variabilă are exact n rădăcini complexe, dintre care unele pot fi și .

Videoclipuri similare

Surse:

• Prelegerea „Numerele complexe” în 2019

Rădăcina este o pictogramă care denotă operația matematică de găsire a unui astfel de număr, a cărei ridicare la puterea indicată înainte de semnul rădăcinii ar trebui să dea numărul indicat chiar sub acest semn. Adesea, pentru a rezolva probleme în care există rădăcini, nu este suficient doar să calculați valoarea. Trebuie să efectuăm operații suplimentare, dintre care una este introducerea unui număr, variabilă sau expresie sub semnul rădăcinii.

Instruire

Determinați exponentul rădăcinii. Un indicator este un număr întreg care indică puterea la care trebuie ridicat rezultatul calculării rădăcinii pentru a obține expresia rădăcinii (numărul din care este extrasă această rădăcină). Exponent al rădăcinii, specificat ca superscript înainte de pictograma rădăcină. Dacă acesta nu este specificat, este o rădăcină pătrată a cărei putere este două. De exemplu, exponentul rădăcină √3 este doi, exponentul ³√3 este trei, exponentul rădăcină ⁴√3 este patru și așa mai departe.

Ridicați numărul pe care doriți să îl adăugați sub semnul rădăcinii la puterea egală cu exponentul acestei rădăcini, pe care ați determinat-o în pasul anterior. De exemplu, dacă trebuie să introduceți numărul 5 sub semnul rădăcinii ⁴√3, atunci exponentul rădăcinii este patru și aveți nevoie de rezultatul ridicării lui 5 la a patra putere 5⁴=625. Puteți face acest lucru în orice mod convenabil pentru dvs. - în mintea dvs., folosind un calculator sau serviciile corespunzătoare postate.

Introduceți valoarea obținută în pasul anterior sub semnul rădăcinii ca multiplicator al expresiei radicalului. Pentru exemplul folosit în pasul anterior cu adăugarea sub rădăcina ⁴√3 5 (5*⁴√3), această acțiune se poate face astfel: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Simplificați expresia radicală rezultată, dacă este posibil. Pentru exemplul de la pașii anteriori, acesta este că trebuie doar să înmulțiți numerele de sub semnul rădăcinii: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Aceasta completează operația de adăugare a unui număr sub rădăcină.

Dacă există variabile necunoscute în problemă, atunci pașii descriși mai sus se pot face într-un mod general. De exemplu, dacă doriți să introduceți o variabilă necunoscută x sub rădăcina de gradul al patrulea, iar expresia rădăcinii este 5/x³, atunci întreaga secvență de acțiuni poate fi scrisă după cum urmează: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Surse:

• cum se numește semnul rădăcinii

Numerele reale nu sunt suficiente pentru a rezolva vreo ecuație pătratică. Cea mai simplă dintre ecuațiile pătratice care nu au rădăcini printre numerele reale este x^2+1=0. La rezolvarea acesteia, rezultă că x=±sqrt(-1) și, conform legilor algebrei elementare, extrageți rădăcina unui grad par dintr-un negativ numere este interzis.

A se calculează conform următoarelor reguli:

Pentru concizie, folosiți |a|. Astfel, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 etc.

Orice marime X corespunde unei valori destul de precise | X|. Si asta inseamnă identitate la= |X| stabileste la Ca unii funcția argument X.

Programa acest funcții prezentat mai jos.

Pentru X > 0 |X| = X, si pentru X< 0 |X|= -X; în legătură cu această linie y = | X| la X> 0 este aliniat cu linia y=x(bisectoarea primului unghi de coordonate) și când X< 0 - с прямой y = -x(bisectoarea celui de-al doilea unghi de coordonate).

Separa ecuații include necunoscute sub semn modul.

Exemple arbitrare de astfel de ecuații - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 etc.

Rezolvarea ecuațiilor care conține necunoscutul sub semnul modulului se bazează pe faptul că, dacă valoarea absolută a numărului necunoscut x este egală cu numărul pozitiv a, atunci acest număr x însuși este egal fie cu a, fie cu -a.

De exemplu: dacă | X| = 10, atunci sau X=10 sau X = -10.

Considera rezolvarea ecuațiilor individuale.

Să analizăm soluția ecuației | X- 1| = 2.

Să deschidem modulul apoi diferența X- 1 poate fi egal fie + 2, fie - 2. Dacă x - 1 = 2, atunci X= 3; dacă X- 1 = - 2, atunci X= - 1. Facem o substituție și obținem că ambele aceste valori satisfac ecuația.

Răspuns. Această ecuație are două rădăcini: X 1 = 3, X 2 = - 1.

Să analizăm rezolvarea ecuației | 6 — 2X| = 3X+ 1.

După extinderea modulului obținem: sau 6 - 2 X= 3X+ 1 sau 6 - 2 X= - (3X+ 1).

In primul caz X= 1, iar în al doilea X= - 7.

Examinare. La X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; rezulta din instanta X = 1 - rădăcină b dat ecuații.

La X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20; deoarece 20 ≠ -20, atunci X= - 7 nu este rădăcina acestei ecuații.

Răspuns. La ecuațiile au o singură rădăcină: X = 1.

Ecuaţiile de acest tip pot rezolva si grafic.

Deci haideți să decidem de exemplu, grafic ecuația | X- 1| = 2.

Să construim mai întâi graficul funcției la = |X— 1|. Să desenăm mai întâi graficul funcției. la=X- 1:

Acea parte a ei Arte grafice, care este situat deasupra axei X nu ne vom schimba. Pentru ea X- 1 > 0 și deci | X-1|=X-1.

Partea graficului care se află sub axă X, înfățișează simetric despre această axă. Pentru că pentru această parte X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - unu). Format ca urmare linia(linie continuă) și voință graficul funcției y = | X—1|.

Această linie se va intersecta cu Drept la= 2 în două puncte: M 1 cu abscisă -1 și M 2 cu abscisă 3. Și, în consecință, ecuația | X- 1| =2 va avea două rădăcini: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Unul dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să vedem pentru început cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor fac clic pe ecuații pătratice, dar cu un concept atât de departe de cel mai complex, cum ar fi un modul are atât de multe probleme?

În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, atunci când rezolvă o ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă și apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Dar ce se întâmplă dacă un modul este întâlnit în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar în cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Dam mai multe exemple pentru fiecare caz.

Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulul numărului A numărul însuși se numește dacă A nenegativ şi -A dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:

|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0

Vorbind despre semnificația geometrică a modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - este să coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna dată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Orice număr poate fi în modul, dar rezultatul aplicării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.

Acum să trecem la rezolvarea ecuațiilor.

1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.

Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:

(±c dacă c > 0

Dacă |x| = c, atunci x = (0 dacă c = 0

(fără rădăcini dacă cu< 0

1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;

2) |x| = -5, deoarece -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, atunci x = 0.

2. O ecuație de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să scăpăm de modul. O facem astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum este necesar să rezolvăm separat fiecare dintre ecuațiile obținute. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci

x + 2 = 4 sau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci

x 2 - 5 = 11 sau x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 fără rădăcini

3) |x 2 – 5x| = -8 , deoarece -opt< 0, то уравнение не имеет корней.

3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). După semnificația modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă latura sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci avem:

f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x - 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluție:

2x - 1 = 5x - 10 sau 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combinați O.D.Z. iar soluția, obținem:

Rădăcina x \u003d 11/7 nu se potrivește conform O.D.Z., este mai mică de 2, iar x \u003d 3 satisface această condiție.

Răspuns: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluție:

x - 1 \u003d 1 - x 2 sau x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1

3. Combinați soluția și O.D.Z.:

Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.

Răspuns: x = 0, x = 1.

4. O ecuație de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 sau x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1

Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (schimbarea variabilei). Această metodă de soluție este cel mai ușor de explicat cu un exemplu specific. Deci, să fie dată o ecuație pătratică cu un modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem că t \u003d 1 sau t \u003d 5. Să revenim la înlocuire:

|x| = 1 sau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Să ne uităm la un alt exemplu:

x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem t \u003d -2 sau t \u003d 1. Să revenim la înlocuire:

|x| = -2 sau |x| = 1

Fără rădăcini x = ± 1

Răspuns: x = -1, x = 1.

6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.

1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. pentru că 4 > 0, atunci obținem două ecuații:

3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.

Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -unu< 0, а во втором x = ±7.

Răspuns x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:

3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Nu există rădăcini.

Răspuns: x = -3, x = 1.

Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda de spațiere. Dar o vom lua în considerare în continuare.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.