Stat instituție educațională

in medie învăţământul profesional

Regiunea Tula

„Colegiul de Inginerie Mecanică Aleksinsky”

Numeric

seturi

Proiectat de

profesor

matematicienii

Khristoforova M.Yu.

Număr - concept de bază , folosit pentru caracteristici, comparații, și părțile lor. Semne scrise pentru a indica numerele sunt , și matematic .

Conceptul de număr a apărut în cele mai vechi timpuri din nevoile practice ale oamenilor și s-a dezvoltat în procesul dezvoltării umane. Sfera activității umane s-a extins și, în consecință, a crescut nevoia de descriere cantitativă și de cercetare. La început, conceptul de număr a fost determinat de nevoile de numărare și măsurare care au apărut în activitati practice persoană, devenind din ce în ce mai complexă. Mai târziu, numărul devine conceptul de bază al matematicii, iar nevoile acestei științe determină dezvoltare ulterioară acest concept.

Mulțimile ale căror elemente sunt numere se numesc numerice.

Exemple de seturi de numere sunt:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - mulțime de numere naturale;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - mulţime de numere întregi nenegative;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - mulțime de numere întregi;

Q=(m/n: m Z,n N) este mulțimea numerelor raționale.

R-mult de numere reale.

Există o relație între aceste seturi

N Zo Z Q R.

Numerele formularuluiN = (1, 2, 3, ....) sunt numitenatural . Numerele naturale au apărut în legătură cu necesitatea numărării obiectelor.

Orice , mai mare decât unu, poate fi reprezentat ca produs al puterilor numerelor prime și singura cale până la ordinea factorilor. De exemplu, 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

Dacăm, n, k - numere naturale, apoi cândm - n = k ei spun căm - minuend, n - subtrahend, k - diferență; lam: n = k ei spun căm - dividend, n - divizor, k - coeficient, numărm numit simultipli numeren, si numaruln - divizor numerem, Dacă numărulm- multiplu al unui numărn, atunci există un număr naturalk, astfel încâtm = kn.

Din numere care folosesc semne aritmetice și paranteze, acestea sunt compuseexpresii numerice. Dacă efectuați acțiunile indicate în expresie numerică, respectând ordinea acceptată, veți obține un număr numitvaloarea expresiei .

Ordinea operațiilor aritmetice: acțiunile dintre paranteze sunt executate mai întâi; În interiorul oricăror paranteze, se efectuează mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Dacă un număr naturalm nedivizibil cu un număr naturaln, acestea. Nu există așa cevanumărul natural k, Cem = kn, atunci ei considerăîmpărțirea cu rest: m = np + r, Undem - dividend, n - divizor (m>n), p - coeficient, r - restul .

Dacă un număr are doar doi divizori (numărul însuși și unul), atunci este numitsimplu : dacă un număr are mai mult de doi divizori, atunci se numeștecompozit.

Orice număr natural compus poate fifactorizați , și doar într-un singur sens. Când factorizați numerele în factori primi, utilizațisemne de divizibilitate .

A Șib poate fi găsitcel mai mare divizor comun. Este desemnatD(a,b). Dacă numereleA Șib sunt astfel încâtD(a,b) = 1, apoi numereleA Șib sunt numitereciproc simple.

Pentru orice numere naturale dateA Șib poate fi găsitcel mai mic multiplu comun. Este desemnatK(a,b). Orice multiplu comun de numereA Șib impartit deK(a,b).

Dacă numereleA Șib relativ prim , adicăD(a,b) = 1, AceaK(a,b) = ab .

Numerele formularului:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) sunt numite numere întregi , acestea. Numerele întregi sunt numerele naturale, opusul numerelor naturale și numărul 0.

Numerele naturale 1, 2, 3, 4, 5.... sunt numite și numere întregi pozitive. Numerele -1, -2, -3, -4, -5, ..., opusul numerelor naturale, se numesc numere întregi negative.

Cifre semnificative un număr reprezintă toate cifrele sale, cu excepția zerourilor de la început.

Se numește un grup de cifre care se repetă secvențial după punctul zecimal din notația zecimală a unui numărperioadă, iar o fracție zecimală infinită având o astfel de perioadă în notația sa se numeșteperiodic . Dacă perioada începe imediat după virgulă, atunci se numește fracțiaperiodic pur ; dacă există alte zecimale între virgulă și punct, atunci se numește fracțiaperiodic mixt .

Se numesc numere care nu sunt întregi sau fracțiiiraţional .

Fiecare număr irațional este reprezentat ca o fracție zecimală infinită neperiodică.

Se numește mulțimea tuturor fracțiilor zecimale finite și infinitemulți numere reale : rațional și irațional.

Mulțimea R de numere reale are următoarele proprietăți.

1. Este ordonat: pentru oricare două numere diferite α și b, una dintre cele două relații este valabilă: a

2. Mulțimea R este densă: între oricare două numere diferite a și b conțin o mulțime infinită de numere reale x, adică numere care satisfac inegalitatea a<х

Deci, dacă a

(A 2a< A+bA+b<2b  2 A A<(a+b)/2

Numerele reale pot fi reprezentate ca puncte pe o dreaptă numerică. Pentru a defini o linie numerică, trebuie să marcați un punct pe linie, care va corespunde cu numărul 0 - originea, apoi selectați un segment de unitate și indicați direcția pozitivă.

Fiecare punct de pe linia de coordonate corespunde unui număr, care este definit ca lungimea segmentului de la origine până la punctul în cauză, cu un segment de unitate luat ca unitate de măsură. Acest număr este coordonatele punctului. Dacă un punct este luat la dreapta originii, atunci coordonata lui este pozitivă, iar dacă este la stânga, este negativă. De exemplu, punctele O și A au coordonatele 0 și respectiv 2, care pot fi scrise astfel: 0(0), A(2).

Dintr-o mare varietate de tot felul seturi De un interes deosebit sunt așa-numitele seturi de numere, adică mulţimi ale căror elemente sunt numere. Este clar că pentru a lucra confortabil cu ei trebuie să le poți nota. Vom începe acest articol cu ​​notația și principiile scrierii mulțimilor numerice. În continuare, să ne uităm la modul în care seturile numerice sunt reprezentate pe o linie de coordonate.

Navigare în pagină.

Scrierea multimelor numerice

Să începem cu notația acceptată. După cum știți, majusculele alfabetului latin sunt folosite pentru a desemna seturi. Se desemnează și mulțimile numerice, ca caz special de mulțimi. De exemplu, putem vorbi despre seturile de numere A, H, W etc. Mulțimile de numere naturale, întregi, raționale, reale, complexe etc. au o importanță deosebită; pentru ele au fost adoptate notații proprii:

• N – mulţimea tuturor numerelor naturale;
• Z – mulţime de numere întregi;
• Q – mulţime de numere raţionale;
• J – mulţime de numere iraţionale;
• R – mulţime de numere reale;
• C este mulțimea numerelor complexe.

De aici este clar că nu ar trebui să desemnați o mulțime formată, de exemplu, din două numere 5 și −7 ca Q, această desemnare va induce în eroare, deoarece litera Q indică de obicei mulțimea tuturor numerelor raționale. Pentru a indica setul numeric specificat, este mai bine să folosiți o altă literă „neutră”, de exemplu, A.

Întrucât vorbim de notație, să ne amintim aici și despre notația unei mulțimi goale, adică a unei mulțimi care nu conține elemente. Se notează prin semnul ∅.

Să ne amintim, de asemenea, desemnarea dacă un element aparține sau nu unei mulțimi. Pentru a face acest lucru, utilizați semnele ∈ - aparține și ∉ - nu aparține. De exemplu, notația 5∈N înseamnă că numărul 5 aparține mulțimii numerelor naturale, iar 5.7∉Z - fracția zecimală 5.7 nu aparține mulțimii numerelor întregi.

Și să ne amintim, de asemenea, notația adoptată pentru includerea unui set în altul. Este clar că toate elementele mulțimii N sunt incluse în mulțimea Z, astfel mulțimea de numere N este inclusă în Z, aceasta este notă cu N⊂Z. Puteți folosi și notația Z⊃N, ceea ce înseamnă că mulțimea tuturor numerelor întregi Z include mulțimea N. Relațiile neincluse și neincluse sunt indicate prin ⊄ și, respectiv. Se mai folosesc semne de includere non-strict de forma ⊆ și ⊇, adică incluse sau coincide și, respectiv, include sau coincide.

Am vorbit despre notație, să trecem la descrierea mulțimilor numerice. În acest caz, vom atinge doar cazurile principale care sunt cele mai des folosite în practică.

Să începem cu mulțimi numerice care conțin un număr finit și mic de elemente. Este convenabil să descriem mulțimi numerice formate dintr-un număr finit de elemente prin enumerarea tuturor elementelor acestora. Toate elementele numerice sunt scrise separate prin virgule și incluse în , ceea ce este în concordanță cu generalul reguli pentru descrierea multimurilor. De exemplu, o mulțime formată din trei numere 0, −0,25 și 4/7 poate fi descrisă ca (0, −0,25, 4/7).

Uneori, când numărul de elemente dintr-o mulțime numerică este destul de mare, dar elementele se supun unui anumit model, se folosește o elipsă pentru descriere. De exemplu, setul tuturor numerelor impare de la 3 la 99 inclusiv poate fi scris ca (3, 5, 7, ..., 99).

Așa că am abordat fără probleme descrierea mulțimilor numerice, al căror număr de elemente este infinit. Uneori pot fi descrise folosind aceleași elipse. De exemplu, să descriem mulțimea tuturor numerelor naturale: N=(1, 2. 3, …) .

De asemenea, folosesc descrierea mulțimilor numerice indicând proprietățile elementelor sale. În acest caz, se folosește notația (x| proprietăți). De exemplu, notația (n| 8·n+3, n∈N) specifică mulțimea numerelor naturale care, împărțite la 8, lasă un rest de 3. Același set poate fi descris ca (11,19, 27, ...).

În cazuri speciale, mulțimile numerice cu un număr infinit de elemente sunt mulțimile cunoscute N, Z, R etc. sau intervale numerice. Practic, seturile numerice sunt reprezentate ca Uniune intervalele numerice individuale constitutive ale acestora și seturile numerice cu un număr finit de elemente (despre care am vorbit chiar mai sus).

Să arătăm un exemplu. Fie setul de numere format din numerele −10, −9, −8.56, 0, toate numerele segmentului [−5, −1,3] și numerele dreptei numerice deschise (7, +∞). Datorită definiției unei uniuni de mulțimi, mulțimea numerică specificată poate fi scrisă ca {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Această notație înseamnă de fapt o mulțime care conține toate elementele mulțimilor (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] și (7, +∞).

În mod similar, prin combinarea diferitelor intervale de numere și seturi de numere individuale, poate fi descris orice set de numere (format din numere reale). Aici devine clar de ce au fost introduse astfel de tipuri de intervale numerice precum interval, semiinterval, segment, rază numerică deschisă și rază numerică: toate acestea, cuplate cu notații pentru mulțimi de numere individuale, fac posibilă descrierea oricăror mulțimi numerice prin unirea lor.

Vă rugăm să rețineți că atunci când scrieți un set de numere, numerele sale constitutive și intervalele numerice sunt ordonate în ordine crescătoare. Aceasta nu este o condiție necesară, ci de dorit, deoarece un set numeric ordonat este mai ușor de imaginat și reprezentat pe o linie de coordonate. De asemenea, rețineți că astfel de înregistrări nu folosesc intervale numerice cu elemente comune, deoarece astfel de înregistrări pot fi înlocuite prin combinarea intervalelor numerice fără elemente comune. De exemplu, unirea mulțimilor numerice cu elemente comune [−10, 0] și (−5, 3) este semiintervalul [−10, 3) . Același lucru este valabil și pentru unirea intervalelor numerice cu aceleași numere de limită, de exemplu, uniunea (3, 5]∪(5, 7] este o mulțime (3, 7]), ne vom opri separat asupra acestui lucru când vom învăța să găsiți intersecția și uniunea mulțimilor numerice

Reprezentarea seturilor de numere pe o linie de coordonate

În practică, este convenabil să se utilizeze imagini geometrice ale seturilor numerice - imaginile lor pe. De exemplu, când rezolvarea inegalităților, în care este necesar să se țină cont de ODZ, este necesar să se înfățișeze mulțimi numerice pentru a găsi intersecția și/sau unirea acestora. Așadar, va fi util să înțelegeți bine toate nuanțele descrierii mulțimilor numerice pe o linie de coordonate.

Se știe că există o corespondență unu-la-unu între punctele dreptei de coordonate și numerele reale, ceea ce înseamnă că linia de coordonate în sine este un model geometric al mulțimii tuturor numerelor reale R. Astfel, pentru a descrie setul tuturor numerelor reale, trebuie să desenați o linie de coordonate cu umbrire pe toată lungimea:

Și de multe ori nici măcar nu indică originea și segmentul unității:

Acum să vorbim despre imaginea mulțimilor numerice, care reprezintă un anumit număr finit de numere individuale. De exemplu, să descriem setul de numere (−2, −0,5, 1,2) . Imaginea geometrică a acestei mulțimi, formată din trei numere −2, −0,5 și 1,2, va fi trei puncte ale dreptei de coordonate cu coordonatele corespunzătoare:

Rețineți că, de obicei, în scopuri practice, nu este nevoie să efectuați desenul exact. Adesea, un desen schematic este suficient, ceea ce implică că nu este necesar să se mențină scara; în acest caz, este important doar să se mențină poziția relativă a punctelor unul față de celălalt: orice punct cu o coordonată mai mică trebuie să fie la stânga unui punct cu o coordonată mai mare. Desenul anterior va arăta schematic astfel:

Separat, dintre tot felul de mulțimi numerice, se disting intervale numerice (intervale, semiintervale, raze etc.) care reprezintă imaginile geometrice ale acestora; le-am examinat în detaliu în secțiune. Nu ne vom repeta aici.

Și rămâne doar să ne oprim asupra imaginii seturilor numerice, care sunt o unire a mai multor intervale numerice și seturi formate din numere individuale. Nu este nimic complicat aici: conform sensului unirii în aceste cazuri, pe linia de coordonate este necesar să se înfățișeze toate componentele mulțimii unei mulțimi numerice date. De exemplu, să arătăm o imagine a unui set de numere (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Și să ne oprim asupra cazurilor destul de comune când mulțimea numerică reprezentată reprezintă întregul set de numere reale, cu excepția unuia sau a mai multor puncte. Astfel de mulțimi sunt adesea specificate de condiții precum x≠5 sau x≠−1, x≠2, x≠3,7 etc. În aceste cazuri, geometric reprezintă întreaga linie de coordonate, cu excepția punctelor corespunzătoare. Cu alte cuvinte, aceste puncte trebuie „smulse” din linia de coordonate. Ele sunt reprezentate ca cercuri cu un centru gol. Pentru claritate, să descriem un set numeric corespunzător condițiilor (acest set există în esență):

Rezuma. În mod ideal, informațiile din paragrafele anterioare ar trebui să formeze aceeași vedere a înregistrării și descrierii seturilor numerice ca și a intervalelor numerice individuale: înregistrarea unui set numeric ar trebui să dea imediat imaginea sa pe linia de coordonate, iar din imaginea de pe linia de coordonate ar trebui să fim gata să descriem cu ușurință mulțimea numerică corespunzătoare prin unirea intervalelor individuale și a mulțimilor formate din numere individuale.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Numărul este o abstractizare folosită pentru cuantificarea obiectelor. Numerele au apărut în societatea primitivă în legătură cu nevoia oamenilor de a număra obiectele. De-a lungul timpului, pe măsură ce știința s-a dezvoltat, numărul s-a transformat în cel mai important concept matematic.

Pentru a rezolva probleme și a demonstra diverse teoreme, trebuie să înțelegeți ce tipuri de numere există. Tipurile de bază de numere includ: numere naturale, numere întregi, numere raționale, numere reale.

numere întregi- sunt numere obţinute prin numărarea naturală a obiectelor, sau mai degrabă prin numerotarea lor („primul”, „al doilea”, „al treilea”...). Mulțimea numerelor naturale se notează printr-o literă latină N (poate fi reținut pe baza cuvântului englezesc natural). Se poate spune că N ={1,2,3,....}

Numere întregi- acestea sunt numere din mulțime (0, 1, -1, 2, -2, ....). Această mulțime este formată din trei părți - numere naturale, numere întregi negative (opusul numerelor naturale) și numărul 0 (zero). Numerele întregi sunt notate cu o literă latină Z . Se poate spune că Z ={1,2,3,....}.

Numere rationale sunt numere reprezentate ca o fracție, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Litera latină este folosită pentru a desemna numere raționale Q . Toate numerele naturale și întregi sunt raționale. De asemenea, exemple de numere raționale includ: ,,.

Numere reale- acestea sunt numere care sunt folosite pentru a măsura mărimi continue. Mulțimea numerelor reale se notează cu litera latină R. Numerele reale includ numerele raționale și numerele iraționale. Numerele iraționale sunt numere care se obțin prin efectuarea diferitelor operații cu numere raționale (de exemplu, luarea rădăcinilor, calcularea logaritmilor), dar nu sunt raționale. Exemple de numere iraționale sunt,,.

Pe linia numerică poate fi afișat orice număr real:

Pentru seturile de numere enumerate mai sus, următoarea afirmație este adevărată:

Adică, mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi. Mulțimea numerelor întregi este inclusă în mulțimea numerelor raționale. Și mulțimea numerelor raționale este inclusă în mulțimea numerelor reale. Această afirmație poate fi ilustrată folosind cercurile lui Euler.

numere întregi

Numerele folosite în numărare se numesc numere naturale. De exemplu, $1,2,3$ etc. Numerele naturale formează mulțimea numerelor naturale, care este notat cu $N$. Această denumire provine din cuvântul latin naturalis- natural.

Numerele opuse

Definiția 1

Dacă două numere diferă doar prin semne, ele se numesc în matematică numere opuse.

De exemplu, numerele $5$ și $-5$ sunt numere opuse, deoarece Ele diferă doar prin semne.

Nota 1

Pentru orice număr există un număr opus și doar unul.

Nota 2

Numărul zero este opusul său.

Numere întregi

Definiția 2

Întregul numerele sunt numerele naturale, contrariile lor și zero.

Mulțimea numerelor întregi include mulțimea numerelor naturale și contrariile lor.

Se notează numere întregi $Z.$

Numerele fracționale

Numerele de forma $\frac(m)(n)$ se numesc fracții sau numere fracționale. Numerele fracționale pot fi scrise și sub formă zecimală, adică. sub formă de fracții zecimale.

De exemplu: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ etc.

La fel ca numerele întregi, numerele fracționale pot fi fie pozitive, fie negative.

Numere rationale

Definiția 3

Numere rationale este o mulțime de numere care conține o mulțime de numere întregi și fracții.

Orice număr rațional, atât întreg cât și fracționar, poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(a)(b)$, unde $a$ este un număr întreg și $b$ este un număr natural.

Astfel, același număr rațional poate fi scris în moduri diferite.

De exemplu,

Aceasta arată că orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală infinită periodică.

Mulțimea numerelor raționale se notează cu $Q$.

Ca rezultat al efectuării oricărei operații aritmetice asupra numerelor raționale, răspunsul rezultat va fi un număr rațional. Acest lucru este ușor de demonstrat, datorită faptului că la adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, obțineți o fracție obișnuită.

Numere irationale

În timp ce studiezi un curs de matematică, de multe ori trebuie să te confrunți cu numere care nu sunt raționale.

De exemplu, pentru a verifica existența unei mulțimi de numere altele decât cele raționale, să rezolvăm ecuația $x^2=6$ Rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele $\surd 6$ și -$\surd 6$ . Aceste numere nu vor fi raționale.

De asemenea, când găsim diagonala unui pătrat cu latura $3$, aplicăm teorema lui Pitagora și aflăm că diagonala va fi egală cu $\surd 18$. Nici acest număr nu este rațional.

Se numesc astfel de numere iraţional.

Deci, un număr irațional este o fracție zecimală neperiodică infinită.

Unul dintre numerele iraționale întâlnite frecvent este numărul $\pi $

Când se efectuează operații aritmetice cu numere iraționale, rezultatul rezultat poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.

Să demonstrăm acest lucru folosind exemplul de găsire a produsului numerelor iraționale. Sa gasim:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Prin decizie

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Acest exemplu arată că rezultatul poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.

Dacă numerele raționale și iraționale sunt implicate în operații aritmetice în același timp, atunci rezultatul va fi un număr irațional (cu excepția, desigur, înmulțirea cu $0$).

Numere reale

Mulțimea numerelor reale este o mulțime care conține mulțimea numerelor raționale și iraționale.

Mulțimea numerelor reale se notează cu $R$. Simbolic, mulțimea numerelor reale poate fi notată cu $(-?;+?).$

Am spus mai devreme că un număr irațional este o fracție zecimală infinită neperiodică și orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală infinită periodică, deci orice fracție zecimală finită și infinită va fi un număr real.

La efectuarea operațiilor algebrice se vor respecta următoarele reguli:

1. La înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive, numărul rezultat va fi pozitiv
2. La înmulțirea și împărțirea numerelor negative, numărul rezultat va fi pozitiv
3. La înmulțirea și împărțirea numerelor negative și pozitive, numărul rezultat va fi negativ

Numerele reale pot fi, de asemenea, comparate între ele.

Analiza matematică este ramura matematicii care se ocupă cu studiul funcțiilor bazate pe ideea unei funcții infinitezimale.

Conceptele de bază ale analizei matematice sunt cantitate, mulțime, funcție, funcție infinitezimală, limită, derivată, integrală.

mărimea Orice lucru care poate fi măsurat și exprimat prin număr se numește.

Mulți este o colecție de elemente unite printr-o trăsătură comună. Elementele unui set pot fi numere, figuri, obiecte, concepte etc.

Seturile sunt notate cu litere mari, iar elementele setului sunt notate cu litere mici. Elementele seturilor sunt închise în acolade.

Dacă elementul X aparține setului X, apoi scrie X∈X (∈ - aparține).
Dacă setul A face parte din setul B, atunci scrieți A ⊂ B (⊂ - conținea).

O mulțime poate fi definită în unul din două moduri: prin enumerare și prin utilizarea unei proprietăți definitorii.

De exemplu, următoarele seturi sunt specificate prin enumerare:

• A=(1,2,3,5,7) - set de numere
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - mulțime de elemente x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — mulțime de numere naturale
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — mulțime de numere întregi

Se numește mulțimea (-∞;+∞). linie numerică, iar orice număr este un punct pe această dreaptă. Fie a un punct arbitrar pe dreapta numerică și δ un număr pozitiv. Se numește intervalul (a-δ; a+δ). δ-vecinatatea punctului a.

O mulțime X este mărginită de sus (de jos) dacă există un număr c astfel încât pentru orice x ∈ X inegalitatea x≤с (x≥c) să fie valabilă. Numărul c în acest caz este numit marginea de sus (de jos). mulţimea X. Se numeşte o mulţime mărginită atât deasupra cât şi dedesubt limitat. Cea mai mică (mai mare) dintre fețele superioare (inferioare) ale unui set se numește marginea de sus (de jos) exactă a acestei multimi.

Seturi de numere de bază

N	(1,2,3,...,n) Set de toate
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Setați numere întregi. Mulțimea numerelor întregi include mulțimea numerelor naturale.
Q	O multime de numere rationale. Pe lângă numerele întregi, există și fracții. O fracție este o expresie a formei unde p- întreg, q- naturală. Fracțiile zecimale pot fi scrise și ca . De exemplu: 0,25 = 25/100 = 1/4. Numerele întregi pot fi scrise și ca . De exemplu, sub forma unei fracții cu numitorul „unu”: 2 = 2/1. Astfel, orice număr rațional poate fi scris ca o fracție zecimală - finită sau infinit periodică.
R	O mulțime de toată lumea numere reale. Numerele iraționale sunt fracții neperiodice infinite. Acestea includ: Împreună, două mulțimi (numere raționale și iraționale) formează mulțimea numerelor reale (sau reale).

Dacă o mulțime nu conține un singur element, atunci este numită set golși este înregistrată Ø .

Elemente de simbolism logic

Notația ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Cuantificator

Cuantificatorii sunt adesea folosiți la scrierea expresiilor matematice.

Cuantificator se numeşte simbol logic care caracterizează elementele care îl urmează în termeni cantitativi.

• ∀- cuantificator general, este folosit în locul cuvintelor „pentru toată lumea”, „pentru oricine”.
• ∃- cuantificator de existență, este folosit în locul cuvintelor „există”, „este disponibil”. Se folosește și combinația de simboluri ∃!, care se citește ca și cum ar fi doar una.

Setați operațiuni

Două multimile A si B sunt egale(A=B) dacă sunt formate din aceleași elemente.
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), atunci A=B.

Prin unire (suma) mulţimile A şi B sunt o mulţime A ∪ B ale cărei elemente aparţin cel puţin uneia dintre aceste mulţimi.
De exemplu, dacă A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atunci A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

După intersecție (produs) mulţimile A şi B se numesc o mulţime A ∩ B, ale cărei elemente aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B.
De exemplu, dacă A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atunci A ∩ B = (2,4)

Prin diferenta Mulțimile A și B se numesc mulțimi AB, ale cărei elemente aparțin mulțimii A, dar nu aparțin mulțimii B.
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atunci AB = (1,2)

Diferență simetrică multimile A si B se numesc multimea A Δ B, care este unirea diferentelor multimilor AB si BA, adica A Δ B = (AB) ∪ (BA).
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atunci A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Proprietățile operațiilor de set

Proprietăți de comutabilitate

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Proprietate potrivită

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Seturi numărabile și nenumărate

Pentru a compara oricare două mulțimi A și B, se stabilește o corespondență între elementele lor.

Dacă această corespondență este unu-la-unu, atunci mulțimile se numesc echivalente sau la fel de puternice, A B sau B A.

Exemplul 1

Mulțimea punctelor de pe cateta BC și ipotenuza AC a triunghiului ABC sunt de putere egală.