Tangentă este o linie dreaptă care trece printr-un punct de pe curbă și coincide cu acesta în acest punct până la ordinul întâi (Fig. 1).
O altă definiție: aceasta este poziția limită a secantei la Δ X→0.
Explicație: Luați o linie dreaptă care intersectează curba în două puncte: AȘi b(Vezi poza). Aceasta este o secanta. O vom roti în sensul acelor de ceasornic până când va găsi un singur punct comun cu curba. Acest lucru ne va oferi o tangentă.
Definiție strictă a tangentei:
Tangenta la graficul unei functii f, diferentiabil la punct XO, este o dreaptă care trece prin punctul ( XO; f(XO)) și având o pantă f′( XO).
Panta are o linie dreaptă a formei y=kx +b. Coeficient k si este pantă această linie dreaptă.
Coeficientul unghiular este egal cu tangentei unghiului ascuțit format de această dreaptă cu axa absciselor:
|
Aici unghiul α este unghiul dintre linia dreaptă y=kx +bși direcția pozitivă (adică în sens invers acelor de ceasornic) a axei x. Se numeste unghiul de înclinare al unei linii drepte(Fig. 1 și 2). 
Dacă unghiul de înclinare este drept y=kx +b acută, atunci panta este un număr pozitiv. Graficul este în creștere (Fig. 1).
Dacă unghiul de înclinare este drept y=kx +b este obtuz, atunci panta este număr negativ. Graficul este în scădere (Fig. 2).
Dacă linia dreaptă este paralelă cu axa x, atunci unghiul de înclinare al dreptei este zero. În acest caz, panta dreptei este, de asemenea, zero (deoarece tangenta lui zero este zero). Ecuația dreptei va arăta ca y = b (Fig. 3).
Dacă unghiul de înclinare al unei drepte este de 90º (π/2), adică este perpendicular pe axa absciselor, atunci linia dreaptă este dată de egalitate x =c, Unde c– un număr real (Fig. 4).
Ecuația tangentei la graficul unei funcțiiy = f(X) la un moment dat XO:
Exemplu: Găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(X) = X 3 – 2X 2 + 1 în punctul cu abscisa 2.
Soluție.
Urmăm algoritmul.
1) Punct de atingere XO este egal cu 2. Calculați f(XO):
f(XO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Găsiți f′( X). Pentru a face acest lucru, aplicăm formulele de diferențiere prezentate în secțiunea anterioară. Conform acestor formule, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Mijloace:
f′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Acum, folosind valoarea rezultată f′( X), calculati f′( XO):
f′( XO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Deci, avem toate datele necesare: XO = 2, f(XO) = 1, f ′( XO) = 4. Înlocuiți aceste numere în ecuația tangentei și găsiți soluția finală:
y = f(XO) + f′( XO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Răspuns: y = 4x – 7.
O tangentă este o linie dreaptă , care atinge graficul funcției într-un punct și toate punctele care se află la cea mai mică distanță de graficul funcției. Prin urmare, tangenta trece tangentă la graficul funcției la un anumit unghi, iar mai multe tangente la unghiuri diferite nu pot trece prin punctul de tangență. Ecuațiile tangente și ecuațiile normale la graficul unei funcții sunt construite folosind derivata.
Ecuația tangentei este derivată din ecuația dreptei .
Să derivăm ecuația tangentei și apoi ecuația normalei la graficul funcției.
y = kx + b .
În el k- coeficientul unghiular.
De aici obținem următoarea intrare:
y - y 0 = k(X - X 0 ) .
Valoarea derivată f "(X 0 ) funcții y = f(X) la punct X0 egală cu panta k= tg φ tangentă la graficul unei funcții trasate printr-un punct M0 (X 0 , y 0 ) , Unde y0 = f(X 0 ) . Aceasta este sensul geometric al derivatului .
Astfel, putem înlocui k pe f "(X 0 ) și obțineți următoarele ecuația tangentei la graficul unei funcții :
y - y 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .
În problemele care implică alcătuirea ecuației unei tangente la graficul unei funcții (și vom trece la ele în curând), este necesar să reducem ecuația obținută din formula de mai sus la ecuația unei drepte în formă generală. Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați toate literele și numerele în partea stanga ecuație și lăsați zero în partea dreaptă.
Acum despre ecuația normală. Normal - aceasta este o dreaptă care trece prin punctul de tangență la graficul funcției perpendiculară pe tangentă. Ecuație normală :
(X - X 0 ) + f "(X 0 )(y - y 0 ) = 0
Pentru a vă încălzi, vi se cere să rezolvați singur primul exemplu, apoi să priviți soluția. Există toate motivele să sperăm că această sarcină nu va fi un „duș rece” pentru cititorii noștri.
Exemplul 0. Creați o ecuație tangentă și o ecuație normală pentru graficul unei funcții într-un punct M (1, 1) .
Exemplul 1. Scrieți o ecuație tangentă și o ecuație normală la graficul unei funcții 
, dacă abscisa este tangentă .
Să găsim derivata funcției:
Acum avem tot ce trebuie înlocuit în intrarea dată în ajutorul teoretic pentru a obține ecuația tangentei. Primim
În acest exemplu, am avut noroc: panta s-a dovedit a fi zero, așa că reducem separat ecuația la aspectul general nu era nevoie. Acum putem crea ecuația normală:
În figura de mai jos: graficul unei funcții de culoare visiniu, tangentă Culoare verde, portocaliu normal.
Următorul exemplu nu este, de asemenea, complicat: funcția, ca și în cea precedentă, este și un polinom, dar panta nu va fi egală cu zero, așa că se va adăuga încă un pas - aducând ecuația la o formă generală.
Exemplul 2.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Să găsim derivata funcției:
.
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
Înlocuim toate datele obținute în „formula goală” și obținem ecuația tangentei:
Aducem ecuația la forma ei generală (colectăm toate literele și numerele, altele decât zero în partea stângă și lăsăm zero în dreapta):
Compunem ecuația normală:
Exemplul 3. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Să găsim derivata funcției:
.
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
.
Găsim ecuația tangentei:
Înainte de a aduce ecuația la forma sa generală, trebuie să o „pieptănați” puțin: înmulțiți termen cu termen cu 4. Facem acest lucru și aducem ecuația la forma sa generală:
Compunem ecuația normală:
Exemplul 4. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
.
Să găsim derivata funcției:
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
.
Obtinem ecuatia tangentei:
Aducem ecuația la forma ei generală:
Compunem ecuația normală:
O greșeală comună atunci când scrieți ecuații tangente și normale este să nu observați că funcția dată în exemplu este complexă și să calculați derivata ei ca derivată a unei funcții simple. Următoarele exemple sunt deja din funcții complexe(lecția corespunzătoare se va deschide într-o fereastră nouă).
Exemplul 5. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Atenţie! Această funcție este complexă, deoarece argumentul tangentă (2 X) este în sine o funcție. Prin urmare, găsim derivata unei funcții ca derivată a unei funcții complexe.
Să fie dată o funcție f, care la un punct x 0 are o derivată finită f (x 0). Atunci linia dreaptă care trece prin punctul (x 0 ; f (x 0)), având un coeficient unghiular f ’(x 0), se numește tangentă.
Ce se întâmplă dacă derivata nu există în punctul x 0? Există două opțiuni:
- Nu există nici tangentă la grafic. Un exemplu clasic este funcția y = |x | în punctul (0; 0).
- Tangenta devine verticală. Acest lucru este adevărat, de exemplu, pentru funcția y = arcsin x în punctul (1; π /2).
Ecuație tangentă
Orice dreaptă neverticală este dată de o ecuație de forma y = kx + b, unde k este panta. Tangenta nu face excepție și pentru a-și crea ecuația la un punct x 0 este suficient să cunoaștem valoarea funcției și a derivatei în acest punct.
Deci, să fie dată o funcție y = f (x), care are o derivată y = f ’(x) pe segment. Atunci în orice punct x 0 ∈ (a ; b) se poate trasa o tangentă la graficul acestei funcții, care este dată de ecuația:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Aici f ’(x 0) este valoarea derivatei în punctul x 0, iar f (x 0) este valoarea funcției în sine.
Sarcină. Având în vedere funcția y = x 3 . Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 2.
Ecuație tangentă: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punctul x 0 = 2 ne este dat, dar valorile f (x 0) și f ’(x 0) vor trebui calculate.
Mai întâi, să găsim valoarea funcției. Totul este ușor aici: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Acum să găsim derivata: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Inlocuim x 0 = 2 in derivata: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
În total obținem: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Aceasta este ecuația tangentei.
Sarcină. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției f (x) = 2sin x + 5 în punctul x 0 = π /2.
De data aceasta nu vom descrie fiecare acțiune în detaliu - vom indica doar pașii cheie. Avem:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Ecuația tangentei:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
ÎN acest din urmă caz linia dreaptă s-a dovedit a fi orizontală, deoarece coeficientul său unghiular k = 0. Nu este nimic greșit în asta - tocmai am dat peste un punct extremum.
Acest program matematic găsește ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)\) într-un punct specificat de utilizator \(a\).
Programul nu numai că afișează ecuația tangentei, dar afișează și procesul de rezolvare a problemei.
Acest calculator online poate fi util pentru elevii de liceu scoala secundaraîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.
Dacă trebuie să găsiți derivata unei funcții, atunci pentru aceasta avem sarcina Găsiți derivata.
Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de intrare în funcții, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.
Introduceți expresia funcției \(f(x)\) și numărul \(a\) Găsiți ecuația tangentei S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Puțină teorie.
Pantă directă
Să ne amintim că programul funcție liniară\(y=kx+b\) este o linie dreaptă. Se numește numărul \(k=tg \alpha \). panta unei drepte, iar unghiul \(\alpha \) este unghiul dintre această linie și axa Ox
Dacă \(k>0\), atunci \(0 Dacă \(kEcuația tangentei la graficul funcției
Dacă punctul M(a; f(a)) aparține graficului funcției y = f(x) și dacă în acest punct este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa absciselor , apoi din sens geometric derivată rezultă că coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(a). În continuare, vom dezvolta un algoritm pentru alcătuirea ecuației tangentei la graficul oricărei funcții.
Fie date pe graficul acestei funcții o funcție y = f(x) și un punct M(a; f(a)); să se știe că f"(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la grafic funcţie dată la un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx + b, deci sarcina este de a găsi valorile coeficienților k și b.
Totul este clar cu coeficientul unghiular k: se știe că k = f"(a). Pentru a calcula valoarea lui b, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f(a)) Aceasta înseamnă că dacă substituim coordonatele punctului M în ecuația unei drepte, obținem egalitatea corectă: \(f(a)=ka+b\), adică \(b = f(a) -. ka\).
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților k și b în ecuația dreptei:
Am primit ecuația tangentei la graficul unei funcții\(y = f(x) \) în punctul \(x=a \).
Algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la graficul funcției \(y=f(x)\)
1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera \(a\)
2. Calculați \(f(a)\)
3. Găsiți \(f"(x)\) și calculați \(f"(a)\)
4. Înlocuiți numerele găsite \(a, f(a), f"(a) \) în formula \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
Y = f(x) și dacă în acest punct se poate desena o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa absciselor, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a). Avem deja folosit acest lucru de mai multe ori De exemplu, în § 33 s-a stabilit că graficul funcției y = sin x (sinusoid) la origine formează un unghi de 45° cu axa x (mai precis, tangenta la graficul de la origine formează un unghi de 45° cu direcția pozitivă a axei x), iar în exemplul 5 § 33 de puncte au fost găsite în programul dat funcții, în care tangenta este paralelă cu axa x. În exemplul 2 din § 33, s-a întocmit o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = x 2 în punctul x = 1 (mai precis, la punctul (1; 1), dar mai des doar valoarea abscisei este indicat, crezând că dacă se cunoaște valoarea abscisei, atunci valoarea ordonatei poate fi găsită din ecuația y = f(x)). În această secțiune vom dezvolta un algoritm pentru alcătuirea unei ecuații tangente la graficul oricărei funcții.
Să fie date funcția y = f(x) și punctul M (a; f(a)) și se știe, de asemenea, că f"(a) există. Să compunem o ecuație pentru tangenta la graficul unui funcție dată la un punct dat Această ecuație este ca ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor are forma y = kx+m, deci sarcina este de a găsi valorile coeficienților k și m.
Nu există probleme cu coeficientul unghiular k: știm că k = f "(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)) . Aceasta înseamnă că dacă substituim punctul de coordonate M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă: f(a) = ka+m, din care aflăm că m = f(a) - ka.
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților kit-ului în ecuația Drept:
Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.
Dacă, să zicem,
Înlocuind valorile găsite a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 în ecuația (1), obținem: y = 1+2(x-f), adică y = 2x-1.
Comparați acest rezultat cu cel obținut în exemplul 2 din § 33. Desigur, același lucru s-a întâmplat.
Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tan x la origine. Avem: 
aceasta înseamnă cos x f"(0) = 1. Înlocuind valorile găsite a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 în ecuația (1), obținem: y = x.
De aceea am trasat tangentoidul în § 15 (vezi Fig. 62) prin originea coordonatelor la un unghi de 45° față de axa absciselor.
Rezolvându-le suficient exemple simple, am folosit de fapt un anumit algoritm, care este conținut în formula (1). Să explicăm acest algoritm.
ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFUL FUNCTIEI y = f(x)
1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2) Calculați 1 (a).
3) Aflați f"(x) și calculați f"(a).
4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), (a) în formula (1).
Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul x = 1.
Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu
În fig. 126 este reprezentată o hiperbolă, se construiește o linie dreaptă y = 2.
Desenul confirmă calculele de mai sus: într-adevăr, linia dreaptă y = 2 atinge hiperbola în punctul (1; 1).
Răspuns: y = 2- x.
Exemplul 2. Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta y = 4x - 5.
Să clarificăm formularea problemei. Cerința de a „trage o tangentă” înseamnă de obicei „a forma o ecuație pentru tangentă”. Acest lucru este logic, deoarece dacă o persoană a fost capabilă să creeze o ecuație pentru o tangentă, atunci este puțin probabil să aibă dificultăți în construirea unei linii drepte pe planul de coordonate folosind ecuația acesteia.
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont de faptul că în acest exemplu Dar, spre deosebire de exemplul anterior, există o ambiguitate: abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit.
Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = 4x-5. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei trebuie să fie egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: 
Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f"(a) = 4.
Avem: 
Din ecuație Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 2, cealaltă în punctul cu abscisa -2.
Acum puteți urma algoritmul.
Exemplul 3. Din punctul (0; 1) trageți o tangentă la graficul funcției
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont că în acest exemplu, Rețineți că aici, ca și în exemplul 2, abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.
Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 1). Înlocuind valorile x = 0, y = 1 în ecuația (2), obținem: 
După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =4 în ecuația (2), obținem:
În fig. 127 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: este trasat un grafic al funcției
În § 32 am observat că pentru o funcție y = f(x), care are o derivată la un punct fix x, egalitatea aproximativă este valabilă:
Pentru comoditatea unui raționament suplimentar, să schimbăm notația: în loc de x vom scrie a, în loc de x, și, în consecință, în loc de x-a. Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:
Acum uitați-vă la fig. 128. Se trasează o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul M (a; f (a)). Punctul x este marcat pe axa x aproape de a. Este clar că f(x) este ordonata graficului funcției în punct specificat X. Ce este f(a) + f"(a) (x-a)? Aceasta este ordonata tangentei corespunzătoare aceluiași punct x - vezi formula (1). Care este sensul egalității aproximative (3)? Faptul că Pentru a calcula valoarea aproximativă a funcției, luați valoarea ordonată a tangentei.
Exemplul 4. Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 1,02 7.
Este despre despre găsirea valorii funcției y = x 7 în punctul x = 1,02. Să folosim formula (3), ținând cont de faptul că în acest exemplu
Ca rezultat obținem:
Dacă folosim un calculator, obținem: 1,02 7 = 1,148685667...
După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.
Răspuns: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a
Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală
Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, poze, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate
