Potențialul câmpului

Potențialul câmpului

Potențialul câmpului

potenţiale de câmp

Potențialul câmpului electric sarcina punctiformă Q într-un punct:

Câmpul unui cilindru încărcat infinit lung (filet)

Lăsați câmpul să fie creat de un cilindric infinit suprafata cu raza R, încărcat cu densitate liniară constantă, unde d q– sarcina concentrata pe o sectiune a cilindrului (Fig. 2.14).

Din considerente de simetrie rezultă că Eîn orice punct va fi îndreptată de-a lungul razei, perpendicular pe axa cilindrului.

Imaginați-vă în jurul unui cilindru (fir) coaxiale suprafata inchisa ( cilindru în interiorul unui cilindru) raza r si lungime l(bazele cilindrilor sunt perpendiculare pe axa). Pentru bazele cilindrilor pentru suprafața laterală, de ex. depinde de distanta r.

În consecință, fluxul vectorial prin suprafața luată în considerare este egal cu

Când va exista o sarcină pe suprafață Conform teoremei Ostrogradsky-Gauss, deci

.

(2.5.6)

Dacă, pentru că Nu există încărcături în interiorul suprafeței închise (Fig. 2.15).

Dacă micşorăm raza cilindrului R(la ), atunci se poate obține un câmp cu o intensitate foarte mare lângă suprafață și, la , se obține un fir.

27. Potențial de câmp creat de un plan infinit încărcat uniform.

Potențialul câmpului- aceasta este o caracteristică energetică a câmpului, caracterizează energia potențială pe care o unitate de sarcină pozitivă plasată într-un anumit punct al câmpului;

Unitatea de măsură a potențialului electric este voltul (V).

Potențialul câmpului egal cu raportul dintre energia potențială a unei sarcini și această sarcină:

Potențialul câmpului este o energie caracteristică câmpului electric și, ca mărime scalară, poate lua valori pozitive sau negative.

Diferența are o semnificație fizică potenţiale de câmp, deoarece munca forțelor de câmp pentru a muta o sarcină este exprimată prin ea.

Câmp al unui plan infinit încărcat uniform.

Să introducem conceptul de densitate de sarcină de suprafață > 0, numeric egală cu sarcina pe unitatea de suprafață:

Datorită omogenității și izotropiei spațiului, liniile de câmp ale unui plan infinit încărcat uniform trebuie să fie perpendiculare pe acesta și să aibă o densitate uniformă, ceea ce corespunde definiției uniformității câmpului. E=const. Ca suprafață închisă „convenabilă”, alegem un cilindru drept, a cărui suprafață laterală este paralelă cu liniile de forță (pretutindeni pe el 0 și, prin urmare, fluxul prin acesta este egal cu 0), iar suprafețele de capăt ale aria S sunt paralele cu planul încărcat (deci peste tot pe ele 1):

Flux uniform de câmp E prin ambele suprafețe de capăt perpendiculare pe acesta, S este pur și simplu egal cu E 2S, iar sarcina concentrată pe o zonă S a suprafeței încărcate este egală cu S:

Densitatea sarcinii de suprafață pe un plan arbitrar cu arie S determinat de formula:

unde d q– sarcina concentrată pe zona d S; d S– o zonă fizic infinit de mică a suprafeței.

Fie σ în toate punctele planului S este la fel. Încărca q– pozitiv. Tensiunea în toate punctele va avea o direcție perpendiculară pe plan S(Fig. 2.11).

Este evident că în punctele care sunt simetrice față de plan, tensiunea va fi aceeași ca mărime și opusă ca direcție.

Să ne imaginăm un cilindru cu generatrice perpendiculară pe plan și baze Δ S, situat simetric fata de plan (Fig. 2.12).

	Orez. 2.11	Orez. 2.12

Să aplicăm teorema Ostrogradsky-Gauss. Flux F E prin partea suprafeței cilindrului este egal cu zero, deoarece . Pentru baza cilindrului

Debitul total printr-o suprafață închisă (cilindru) va fi egal cu:

Există o sarcină în interiorul suprafeței. În consecință, din teorema Ostrogradsky–Gauss obținem:

;

din care se poate observa că intensitatea câmpului avionului S este egal cu:

Câmpul electrostatic are o proprietate importantă: Lucrul forțelor câmpului electrostatic atunci când se deplasează o sarcină dintr-un punct al câmpului în altul nu depinde de forma traiectoriei, ci este determinată doar de poziția punctelor de început și de sfârșit. și mărimea sarcinii. Câmpul gravitațional are, de asemenea, o proprietate similară, iar acest lucru nu este surprinzător, deoarece forțele gravitaționale și Coulomb sunt descrise prin aceleași relații. O consecință a independenței muncii față de forma traiectoriei este următoarea afirmație: Lucrul forțelor de câmp electrostatic atunci când se deplasează o sarcină de-a lungul oricărei traiectorii închise este egal cu zero. Câmpurile de forță care au această proprietate sunt numite potenţial sau conservator q. În fig. 1.4.2 arată liniile de câmp ale câmpului coulombian al unei sarcini punctiforme Q Rezultatul obtinut nu depinde de forma traiectoriei. Pe traiectorii I și II prezentate în Fig. 1.4.2, munca forțelor Coulomb este aceeași. Dacă schimbați direcția de mișcare a sarcinii pe una dintre traiectorii q la invers, atunci lucrarea se va schimba de semn. Rezultă că pe o traiectorie închisă munca forțelor coulombiane este egală cu zero. Dacă câmpul electrostatic este creat de un set de sarcini punctuale, atunci când sarcina de test se mișcă q Post În fig. 1.4.2 arată liniile de câmp ale câmpului coulombian al unei sarcini punctiforme câmpul rezultat, în conformitate cu principiul suprapunerii, va consta din munca câmpurilor coulombiane ale sarcinilor punctiforme: Deoarece fiecare termen al sumei nu depinde de forma traiectoriei, atunci lucrul total În fig. 1.4.2 arată liniile de câmp ale câmpului coulombian al unei sarcini punctiforme Câmpul rezultat este independent de cale și este determinat doar de poziția punctelor de început și de sfârșit. Proprietatea potențialului de câmp electrostatic ne permite să introducem conceptul energie potenţială sarcina intr-un camp electric. Pentru a face acest lucru, un anumit punct (0) este selectat în spațiu și energia potențială a sarcinii q, plasat în acest punct, este considerat egal cu zero. Energia potențială de încărcare q, plasat în orice punct (1) al spațiului, față de un punct fix (0) este egal cu lucru În fig. 1.4.2 arată liniile de câmp ale câmpului coulombian al unei sarcini punctiforme 10, pe care câmpul electrostatic îl va produce atunci când se deplasează o sarcină q de la punctul (1) la punctul (0): W p1 = În fig. 1.4.2 arată liniile de câmp ale câmpului coulombian al unei sarcini punctiforme 10 . (În electrostatică, energia este de obicei indicată prin literă W, de la scrisoare E indică intensitatea câmpului.) La fel ca și în mecanică, energia potențială este determinată până la o valoare constantă, în funcție de alegerea punctului de referință (0). O astfel de ambiguitate în definiția energiei potențiale nu duce la neînțelegeri, deoarece semnificația fizică nu este energia potențială în sine, ci diferența dintre valorile sale în două puncte din spațiu. Părerea ta este importantă pentru noi! A fost util materialul publicat? Da | Nu CĂUTARE SITE:

Un plan infinit încărcat cu o densitate de sarcină de suprafață: pentru a calcula intensitatea câmpului electric creat de un plan infinit, selectăm un cilindru în spațiu, a cărui axă este perpendiculară pe planul încărcat, iar bazele sunt paralele cu acesta, iar una dintre baze trece prin punctul de câmp care ne interesează. Conform teoremei lui Gauss, fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu:

Ф=, pe de altă parte este și: Ф=E

Să echivalăm părțile drepte ale ecuațiilor:

Să exprimăm = - prin densitatea de sarcină la suprafață și să aflăm intensitatea câmpului electric:

Să găsim intensitatea câmpului electric între plăci încărcate opus cu aceeași densitate de suprafață:

(3)

Să găsim câmpul în afara plăcilor:

; ; (4)

Intensitatea câmpului unei sfere încărcate

(1)

Ф= (2) Punctul gaussian

pentru r< R

; , pentru că (nu există încărcături în interiorul sferei)

Pentru r = R

( ; ; )

Pentru r > R

Intensitatea câmpului creată de o minge încărcată uniform pe tot volumul său

Densitatea de încărcare a volumului,

distribuit pe minge:

Pentru r< R

( ; Ф= )

Pentru r = R

Pentru r > R

LUCRARE A CÂMPULUI ELECTROSTATIC PENTRU A MUTA O ÎNCĂRCARE

Câmp electrostatic- e-mail câmpul unei sarcini staționare.
Fel, acționând în funcție de sarcină, o mișcă, executând o muncă.
Într-un câmp electric uniform Fel = qE este o valoare constantă

Câmp de lucru (forță el.) nu depinde pe forma traiectoriei şi pe o traiectorie închisă = zero.

Dacă în câmpul electrostatic al unei sarcini punctiforme Q o altă sarcină punctiformă Q 0 se deplasează de la punctul 1 la punctul 2 de-a lungul oricărei traiectorii (Fig. 1), atunci forța care este aplicată sarcinii efectuează o anumită activitate. Lucrul efectuat de forța F asupra unei deplasări elementare dl este egală cu Deoarece d l/cosα=dr, atunci Lucrarea la mutarea unei sarcini Q 0 de la punctul 1 la punctul 2 (1) nu depinde de traiectoria mișcării, ci este determinată doar de pozițiile punctelor inițiale 1 și ale celor 2 finale. Aceasta înseamnă că câmpul electrostatic al unei sarcini punctiforme este potențial, iar forțele electrostatice sunt conservatoare Din formula (1) este clar că munca care se realizează atunci când o sarcină electrică se mișcă într-un câmp electrostatic extern de-a lungul unui traseu închis arbitrar L. este egal cu zero, adică (2) Dacă luăm o sarcină pozitivă unică punctuală ca sarcină care este deplasată într-un câmp electrostatic, atunci munca elementară a forțelor câmpului de-a lungul căii dl este egală cu Edl = E l d l, unde E l= Ecosα - proiecția vectorului E pe direcția deplasării elementare. Atunci formula (2) poate fi reprezentată ca (3) Integrală se numeşte circulaţia vectorului de tensiune. Aceasta înseamnă că circulația vectorului intensității câmpului electrostatic de-a lungul oricărui contur închis este zero. Un câmp de forță care are proprietatea (3) se numește potențial. Din faptul că circulația vectorului E este egală cu zero, rezultă că liniile de intensitate a câmpului electrostatic nu pot fi închise în mod necesar, încep și se termină pe sarcini (pozitive sau negative) sau merg la infinit; Formula (3) este valabilă numai pentru câmpul electrostatic. Ulterior, se va arăta că în cazul unui câmp de sarcini în mișcare, condiția (3) nu este adevărată (pentru aceasta, circulația vectorului de intensitate este diferită de zero).

Teorema de circulație pentru câmpul electrostatic.

Deoarece câmpul electrostatic este central, forțele care acționează asupra sarcinii într-un astfel de câmp sunt conservatoare. Deoarece reprezintă munca elementară pe care o produc forțele de câmp pe o sarcină unitară, munca forțelor conservatoare pe o buclă închisă este egală cu

Potenţial

Sistemul „sarcină – câmp electrostatic” sau „sarcină – încărcare” are energie potențială, la fel cum sistemul „câmp gravitațional – corp” are energie potențială.

Se numește o mărime scalară fizică care caracterizează starea energetică a câmpului potenţial un punct dat în domeniu. O sarcină q este plasată într-un câmp, are energie potențială W. Potențialul este o caracteristică a unui câmp electrostatic.

Să ne amintim energia potențială în mecanică. Energia potențială este zero atunci când corpul este pe pământ. Și când un corp este ridicat la o anumită înălțime, se spune că corpul are energie potențială.

În ceea ce privește energia potențială în electricitate, nu există un nivel zero al energiei potențiale. Se alege aleatoriu. Prin urmare, potențialul este o mărime fizică relativă.

Energia potențială a câmpului este munca efectuată de forța electrostatică atunci când se deplasează o sarcină dintr-un punct dat din câmp într-un punct cu potențial zero.

Să luăm în considerare cazul special când un câmp electrostatic este creat de o sarcină electrică Q. Pentru a studia potențialul unui astfel de câmp, nu este nevoie să introducem o sarcină q în el. Puteți calcula potențialul oricărui punct dintr-un astfel de câmp situat la o distanță r de sarcina Q.

Constanta dielectrica a mediului are o valoare cunoscuta (tabulara) si caracterizeaza mediul in care exista campul. Pentru aer este egal cu unitate.

Diferență de potențial

Lucrul efectuat de un câmp pentru a muta o sarcină dintr-un punct în altul se numește diferență de potențial

Această formulă poate fi prezentată sub altă formă

Principiul suprapunerii

Potențialul unui câmp creat de mai multe sarcini este egal cu suma algebrică (ținând cont de semnul potențialului) a potențialelor câmpurilor fiecărui câmp separat

Aceasta este energia unui sistem de sarcini punctuale staționare, energia unui conductor încărcat singur și energia unui condensator încărcat.

Dacă există un sistem de doi conductori încărcați (condensator), atunci energia totală a sistemului este egală cu suma energiilor potențiale proprii ale conductorilor și energia interacțiunii lor:

Energia câmpului electrostatic sistemul de taxe punctiforme este egal cu:

Avion încărcat uniform.
Intensitatea câmpului electric creat de un plan infinit încărcat cu o densitate de sarcină de suprafață poate fi calculată folosind teorema lui Gauss.

Din condiţiile de simetrie rezultă că vectorul E peste tot perpendicular pe plan. În plus, în puncte simetrice față de plan, vectorul E va avea aceeași dimensiune și opusă ca direcție.
Ca suprafață închisă, alegem un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe plan și ale cărui baze sunt situate simetric față de plan, așa cum se arată în figură.
Deoarece liniile de tensiune sunt paralele cu generatricele suprafeței laterale a cilindrului, curgerea prin suprafața laterală este zero. Prin urmare fluxul vectorial E prin suprafața cilindrului

,

unde este aria bazei cilindrului. Cilindrul taie o sarcină din avion. Dacă planul se află într-un mediu izotrop omogen cu constantă dielectrică relativă, atunci

Când intensitatea câmpului nu depinde de distanța dintre avioane, un astfel de câmp se numește uniform. Graficul de dependență E (x) pentru un avion.

Diferența de potențial între două puncte situate la distanță R 1 și R 2 din planul încărcat este egal cu

Exemplul 2. Două plane încărcate uniform.
Să calculăm intensitatea câmpului electric creat de două plane infinite. Sarcina electrică este distribuită uniform cu densitățile de suprafață și . Găsim intensitatea câmpului ca o suprapunere a intensităților câmpului fiecăruia dintre planuri. Câmpul electric este diferit de zero numai în spațiul dintre planuri și este egal cu .

Diferența de potențial între avioane , Unde d- distanța dintre avioane.
Rezultatele obţinute pot fi folosite pentru un calcul aproximativ al câmpurilor create de plăci plate de dimensiuni finite dacă distanţele dintre ele sunt mult mai mici decât dimensiunile lor liniare. Erorile vizibile în astfel de calcule apar atunci când se iau în considerare câmpurile din apropierea marginilor plăcilor. Graficul de dependență E (x) pentru două avioane.

Exemplul 3. Tijă încărcată subțire.
Pentru a calcula intensitatea câmpului electric creat de o tijă foarte lungă încărcată cu o densitate de sarcină liniară, folosim teorema lui Gauss.
La distanțe suficient de mari față de capetele tijei, liniile de intensitate a câmpului electric sunt direcționate radial față de axa tijei și se află în planuri perpendiculare pe această axă. În toate punctele echidistante de axa tijei, valorile numerice ale tensiunii sunt aceleași dacă tija se află într-un mediu izotrop omogen cu un dielectric relativ
permeabilitate

Pentru a calcula intensitatea câmpului într-un punct arbitrar situat la distanță r de pe axa tijei, trageți o suprafață cilindrică prin acest punct
(vezi poza). Raza acestui cilindru este r, și înălțimea acestuia h.
Fluxurile vectorului de tensiune prin bazele superioare și inferioare ale cilindrului vor fi egale cu zero, deoarece liniile de forță nu au componente normale cu suprafețele acestor baze. În toate punctele de pe suprafața laterală a cilindrului
E= const.
Prin urmare, fluxul total al vectorului E prin suprafața cilindrului va fi egală cu

,

Conform teoremei lui Gauss, fluxul vectorului E egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice situate în interiorul suprafeței (în acest caz, cilindrul) împărțită la produsul constantei electrice și constanta dielectrică relativă a mediului

unde este sarcina acelei părți a tijei care se află în interiorul cilindrului. Prin urmare, puterea câmpului electric

Diferența de potențial câmp electric între două puncte situate la distanțe R 1 și R 2 din axa tijei, o găsim folosind relația dintre intensitatea și potențialul câmpului electric. Deoarece intensitatea câmpului se modifică numai în direcția radială, atunci

Exemplul 4. Suprafață sferică încărcată.
Câmpul electric creat de o suprafață sferică peste care este distribuită uniform o sarcină electrică cu densitate de suprafață are un caracter simetric central.

Liniile de tensiune sunt direcționate de-a lungul razelor de la centrul sferei și de mărimea vectorului E depinde doar de distanta r din centrul sferei. Pentru a calcula câmpul, selectăm o suprafață sferică închisă de rază r.
Când r o E = 0.
Intensitatea câmpului este zero, deoarece nu există nicio sarcină în interiorul sferei.
Pentru r > R (în afara sferei), conform teoremei lui Gauss

,

unde este constanta dielectrică relativă a mediului care înconjoară sfera.

.

Intensitatea scade conform aceleiași legi ca și intensitatea câmpului unei sarcini punctiforme, adică conform legii.
Când r o .
Pentru r > R (în afara sferei) .
Graficul de dependență E (r) pentru o sferă.

Exemplul 5. O bilă dielectrică încărcată cu volum.
Dacă mingea are rază R format dintr-un dielectric izotrop omogen cu permeabilitate relativă este încărcat uniform pe tot volumul cu densitate, apoi câmpul electric pe care îl creează este și el simetric central.
Ca și în cazul precedent, alegem o suprafață închisă pentru a calcula fluxul vectorial E sub forma unei sfere concentrice a cărei rază r poate varia de la 0 la .
La r < R flux vectorial E prin aceasta suprafata va fi determinata de sarcina

Aşa

La r < R(în interiorul mingii) .
În interiorul mingii, tensiunea crește direct proporțional cu distanța de la centrul mingii. În afara mingii (la r > R) într-un mediu cu constantă dielectrică , vector de flux E prin suprafata va fi determinata de sarcina.
Când r o >R o (în afara mingii) .
La limita „minge - mediu”, intensitatea câmpului electric se modifică brusc, a cărei mărime depinde de raportul dintre constantele dielectrice ale mingii și mediul înconjurător. Graficul de dependență E (r) pentru minge ().

În afara mingii ( r > R) potenţialul câmpului electric se modifică conform legii

.

În interiorul mingii ( r < R) potențialul este descris prin expresie

În concluzie, prezentăm expresii pentru calcularea intensității câmpului corpurilor încărcate de diferite forme

Diferență de potențial
Voltaj- diferența de valori potențiale la punctele inițiale și finale ale traiectoriei. Voltaj este numeric egal cu munca câmpului electrostatic atunci când o sarcină pozitivă unitară se deplasează de-a lungul liniilor de forță ale acestui câmp. Diferența de potențial (tensiune) este independentă de selecție sisteme de coordonate!
Unitatea diferenței de potențial Tensiunea este de 1 V dacă, când se deplasează o sarcină pozitivă de 1 C de-a lungul liniilor de forță, câmpul efectuează 1 J de lucru.

Conductor- acesta este un corp solid în care există „electroni liberi” care se mișcă în interiorul corpului.

Conductorii metalici sunt în general neutri: conțin cantități egale de sarcini negative și pozitive. Încărcați pozitiv sunt ionii din nodurile rețelei cristaline, negativ sunt electronii care se mișcă liber de-a lungul conductorului. Când unui conductor i se dă o cantitate în exces de electroni, acesta devine încărcat negativ, dar dacă un anumit număr de electroni este „luat” de la conductor, acesta devine încărcat pozitiv.

Sarcina în exces este distribuită numai pe suprafața exterioară a conductorului.

1 . Intensitatea câmpului în orice punct din interiorul conductorului este zero.

2 . Vectorul de pe suprafața conductorului este îndreptat normal către fiecare punct de pe suprafața conductorului.

Din faptul că suprafața conductorului este echipotențială rezultă că direct la această suprafață câmpul este direcționat normal față de acesta în fiecare punct (condiție 2 ). Dacă nu ar fi așa, atunci sub acțiunea componentei tangențiale sarcinile ar începe să se miște de-a lungul suprafeței conductorului. aceste. echilibrul sarcinilor pe un conductor ar fi imposibil.

Din 1 rezultă că din moment ce

Nu există încărcături în exces în interiorul conductorului.

Sarcinile sunt distribuite numai pe suprafața conductorului cu o anumită densitate sși sunt situate într-un strat de suprafață foarte subțire (grosimea lui este de aproximativ una sau două distanțe interatomice).

Densitatea de încărcare- aceasta este cantitatea de sarcină pe unitatea de lungime, suprafață sau volum, determinându-se astfel densitățile de sarcină liniare, de suprafață și volumetrice, care se măsoară în sistemul SI: în Coulombs pe metru [C/m], în Coulombs pe metru pătrat [ C/m² ] și, respectiv, în Coulombs pe metru cub [C/m³]. Spre deosebire de densitatea materiei, densitatea de sarcină poate avea atât valori pozitive, cât și negative, acest lucru se datorează faptului că există sarcini pozitive și negative.

Problemă generală de electrostatică

vector de tensiune,

prin teorema lui Gauss

- Ecuația lui Poisson.

În cazul în care nu există sarcini între conductori, obținem

- ecuația lui Laplace.

Fie cunoscute condiţiile la limită de pe suprafeţele conductoarelor: valori ; atunci această problemă are o soluție unică conform teorema unicității.

La rezolvarea problemei se determină valoarea și apoi se determină câmpul dintre conductori prin distribuția sarcinilor pe conductori (în funcție de vectorul de tensiune de la suprafață).

Să ne uităm la un exemplu. Să găsim tensiunea în cavitatea goală a conductorului.

Potențialul din cavitate satisface ecuația lui Laplace;

potenţial pe pereţii conductorului.

Soluția ecuației lui Laplace în acest caz este trivială, iar după teorema unicității nu există alte soluții

, adică nu există câmp în cavitatea conductorului.

ecuația lui Poisson este o ecuație diferențială parțială eliptică care, printre altele, descrie

· câmp electrostatic,

· câmp staționar de temperatură,

· câmp de presiune,

· câmp potenţial de viteză în hidrodinamică.

Este numit după celebrul fizician și matematician francez Simeon Denis Poisson.

Această ecuație arată astfel:

unde este operatorul Laplace sau Laplacian și este o funcție reală sau complexă pe o varietate.

Într-un sistem de coordonate carteziene tridimensional, ecuația ia forma:

În sistemul de coordonate carteziene, operatorul Laplace este scris sub forma, iar ecuația Poisson ia forma:

Dacă f tinde spre zero, apoi ecuația Poisson se transformă în ecuația Laplace (ecuația Laplace este un caz special al ecuației Poisson):

Ecuația lui Poisson poate fi rezolvată folosind funcția lui Green; vezi, de exemplu, articolul Ecuația lui Poisson screened. Există diverse metode de obținere a soluțiilor numerice. De exemplu, se folosește un algoritm iterativ - „metoda de relaxare”.

Vom lua în considerare un conductor solitar, adică un conductor îndepărtat semnificativ de alți conductori, corpuri și sarcini. După cum se știe, potențialul său este direct proporțional cu sarcina conductorului. Din experiență se știe că conductorii diferiți, deși încărcați egal, au potențiale diferite. Prin urmare, pentru un conductor solitar putem scrie Cantitatea (1) se numește capacitatea electrică (sau pur și simplu capacitatea) a unui conductor solitar. Capacitatea unui conductor izolat este determinată de sarcină, a cărei comunicare cu conductorul își schimbă potențialul cu unul. Capacitatea unui conductor solitar depinde de dimensiunea și forma acestuia, dar nu depinde de materialul, forma și dimensiunea cavităților din interiorul conductorului, precum și de starea sa de agregare. Motivul pentru aceasta este că surplusul de sarcină este distribuit pe suprafața exterioară a conductorului. Capacitatea nu depinde, de asemenea, de sarcina conductorului sau de potențialul acestuia. Unitatea de măsură a capacității electrice este faradul (F): 1 F este capacitatea unui conductor izolat al cărui potențial se modifică cu 1 V atunci când i se transmite o sarcină de 1 C. Conform formulei pentru potențialul unei sarcini punctiforme, potențialul unei bile solitare cu raza R, care se află într-un mediu omogen cu constantă dielectrică ε, este egal cu Aplicând formula (1), obținem că capacitatea bilă (2) De aici rezultă că o minge singură ar avea o capacitate de 1 F, situată în vid și având o rază R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, care este de aproximativ 1400 de ori mai mare decât raza Pământului (capacitatea electrică a Pământului C≈0,7 mF). În consecință, un farad este o valoare destul de mare, așa că în practică se folosesc unități submultiple - milifarad (mF), microfarad (μF), nanofarad (nF), picofarad (pF). Din formula (2) mai rezultă că unitatea constantei electrice ε 0 este farad pe metru (F/m) (vezi (78.3)).

Condensator(din lat. condensare- „compact”, „îngroșare”) - o rețea cu două terminale cu o anumită valoare a capacității și conductivitate ohmică scăzută; un dispozitiv pentru acumularea sarcinii și energiei unui câmp electric. Un condensator este o componentă electronică pasivă. Constă de obicei din doi electrozi în formă de placă (numiți căptușeli), separate de un dielectric a cărui grosime este mică în comparație cu dimensiunea plăcilor.

Capacitate

Caracteristica principală a unui condensator este sa capacitate, care caracterizează capacitatea condensatorului de a acumula sarcină electrică. Denumirea unui condensator indică valoarea capacității nominale, în timp ce capacitatea reală poate varia semnificativ în funcție de mulți factori. Capacitatea reală a unui condensator determină proprietățile sale electrice. Astfel, conform definiției capacității, sarcina de pe placă este proporțională cu tensiunea dintre plăci ( q = CU). Valorile tipice ale capacității variază de la unități de picofarad la mii de microfarad. Cu toate acestea, există condensatori (ionistori) cu o capacitate de până la zeci de farazi.

Capacitatea unui condensator cu plăci paralele constând din două plăci metalice paralele cu o zonă S fiecare situat la distanta dîntre ele, în sistemul SI se exprimă prin formula: , unde este constanta dielectrică relativă a mediului care umple spațiul dintre plăci (în vid egal cu unitatea), este constanta electrică, numeric egală cu 8,854187817·10 −12 F/m. Această formulă este valabilă numai atunci când d mult mai mici decât dimensiunile liniare ale plăcilor.

Pentru a obține capacități mari, condensatoarele sunt conectate în paralel. În acest caz, tensiunea dintre plăcile tuturor condensatoarelor este aceeași. Capacitate totală a bateriei paralel a condensatoarelor conectate este egală cu suma capacităților tuturor condensatoarelor incluse în baterie.

Dacă toți condensatorii conectați în paralel au aceeași distanță între plăci și aceleași proprietăți dielectrice, atunci acești condensatori pot fi reprezentați ca un condensator mare, împărțit în fragmente dintr-o zonă mai mică.

Când condensatoarele sunt conectate în serie, încărcările tuturor condensatoarelor sunt aceleași, deoarece acestea sunt furnizate de la sursa de alimentare numai la electrozii externi, iar pe electrozii interni se obțin numai datorită separării sarcinilor care s-au neutralizat anterior unele pe altele. . Capacitate totală a bateriei secvenţial condensatorii conectați este egal cu

Sau

Această capacitate este întotdeauna mai mică decât capacitatea minimă a condensatorului inclus în baterie. Cu toate acestea, cu o conexiune în serie, posibilitatea de defectare a condensatoarelor este redusă, deoarece fiecare condensator reprezintă doar o parte din diferența de potențial a sursei de tensiune.

Dacă aria plăcilor tuturor condensatoarelor conectate în serie este aceeași, atunci acești condensatori pot fi reprezentați ca un condensator mare, între plăcile cărora se află o stivă de plăci dielectrice ale tuturor condensatoarelor care îl compun.

[editează] Capacitate specifică

Condensatorii sunt, de asemenea, caracterizați prin capacitatea specifică - raportul dintre capacitate și volumul (sau masa) dielectricului. Valoarea maximă a capacității specifice se realizează cu o grosime minimă a dielectricului, dar în același timp scade tensiunea de rupere a acestuia.

Sunt utilizate diferite tipuri de circuite electrice metode de conectare a condensatoarelor. Conectarea condensatoarelor pot fi produse: secvenţial, paralelŞi serie-paralel(cea din urmă este uneori numită o conexiune mixtă de condensatoare). Tipurile existente de conexiuni de condensator sunt prezentate în Figura 1.

Figura 1. Metode de conectare a condensatoarelor.

Zhidkevich V.I Câmpul electric al unui avion // Fizica: probleme de calcul. - 2009. - Nr. 6. - P. 19-23.

Problemele de electrostatică pot fi împărțite în două grupe: probleme despre sarcinile punctuale și problemele despre corpurile încărcate, ale căror dimensiuni nu pot fi ignorate.

Rezolvarea problemelor de calcul a câmpurilor electrice și a interacțiunilor sarcinilor punctiforme se bazează pe aplicarea legii lui Coulomb și nu provoacă dificultăți deosebite. Mai dificil este să se determine intensitatea câmpului și interacțiunea corpurilor încărcate de dimensiuni finite: sferă, cilindru, plan. Atunci când se calculează puterea câmpurilor electrostatice de diferite configurații, importanța principiului suprapunerii trebuie subliniată și utilizată atunci când se iau în considerare câmpurile create nu numai de sarcini punctuale, ci și de sarcinile distribuite pe suprafață și volum. Când se ia în considerare efectul unui câmp asupra unei sarcini, formula F=qE în cazul general, este valabil pentru corpurile cu încărcare punctiformă și numai într-un câmp uniform se aplică corpurilor de orice dimensiune și formă care poartă o încărcare q.

Câmpul electric al unui condensator rezultă din suprapunerea a două câmpuri create de fiecare placă.

Într-un condensator plat, o placă poate fi considerată un corp cu sarcinăq 1plasat într-un câmp electric de intensitate E 2, creat de o altă placă.

Să luăm în considerare mai multe probleme.

1. Un plan infinit este încărcat cu densitatea suprafeței σ >0. Găsiți puterea câmpului E si potential ϕ pe ambele părți ale planului, considerând potențialul planului egal cu zero. Construiți grafice de dependență E(x), ϕ (X). axa x perpendicular pe plan, punctul x=0 se află pe plan.

Soluţie. Câmpul electric al unui plan infinit este uniform și simetric față de plan. Lui tensiune între intensitatea și diferența de potențial dintre două puncte ale unui câmp electrostatic uniform se exprimă prin formula unde x - distanța dintre puncte, măsurată de-a lungul liniei câmpului. Apoi ϕ 2 = ϕ 1 -Ex. La x<0 при х>0 Dependenţe E(x) şi ϕ (x) sunt prezentate în Figura 1.

2. Două plăci subțiri plan-paralele situate la mică distanță d unul de altul, încărcat uniform cu sarcină de densitate de suprafațăσ 1 și σ 2. Găsiți intensitatea câmpului în punctele situate între plăci și în exterior. Trasează un grafic al tensiunii E(x) și potențial ϕ (x), numărând ϕ (0)=0. Luați în considerare cazurile în care: a)σ 1 = -σ 2 ;

Soluţie. b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 =3 σ 2 -

Deoarece distanța dintre plăci este mică, acestea pot fi considerate planuri infinite. Intensitatea câmpului unui plan încărcat pozitiv este egală cu și regizat

de la ea; intensitatea câmpului planului încărcat negativ este îndreptată spre acesta.

Conform principiului suprapunerii, câmpul în orice punct luat în considerare va fi creat de fiecare dintre taxe separat. a) Câmpurile a două planuri încărcate cu sarcini de semn egal și opus (condensator plat) se adună în regiunea dintre planuri și se anulează reciproc în regiunile exterioare (Fig. 2,

La O).<0 E= 0, ϕ X =0; la 0 d E= 0, Grafice dependența tensiunii și potențialului de distanță X sunt prezentate în figura 2,

b, c.

Dacă planurile sunt de dimensiuni finite, atunci câmpul dintre planuri nu va fi strict uniform, iar câmpul din afara planurilor nu va fi exact zero. b) Câmpuri de planuri încărcate cu sarcini egale ca mărime și semn ( σ 1 = σ 2), se compensează reciproc în spațiul dintre planuri și se adună în regiunile exterioare (Fig. 3,<0 при 0O). La x

d Folosind graficul E(x) ϕ (Fig. 3, b), să construim un grafic calitativ al dependenței

(x) (Fig. 3, c). c) Dacă σ 1 = σ

2, apoi, ținând cont de direcțiile câmpurilor și alegând direcția spre dreapta ca pozitivă, găsim:

3. Dependența tensiunii E de distanță este prezentată în Figura 4. Pe una dintre plăcile unui condensator plat cu o capacitate CUq 1=+3q există o taxă , iar pe de alta =+ q 2 q.

Soluţie. Determinați diferența de potențial dintre plăcile condensatorului. 1a metoda. Lăsați zona plăcii condensatorului S,și distanța dintre ele d. Câmpul din interiorul condensatorului este uniform, astfel încât diferența de potențial (tensiune) pe condensator poate fi determinată prin formula U=E*d, unde E

- intensitatea câmpului în interiorul condensatorului. unde E 1, E 2

- intensitatea câmpului creat de plăcile condensatoarelor.

Apoi a 2-a metoda. Adăugați o încărcare la fiecare farfurie Apoi plăcile sunt condensate + q satora va avea taxe și -q. Câmpurile de sarcini identice ale plăcilor din interiorul condensatorului se anulează reciproc. Sarcinile adăugate nu au schimbat câmpul dintre plăci și, prin urmare, diferența de potențial q/C .

4. O placă subțire de metal cu sarcină + este introdusă în spațiul dintre plăcile unui condensator plat neîncărcat. q. Determinați diferența de potențial dintre plăcile condensatorului.

Soluţie. Deoarece condensatorul nu este încărcat, câmpul electric este creat doar de placa care are o sarcină q (Fig. 5). Acest câmp este uniform, simetric în raport cu placa și intensitatea acesteiaFie potențialul plăcii de metal ϕ . Apoi potențialele plăcilor OŞiÎN condensatorii vor fi egali ϕ- ϕ A = ϕ El 1; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Diferența de potențial între plăcile de condensatorDacă placa este la aceeași distanță de plăcile condensatorului, atunci diferența de potențial dintre plăci este zero.

5. Într-un câmp electric uniform de intensitate E 0 o placă metalică încărcată este plasată perpendicular pe liniile de forță cu o densitate de sarcină pe suprafața fiecărei părți a plăcii σ (Fig. 6). Determinați puterea câmpului E"în interiorul și în exteriorul plăcii și densitatea de încărcare a suprafețeiσ 1 și σ 2 , care va apărea pe partea stângă și dreaptă a farfurii.

Soluţie. Câmpul din interiorul plăcii este zero și este o suprapunere a trei câmpuri: câmpul extern E 0, câmpul creat de încărcăturile din partea stângă a plăcii și câmpul creat de încărcăturile din partea dreaptă a plăcii. Prin urmare,unde σ 1 și σ 2 - densitatea de încărcare a suprafeței pe părțile din stânga și din dreapta ale plăcii, care apare după ce placa este introdusă în câmp E 0. Încărcarea totală de pe farfurie nu se va modifica, așa căσ 1 + σ 2 =2 σ, de unde σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Câmpul din afara plăcii este o suprapunere a câmpului E 0 și câmpuri de plăci încărcate E. Stânga de farfurii Dreapta plăcii

6. Într-un condensator cu aer plat, intensitatea câmpului este E = 10 4 V/m. Distanța dintre plăci d= 2 cm Cu ce ​​va fi diferența de potențial dacă între plăci este plasată o tablă de grosime paralelă cu acestea?d 0=0,5 cm (Fig. 7)?

Soluţie. Deoarece câmpul electric dintre plăci este uniform, atunci U=Ed, U=200 V.

Dacă marcați o foaie de metal între plăci, obțineți un sistem de doi condensatori conectați în serie cu o distanță între plăci.d 1și d2. Capacitatea acestor condensatoareCapacitatea lor totală

Deoarece condensatorul este deconectat de la sursa de curent, sarcina condensatorului nu se modifică atunci când se adaugă o foaie de metal: q"=CU=С"U1; unde este capacitatea condensatorului sator înainte de a adăuga o foaie de metal în el. Primim:

U 1= 150 V.

7. Pe farfurii O și C, situate paralele la distanță d= 8 cm distanță, potențiale menținute ϕ 1= 60 V și ϕ 2 =- 60 V respectiv. Între ele a fost plasată o placă împământă D la o distanță d 1 = 2 cm de placa A. Cât de mult s-a modificat intensitatea câmpului în secțiunile AD și CD? Construiți grafice de dependență ϕ (x) și E(x).

8. Un câmp electrostatic este creat de un plan infinit încărcat uniform. Arătați că acest câmp este omogen.

Fie densitatea sarcinii de suprafață s. Este evident că vectorul E poate fi doar perpendicular pe planul încărcat. În plus, este evident că în punctele simetrice față de acest plan, vectorul E este același ca mărime și opus ca direcție. Această configurație de câmp sugerează că un cilindru drept ar trebui să fie ales ca suprafață închisă, unde se presupune că s este mai mare decât zero. Debitul prin suprafața laterală a acestui cilindru este zero și, prin urmare, debitul total prin întreaga suprafață a cilindrului va fi egal cu 2*E*DS, unde DS este aria fiecărui capăt. Conform teoremei lui Gauss

unde s*DS este sarcina conținută în interiorul cilindrului.

Mai precis, această expresie ar trebui scrisă după cum urmează:

unde En este proiecția vectorului E pe normala n pe planul încărcat, iar vectorul n este direcționat din acest plan.

Faptul că E este independent de distanța față de plan înseamnă că câmpul electric corespunzător este uniform.

9. Un sfert de cerc cu o rază de 56 cm este realizat din sârmă de cupru O sarcină cu o densitate liniară de 0,36 nC/m este distribuită uniform de-a lungul firului. Găsiți potențialul în centrul cercului.

Deoarece sarcina este distribuită liniar de-a lungul firului, pentru a găsi potențialul în centru, folosim formula:

Unde s este densitatea de sarcină liniară, dL este elementul de sârmă.

10. Într-un câmp electric creat de o sarcină punctiformă Q, o sarcină negativă -q se deplasează de-a lungul unei linii de forță dintr-un punct situat la distanța r 1 de sarcina Q până la un punct situat la o distanță r 2 . Găsiți creșterea energiei potențiale a sarcinii -q pe această deplasare.

Prin definiție, potențialul este o cantitate egală numeric cu energia potențială a unei unități de sarcină pozitivă într-un punct dat al câmpului. Prin urmare, energia potențială a sarcinii q 2:

11. Două elemente identice cu fem. 1,2 V și o rezistență internă de 0,5 Ohm sunt conectate în paralel. Bateria rezultată este închisă la o rezistență externă de 3,5 ohmi. Găsiți curentul în circuitul extern.

Conform legii lui Ohm pentru întregul circuit, puterea curentului în circuitul extern este:

Unde E` este fem-ul bateriei de elemente,

r` este rezistența internă a bateriei, care este egală cu:

FEM a bateriei este egală cu suma FEM a trei elemente conectate în serie:

Prin urmare:

12 Un circuit electric conține fire de cupru și oțel de lungime și diametru egal în serie. Aflați raportul dintre cantitățile de căldură degajate în aceste fire.

Să considerăm un fir de lungime L și diametru d, realizat dintr-un material cu rezistivitate p. Rezistența firului R poate fi găsită folosind formula

Unde s= este aria secțiunii transversale a firului. La puterea curentului I, în timpul t, cantitatea de căldură Q este eliberată în conductor:

În acest caz, căderea de tensiune pe fir este egală cu:

Rezistivitatea cuprului:

p1=0,017 μOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m

Rezistivitatea oțelului:

p2=10 -7 Ohm*m

deoarece firele sunt conectate în serie, puterile curentului din ele sunt aceleași și în timpul t cantitățile de căldură Q1 și Q2 sunt eliberate în ele:

12. Există o bobină circulară cu curent într-un câmp magnetic uniform. Planul bobinei este perpendicular pe liniile de câmp. Demonstrați că forțele rezultante care acționează asupra circuitului din câmpul magnetic sunt nule.

Deoarece bobina circulară cu curent se află într-un câmp magnetic uniform, asupra ei acționează forța Amperi. În conformitate cu formula dF=I, forța de amper rezultată care acționează asupra unei bobine purtătoare de curent este determinată de:

Acolo unde integrarea se realizează de-a lungul unui circuit dat cu curentul I. Deoarece câmpul magnetic este uniform, vectorul B poate fi scos de sub integrală și sarcina se va reduce la calcularea integralei vectoriale. Această integrală reprezintă un lanț închis de vectori elementari dL, deci este egală cu zero. Aceasta înseamnă F=0, adică forța Amperi rezultată este zero într-un câmp magnetic uniform.

13. O bobină scurtă care conține 90 de spire cu diametrul de 3 cm poartă curent. Puterea câmpului magnetic creat de curentul pe axa bobinei la o distanță de 3 cm de aceasta este de 40 A/m. Determinați curentul din bobină.

Având în vedere că inducția magnetică în punctul A este o suprapunere a inducțiilor magnetice create de fiecare tură a bobinei separat:

Pentru a găsi virajul B, folosim legea Biot-Savart-Laplace.

Unde, dBturn este inducția magnetică a câmpului creat de elementul curent IDL în punctul determinat de vectorul rază r Să selectăm elementul dL la sfârșit și să desenăm vectorul rază r din acesta în punctul A. Vom direcționa vectorul dBturn în conformitate cu regula gimlet.

Conform principiului suprapunerii:

În cazul în care integrarea se realizează peste toate elementele dLturn. Să descompunăm dBturn în două componente dBturn(II) - paralele cu planul inelului și dBturn(I) - perpendiculară pe planul inelului. Apoi

Observând că din motive de simetrie și că vectorii dBturn(I) sunt codirecționali, înlocuim integrarea vectorială cu una scalară:

Unde dBturn(I) =dBturn*cosb și

Deoarece dl este perpendicular pe r

Să reducem cu 2p și să înlocuim cosb cu R/r1

Să exprimăm I de aici, știind că R=D/2

conform formulei care conectează inducția magnetică și puterea câmpului magnetic:

apoi conform teoremei lui Pitagora din desen:

14. Un electron zboară într-un câmp magnetic uniform într-o direcție perpendiculară pe liniile de forță cu o viteză de 1010 6 m/s și se deplasează de-a lungul unui arc de cerc cu o rază de 2,1 cm. Aflați inducția câmpului magnetic.

Un electron care se mișcă într-un câmp magnetic uniform va fi acționat de o forță Lorentz perpendiculară pe viteza electronului și, prin urmare, îndreptat către centrul cercului:

Deoarece unghiul dintre v și I este 90 0:

Deoarece forța Fl este îndreptată spre centrul cercului, iar electronul se mișcă în jurul cercului sub influența acestei forțe, atunci

Să exprimăm inducția magnetică:

15. Un cadru pătrat cu latura de 12 cm, din sârmă de cupru, este plasat într-un câmp magnetic, a cărui inducție magnetică variază conform legii B = B 0 · Sin (ωt), unde B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T și T=0,02 s. Planul cadrului este perpendicular pe direcția câmpului magnetic. Găsiți cea mai mare valoare emf. inducție care are loc în cadru.

Aria cadrului pătrat S=a 2. Modificarea fluxului magnetic dj, când planul cadrului este perpendicular dj=SdB

Se determină fem indusă

E va fi maxim la cos(wt)=1