Exemplu

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Factorul de proporționalitate

Raportul constant al mărimilor proporționale se numește coeficient de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate cad pe o unitate a alteia.

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul lor sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporţional, în părți egale, adică dacă argumentul s-a schimbat de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(X) = AX,A = const

Proporționalitate inversă

Proporție inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. 2010 .

I. Valori direct proporţionale.

Lasă valoarea y depinde de marime X. Daca cu o crestere X de mai multe ori mai mare la crește cu același factor, apoi astfel de valori Xși la se numesc direct proportionale.

Exemple.

1 . Cantitatea de bunuri achiziționate și costul achiziției (la un preț fix de o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.) De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, de atâtea ori mai multe și s-au plătit.

2 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă). De câte ori mai lung drumul, de câte ori mai mult timp vom petrece pe ea.

3 . Volumul unui corp și masa acestuia. ( Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât celălalt, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare)

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori arbitrare ale primei mărimi este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi.

Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. Cât zahăr va fi necesar dacă este luat 9 kg zmeura?

Soluţie.

Ne argumentăm astfel: să fie necesar x kg zahăr pe 9 kg zmeura. Masa de zmeură și masa de zahăr sunt direct proporționale: de câte ori mai puține zmeură, este nevoie de aceeași cantitate de zahăr. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Răspuns: pe 9 kg zmeura de luat 6 kg Sahara.

Rezolvarea problemei s-ar fi putut face astfel:

Dai drumul 9 kg zmeura de luat x kg Sahara.

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție și nu contează în sus sau în jos. Înțeles: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , același număr 8 mai mult număr X, adică aici există o dependență directă).

Răspuns: pe 9 kg zmeura de luat 6 kg Sahara.

Sarcina 2. masina pentru 3 ore distanta parcursa 264 km. Cât îi va lua 440 km daca se deplaseaza cu aceeasi viteza?

Soluţie.

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.

I. Valori direct proporţionale.

Lasă valoarea y depinde de marime X. Daca cu o crestere X de mai multe ori mai mare la crește cu același factor, apoi astfel de valori Xși la se numesc direct proportionale.

Exemple.

1 . Cantitatea de bunuri achiziționate și costul achiziției (la un preț fix de o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.) De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, de atâtea ori mai multe și s-au plătit.

2 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă). De câte ori mai lung drumul, de câte ori mai mult timp vom petrece pe ea.

3 . Volumul unui corp și masa acestuia. ( Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât celălalt, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare)

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori arbitrare ale primei mărimi este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi.

Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. Cât zahăr va fi necesar dacă este luat 9 kg zmeura?

Soluţie.

Ne argumentăm astfel: să fie necesar x kg zahăr pe 9 kg zmeura. Masa de zmeură și masa de zahăr sunt direct proporționale: de câte ori mai puține zmeură, este nevoie de aceeași cantitate de zahăr. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Răspuns: pe 9 kg zmeura de luat 6 kg Sahara.

Rezolvarea problemei s-ar fi putut face astfel:

Dai drumul 9 kg zmeura de luat x kg Sahara.

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție și nu contează în sus sau în jos. Înțeles: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , același număr 8 mai mult număr X, adică aici există o dependență directă).

Răspuns: pe 9 kg zmeura de luat 6 kg Sahara.

Sarcina 2. masina pentru 3 ore distanta parcursa 264 km. Cât îi va lua 440 km daca se deplaseaza cu aceeasi viteza?

Soluţie.

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.

Sarcina 3. Apa intră în piscină din conductă. Pe 2 ore ea umple 1/5 bazin. Pentru ce parte a piscinei este umplută cu apă ora 5?

Soluţie.

Răspundem la întrebarea sarcinii: pentru ora 5 a completa 1/x parte a piscinei. (Întregul bazin este luat ca un întreg).

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată graficul de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara zidurilor școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. Prin urmare, relația dintre cantități descrie proporționalitatea directă și inversă.

Proporționalitate directă- aceasta este o astfel de relație între două cantități, în care o creștere sau scădere a uneia dintre ele duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Acestea. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort în pregătirea pentru examene, cu atât vor fi notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât îți este mai greu să-ți duci rucsacul. Acestea. efortul depus pentru pregătirea pentru examene este direct proporțional cu notele primite. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică cu aceeași cantitate) a unei valori dependente (se numește funcție). ).

Să ilustrăm cu un exemplu simplu. Vrei să cumperi mere din piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers legate. Acestea. cu cât cumpărați mai multe mere, cu atât mai puțini bani vă rămân.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. în care X≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu traversează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. În cazul în care un k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. În cazul în care un k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul funcției de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Înfățișat după cum urmează:

Probleme proporționale inverse

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la câteva sarcini. Nu sunt prea complicate, iar soluția lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporția inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina numărul 1. Mașina se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut mașina pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care, prin condiție, este de 2 ori mai mare: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ni se cere în funcție de starea problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: cu o viteză de 2 ori mai mare decât cea inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. De ce creăm o diagramă ca aceasta:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație inversă. Și, de asemenea, sugerează că, atunci când se elaborează proporția, partea dreaptă a înregistrării trebuie să fie răsturnată: 60/120 \u003d x / 6. De unde obținem x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ore.

Sarcina numărul 2. Atelierul angajează 6 muncitori care fac față unui anumit volum de muncă în 4 ore. Dacă numărul de lucrători se reduce la jumătate, cât timp va dura lucrătorilor rămași să finalizeze aceeași cantitate de muncă?

Scriem condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori - 4 ore

↓ 3 muncitori - x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ore. Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, restul va petrece de 2 ori mai mult timp pentru a finaliza toată munca.

Sarcina numărul 3. Două conducte duc la piscină. Printr-o singură conductă apa intră cu un debit de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina va fi umplută în 75 de minute. Cât de repede intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, vom aduce toate cantitățile care ne sunt date în funcție de starea problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm rata de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să fie umplută mai încet prin a doua țeavă, înseamnă că rata de intrare a apei este mai mică. Pe fața proporției inverse. Să exprimăm viteza necunoscută nouă în termeni de x și să întocmim următoarea schemă:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi vom face o proporție: 120 / x \u003d 75/45, de unde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

În problemă, rata de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă, să aducem răspunsul nostru la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina numărul 4. Cărțile de vizită sunt tipărite într-o mică tipografie privată. Un angajat al tipografiei lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează cu normă întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită pe oră, cu cât mai devreme ar putea să plece acasă?

Mergem într-un mod dovedit și elaborăm o schemă în funcție de starea problemei, notând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/h – 8 h

↓ 48 cărți de vizită/h – xh

În fața noastră este o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită imprimă un angajat al unei tipografii pe oră, aceeași perioadă de timp îi va lua pentru a finaliza aceeași lucrare. Știind acest lucru, putem stabili proporția:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că și acum le considerați așa. Și cel mai important, cunoașterea dependenței invers proporționale a cantităților vă poate fi cu adevărat utilă de mai multe ori.

Nu numai la orele de matematică și la examene. Dar chiar și atunci, când ai de gând să pleci într-o excursie, mergi la cumpărături, decizi să câștigi niște bani în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de proporționalitate inversă și directă observi în jurul tău. Să fie un joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să „distribuiți” acest articol pe rețelele de socializare pentru ca și prietenii și colegii tăi să se poată juca.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Factorul de proporționalitate

Raportul constant al mărimilor proporționale se numește coeficient de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate cad pe o unitate a alteia.

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul lor sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporţional, în părți egale, adică dacă argumentul s-a schimbat de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(X) = AX,A = const

Proporționalitate inversă

Proporție inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. 2010 .