Rezolvarea sarcinilor de examen pe teoria probabilităților. Teoria probabilității

Probabilitate. Probleme ale profilului Examenul Unificat de Stat la matematică.

Pregătit de un profesor de matematică la MBOU „Liceul nr. 4”, Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

Definiţia probability

Probabilitate evenimentele A se numesc raport numeric m rezultate favorabile pentru acest eveniment numărul total n toate evenimentele incompatibile la fel de posibile care pot apărea ca rezultat al unui test sau al unei observații:

Lăsa k – numărul de aruncări de monede, apoi numărul de rezultate posibile: n=2 k .

Lăsa k – numărul de aruncări de zaruri, apoi numărul de rezultate posibile: n=6 k .

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată.

Soluţie.

Există doar 4 opțiuni: O; o o; p p; p p; O .

Favorabil 2: O; R Și R; O .

Probabilitatea este 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Răspuns: 0,5.

Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca totalul să fie de 8 puncte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Soluţie.

Zarurile sunt cuburi cu 6 laturi. Primul zar poate arunca 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 puncte. Fiecare opțiune de punctare corespunde cu 6 opțiuni de punctare pe al doilea zar.

Acestea. Total diverse opțiuni 6x6 = 36.

Opțiunile (rezultatele experimentului) vor fi următoarele:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

etc. ...............................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Să numărăm numărul de rezultate (opțiuni) în care suma punctelor a două zaruri este 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Există 5 opțiuni în total.

Să aflăm probabilitatea: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Răspuns: 0,14.

În colecția de bilete pentru biologie există doar 55 de bilete, 11 dintre ele conțin o întrebare despre botanică. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică pe un bilet de examen selectat aleatoriu.

Soluţie:

Probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică pe un bilet de examen selectat aleatoriu este 11/55 = 1/5 = 0,2.

Răspuns: 0,2.

La campionatul de gimnastică participă 20 de sportivi: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China.

Soluţie.

Un total de 20 de sportivi participă,

dintre care 20 – 8 – 7 = 5 sportivi din China.

Probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China este de 5/20 = 1/4 = 0,25.

Răspuns: 0,25.

Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Sunt planificate un total de 75 de rapoarte - primele trei zile conțin 17 rapoarte, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?

Soluţie:

În ultima zi a conferinței este planificat

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 rapoarte.

Probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței este de 12/75 = 4/25 = 0,16.

Răspuns: 0,16.

Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 26 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 10 participanți din Rusia, inclusiv Ruslan Orlov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia?

Soluţie:

Trebuie avut în vedere că Ruslan Orlov trebuie să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia. Și Ruslan Orlov însuși este și el din Rusia.

Probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia este de 9/25 = 36/100 = 0,36.

Răspuns: 0,36.

Dasha aruncă zarurile de două ori. Ea a obținut un total de 8 puncte. Găsiți probabilitatea ca la prima aruncare să obțineți 2 puncte.

Soluţie.

Un total de 8 puncte ar trebui să apară pe cele două zaruri. Acest lucru este posibil dacă există următoarele combinații:

Există 5 opțiuni în total. Să numărăm numărul de rezultate (opțiuni) în care au căzut 2 puncte la prima aruncare.

Aceasta este varianta 1.

Să aflăm probabilitatea: 1/5 = 0,2.

Răspuns: 0,2.

La Campionatul Mondial participă 20 de echipe. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în cinci grupe a câte patru echipe fiecare. Există cărți cu numere de grup amestecate în cutie:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a treia.

Soluţie:

Sunt 20 de echipe în total, 5 grupe.

Fiecare grupă are 4 echipe.

Deci, există 20 de rezultate totale, cele de care avem nevoie sunt 4, ceea ce înseamnă că probabilitatea de a obține rezultatul dorit este 4/20 = 0,2.

Răspuns: 0,2.

Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 45% din acești ochelari, a doua - 55%. Prima fabrică produce 3% sticlă defecte, iar a doua – 1%. Găsiți probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă.

Soluţie:

Probabilitatea ca sticla să fi fost achiziționată la prima fabrică și să fie defectă:

R 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Probabilitatea ca sticla să fi fost achiziționată dintr-o a doua fabrică și să fie defectă:

R 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Prin urmare, conform formulei probabilitate deplină probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă este egală cu

p = p 1 + p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Răspuns: 0,019.

Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă împotriva marelui maestru B. cu probabilitatea 0,52. Dacă A. joacă negru, atunci A. câștigă împotriva lui B. cu probabilitatea 0,3.

Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.

Soluţie:

Posibilitatea de a câștiga primul și al doilea joc nu depinde unul de celălalt. Probabilitatea unui produs al evenimentelor independente este egală cu produsul probabilităților acestora:

p = 0,52 · 0,3 = 0,156.

Răspuns: 0,156.

Un biatlet trage în ținte de cinci ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două ori. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Soluţie:

Rezultatul fiecărei lovituri următoare nu depinde de cele anterioare. Prin urmare, evenimentele „lovin la prima lovitură”, „lovin la a doua lovitură” etc. independent.

Probabilitatea fiecărei lovituri este de 0,8. Aceasta înseamnă că probabilitatea unei rateuri este 1 – 0,8 = 0,2.

1 lovitură: 0,8

2 lovituri: 0,8

3 lovituri: 0,8

4 lovituri: 0,2

5 lovituri: 0,2

Folosind formula de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente, constatăm că probabilitatea dorită este egală cu:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Răspuns: 0,02.

În magazin există două automate de plată. Fiecare dintre ele poate fi defect cu probabilitatea de 0,05, indiferent de cealaltă mașină. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o mașină să funcționeze.

Soluţie:

Să găsim probabilitatea ca ambele mașini să fie defecte.

Aceste evenimente sunt independente, probabilitatea apariției lor este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

0,05 · 0,05 = 0,0025.

Un eveniment constând în faptul că cel puțin o mașină funcționează, dimpotrivă.

Prin urmare, probabilitatea sa este egală cu

1 − 0,0025 = 0,9975.

Răspuns: 0,9975.

Cowboy John are o șansă de 0,9 să lovească o muscă de perete dacă trage cu un revolver cu zero. Dacă John trage un revolver netras, el lovește musca cu probabilitatea de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 au fost împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și împușcă musca. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.

Soluţie:

Probabilitatea ca John să rateze dacă apucă un revolver cu zero este:

0,4 (1 − 0,9) = 0,04

Probabilitatea ca John să rateze dacă apucă un revolver netras este:

0,6 · (1 − 0,2) = 0,48

Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Răspuns: 0,52.

În timpul focului de artilerie, sistemul automat trage un foc în țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul trage oa doua lovitură. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,4, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,6. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,98?

Soluţie:

Puteți rezolva problema „prin acțiune”, calculând probabilitatea de a supraviețui după o serie de greșeli consecutive:

P(1) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Ultima probabilitate este mai mică de 0,02, așa că cinci lovituri la țintă sunt suficiente.

Raspuns: 5.

În clasă sunt 26 de persoane, printre care doi gemeni - Andrey și Sergey. Clasa este împărțită aleatoriu în două grupuri de câte 13 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Serghei să fie în același grup.

Soluţie:

Lăsați unul dintre gemeni să fie într-un grup.

Împreună cu el în grupă vor fi 12 persoane din cei 25 de colegi rămași.

Probabilitatea ca al doilea geamăn să fie printre aceste 12 persoane este

P = 12: 25 = 0,48.

Răspuns: 0,48.

Imaginea prezintă un labirint. Păianjenul se târăște în labirintul din punctul de intrare. Păianjenul nu se poate întoarce și se târă înapoi, așa că la fiecare ramură păianjenul alege una dintre căile pe care încă nu s-a târât. Presupunând că alegerea căii ulterioare este pur aleatorie, determinați cu ce probabilitate păianjenul va ajunge să iasă din D.

Soluţie:

La fiecare dintre cele patru bifurcări marcate, păianjenul poate alege fie calea care duce la ieșirea D, fie o altă cale cu probabilitatea 0,5. Acestea sunt evenimente independente, probabilitatea apariției lor (păianjenul ajunge la ieșirea D) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a ajunge la ieșirea D este (0,5) 4 = 0,0625.

Lecție-prelecție pe tema „teoria probabilității”

Sarcina nr. 4 de la Examenul Unificat de Stat 2016.

Nivel de profil.

1 grup: sarcini privind utilizarea formulei clasice de probabilitate.

Exercitiul 1. Compania de taximetrie are 60 de mașini; 27 dintre ele sunt negre cu inscripții galbene pe laterale, restul sunt Culoarea galbena cu inscriptii negre. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă cu litere negre să răspundă la un apel aleatoriu.

Sarcina 2. Misha, Oleg, Nastya și Galya au tras la sorți cine ar trebui să înceapă jocul. Găsiți probabilitatea ca Galya să nu înceapă jocul.

Sarcina 3.În medie, din 1000 de pompe de grădină vândute, 7 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.

Sarcina 4. Există doar 15 bilete în colecția de bilete pentru chimie, 6 dintre ele conțin o întrebare pe tema „Acizi”. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe tema „Acizi” pe un bilet de examen selectat aleatoriu.

Sarcina 5. La campionatul de scufundări concurează 45 de sportivi, inclusiv 4 scafandri din Spania și 9 scafandri din SUA. Ordinea spectacolelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca un săritor din SUA să fie al douăzeci și patrulea.

Sarcina 6. Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 3 zile. Sunt planificate un total de 40 de rapoarte - 8 rapoarte în prima zi, restul sunt distribuite în mod egal între a doua și a treia zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?

Exercitiul 1.Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 26 de jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 9 participanți din Rusia, inclusiv Timofey Trubnikov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Timofey Trubnikov să joace cu orice tenismen din Rusia.

Sarcina 2.Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. Un total de 76 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 22 de sportivi din Rusia, inclusiv Viktor Polyakov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Viktor Polyakov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia.

Sarcina 3.În clasă sunt 16 elevi, printre ei doi prieteni - Oleg și Mihail. Clasa este împărțită aleatoriu în 4 grupuri egale. Găsiți probabilitatea ca Oleg și Mihail să fie în același grup.

Sarcina 4.În clasă sunt 33 de elevi, printre ei doi prieteni - Andrei și Mihail. Elevii sunt împărțiți aleatoriu în 3 grupuri egale. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Mihail să fie în același grup.

Exercitiul 1:Într-o fabrică de veselă ceramică, 20% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 70% din plăcile defecte sunt identificate. Plăcile rămase sunt la vânzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu la cumpărare să nu aibă defecte. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

Sarcina 2. La o fabrică de veselă ceramică, 30% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 60% dintre plăcile defecte sunt identificate. Plăcile rămase sunt la vânzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu în timpul achiziției să aibă un defect. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

Sarcina 3: Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 30% din acești ochelari, a doua – 70%. Prima fabrică produce 3% sticlă defecte, iar a doua – 4%. Găsiți probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă.

2 grup: găsirea probabilității evenimentului opus.

Exercitiul 1. Probabilitatea de a lovi centrul țintei de la o distanță de 20 m pentru un trăgător profesionist este de 0,85. Găsiți probabilitatea de a rata centrul țintei.

Sarcina 2. La fabricarea rulmenților cu diametrul de 67 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu mai puțin de 0,01 mm este de 0,965. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 66,99 mm sau mai mare de 67,01 mm.

3 grup: Găsirea probabilității de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile. Formula de adunare a probabilităților.

Exercitiul 1. Găsiți probabilitatea ca atunci când aruncați un zar să obțineți 5 sau 6 puncte.

Sarcina 2.Într-o urnă sunt 30 de bile: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Găsiți probabilitatea de a extrage o minge colorată.

Sarcina 3. Tragatorul trage intr-o tinta impartita in 3 zone. Probabilitatea de a lovi prima zonă este de 0,45, a doua este de 0,35 Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească fie prima, fie a doua zonă cu o singură lovitură.

Sarcina 4. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 18 pasageri în autobuz este de 0,95. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 12 pasageri este de 0,6. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie de la 12 la 17.

Sarcina 5. Probabil că nou Ceainic electric va dura mai mult de un an, egal cu 0,97. Probabilitatea ca acesta să dureze mai mult de doi ani este de 0,89. Găsiți probabilitatea ca acesta să dureze mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an.

Sarcina 6. Probabilitatea ca elevul U. să rezolve corect mai mult de 9 probleme în timpul unui test de biologie este de 0,61. Probabilitatea ca U. să rezolve corect mai mult de 8 probleme este de 0,73. Aflați probabilitatea ca U să rezolve corect exact 9 probleme.

4 Grup: Probabilitatea apariției simultane a evenimentelor independente. Formula de multiplicare a probabilității.

Exercitiul 1. Camera este iluminată de un felinar cu două lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.

Sarcina 2. Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.

Sarcina 3.În magazin sunt doi vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu probabilitate 0,4. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleatoriu ambii vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții vin independent unul de celălalt).

Sarcina 4.În magazin sunt trei vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu probabilitate 0,2. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleatoriu toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții vin independent unul de celălalt).

Sarcina 5: Pe baza recenziilor clienților, Mihail Mikhailovici a evaluat fiabilitatea celor două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,81. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,93. Mihail Mihailovici a comandat simultan mărfuri din ambele magazine. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciun magazin să nu livreze produsul.

Sarcina 6: Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă împotriva marelui maestru B. cu probabilitatea de 0,6. Dacă A. joacă negru, atunci A. câștigă împotriva lui B. cu probabilitatea de 0,4. Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.

5 Grup: Probleme care implică utilizarea ambelor formule.

Exercitiul 1: Toți pacienții cu suspiciune de hepatită sunt supuși unui test de sânge. Dacă testul dezvăluie hepatită, rezultatul testului se numește pozitiv. La pacienții cu hepatită, testul dă un rezultat pozitiv cu o probabilitate de 0,9. Dacă pacientul nu are hepatită, testul poate da un rezultat fals pozitiv cu o probabilitate de 0,02. Se știe că 66% dintre pacienții internați cu suspiciune de hepatită au de fapt hepatită. Găsiți probabilitatea ca un pacient internat în clinică cu suspiciune de hepatită să fie testat pozitiv.

Sarcina 2. Cowboy John are o șansă de 0,9 să lovească o muscă de perete dacă trage cu un revolver cu zero. Dacă John trage cu un revolver nevăzut, el lovește musca cu probabilitatea de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 au fost împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și împușcă musca. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.

Sarcina 3:

În unele zone, observațiile au arătat:

1. Dacă o dimineață de iunie este senină, atunci probabilitatea de ploaie în acea zi este de 0,1. 2. Dacă o dimineață de iunie este înnorată, atunci probabilitatea de ploaie în timpul zilei este de 0,4. 3. Probabilitatea ca dimineața lunii iunie să fie înnorată este de 0,3.

Găsiți probabilitatea ca într-o zi aleatorie a lunii iunie să nu fie ploaie.

Sarcina 4.În timpul focului de artilerie, sistemul automat trage un foc în țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul trage oa doua lovitură. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,3, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,9. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,96?

ÎN centru comercial doua masini identice vand cafea. Aparatele sunt deservite seara, după închiderea centrului. Se știe că probabilitatea evenimentului „Până seara primul aparat să rămână fără cafea” este de 0,25. Probabilitatea evenimentului „Până seara al doilea aparat va rămâne fără cafea” este aceeași. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea până seara este de 0,15. Găsiți probabilitatea ca până seara să rămână cafea în ambele aparate.

Soluţie.

Luați în considerare evenimentele

A = cafeaua se va termina la prima mașină,

B = cafeaua se va termina în a doua mașină.

A B = cafeaua se va termina la ambele aparate,

A + B = cafeaua se va epuiza în cel puțin o mașină.

Prin condiția P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

Evenimentele A și B sunt comune, probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, redusă cu probabilitatea produsului lor:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus, ca cafeaua să rămână în ambele mașini, este 1 − 0,35 = 0,65.

Răspuns: 0,65.

Hai sa dam o alta solutie.

Probabilitatea ca cafeaua să rămână în prima mașină este 1 − 0,25 = 0,75. Probabilitatea ca cafeaua să rămână în a doua mașină este 1 − 0,25 = 0,75. Probabilitatea ca cafeaua să rămână în primul sau al doilea aparat este 1 − 0,15 = 0,85. Deoarece P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), avem: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, de unde provine probabilitatea cerută? X = 0,65.

Notă.

Rețineți că evenimentele A și B nu sunt independente. Într-adevăr, probabilitatea producerii unor evenimente independente ar fi egală cu produsul probabilităților acestor evenimente: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, totuși, conform condiției, această probabilitate este egală cu 0,15.

Elena Alexandrovna Popova 10.10.2018 09:57

Eu, conferențiar, candidat stiinte pedagogice, consider COMPLET PROST ȘI RIDICUL SĂ INCLUDEȚI SARCINI PE EVENIMENTE DEPENDENTE PENTRU ȘCOLARI. Profesorii NU CUNOSC această secțiune – am fost invitat să susțin prelegeri la TV la cursurile de formare a profesorilor. Această secțiune nu este și nu poate fi în program. NU ESTE NEVOIE să inventezi metode fără justificare. SARCINI de acest fel pot fi pur și simplu eliminate. Limitați-vă la DEFINIȚIA CLASICĂ A PROBABILITĂȚILOR. Și chiar și atunci, studiați mai întâi manualele școlare și vedeți ce au scris autorii despre asta. Uită-te la clasa a V-a a lui Zubareva. Ea nici măcar nu știe simbolurile și oferă probabilitatea ca procent. După ce au învățat din astfel de manuale, elevii încă mai cred că probabilitatea este un procent. Există multe probleme interesante privind determinarea clasică a probabilităților. Aceasta este ceea ce elevii trebuie să întrebe. Nu există nicio limită pentru indignarea profesorilor universitari față de prostia TA în introducerea unor astfel de sarcini.

Atenție la solicitanți! Mai multe sunt discutate aici Probleme la examenul de stat unificat. Restul, mai interesante, sunt în videoclipul nostru gratuit. Priviți și faceți!

Vom începe cu sarcini simpleși conceptele de bază ale teoriei probabilităților.
Aleatoriu Un eveniment care nu poate fi prezis cu acuratețe în avans este numit. Se poate întâmpla sau nu.
Ai câștigat la loterie - un eveniment aleatoriu. Ai invitat prieteni să sărbătorească câștigul tău, iar în drum spre tine au rămas blocați în lift - tot un eveniment întâmplător. Adevărat, comandantul s-a dovedit a fi în apropiere și a eliberat întreaga companie în zece minute - și acest lucru poate fi considerat și un accident fericit...

Viața noastră este plină de evenimente întâmplătoare. Despre fiecare dintre ele putem spune că se va întâmpla cu unii probabilitate. Cel mai probabil, sunteți intuitiv familiarizat cu acest concept. Vom da acum definiția matematică a probabilității.

Să începem de la bun început exemplu simplu. Arunci o monedă. Cap sau pajură?

O astfel de acțiune, care poate duce la unul dintre mai multe rezultate, este numită în teoria probabilității Test.

Capete și cozi - două posibile rezultat teste.

Capete vor cădea într-un caz din două posibile. Ei spun asta probabilitate că moneda va ateriza pe capete este .

Să aruncăm un zar. zarul are șase fețe, deci există și șase rezultate posibile.

De exemplu, ați dorit ca trei puncte să apară. Acesta este unul din șase posibile rezultate. În teoria probabilității se va numi rezultat favorabil.

Probabilitatea de a obține un trei este egală (un rezultat favorabil din șase posibile).

Probabilitatea de patru este de asemenea

Dar probabilitatea ca un șapte să apară este zero. La urma urmei, nu există margine cu șapte puncte pe cub.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate.

Evident, probabilitatea nu poate fi mai mare de unu.

Iată un alt exemplu. Sunt mere într-o pungă, unele dintre ele sunt roșii, restul sunt verzi. Merele nu diferă ca formă sau dimensiune. Îți bagi mâna în geantă și scoți un măr la întâmplare. Probabilitatea de a trage un măr roșu este egală cu , iar probabilitatea de a trage un măr verde este egală cu .

Probabilitatea de a deveni roșu sau Mar verde egal cu .

Să analizăm problemele de teoria probabilităților incluse în colecțiile pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat.

. La o companie de taxi din acest moment mașini gratuite: roșu, galben și verde. Una dintre mașinile care s-a întâmplat să fie cel mai aproape de client a răspuns la apel. Găsiți probabilitatea ca un taxi galben să vină la ea.

Există un total de mașini, adică unul din cincisprezece va veni la client. Există nouă galbene, ceea ce înseamnă că probabilitatea ca o mașină galbenă să sosească este egală cu , adică.

. (Versiune demo) În colecția de bilete privind biologia tuturor biletelor, în două dintre ele există o întrebare despre ciuperci. În timpul examenului, studentul primește un bilet selectat aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca acest bilet să nu conțină o întrebare despre ciuperci.

Evident, probabilitatea de a trage un bilet fără a întreba despre ciuperci este egală cu , adică.

. Comitetul de părinți a achiziționat puzzle-uri pentru cadouri de absolvire pentru copii. an scolar, inclusiv picturi ale artiștilor celebri și imagini cu animale. Cadourile sunt distribuite aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca Vovochka să obțină un puzzle cu un animal.

Problema este rezolvată într-un mod similar.

Răspuns: .

. La campionatul de gimnastică participă sportivi din Rusia, SUA și restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca ultimul sportiv care a concurat să fie din China.

Să ne imaginăm că toți sportivii s-au apropiat simultan de pălărie și au scos din ea bucăți de hârtie cu numere. Unii dintre ei vor primi numărul douăzeci. Probabilitatea ca un atlet chinez să-l retragă este egală (din moment ce sportivii sunt din China). Răspuns: .

. Elevul a fost rugat să numească numărul de la până. Care este probabilitatea ca el să numească un număr care este multiplu de cinci?

La fiecare cincilea un număr din această mulțime este divizibil cu . Aceasta înseamnă că probabilitatea este egală cu .

Se aruncă un zar. Aflați probabilitatea de a obține un număr impar de puncte.

Numere impare; - chiar. Probabilitatea unui număr impar de puncte este .

Răspuns: .

. Moneda este aruncată de trei ori. Care este probabilitatea ca două capete și o coadă?

Rețineți că problema poate fi formulată diferit: trei monede au fost aruncate în același timp. Acest lucru nu va afecta decizia.

Câte rezultate posibile crezi că există?

Aruncăm o monedă. Această acțiune are două rezultate posibile: cap și coadă.

Două monede - deja patru rezultate:

Trei monede? Așa este, rezultate, din moment ce .

Două capete și o coadă apar de trei ori din opt.

Răspuns: .

. Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca totalul să fie de puncte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Aruncăm primul zar - șase rezultate. Și pentru fiecare dintre ele sunt posibile încă șase - când aruncăm al doilea zar.

Înțelegem că această acțiune - aruncarea a două zaruri- totalul rezultatelor posibile, din moment ce .

Și acum - rezultate favorabile:

Probabilitatea de a obține opt puncte este .

>. Trăgătorul lovește ținta cu probabilitate. Găsiți probabilitatea ca el să lovească ținta de patru ori la rând.

Dacă probabilitatea unei lovituri este egală, atunci probabilitatea unei rateuri este . Raționăm în același mod ca în problema anterioară. Probabilitatea de două lovituri la rând este egală. Și probabilitatea de patru lovituri la rând este egală.

Probabilitate: logica forței brute.

Aici este problema de la munca de diagnosticare, pe care mulți l-au găsit dificil.

Petya avea monede în valoare de ruble și monede în valoare de ruble în buzunar. Petya, fără să se uite, a transferat câteva monede în alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca monedele de cinci ruble să fie acum în buzunare diferite.

Știm că probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate. Dar cum să calculăm toate aceste rezultate?

Puteți, desigur, să desemnați monede de cinci ruble cu numere și monede de zece ruble cu numere - și apoi să numărați în câte moduri puteți selecta trei elemente din set.

Cu toate acestea, există o soluție mai simplă:

Codificăm monedele cu numere: , (acestea sunt monede de cinci ruble), (acestea sunt monede de zece ruble). Condiția problemei poate fi acum formulată după cum urmează:

Există șase jetoane cu numere de la până la . În câte moduri pot fi împărțite în mod egal în două buzunare, astfel încât jetoanele cu numere să nu ajungă împreună?

Să scriem ce avem în primul nostru buzunar.

Pentru a face acest lucru, vom compune toate combinațiile posibile din set. Un set de trei jetoane va fi un număr format din trei cifre. Evident, în condițiile noastre și sunt același set de jetoane. Pentru a nu rata nimic sau a ne repeta, aranjam în ordine crescătoare numerele corespunzătoare din trei cifre:

Toate! Am trecut prin toate combinațiile posibile începând cu . Hai sa continuăm:

Total de rezultate posibile.

Avem o condiție - jetoanele cu numere nu ar trebui să fie împreună. Aceasta înseamnă, de exemplu, că combinația nu ne convine - înseamnă că ambele jetoane au ajuns nu în primul, ci în al doilea buzunar. Rezultatele care sunt favorabile pentru noi sunt cele în care există fie numai, fie numai. Aici sunt ei:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – total rezultate favorabile.

Atunci probabilitatea necesară este egală cu .

Ce sarcini vă așteaptă la examenul unificat de stat la matematică?

Să analizăm una dintre problemele complexe din teoria probabilităților.

Pentru a intra în institutul pentru specialitatea „Lingvistică”, solicitantul Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la Examenul Unificat de Stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, limba rusă și o limbă străină. Pentru a vă înscrie la specialitatea Comerț, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, limba rusă și studii sociale.

Probabilitatea ca solicitantul Z. să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este de 0,6, în rusă - 0,8, în limbă străină- 0,7 și în studii sociale - 0,5.
Aflați probabilitatea ca Z. să se poată înscrie la cel puțin una dintre cele două specialități menționate.

Rețineți că problema nu se întreabă dacă un solicitant numit Z. va studia atât lingvistică, cât și comerț deodată și va primi două diplome. Aici trebuie să găsim probabilitatea ca Z. să se poată înscrie la cel puțin una dintre aceste două specialități - adică să obțină numărul necesar de puncte.
Pentru a intra în cel puțin una dintre cele două specialități, Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la matematică. Și în rusă. Și, de asemenea, - studii sociale sau străine.
Probabilitatea ca el să obțină 70 de puncte la matematică este de 0,6.
Probabilitatea de a obține puncte la matematică și rusă este de 0,6 0,8.

Să ne ocupăm de studii străine și sociale. Opțiunile care ni se potrivesc sunt atunci când solicitantul a obținut puncte la studii sociale, studii străine sau ambele. Opțiunea nu este potrivită atunci când nu a obținut niciun punct nici în limbă, nici în „societate”. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a promova studii sociale sau limbă străină cu cel puțin 70 de puncte este egală cu
1 – 0,5 0,3.
Ca urmare, probabilitatea de a promova matematica, rusă și studii sociale sau străină este egală
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Acesta este răspunsul.

Teoria probabilității la examenul unificat de stat la matematică poate fi prezentată atât sub forma unor probleme simple de definiție clasică a probabilității, cât și sub forma unora destul de complexe de aplicare a teoremelor corespunzătoare.

În această parte, vom lua în considerare problemele pentru care este suficient să folosim definiția probabilității. Uneori aici vom folosi și o formulă pentru a calcula probabilitatea evenimentului opus. Deși puteți face fără această formulă aici, veți avea nevoie de ea atunci când rezolvați următoarele probleme.

Partea teoretică

Un eveniment aleatoriu este un eveniment care poate sau nu să apară (imposibil de prezis în prealabil) în timpul unei observații sau test.

Să existe rezultate la fel de posibile atunci când desfășurați un test (aruncarea unei monede sau a unui zar, tragerea unei cărți de examen etc.). De exemplu, atunci când aruncați o monedă, numărul tuturor rezultatelor este 2, deoarece nu pot exista alte rezultate decât cap sau cozi. Când aruncați un zar, sunt posibile 6 rezultate, deoarece orice număr de la 1 la 6 este la fel de posibil să apară pe fața de sus a zarului.

Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile (aceasta este definiția clasică a probabilității). Noi scriem

De exemplu, evenimentul A consta în obținerea unui număr impar de puncte atunci când aruncați un zar. Există un total de 6 rezultate posibile: 1, 2, 3, 4, 5, 6 care apar pe fața superioară a cubului. În acest caz, rezultatele cu 1, 3, 5 care apar sunt favorabile pentru evenimentul A. Astfel, .

Rețineți că inegalitatea dublă este întotdeauna satisfăcută, prin urmare probabilitatea oricărui eveniment A se află pe interval, adică . Dacă răspunsul tău are o probabilitate mai mare de unu, înseamnă că ai greșit undeva și soluția trebuie verificată de două ori.

Evenimentele A și B sunt numite opus reciproc dacă vreun rezultat este favorabil pentru exact unul dintre ei.

De exemplu, atunci când aruncați un zar, evenimentul „se aruncă un număr impar” este opusul evenimentului „se aruncă un număr par”.

Este desemnat evenimentul opus evenimentului A. Din definirea evenimentelor opuse rezultă
, Mijloace,
.

Probleme legate de selectarea obiectelor dintr-un set

Sarcina 1. La Campionatul Mondial participă 24 de echipe. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în patru grupe a câte șase echipe fiecare. Există cărți cu numere de grup amestecate în cutie:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a treia?

Numărul total de rezultate este egal cu numărul de cărți - sunt 24 dintre ele. Există 6 rezultate favorabile (deoarece numărul 3 este scris pe șase cărți). Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,25.

Sarcina 2.Într-o urnă sunt 14 bile roșii, 9 galbene și 7 verzi. Din urnă se extrage o minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie galbenă?

Numărul total de rezultate este egal cu numărul de bile: 14 + 9 + 7 = 30. Numărul de rezultate favorabile acest eveniment, este egal cu 9. Probabilitatea cerută este egală cu .

Sarcina 3. Pe tastatura telefonului sunt 10 numere, de la 0 la 9. Care este probabilitatea ca un număr apăsat aleatoriu să fie par și mai mare decât 5?

Rezultatul aici este apăsarea unei anumite taste, deci există un total de 10 rezultate la fel de posibile. Evenimentul specificat este favorizat de rezultate care înseamnă apăsarea tastei 6 sau 8. Există două astfel de rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,2.

Problema 4. Care este probabilitatea ca un număr natural selectat aleatoriu de la 4 la 23 să fie divizibil cu trei?

Pe segmentul de la 4 la 23 există 23 – 4 + 1 = 20 de numere naturale, ceea ce înseamnă că există un total de 20 de rezultate posibile. Pe acest segment, următoarele numere sunt multipli de trei: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Sunt 6 astfel de numere în total, deci evenimentul în cauză este favorizat de 6 rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,3.

Sarcina 5. Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să nu poată răspunde la biletul ales la întâmplare?

1a metoda.

Întrucât un student poate răspunde la 17 bilete, nu poate răspunde la 3 bilete. Probabilitatea de a obține unul dintre aceste bilete este, prin definiție, egală cu .

a 2-a metoda.

Să notăm cu A evenimentul „studentul poate răspunde la bilet”. Apoi . Probabilitatea evenimentului opus este =1 – 0,85 = 0,15.

Răspuns: 0,15.

Problema 6. În campionat gimnastică ritmică 20 de sportivi participă: 6 din Rusia, 5 din Germania, restul din Franța. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează pe locul șapte să fie din Franța.

Sunt 20 de sportivi în total, toată lumea are șanse egale să concureze pe locul șapte. Prin urmare, există 20 de rezultate la fel de probabile. Sunt 20 – 6 – 5 = 9 sportivi din Franța, deci există 9 rezultate favorabile pentru evenimentul specificat. Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,45.

Sarcina 7. Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Sunt planificate un total de 50 de rapoarte - primele trei zile au câte 12 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului N. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?

Mai întâi, să aflăm câte rapoarte sunt programate pentru ultima zi. Prezentările sunt programate pentru primele trei zile. Au mai rămas 50 – 36 = 14 rapoarte care sunt distribuite în mod egal între cele două zile rămase, deci există rapoarte programate în ultima zi.

Vom lua în considerare rezultatul număr de serie raportul profesorului N. Există 50 de astfel de rezultate la fel de posibile Există 7 rezultate favorabile evenimentului specificat (ultimele 7 numere din lista rapoartelor). Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,14.

Problema 8. La bordul aeronavei sunt 10 locuri lângă ieșirile de urgență și 15 locuri în spatele compartimentelor despărțitoare care separă cabinele. Scaunele rămase sunt incomode pentru pasagerii înalți. Pasagerul K. este înalt. Găsiți probabilitatea ca la check-in, dacă un loc este selectat aleatoriu, pasagerul K să primească un loc confortabil dacă există 200 de locuri în total în avion.

Rezultatul în această sarcină este alegerea locației. Există un total de 200 de rezultate la fel de posibile. Evenimentul „locul ales este convenabil” este favorizat de 15 + 10 = 25 de rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,125.

Problema 9. Din 1000 de râșnițe de cafea asamblate la fabrică, 7 erau defecte. Un expert testează o râșniță de cafea aleasă la întâmplare dintre aceste 1000. Găsiți probabilitatea ca râșnița de cafea testată să fie defectă.

Atunci când alegeți o râșniță de cafea la întâmplare, sunt posibile 1000 de rezultate. Evenimentul A „râșnița de cafea selectată este defectă” are 7 rezultate favorabile; Prin definiția probabilității.

Răspuns: 0,007.

Problema 10. Fabrica produce frigidere. În medie, pentru fiecare 100 de frigidere de înaltă calitate, există 15 frigidere cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca frigiderul achiziționat să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Această sarcină este similară cu cea anterioară. Cu toate acestea, formula „pentru 100 de frigidere de calitate, sunt 15 cu defecte” ne indică faptul că 15 piese defecte nu sunt incluse in cele 100 de calitate. Prin urmare, numărul total de rezultate este 100 + 15 = 115 (egal cu numărul total de frigidere), rezultatele favorabile sunt 100. Probabilitatea necesară este . Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei fracții, este convenabil să folosiți diviziunea unghiulară. Obținem 0,869... care este 0,87.

Răspuns: 0,87.

Problema 11. Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 16 jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 7 participanți din Rusia, inclusiv Maxim Zaitsev. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Maxim Zaitsev să joace cu orice tenismen din Rusia.

Ca și în sarcina anterioară, trebuie să citiți cu atenție condiția și să înțelegeți ce este un rezultat și care este un rezultat favorabil (de exemplu, aplicarea necugetată a formulei probabilității duce la un răspuns incorect).

Aici rezultatul este adversarul lui Maxim Zaitsev. Deoarece există 16 jucători de tenis în total și Maxim nu poate juca împotriva lui însuși, există 16 – 1 = 15 rezultate la fel de probabile. Un rezultat favorabil este un adversar din Rusia. Există 7 – 1 = 6 astfel de rezultate favorabile (excludem pe Maxim însuși din numărul rușilor). Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,4.

Problema 12. La secția de fotbal participă 33 de persoane, printre care doi frați - Anton și Dmitry. Cei care participă la secțiune sunt împărțiți aleatoriu în trei echipe a câte 11 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Anton și Dmitry să fie în aceeași echipă.

Să formăm echipe, așezând succesiv jucătorii pe locurile goale, începând cu Anton și Dmitry. În primul rând, îl plasăm pe Anton pe un loc selectat aleatoriu din 33 liber. Acum îl plasăm pe Dmitry pe locul liber (vom lua în considerare alegerea unui loc pentru el ca rezultat). Sunt 32 în total locuri libere a (Anton a luat deja unul), deci există un total de 32 de rezultate posibile. Au rămas 10 locuri libere în aceeași echipă cu Anton, așa că evenimentul „Anton și Dmitry în aceeași echipă” este favorizat de 10 rezultate. Probabilitatea acestui eveniment este .

Răspuns: 0,3125.

Problema 13. Un ceas mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a stricat la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca acul orelor să fie înghețat, ajungând la ora 11, dar fără a ajunge la ora 2.

În mod convențional, cadranul poate fi împărțit în 12 sectoare, situate între reperele numerelor adiacente (între 12 și 1, 1 și 2, 2 și 3, ..., 11 și 12). Vom considera că rezultatul este oprirea acelui ceasului într-unul dintre sectoarele indicate. Există un total de 12 rezultate la fel de posibile. Acest eveniment este favorizat de trei rezultate (sectoarele între 11 și 12, 12 și 1, 1 și 2). Probabilitatea necesară este egală cu .

Răspuns: 0,25.

Rezuma

După ce am studiat materialul de rezolvare a problemelor simple din teoria probabilităților, recomand finalizarea sarcinilor pentru rezolvare independentă, pe care le publicăm pe canalul nostru Telegram. De asemenea, puteți verifica dacă sunt completate corect introducând dvs răspunsuri în formularul oferit.