Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în proceduri judiciare, și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Rezumatul lecției

„Metode de rezolvare a ir ecuații raționale»

Clasa a XI-a profil fizic și matematic.

Zelenodolsky districtul municipal RT"

Valieva S.Z.

Tema lecției: Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale

Scopul lecției: 1. Explorează diferite căi soluții de ecuații iraționale.

1. 
   Dezvoltați capacitatea de generalizare, selectare corectă a metodelor de rezolvare a ecuațiilor iraționale.
2. 
   Dezvoltați independența, educați alfabetizarea vorbirii

Tip de lecție: seminar.
Planul lecției:

1. 
   Organizarea timpului
2. 
   Învățarea de materiale noi
3. 
   Ancorare
4. 
   Teme pentru acasă
5. 
   Rezumatul lecției

În timpul orelor
eu. Timp de organizare: mesajul subiectului lecției, scopul lecției.

În lecția anterioară, am luat în considerare rezolvarea ecuațiilor iraționale care conțin rădăcini pătrate prin pătrarea acestora. În acest caz, obținem o ecuație a consecințelor, care uneori duce la apariția rădăcinilor străine. Și apoi o parte obligatorie a rezolvării ecuației este verificarea rădăcinilor. Am luat în considerare și rezolvarea ecuațiilor folosind definiția rădăcinii pătrate. În acest caz, verificarea poate fi omisă. Cu toate acestea, atunci când rezolvați ecuații, nu este întotdeauna necesar să treceți imediat la aplicarea „oarbă” a algoritmilor pentru rezolvarea ecuației. În sarcinile examenului de stat unificat, există destul de multe ecuații, în rezolvarea cărora este necesar să alegeți o metodă de rezolvare care vă permite să rezolvați ecuațiile mai ușor, mai rapid. Prin urmare, este necesar să cunoaștem și alte metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale, cu care ne vom familiariza astăzi. Anterior, clasa a fost împărțită în 8 grupuri creative și acestea au fost date exemple concrete dezvăluie esența acestei sau aceleia metode. Le dăm un cuvânt.

II. Învățarea de materiale noi.

Din fiecare grupă, 1 elev explică copiilor cum să rezolve ecuații iraționale. Întreaga clasă ascultă și ia notițe despre povestea lor.

1 cale. Introducerea unei noi variabile.

Rezolvați ecuația: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Răspuns: -3; 5.

2 sensuri. cercetare ODZ.

rezolva ecuatia

ODZ:


x \u003d 2. Prin verificare, ne asigurăm că x \u003d 2 este rădăcina ecuației.

3 căi. Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu factorul conjugat.

+
(înmulțiți ambele părți cu -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, deci x=1. Prin verificare, suntem convinși că x \u003d 1 este rădăcina acestei ecuații.

4 moduri. Reducerea unei ecuații la un sistem prin introducerea unei variabile.

rezolva ecuatia

Fie = u,
=v.

Obținem sistemul:

Să rezolvăm prin metoda substituției. Obținem u = 2, v = 2. Prin urmare,

obținem x = 1.

Răspuns: x = 1.

5 moduri. Selectarea unui pătrat complet.

rezolva ecuatia

Să deschidem modulele. pentru că -1≤cos0.5x≤1, apoi -4≤cos0.5x-3≤-2, deci . De asemenea,

Apoi obținem ecuația

x = 4πn, nZ.

Răspuns: 4πn, nZ.

6 moduri. Metoda de evaluare

rezolva ecuatia

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, prin definiție, partea dreaptă -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

primim
acestea. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Rezolvând ecuația prin factorizare, obținem x = 2, x = -2

Metoda 7: Utilizarea proprietăților monotonității funcțiilor.

Rezolvați ecuația. Funcțiile cresc strict. Suma funcțiilor crescătoare este în creștere și această ecuație are cel mult o rădăcină. Prin selecție găsim x = 1.

8 moduri. Utilizarea vectorilor.

Rezolvați ecuația. ODZ: -1≤х≤3.

Fie vectorul
. Produs scalar vectori - da partea stanga. Să găsim produsul lungimii lor. Aceasta este partea dreaptă. A primit
, adică vectorii a și b sunt coliniari. De aici
. Să pătram ambele părți. Rezolvând ecuația, obținem x \u003d 1 și x \u003d
.

1. 
   Consolidare.(fiecărui elev i se dă o fișă de lucru)

Lucru oral frontal

Găsiți o idee pentru rezolvarea ecuațiilor (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(înlocuire)

4. (alegerea unui pătrat plin)

5.
(Reducerea unei ecuații la un sistem prin introducerea unei variabile.)

6.
(prin înmulțire cu expresia adjunctă)

7.
deoarece
. Această ecuație nu are rădăcini.

8. Pentru că fiecare termen este nenegativ, îi echivalăm cu zero și rezolvăm sistemul.

9. 3

10. Aflați rădăcina ecuației (sau produsul rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuației.

Scris muncă independentă urmată de verificare

rezolva ecuațiile numerotate 11,13,17,19

Rezolvarea ecuațiilor:

12. (x + 6) 2 -

14.

Metoda de evaluare

Utilizarea proprietăților de monotonitate a funcțiilor.

Utilizarea vectorilor.

1. 
   Care dintre aceste metode sunt folosite pentru a rezolva alte tipuri de ecuații?
2. 
   Care dintre aceste metode ți-a plăcut cel mai mult și de ce?

1. 
   Temă pentru acasă: Rezolvați ecuațiile rămase.

Bibliografie:

1. 
   Algebra și începutul analizei matematice: manual. pentru 11 celule. educatie generala instituții / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. M: Iluminarea, 2009

1. 
   Materiale didactice despre algebră și principii de analiză pentru clasa a 11-a /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. – M.: Iluminismul, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. 10 - 11 celule: Caiet de sarcini pentru educația generală. instituţiilor. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A. P., Goloborodko V. V. Independent și hârtii de test la algebră şi începuturile analizei pentru clasele 10-11. – M.: Ileksa, 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010

6. Simulator algebric. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Manual pentru școlari și participanți. Moscova.: „Ileksa” 2001.
7. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandardizate. Educational - Trusa de instrumente. 10 - 11 clase. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moscova. "Dropie". 2001

Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

Pregătirea preliminară pentru lecție: elevii ar trebui să fie capabili să rezolve ecuații iraționale într-o varietate de moduri.

Cu trei săptămâni înainte de această sesiune, elevii primesc tema #1: rezolvați diverse ecuații iraționale. (Elevii găsesc în mod independent 6 ecuații iraționale diferite și le rezolvă în perechi.)

Cu o săptămână înainte de această lecție, elevii primesc tema #2, pe care o completează individual.

1. Rezolvați ecuațiacăi diferite.

2. Evaluați avantajele și dezavantajele fiecărei metode.

3. Înregistrați concluziile sub forma unui tabel.

№ p/n	Cale	Avantaje	Defecte

Obiectivele lecției:

Educational:generalizarea cunoștințelor elevilor pe această temă, demonstrație diverse metode rezolvarea ecuațiilor iraționale, capacitatea elevilor de a aborda rezolvarea ecuațiilor din punct de vedere al cercetării.

Educational:educație pentru independență, capacitatea de a-i asculta pe ceilalți și de a comunica în grup, creșterea interesului pentru subiect.

În curs de dezvoltare:dezvoltare gandire logica, cultura algoritmică, abilități de autoeducare, autoorganizare, lucru în perechi atunci când faceți temele, capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii.

Echipament: calculator, proiector, ecran, tabel „Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”, un afiș cu un citat din M.V. Lomonosov „Matematica ar trebui să fie predată mai târziu că pune mintea în ordine”, carduri.

Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale.

Tip de lecție: lecție-seminar (se lucrează în grupe de 5-6 persoane, fiecare grupă trebuie să aibă elevi puternici).

În timpul orelor

eu . Organizarea timpului

(Mesajul temei și obiectivelor lecției)

II . Prezentare muncă de cercetare„Metode pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”

(Lucrarea este prezentată de studentul care a condus-o.)

III . Analiza metodelor de rezolvare a temelor

(Un elev din fiecare grupă notează la tablă soluțiile propuse. Fiecare grupă analizează una dintre soluții, evaluează avantajele și dezavantajele, trage concluzii. Elevii grupelor completează, dacă este necesar. Analiza și concluziile grupului sunt evaluat. Răspunsurile trebuie să fie clare și complete.)

Prima modalitate: ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere, urmată de verificare.

Soluţie.

Să pătram din nou ambele părți ale ecuației:

De aici

Examinare:

1. Dacăx=42 atunci, ceea ce înseamnă numărul42 nu este rădăcina ecuației.

2. Dacăx=2, atunci, ceea ce înseamnă numărul2 este rădăcina ecuației.

Răspuns:2.

№ p/n	Cale	Avantaje	Defecte
	Ridicarea ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere	1. Înțeleg. 2 disponibile.	1. Intrare verbală. 2. Verificare complicată.

Concluzie. La rezolvarea ecuațiilor iraționale prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere, este necesar să se țină o înregistrare verbală, care să facă soluția de înțeles și accesibilă. Cu toate acestea, verificarea obligatorie este uneori complexă și necesită timp. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva ecuații iraționale simple care conțin 1-2 radicali.

A doua cale: transformări echivalente.

Soluţie:Să pătram ambele părți ale ecuației:

Răspuns:2.

№ p/n	Cale	Avantaje	Defecte
	Transformări echivalente	1. Lipsa descrierii verbale. 2. Nicio verificare. 3. Notație logică clară. 4. O succesiune de tranziții echivalente.	1. Record greoi. 2. Puteți face o greșeală atunci când combinați semnele sistemului și agregatul.

Concluzie. Când rezolvați ecuații iraționale prin metoda tranzițiilor echivalente, trebuie să știți clar când să puneți semnul sistemului și când - agregatul. Notarea greoaie, diverse combinații de semne ale sistemului și totalitatea duc adesea la erori. Cu toate acestea, o succesiune de tranziții echivalente, o înregistrare logică clară, fără o descriere verbală care nu necesită verificare, sunt avantaje incontestabile. aceasta metoda.

A treia cale: funcțional-grafic.

Soluţie.

Luați în considerare funcțiileși.

1. Funcțieputere; este în creștere, pentru că exponentul este un număr pozitiv (nu întreg).

D(f).

Să facem un tabel de valoriXșif( X).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funcțiaputere; este în scădere.

Găsiți domeniul funcțieiD( g).

Să facem un tabel de valoriXșig( X).

g(x)

Să construim aceste grafice ale funcțiilor într-un singur sistem de coordonate.

Graficele de funcții se intersectează într-un punct cu o abscisăpentru că funcţief( X) crește, iar funcțiag( X) scade, atunci există o singură soluție a ecuației.

Răspuns: 2.

№p/n	Cale	Avantaje	Defecte
	Funcțional-grafic	1. Vizibilitate. 2. Nu este nevoie să faceți transformări algebrice complexe și să urmați ODD-ul. 3. Vă permite să găsiți numărul de soluții.	1. notaţie verbală. 2. Nu este întotdeauna posibil să găsiți răspunsul exact, iar dacă răspunsul este corect, atunci este necesară verificarea.

Concluzie. Metoda funcțional-grafică este ilustrativă, vă permite să găsiți numărul de soluții, dar este mai bine să o utilizați atunci când puteți construi cu ușurință grafice ale funcțiilor luate în considerare și puteți obține un răspuns precis. Dacă răspunsul este aproximativ, atunci este mai bine să folosiți o altă metodă.

A patra cale: introducerea unei noi variabile.

Soluţie.Introducem variabile noi, denotândObținem prima ecuație a sistemului

Să compunem a doua ecuație a sistemului.

Pentru o variabilă:

Pentru o variabilă

De aceea

Obținem un sistem de două ecuații raționale, în raport cuși

Revenind la variabilă, primim

Introducerea unei noi variabile

Simplificare - obtinerea unui sistem de ecuatii care nu contin radicali

1. Necesitatea de a urmări LPV al noilor variabile

2. Necesitatea revenirii la variabila originală

Concluzie. Această metodă este utilizată cel mai bine pentru ecuațiile iraționale care conțin radicali diverse grade, sau polinoame identice sub semnul rădăcinii și în spatele semnului rădăcinii, sau expresii reciproc inverse sub semnul rădăcinii.

- Deci, băieți, pentru fiecare ecuație irațională, trebuie să alegeți cel mai convenabil mod de a o rezolva: de înțeles. Accesibil, logic și bine conceput. Ridicați mâna, care dintre voi ar prefera rezolvarea acestei ecuații:

1) metoda de ridicare a ambelor părți ale ecuației la aceeași putere cu verificare;

2) metoda transformărilor echivalente;

3) metoda functional-grafica;

4) metoda de introducere a unei noi variabile.

IV . Partea practică

(Lucrul în grup. Fiecare grupă de elevi primește un cartonaș cu o ecuație și o rezolvă în caiete. În acest moment, un reprezentant al grupei rezolvă un exemplu pe tablă. Elevii fiecărei grupe rezolvă același exemplu ca un membru al grupului lor. și monitorizează sarcinile de execuție corectă pe tablă.Dacă persoana care răspunde la tablă face greșeli, atunci cel care le observă ridică mâna și ajută la corectare.În timpul lecției, fiecare elev, pe lângă exemplul rezolvat de grupul său , trebuie să noteze într-un caiet și altele propuse grupelor și să le rezolve acasă.)

Grupa 1.

Grupa 2

Grupa 3.

V . Muncă independentă

(În grupuri, mai întâi are loc o discuție, iar apoi elevii încep să finalizeze sarcina. Soluția corectă pregătită de profesor este afișată pe ecran.)

VI . Rezumând lecția

Acum știi că rezolvarea ecuațiilor iraționale presupune să ai cunoștințe teoretice bune, abilitatea de a le aplica în practică, atenție, diligență, pricepere.

Teme pentru acasă

Rezolvați ecuațiile propuse grupelor în timpul lecției.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

ecuație irațională este orice ecuație care conține o funcție sub semnul rădăcinii. De exemplu:

Astfel de ecuații sunt întotdeauna rezolvate în 3 pași:

1. Separați rădăcina. Cu alte cuvinte, dacă în stânga semnului egal pe lângă rădăcină există și alte numere sau funcții, toate acestea trebuie mutate la dreapta prin schimbarea semnului. În același timp, doar radicalul ar trebui să rămână în stânga - fără coeficienți.
2. 2. Punem la patrat ambele laturi ale ecuatiei. În același timp, amintiți-vă că intervalul rădăcinii sunt toate numerele nenegative. De aici funcția din dreapta ecuație irațională trebuie să fie și nenegative: g (x) ≥ 0.
3. Al treilea pas urmează logic din al doilea: trebuie să efectuați o verificare. Cert este că în a doua etapă am putea avea rădăcini suplimentare. Și pentru a le tăia, este necesar să înlocuiți numerele candidate rezultate în ecuația originală și să verificați: se obține într-adevăr egalitatea numerică corectă?

Rezolvarea unei ecuații iraționale

Să ne ocupăm de ecuația noastră irațională dată chiar la începutul lecției. Aici rădăcina este deja retrasă: în stânga semnului egal nu există altceva decât rădăcina. Să pătram ambele părți:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Rezolvăm ecuația pătratică rezultată prin discriminantul:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Rămâne doar să înlocuim aceste numere în ecuația originală, adică. efectua o verificare. Dar chiar și aici puteți face ceea ce trebuie pentru a simplifica decizia finală.

Cum să simplificăm soluția

Să ne gândim: de ce verificăm chiar la sfârșitul rezolvării unei ecuații iraționale? Vrem să ne asigurăm că atunci când ne înlocuim rădăcinile, nu vor exista un număr negativ. La urma urmei, știm deja cu siguranță că este un număr nenegativ din stânga, deoarece rădăcina pătrată aritmetică (din cauza căreia ecuația noastră se numește irațională) prin definiție nu poate fi mai mică de zero.

Prin urmare, tot ce trebuie să verificăm este că funcția g ( x ) = 5 − x , care se află în dreapta semnului egal, este nenegativă:

g(x) ≥ 0

Înlocuim rădăcinile noastre în această funcție și obținem:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Din valorile obținute, rezultă că rădăcina x 1 = 6 nu ne convine, deoarece la înlocuirea în partea dreaptă a ecuației inițiale, obținem un număr negativ. Dar rădăcina x 2 \u003d −2 este destul de potrivită pentru noi, deoarece:

1. Această rădăcină este soluția ecuație pătratică obţinută ca urmare a construcţiei ambelor părţi ecuație iraționalăîntr-un pătrat.
2. Partea dreaptă a ecuației iraționale inițiale, când rădăcina x 2 = −2 este înlocuită, se transformă într-un număr pozitiv, i.e. intervalul rădăcinii aritmetice nu este încălcat.

Acesta este tot algoritmul! După cum puteți vedea, rezolvarea ecuațiilor cu radicali nu este atât de dificilă. Principalul lucru este să nu uitați să verificați rădăcinile primite, altfel este foarte probabil să obțineți răspunsuri suplimentare.