Teoria mulțimilor fuzzy permite utilizarea variabilelor fuzzy definite lingvistic atunci când sintetizează un algoritm de control.  

Teoria mulțimilor fuzzy a trecut de la dezvoltarea unor mijloace formale de reprezentare a conceptelor prost definite utilizate de oameni și a unui aparat pentru procesarea acestora la modelarea raționamentului aproximativ la care recurg oamenii în viața de zi cu zi. activitate profesionalăși chiar înainte de crearea calculatoarelor cu logică fuzzy.  

Teoria mulțimilor fuzzy permite înlocuirea apartenenței stricte a unui obiect într-o anumită mulțime cu un grad continuu de apartenență. Pentru a se familiariza cu teoria mulțimilor fuzzy și aplicarea lor în cercetarea în domeniul proceselor catalitice, cititorul se poate referi la Secțiunea.  

Teoria mulțimilor fuzzy este adesea confundată cu teoria probabilității. Într-adevăr, criticii săi au susținut că teoria mulțimilor fuzzy este incapabilă să rezolve probleme care nu sunt formulate în termeni teoria probabilității. În afară de aceste cantități, cele două măsuri sunt complet diferite, deși ambele pot fi descrise ca măsuri de incertitudine. Fiecare dintre ele măsoară un aspect diferit al incertitudinii.  

În teoria mulțimilor fuzzy, după cum se știe, sunt folosite funcții de membru, interpretate ca funcții caracteristice pentru mulțimi fuzzy. Valoarea sa egală cu 0 corespunde afirmației că acest element x nu aparține lui A, iar valoarea sa egală cu 1 indică apartenența sa necondiționată la această mulțime. Valorile intermediare / id (g) nu trebuie interpretate într-un sens probabilist, deoarece gradul de apartenență a unui element într-o mulțime fuzzy nu trebuie să fie de natură statistică.  

În teoria mulțimilor fuzzy, conceptul de combinație a două relații fuzzy joacă un rol important.  

În teoria mulţimilor fuzzy sunt introduse o serie de operaţii asupra mulţimilor, care trebuie să corespundă combinaţiilor de termeni fuzzy şi încărcărilor lor semantice la rezolvarea problemelor aplicate. Lucrarea notează că, într-un caz particular, operațiile pe mulțimi fuzzy trebuie să corespundă operațiilor din teoria mulțimilor obișnuite. La rezolvarea unor probleme specifice: fiecare cercetător își folosește cunoștințele despre obiectul cercetării și rolul fiecărei operațiuni.  

În teoria mulțimilor fuzzy, majoritatea operațiilor aritmetice sunt definite pentru domenii continue. Operațiile pentru zone discrete sunt de obicei izolate ca caz special.  

În teoria mulţimilor fuzzy, în funcţie de metodele de precizare a operaţiei (T), care satisfac axiomele (2.1) - (2.5), există un număr infinit de operaţii fuzzy I. În teoria fuzzy se folosesc următoarele tipuri. Control.  

Elemente ale teoriei mulțimilor fuzzy pot fi aplicate cu succes la luarea deciziilor în condiții de incertitudine. Logica fuzzy a apărut ca modalitatea cea mai convenabilă de a construi sisteme de control pentru procese tehnologice complexe și a găsit, de asemenea, aplicație în sisteme de diagnosticare și alte sisteme expert. În ciuda faptului că aparatul matematic al logicii fuzzy a fost dezvoltat pentru prima dată în SUA, dezvoltare activă Această metodă a început în Japonia Cercetarea în domeniul logicii fuzzy a primit un sprijin financiar larg.  

Cu toate acestea, axiomatica teoriei mulțimilor fuzzy diferă semnificativ de axiomatica teoriei probabilităților și permite utilizarea unor proceduri de calcul mai simple. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să luăm în considerare operațiile de unire și intersecție a mulțimilor fuzzy.  

Să menționăm și teoria mulțimilor fuzzy, în care conceptele inițiale sunt descrise prin mulțimi și variabile fuzzy și, în consecință, soluția rezultată este interpretată în termeni de mulțimi fuzzy. Așa cum se arată exemple concrete, aceste metode sunt în multe privințe similare cu cele statistice. La utilizarea lor, se presupune că sunt date funcțiile de membru ale rezultatelor observației, iar pe baza lor se obțin funcțiile de apartenență corespunzătoare pentru rezultatele finale.  

Teoria multimilor fuzzy

Cea mai uimitoare proprietate a inteligenței umane este capacitatea de a lua decizii corecte în fața unor informații incomplete și neclare. Construirea unor modele de raționament uman aproximativ și utilizarea lor în sistemele informatice ale generațiilor viitoare este una dintre cele mai importante probleme ale științei de astăzi.

Când studiezi sisteme complexe, unde o persoană joacă un rol semnificativ, se aplică așa-numitul principiu al incompatibilității: pentru a obține concluzii semnificative despre comportamentul unui sistem complex, este necesar să se abandoneze standarde inalte acuratețea și rigoarea, care sunt caracteristice sistemelor relativ simple și implică abordări ale analizei sale care sunt de natură aproximativă.

Când au încercat să oficializeze cunoștințele umane, cercetătorii au întâmpinat o problemă care a făcut dificilă utilizarea instrumentelor matematice tradiționale pentru a le descrie. Există o întreagă clasă de descrieri care operează asupra caracteristicilor calitative ale obiectelor (mult, puțin, puternic, foarte etc.) Aceste caracteristici sunt de obicei vagi și nu pot fi interpretate clar, dar conțin informații importante (de exemplu, „Unul dintre posibilele semne ale gripei este înalt temperatura").

Categoria neclarității și modelele și metodele asociate sunt foarte importante din punct de vedere al viziunii asupra lumii, deoarece odată cu apariția lor a devenit posibil să se supună analizei cantitative acele fenomene care anterior fie puteau fi luate în considerare doar la nivel calitativ, fie necesitau utilizarea unor modele foarte aspre.

Progrese semnificative în această direcție au fost făcute cu aproximativ 35 de ani în urmă de Lotfi A. Zadeh, profesor la Universitatea din California (Berkeley). Munca lui a stat la baza modelării activitate intelectuală om și au fost impulsul inițial pentru dezvoltarea unei noi teorii matematice.

Ce a propus Zadeh? În primul rând, a extins conceptul clasic de mulțime, admițând că funcția caracteristică (funcția apartenenței unui element într-o mulțime) poate lua orice valoare în intervalul (0;1), și nu doar valorile 0 sau 1. El a numit astfel de seturi fuzzy. L. Zadeh a definit, de asemenea, o serie de operații pe mulțimi fuzzy și a propus o generalizare a binecunoscutelor metode de inferență logică modus ponens și modus tollens.

După ce a introdus apoi conceptul de variabilă lingvistică și presupunând că seturile fuzzy acționează ca valorile (termenii) sale, L. Zadeh a creat un aparat pentru descrierea proceselor activității intelectuale, inclusiv neclaritatea și incertitudinea expresiilor.

Iată punctul de vedere al lui L. Zade: „Cred că dorința excesivă de acuratețe a început să aibă un efect care anulează teoria controlului și teoria sistemelor, deoarece duce la faptul că cercetările în acest domeniu se concentrează pe acelea și numai acele probleme care. Ca urmare, multe clase de probleme importante în care datele, scopurile și constrângerile sunt prea complexe sau prost definite pentru a permite o analiză matematică precisă au fost și rămân deoparte din motivul că nu pot fi tratate matematic. Pentru a spune ceva semnificativ despre probleme de acest gen, trebuie să renunțăm la cerințele noastre de precizie și să permitem rezultate oarecum vagi sau incerte.”

Teoria matematică a mulțimilor fuzzy ne permite să descriem concepte și cunoștințe fuzzy, să operam cu aceste cunoștințe și să tragem concluzii neclare. Metodele de construire a sistemelor informatice fuzzy bazate pe această teorie extind semnificativ domeniul de aplicare al aplicațiilor computerizate.

Fuzzy Logic este practic o logică cu mai multe probleme care vă permite să determinați valori intermediare între estimările standard, cum ar fi Da/Nu, Adevărat/Fals, Negru/Alb, etc. Concepte similare "destul de cald" sau "destul de frig" pot fi formulate matematic și prelucrate de computere. Astfel, s-a încercat să se aplice gândirea asemănătoare omului în programarea computerelor.

Recent, controlul fuzzy a fost una dintre cele mai active și productive domenii de cercetare în aplicarea teoriei mulțimilor fuzzy. Controlul fuzzy este util mai ales atunci când procese tehnologice sunt prea complexe pentru a fi analizate folosind metode cantitative convenționale sau atunci când sursele disponibile de informații sunt interpretate calitativ, imprecis sau vag. S-a demonstrat experimental că controlul fuzzy dă rezultate mai bune în comparație cu rezultatele obținute cu algoritmii de control convenționali. Metodele neclare ajută la controlul furnalelor și a laminoarelor, a mașinilor și a trenurilor, recunoaște vorbirea și imaginile și proiectează roboți cu atingere și viziune. Logica fuzzy, pe care se bazează controlul fuzzy, este mai aproape în spirit de gândirea umană și limbajele naturale decât sistemele logice tradiționale. Logica fuzzy oferă mijloace eficiente afișarea incertitudinilor și inexactităților lumea reala. Disponibilitate instrumente matematice reflectarea vagului informațiilor inițiale vă permite să construiți un model adecvat realității.

2. DESCRIEREA INSERTITUȚILOR ÎN TEORIA LUARE A DECIZIILOR

2.4. Descrierea incertitudinilor folosind teoria fuzzy

2.4.1. Seturi neclare

Lăsa A- un set. Subset B seturi A caracterizat prin funcţia sa caracteristică

Ce este un set fuzzy? De obicei se spune că un submult fuzzy C seturi A caracterizat prin funcția de membru Valoarea funcției de membru într-un punct X arată gradul în care acest punct aparține mulțimii fuzzy. O mulțime neclară descrie incertitudinea corespunzătoare unui punct X– este atât inclus cât și neinclus în setul fuzzy CU. Pentru intrare - șanse, pentru a doua - (1-) șanse.

Dacă funcția de membru are forma (1) pentru unii B, Acea C există un subset obișnuit (crisp). A. Astfel, teoria mulțimilor fuzzy nu este mai puțin o disciplină matematică generală decât teoria mulțimilor obișnuite, deoarece mulțimile obișnuite sunt un caz special al celor fuzzy. În consecință, ne putem aștepta ca teoria neclarității în ansamblu să generalizeze matematica clasică. Totuși, mai târziu vom vedea că teoria neclarității într-un anumit sens se reduce la teoria mulțimilor aleatoare și, astfel, face parte din matematica clasică. Cu alte cuvinte, din punct de vedere al generalității, matematica obișnuită și matematica fuzzy sunt echivalente. Cu toate acestea pentru aplicație practicăîn teoria deciziei, descrierea și analiza incertitudinilor folosind teoria mulțimilor fuzzy este foarte fructuoasă.

Un subset obișnuit poate fi identificat cu funcția sa caracteristică. Matematicienii nu fac acest lucru, deoarece pentru a defini o funcție (în abordarea acceptată în prezent) este necesar să se definească mai întâi o mulțime. Din punct de vedere formal, un subset fuzzy poate fi identificat cu funcția de membru. Cu toate acestea, termenul „subset neclar” este de preferat atunci când se construiește modele matematice fenomene reale.

Teoria fuzzy este o generalizare a matematicii intervalului. Într-adevăr, funcția de membru

specifică incertitudinea intervalului - tot ceea ce se știe despre valoarea luată în considerare este că se află într-un interval dat [ A,b]. Astfel, descrierea incertitudinilor folosind mulțimi fuzzy este mai generală decât folosind intervale.

Începutul teoriei moderne a neclarității a fost stabilit de lucrarea din 1965 a omului de știință american de origine azeră L.A. Zadeh. Până în prezent, au fost publicate mii de cărți și articole despre această teorie, au fost publicate mai multe reviste internaționale și s-au realizat destul de multe lucrări atât teoretice, cât și aplicate. Prima carte a unui autor rus despre teoria neclarității a fost publicată în 1980.

LA. Zadeh a considerat teoria multimilor fuzzy ca un aparat de analiza si modelare a sistemelor umaniste, i.e. sisteme la care participă oamenii. Abordarea sa se bazează pe premisa că elementele gândirii umane nu sunt numere, ci elemente ale unor seturi sau clase neclare de obiecte pentru care trecerea de la „apartenere” la „neapartenere” nu este bruscă, ci continuă. În prezent, metodele teoriei fuzzy sunt utilizate în aproape toate domeniile aplicate, inclusiv managementul întreprinderii, calitatea produselor și procesele tehnologice.

LA. Zadeh a folosit termenul „mult fuzzy” (mult fuzzy). Termenul „fuzzy” a fost tradus în rusă ca fuzzy, fuzzy, indistinct și chiar pufos și încețos.

Aparatul teoriei fuzzy este greoaie. Ca exemplu, oferim definiții ale operațiilor teoretice de mulțimi pe mulțimi fuzzy. Lăsa CȘi D- două submulțimi fuzzy A cu funcţii de membru şi respectiv. Prin intersecție, produs CD, unire , negație , sumă C+ D se numesc submulţimile fuzzy A cu funcţii de membru

respectiv.

După cum sa menționat deja, teoria mulțimilor fuzzy într-un anumit sens se reduce la teoria probabilității, și anume la teoria mulțimilor aleatoare. Ciclul corespunzător de teoreme este prezentat mai jos. Cu toate acestea, atunci când se rezolvă probleme aplicate, metodele probabilistic-statistice și metodele teoriei fuzzy sunt de obicei considerate diferite.

Pentru a vă familiariza cu specificul seturilor neclare, să luăm în considerare câteva dintre proprietățile acestora.

În cele ce urmează presupunem că toate mulțimile fuzzy luate în considerare sunt submulțimi ale aceleiași mulțimi Y.

Legile lui De Morgan pentru seturile fuzzy. După cum se știe, legile lui Morgan sunt următoarele identități ale algebrei mulțimilor

Teorema 1. Pentru seturile fuzzy sunt valabile următoarele identități:

(4)

Demonstrarea teoremei 1 constă în verificarea directă a validității relațiilor (3) și (4) prin calcularea valorilor funcțiilor de membru ale mulțimilor fuzzy implicate în aceste relații pe baza definițiilor date mai sus.

Să numim identități (3) și (4) Legile lui De Morgan pentru seturile fuzzy. Spre deosebire de cazul clasic al relațiilor (2), ele constau din patru identități, dintre care o pereche se referă la operațiile de unire și intersecție, iar a doua la operațiunile de produs și sumă. La fel ca relația (2) în algebra multimii, legile lui de Morgan în algebra multimii fuzzy permit transformarea expresiilor și formulelor care includ operații de negație.

Legea distributivă pentru mulțimi fuzzy. Unele proprietăți ale operațiilor cu set nu sunt valabile pentru seturile fuzzy. Da, cu excepția cazului în care A- un set „crisp” (adică funcția de membru ia doar valorile 0 și 1).

Este adevărată legea distributivă pentru mulțimile fuzzy? Literatura de specialitate afirmă uneori vag că „nu întotdeauna”. Să fim complet clari.

Teorema 2. Pentru orice seturi neclare A, BȘi CU

În același timp, egalitatea

corect dacă și numai dacă, pentru toți

Dovada. Remediați un element arbitrar. Pentru a scurta notația, notăm Pentru a demonstra identitatea (5), este necesar să arătăm că

Luați în considerare ordine diferite a trei numere a, b, c. Lasă mai întâi Atunci partea stanga relația (7) este și cea potrivită, adică. egalitatea (7) este adevărată.

Fie Atunci în relația (7) în stânga este a în dreapta, adică. relația (7) este din nou o egalitate.

Dacă atunci în relația (7) în stânga este și în dreapta, i.e. ambele părți se potrivesc din nou.

Au rămas trei comenzi de numere a, b, c nu este nevoie de dezasamblare, deoarece în relația (6) numerele bȘi c intra simetric. Identitatea (5) este dovedită.

A doua afirmație a teoremei 2 rezultă din faptul că, în conformitate cu definițiile operațiilor pe mulțimi fuzzy

Aceste două expresii coincid dacă și numai dacă, când, ce s-a cerut să fie demonstrat.

Definiția 1. Purtătorul unui set fuzzy A se numeste multimea tuturor punctelor , pentru care

Corolarul teoremei 2. Dacă purtătorii de seturi fuzzy ÎNȘi CU coincide cu Uh, apoi egalitatea (6) are loc dacă și numai dacă A - set „crisp” (adică obișnuit, clasic, nu fuzzy). .

Dovada. După condiție în fața tuturor. Apoi din teorema 2 rezultă că acestea. sau , ceea ce înseamnă că A- set clar.

2.4.2. Un exemplu de descriere a incertitudinii folosind

set neclar

Conceptul de „bogat” este adesea folosit atunci când se discută probleme socio-economice, inclusiv în legătură cu pregătirea și luarea deciziilor. Cu toate acestea, este evident că oameni diferiți pun conținut diferit în acest concept. În 1996, angajații Institutului de Înalte Tehnologii Statistice și Econometrie au efectuat un studiu sociologic al percepțiilor diferitelor segmente ale populației despre conceptul de „persoană bogată”.

Mini-sondajul arăta astfel:

1. La ce venit lunar (în milioane de ruble de persoană) te-ai considera o persoană bogată?

2. După ce v-ați evaluat venitul curent, în ce categorie vă încadrați:

bogat;

b) venituri peste medie;

c) venituri sub medie;

d) săraci;

d) sub pragul sărăciei?

(În viitor, în locul numelor complete ale categoriilor, vom folosi litere, de exemplu „c” - categorie, „b” - categorie etc.)

3. Profesia ta, specialitatea.

Au fost intervievate în total 74 de persoane, dintre care 40 oameni de știință și profesori, 34 de persoane neangajate în domeniul științei și educației, inclusiv 5 muncitori și 5 pensionari. Dintre toți respondenții, doar unul (!) se consideră bogat. Câteva răspunsuri tipice de la cercetători și profesori sunt date în Tabelul 1 și informații similare pentru lucrători sfera comerciala– în tabelul 2.

Tabelul 1.

Răspunsuri tipice de la cercetători și profesori

Răspunsuri la întrebarea 3		Răspunsuri la întrebarea 1, milioane de ruble/persoană.		Răspunsuri la întrebarea 2
dr
Profesor
	Senior. Cercetător
	Inginer fizician
	Programator
	om de stiinta

masa 2

Răspunsuri tipice de la lucrătorii comerciali.

Răspunsuri la întrebarea 3	Răspunsuri la întrebarea 1	Răspunsuri la întrebarea 2
Vicepreședinte al Băncii
Adjunct
director de bancă
Șeful.
departamentul de credit
Şeful Departamentului Valori Mobiliare
Contabil șef
Contabil

manager de bancă

Șef departament proiectare Gama de răspunsuri la prima întrebare este de la 1 la 100 de milioane de ruble. pe lună pe persoană. Rezultatele sondajului arată că criteriul bogăției pentru lucrătorii financiari în general este puțin mai ridicat decât pentru lucrătorii științifici (vezi histogramele din Fig. 1 și Fig. 2 de mai jos). Sondajul a arătat că pentru a identifica orice sens specific cantitatea care este necesară „pentru fericirea completă”, chiar dacă cu o mică variație, este imposibilă, ceea ce este destul de natural. După cum se poate observa din tabelele 1 și 2,

Cu angajații structurilor comerciale și ai organizațiilor bugetare, imaginea este diferită: „d” - categoria 1 persoană (4%), „d” - categoria 4 persoane (17%), „b” - categoria - 46% și 1 persoană „ a” - categoria .

Pensionarii, ceea ce nu este surprinzător, și-au clasificat veniturile la categoria „d” (4 persoane), iar o singură persoană a indicat categoria „g”. Muncitorii au răspuns astfel: 4 persoane - „c”, și o persoană - „b”.

Pentru a prezenta imaginea de ansamblu, Tabelul 3 oferă date despre răspunsurile lucrătorilor din alte profesii.

Tabelul 3.

Răspunsuri tipice din partea lucrătorilor din diverse profesii.

Răspunsuri la întrebarea 3	Răspunsuri la întrebarea 1	Răspunsuri la întrebarea 2
Lucrator in comert
Conducător auto
Militar
Proprietar de benzinărie
Pensionar
Manager de fabrică
Casnică
Mecanic
Operatorul calculatorului
Lucrător de asigurări sociale
Arhitect

Trasabil fenomen interesant: cu cât este mai mare nivelul de avere pentru o persoană, cu atât categoria este mai mică în raport cu acest nivel pe care îl consideră.

O modalitate naturală de a rezuma datele este utilizarea histogramelor. Pentru a face acest lucru, trebuie să grupați răspunsurile. Au fost utilizate 7 clase (intervale):

1 – până la 5 milioane de ruble pe lună per persoană (inclusiv);

2 – de la 5 la 10 milioane;

3- de la 10 la 15 milioane;

4 – de la 15 la 20 de milioane;

5 – de la 20 la 25 milioane;

6 – de la 25 la 30 milioane;

7 – peste 30 de milioane.

(În toate intervalele, limita stângă este exclusă, iar dreapta, dimpotrivă, este inclusă.)

Informațiile rezumative sunt prezentate în Fig. 1 (pentru cercetători și profesori) și Fig. 2 (pentru toate celelalte, adică pentru persoanele care nu sunt angajate în domeniul științei și educației - angajați ai altor organizații bugetare, structuri comerciale, lucrători, pensionari) .

Fig.1. Histograma răspunsurilor la întrebarea 1 pentru cercetători și profesori (40 de persoane).

Fig.2. Histograma răspunsurilor la întrebarea 1 pentru persoanele neangajate în domeniul științei și educației (34 persoane).

Pentru cele două grupuri selectate, precum și pentru unele subgrupe ale celui de-al doilea grup, au fost calculate caracteristici medii sumare - medii aritmetice ale eșantionului, mediane, moduri. În acest caz, mediana de grup este numărul de milioane de ruble numit de numărul central al respondentului în seria crescătoare de răspunsuri la întrebarea 1, iar modul de grup este intervalul la care coloana histogramei este cea mai mare, adică. a inclus numărul maxim de respondenți. Rezultatele sunt prezentate în tabel. 4.

Tabelul 4.

Rezumatul caracteristicilor medii ale răspunsurilor la întrebarea 1

pentru diferite grupuri (în milioane de ruble pe lună per persoană).

Grup de respondenți	aritmetic
Cercetători și profesori
Persoane care nu sunt angajate în domeniul științei și educației
Angajații structurilor comerciale și organizațiilor bugetare
Pensionarii

Să construim un set neclar care descrie conceptul de „persoană bogată” în conformitate cu opiniile respondenților. Pentru a face acest lucru, vom compila Tabelul 5 pe baza Fig. 1 și Fig. 2, ținând cont de gama de răspunsuri la prima întrebare.

Tabelul 5.

Numărul de răspunsuri care se încadrează în intervale

	Numărul intervalului
	Interval, milioane de ruble pe luna
	Numărul de răspunsuri în interval
	Proporția răspunsurilor în interval
	Numărul cumulat de răspunsuri
	Rata de răspuns cumulativă

Continuarea tabelului 5.

	Numărul intervalului
	Interval, milioane de ruble pe luna
	Numărul de răspunsuri în interval
	Proporția răspunsurilor în interval
	Numărul cumulat de răspunsuri
	Rata de răspuns cumulativă

Al cincilea rând din Tabelul 5 specifică funcția de apartenență a unui set neclar care exprimă conceptul de „persoană bogată” în termeni de venit lunar. Acest set fuzzy este un subset al setului de 9 intervale specificate în linia 2 din Tabelul 5. Sau un set de 9 numere condiționate (0, 1, 2, ..., 8). Funcția de distribuție empirică, construită dintr-un eșantion de răspunsuri ale a 74 de respondenți la prima întrebare a mini-chestionarului, descrie conceptul de „persoană bogată” ca un subset neclar al semiaxei pozitive.

2.4.3. Despre dezvoltarea metodologiei de stabilire a prețurilor

bazat pe teoria multimilor fuzzy

Pentru a estima valorile indicatorilor care nu au o evaluare cantitativă, pot fi utilizate metode de set neclar. De exemplu, în disertația lui P.V. Seturile neclare Bityukov au fost folosite pentru a modela problemele de preț pentru cursurile de formare electronice utilizate în învățământ la distanță. El a efectuat un studiu al valorilor factorului „Nivelul calității cursului” folosind seturi fuzzy. În timpul utilizării practice a P.V-ului propus. Metodele de stabilire a prețurilor Bityukov, valorile unui număr de alți factori pot fi, de asemenea, determinate folosind teoria mulțimilor fuzzy. De exemplu, poate fi folosit pentru a determina prognoza evaluării unei specialități la o universitate cu ajutorul experților, precum și valorile altor factori legați de grupul „Caracteristici ale cursului”. Să descriem abordarea lui P.V. Bitiukov ca exemplu de utilizare practică a teoriei mulțimilor fuzzy.

Valoarea punctajului atribuit fiecărui interval pentru factorul „Nivel de calitate a cursului” se determină pe o scară universală, unde este necesar să se plaseze valorile variabilei lingvistice „Nivel de calitate a cursului”: SCĂZUT, MEDIU, ÎNALT. Gradul de apartenență al unei anumite valori se calculează ca raport dintre numărul de răspunsuri în care a apărut într-un anumit interval al scalei și numărul maxim (pentru această valoare) de răspunsuri pe toate intervalele.

În timpul lucrărilor la disertație, a fost realizat un sondaj de experți cu privire la gradul de influență a nivelului de calitate al cursurilor electronice asupra valorii lor de consum. În timpul sondajului, fiecărui expert i sa cerut să evalueze din perspectiva consumatorului valoarea unei anumite clase de cursuri în funcție de nivelul de calitate. Experții și-au dat evaluarea pentru fiecare clasă de curs pe o scară de 10 puncte (unde 1 este min, 10 este max). Pentru a trece la o scală universală, toate valorile scalei de evaluare a valorii cu 10 puncte au fost împărțite la un scor maxim de 10.

Folosind proprietățile funcției de membru, este necesară preprocesarea datelor pentru a reduce distorsiunile introduse de sondaj. Proprietățile naturale ale funcțiilor de apartenență sunt prezența unui front maxim și neted care decade la zero. Pentru a procesa datele statistice, puteți utiliza așa-numita matrice de indicii. În mod evident, elementele eronate sunt mai întâi îndepărtate. Criteriul de ștergere este prezența mai multor zerouri în linia din jurul acestui element.

Elementele matricei indicii sunt calculate folosind formula: ,

unde este un element de tabel cu rezultatele sondajului grupate pe intervale. Matricea indicii este un rând în care este selectat elementul maxim: , iar apoi toate elementele sale sunt transformate conform formulei:

.

Pentru coloanele în care , se aplică aproximarea liniară:

.

Rezultatele calculului sunt rezumate într-un tabel, pe baza căruia sunt construite funcțiile de membru. Pentru a face acest lucru, găsiți elementele maxime pe rând: . Funcția de membru se calculează folosind formula: . Rezultatele calculului sunt prezentate în tabel. 6.

Tabelul 6

Valori ale funcției de apartenență variabile lingvistice

	Interval la scară universală

Orez. 3 . Graficul funcțiilor de membru pentru valorile variabilei lingvistice „Nivel de calitate a cursului”

În Fig. 3, liniile continue arată funcțiile de apartenență a valorilor variabilei lingvistice „Nivel de calitate a cursului” după procesarea tabelului care conține rezultatele sondajului. După cum se poate observa din grafic, funcțiile de membru satisfac proprietățile descrise mai sus. Pentru comparație, linia punctată arată funcția de apartenență a variabilei lingvistice pentru valoarea LOW fără procesarea datelor.

2.4.4. Despre statisticile seturilor fuzzy

Seturile fuzzy sunt un tip special de obiecte de natură nenumerică. Metodele statistice de analiză a obiectelor de natură nenumerică sunt descrise în. În special, valoarea medie a unui set fuzzy poate fi determinată prin formula:

,

A.

După cum se știe, metodele de statistică a datelor nenumerice se bazează pe utilizarea distanțelor (sau a indicatorilor de diferență) în spațiile corespunzătoare de natură nenumerică. Distanța dintre submulțimile neclare AȘi ÎN seturi X = {X 1 , x 2 , …, x k) poate fi definit ca

unde este funcția de membru al setului fuzzy A, a - funcția de apartenență a unei mulțimi fuzzy B. Se pot folosi și alte distanțe:

(Să considerăm că această distanță este 0 dacă funcțiile de membru sunt identice egale cu 0.)

În conformitate cu abordarea axiomatică a alegerii distanțelor (metricilor) în spații de natură nenumerică, a fost dezvoltat un set extins de sisteme de axiome, din care derivă unul sau altul tip de distanțe (metrici) în spații specifice. Atunci când se utilizează modele probabilistice, distanța dintre seturile fuzzy aleatoare este ea însăși o variabilă aleatoare care are o distribuție normală asimptotic într-un număr de setări.

2.4.5. Seturi fuzzy ca proiecții ale mulțimilor aleatoare

Încă de la începutul teoriei fuzzy moderne în anii 1960, au început discuții despre relația acesteia cu teoria probabilității. Faptul este că funcția de membru a unei mulțimi fuzzy seamănă cu o distribuție de probabilitate. Singura diferență este că suma probabilităților peste toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare (sau integrala, dacă mulțimea de valori posibile este nenumărabilă) este întotdeauna egală cu 1, iar suma S valorile funcției de membru (în cazul continuu - integrala funcției de membru) pot fi orice număr nenegativ. Există o tentație de a normaliza funcția de membru, adică. împărțiți toate valorile sale cu S(la S 0) pentru a o reduce la o distribuție de probabilitate (sau densitate de probabilitate). Cu toate acestea, specialiștii în neclaritate se opun pe bună dreptate la o astfel de reducere „primitivă”, deoarece aceasta este efectuată separat pentru fiecare neclaritate (mulțime neclară), iar definițiile operațiilor obișnuite pe mulțimi neclare nu pot fi în concordanță cu aceasta. Lăsați ca funcțiile de membru ale celor fuzzy să fie transformate în seturile de mod indicate AȘi ÎN. Cum se transformă funcțiile de membru? Instalați asta imposibil în principiu. Ultima afirmație devine complet clară după luarea în considerare a mai multor exemple de perechi de mulțimi fuzzy cu aceleași sume de valori ale funcțiilor de membru, dar rezultate diferite ale operațiilor teoretice de mulțimi asupra acestora și sumele valorilor funcțiilor de membru corespunzătoare. pentru aceste rezultate ale operațiilor teoretice de mulțimi, de exemplu, pentru intersecțiile de mulțimi sunt de asemenea diferite.

În lucrările despre mulțimi fuzzy, se afirmă destul de des că teoria fuzzyness este o ramură independentă a matematicii aplicate și nu are legătură cu teoria probabilității (vezi, de exemplu, o trecere în revistă a literaturii de specialitate în monografii). Autorii care au comparat teoria fuzzy și teoria probabilității au subliniat de obicei diferența dintre aceste domenii de cercetare teoretică și aplicată. De obicei se compară axiomatica și se compară domeniile de aplicare. De remarcat imediat că argumentele pentru cel de-al doilea tip de comparații nu au forță probatorie, întrucât există opinii diferite cu privire la limitele de aplicabilitate chiar și a unui domeniu științific atât de îndelungat ca metodele statistice probabilistice. Să reamintim că rezultatul raționamentului unuia dintre cei mai cunoscuți matematicieni francezi, Henri Lebesgue, cu privire la limitele de aplicabilitate a aritmeticii este următorul: „Aritmetica este aplicabilă atunci când este aplicabilă” (vezi monografia sa).

Când comparăm diverse axiomatice ale teoriei fuzzy și ale teoriei probabilităților, este ușor de observat că listele de axiome diferă. Din aceasta însă nu rezultă deloc că între aceste teorii nu se poate stabili o legătură, precum binecunoscuta reducere a geometriei euclidiene în plan la aritmetică (mai precis, la teorie). sistem numeric- vezi, de exemplu, monografia). Să ne amintim că aceste două axiomatice - geometria euclidiană și aritmetica - la prima vedere sunt foarte diferite.

Se poate înțelege dorința pasionaților noii direcții de a sublinia noutatea fundamentală a aparatului lor științific. Cu toate acestea, este la fel de important să se stabilească legături între noua abordare și cele cunoscute anterior.

După cum se dovedește, teoria mulțimilor fuzzy este strâns legată de teoria mulțimilor aleatoare. În 1974, s-a arătat în lucrare că seturile fuzzy pot fi considerate în mod natural „proiecții” de mulțimi aleatoare. Să luăm în considerare această metodă de reducere a teoriei mulțimilor fuzzy la teoria mulțimilor aleatoare.

Definiția 2. Lăsa - o submulțime aleatorie a unei mulțimi finite Y. Set neclar ÎN, definite pe Uh, numită proiecție A si este desemnat Proiect A, Dacă

(8)

în fața tuturor

Evident, fiecare set aleatoriu A poate fi corelat folosind formula (8) cu o mulțime fuzzy B = Proiect A. Se pare că este și opusul adevărat.

Teorema 3. Pentru orice subset neclar ÎN final seturi U există un submult aleatoriu A seturi U astfel încât B = Proiect A.

Dovada. Este suficient să setați distribuția mulțimii aleatoare A. Lăsa U 1- transportator ÎN(vezi definiția 1 de mai sus). Fără a pierde generalitatea, putem presupune că la unii mși elemente U 1 numerotate într-o asemenea ordine încât

Să introducem seturile

Pentru toate celelalte subseturi X seturi U sa punem P(A=X)=0. Din moment ce elementul YT incluse in set Y(1), Y(2),…, Y(t)și nu este inclusă în seturi Y(t+1),…, Y(m), Acea Din formulele de mai sus rezultă că Dacă atunci, evident, teorema 3 este demonstrată.

Distribuția unei mulțimi aleatoare cu elemente independente, după cum reiese din considerațiile din capitolul 8 al monografiei, este complet determinată de proiecția acesteia. Pentru un set aleator finit vedere generala este gresit. Pentru a clarifica cele de mai sus, avem nevoie de următoarea teoremă.

Teorema 4. Pentru un subset aleatoriu A seturi U mulţimi de numere dintr-un număr finit de elemente Și exprimate una prin alta .

Dovada. Al doilea set este exprimat în termenii primului după cum urmează:

Elementele primei multimi pot fi exprimate prin al doilea folosind formula incluziunilor si excluderilor din logica formala, conform careia

În această formulă în prima sumă la parcurge toate elementele setului Y\X,în a doua suma variabilele de însumare la 1Și la 2 nu coincid și, de asemenea, trece prin acest set, etc. O referire la formula de includere și excludere completează demonstrația teoremei 4.

În conformitate cu teorema 4, o mulțime aleatorie A poate fi caracterizată nu numai printr-o distribuție, ci și printr-o mulțime de numere Nu există alte relații de tip egalitate în acest set. Acest set include numere prin urmare, fixarea proiecției unui set aleatoriu este echivalentă cu fixarea k = Card(Y) parametrii de la (2k-1) parametri care specifică distribuția unui set aleatoriu Aîn general.

Următoarea teoremă va fi utilă.

Teorema 5. Dacă Proiect A = B, Acea

Pentru a o demonstra, este suficient să folosim identitatea din teoria mulțimilor aleatoare, formula probabilității de acoperire, definiția negației unei mulțimi fuzzy și faptul că suma tuturor P(A=X) este egal cu 1. În acest caz, formula pentru probabilitatea de acoperire înseamnă următoarea afirmație: a afla probabilitatea de acoperire a unui element fix q submult aleatoriu S mulţime finită Q, este suficient să calculezi

unde însumarea este peste toate submulțimile A seturi Q conținând q.

2.4.6. Intersecții și produse ale fuzzy

și seturi aleatorii

Să aflăm cum se leagă operațiunile pe seturi aleatoare cu operațiunile pe proiecțiile lor. În virtutea legilor lui De Morgan (Teorema 1) și Teorema 5, este suficient să se ia în considerare operația de intersecție a mulțimilor aleatoare.

Teorema 6. Dacă subseturi aleatoare A 1Și A 2 mulţime finită U sunt independente, atunci mulțimea fuzzy este produsul mulțimilor fuzzy Proiect A 1Și Proj A 2 .

Dovada. Trebuie arătat că pentru orice

Conform formulei pentru probabilitatea acoperirii unui punct cu o mulțime aleatorie (vezi mai sus)

Este ușor de verificat că distribuția intersecției mulțimilor aleatoare poate fi exprimată în termenii distribuției lor comune, după cum urmează:

Din relațiile (10) și (11) rezultă că probabilitatea de acoperire pentru intersecția mulțimilor aleatoare poate fi reprezentată ca o sumă dublă

Rețineți acum că partea dreaptă a formulei (12) poate fi rescrisă după cum urmează:

(13)

Într-adevăr, formula (12) diferă de formula (13) doar prin aceea că grupează termeni în care intersecția variabilelor de însumare ia o valoare constantă. Folosind definiția independenței mulțimilor aleatoare și regula de înmulțire a sumelor, constatăm că din (12) și (13) rezultă egalitatea

Atunci egalitatea (14) se reduce la condiția

Este clar că relația (15) este satisfăcută dacă și numai dacă p 2 p 3=0 pentru toate i.e. nu există un singur element astfel încât în ​​același timp Și , iar aceasta este echivalentă cu golul intersecției suporturilor de mulțimi aleatoare și . Teorema 7 este demonstrată.

24.7. Reducerea succesiunii de operații

peste seturi fuzzy la o secvență de operații

peste seturi aleatorii

Mai sus am obținut câteva conexiuni între seturile fuzzy și aleatorii. Este de remarcat faptul că studiul acestor conexiuni în lucrare a început cu introducerea mulțimilor aleatoare cu scopul dezvoltării și generalizării aparatului de mulțimi fuzzy de L. Zadeh. (Pentru a stabili prioritatea la nivel global, este recomandabil să rețineți că această lucrare a fost realizată în 1974 și raportată la Institutul Central de Economie și Matematică al Academiei de Științe a URSS la seminarul științific al Uniunii „Analiza statistică multidimensională și modelarea probabilistică a proceselor reale” la 18 decembrie 1974 – vezi. .) Cert este că aparatul matematic al mulţimilor fuzzy nu ne permite să luăm în considerare în mod corespunzător diverse opțiuni dependenţele dintre concepte (obiecte) modelate cu ajutorul acestuia nu sunt suficient de flexibile. Astfel, pentru a descrie „partea comună” a două mulțimi neclare, există doar două operații - produsul și intersecția. Dacă se aplică primul dintre ele, atunci se presupune de fapt că mulțimile se comportă ca proiecții ale unor mulțimi aleatoare independente (vezi teorema 6 de mai sus). Operația de intersecție impune și restricții bine definite asupra tipului de dependență dintre mulțimi (vezi Teorema 7 de mai sus), și în acest caz s-au găsit chiar și condiții necesare și suficiente. Este de dorit să existe capabilități mai largi de modelare a dependențelor dintre mulțimi (concepte, obiecte). Utilizarea aparatului matematic al mulțimilor aleatoare oferă astfel de oportunități.

Scopul reducerii teoriei mulțimilor fuzzy la teoria mulțimilor aleatoare este de a vedea în spatele oricărei construcții de mulțimi fuzzy o construcție de mulțimi aleatoare care determină proprietățile primei, similar cu modul în care vedem o variabilă aleatoare în spatele unei densități de distribuție a probabilității. . În această secțiune prezentăm rezultate privind reducerea algebrei mulțimilor fuzzy la algebra mulțimilor aleatoare.

Definiția 4. Spațiul de probabilitate (Ω ,G,P} îl numim divizibil dacă pentru orice set măsurabil X Gși orice număr pozitiv , mai mic P(X), puteți specifica măsurabil o multime de astfel încât

Exemplu. Fie cubul unitar al unui spațiu liniar cu dimensiuni finite, G este algebra sigma a mulțimilor Borel și P- Măsura Lebesgue. Apoi (Ω ,G,P} - spaţiul de probabilitate divizibil.

Astfel, spațiul de probabilitate divizibil nu este exotic. Un cub obișnuit este un exemplu de astfel de spațiu.

Dovada afirmației formulate în exemplu se realizează folosind tehnici matematice standard. Ele se bazează pe faptul că un set măsurabil poate fi aproximat cât de precis se dorește prin seturi deschise, acestea din urmă fiind reprezentate ca o sumă de cel mult un număr numărabil de bile deschise, iar pentru bile se verifică direct divizibilitatea (un corp de volum este separat de o bilă X printr-un plan corespunzător).

Teorema 8. Să fie dat un set aleatoriu A pe un spațiu de probabilitate divizibil {Ω,G,P) cu valori în mulțimea tuturor submulților din mulțime U a unui număr finit de elemente și a unei mulțimi fuzzy D pe U. Apoi sunt seturi aleatorii C 1, C 2, C 3, C 4 pe același spațiu de probabilitate astfel încât

Unde B = Proiect A.

Dovada. Datorită validității legilor lui De Morgan pentru fuzzy (vezi Teorema 1 de mai sus) și pentru mulțimi aleatoare, precum și Teorema 5 de mai sus (despre negații), este suficient să se dovedească existența mulțimilor aleatoare C 1Și C 2 .

Luați în considerare distribuția de probabilitate în mulțime a tuturor submulților din mulțime U, corespunzător setului aleator CU astfel încât Proiect C = D(există în virtutea teoremei 3). Să construim un set aleatoriu C 2 cu distribuția specificată, independent de A. Apoi prin teorema 6.

Astfel încât pentru setul aleator rezultat setul aleatoriu nu se modifică). După ce a trecut prin toate elementele U, obținem un set aleatoriu , pentru care se îndeplinește cerințele. Teorema 8 este demonstrată.

Principalul rezultat al reducerii teoriei mulțimilor fuzzy la teoria mulțimilor aleatoare este dat de următoarea teoremă.

Teorema 9. Lăsa - unele submulțimi neclare ale mulțimii U dintr-un număr finit de elemente. Să luăm în considerare rezultatele executării secvenţiale a operaţiilor teoretice de mulţimi

unde este un simbol al uneia dintre următoarele operații teoretice de mulțimi pe mulțimi fuzzy: intersecție, produs, unire, sumă (pot apărea diferite simboluri în locuri diferite). Apoi există subseturi aleatorii acelasi set U astfel încât

și, în plus, rezultatele operațiilor teoretice de mulțimi sunt legate prin relații similare

unde semnul înseamnă că în locul în cauză există un simbol pentru intersecția mulțimilor aleatoare, dacă în definiție Bm există un simbol al intersecției sau un simbol al produsului mulțimilor fuzzy și, în consecință, un simbol al uniunii mulțimilor aleatoare, dacă în Bm există un simbol de uniune sau un simbol de sumă al mulțimilor fuzzy.

Bazele teoriei mulțimilor fuzzy și ale logicii fuzzy au fost puse la sfârșitul anilor 1960 în lucrările celebrului matematician american Lotfi Zadeh. Lucrarea sa „Fuzzy Sets”, publicată în 1965 în revista „Information and Control”, a devenit impulsul dezvoltării unei noi teorii matematice. El a dat numele unei noi ramuri a științei - „seturi fuzzy” (fuzzy - fuzzy, blurry, soft). Motivul principal pentru apariția noii teorii a fost raționamentul neclar și aproximativ, care a fost folosit pentru a descrie procese, sisteme și obiecte de către oameni. Teoria matematică a mulțimilor fuzzy și logica fuzzy sunt generalizări teoria clasică multimi si logica formala clasica.

A trecut mai mult de un deceniu înainte ca abordarea neclară a modelării sistemelor complexe să obțină recunoaștere la nivel mondial. Ce a propus L. Zadeh? În primul rând, el a extins conceptul clasic cantorian al unei mulțimi, admițând că funcția caracteristică (funcția apartenenței unui element într-o mulțime) poate lua orice valoare în interval [ 0 , 1 ], și nu doar valorile 0 sau 1. El a numit astfel de mulțimi fuzzy [21]. L. Zadeh a definit, de asemenea, o serie de operații cu mulțimi fuzzy și a propus o generalizare a metodelor de inferență logică.

Introducând ulterior conceptul de variabilă lingvistică și presupunând că valorile (termenii) acesteia sunt seturi fuzzy, L. Zadeh a creat un aparat pentru descrierea proceselor activității intelectuale, inclusiv neclaritatea și incertitudinea expresiilor (de exemplu, mare, medie). , riscuri nesemnificative).

Sarcina mulțimilor fuzzy este de a determina apartenența unui obiect sau element într-o mulțime dată. Lăsa E - unele set, și A- submult E, acesta este A Ì E. Faptul că elementul x al mulţimii E aparține multora Aîn teoria mulțimilor se notează după cum urmează: X Ì A. Pentru a exprima această apartenență, puteți folosi un alt concept - funcția caracteristică μA ( X), a cărui valoare indică dacă (da sau nu) X element A:

Conform teoriei mulțimilor fuzzy, funcția de apartenență caracteristică poate lua orice valoare în interval, și nu doar două - 0 și 1. În conformitate cu aceasta, elementul X stabilesc E poate să nu aparțină A (μ Α ( X) = 0), să fie un element A grad mic (valoare μA ( X) aproape de zero), să fie un element Aîn mare măsură (μA ( X) aproape de 1) sau să fie un element A(μA ( X) = 1). Deci, conceptul de apartenență este generalizat. Fuzzy sub set A set universal E denota A n și sunt determinate de perechi ordonate [ 22 ]:

Funcția de apartenență caracteristică (sau pur și simplu funcția de membru) μA ( X) ia valori într-un set ordonat M(De exemplu, M =). Această funcție de apartenență indică gradul (sau nivelul) de apartenență a unui element x la o submulțime A. O multime de M numit set de fiabilitate. Dacă M= (0, 1), apoi submulțimea fuzzy A poate fi considerat un set obișnuit sau clar.

Pentru multimile fuzzy, ca si pentru multimile obisnuite, sunt definite operatiile logice de baza.

Egalitatea. Două seturi neclare AȘi ÎN sunt numite egale dacă pentru toți X Î E funcțiile lor caracteristice sunt egale: μA ( X) = μB ( X). Denumiri: A = B.

Dominanța. Se crede că un set neclar A aparține setului fuzzy ÎN, dacă pentru toată lumea X Î E este valabilă următoarea relație: μA ( X) £ μB ( X) reprezintă: A Ì ÎN. Se folosește uneori termenul de „dominanță”, adică când A Ì ÎN, ei spun că ÎN domină A.

Plus. Lăsa M = , AȘi IN - seturi fuzzy definite pe E. AȘi ÎN se completează dacă ∀x este Εμ /, (x) = 1 - μB (χ). Denumiri: A = A

Intersecție două seturi fuzzy (fuzzy „și”), denotând A ∩ IN - cel mai mare submult fuzzy care se află simultan în AȘi ÎN. Definiți astfel:

O asociere două seturi fuzzy (fuzzy „SAU”), denotă A ∪ ÎN- cel mai mic subset fuzzy, care le include pe ambele A, asa de ÎN, cu functie de membru

Diferență două seturi fuzzy A - ÎN = A ∩ B cu funcția de membru

Lăsa M= și A - set neclar cu elemente X din setul universal Eși un set de valori ale funcției de membru M. Se numește cantitatea înălţime set neclar A. Set neclar A este normal, dacă înălțimea sa este 1, adică limita superioară a funcției sale de membru este 1(). Se numește un set fuzzy subnormal.

Un set neclar este gol, Dacă . Un set subnormal nevid poate fi normalizat folosind formula

Reprezentarea vizuală a operațiilor pe mulțimi fuzzy. Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular, pe axa ordonatelor căruia valorile μA ( X), pe axa x - elementele sunt plasate în ordine aleatorie E. Dacă setul E este ordonat în natură, atunci este de dorit să se păstreze această ordine în plasarea elementelor pe axa x. Această reprezentare arată clar operații simple pe mulțimi fuzzy.

Lăsa A - interval fuzzy între 5 și 8 și ÎN- număr neclar apropiat de 4 (Fig. 4.4, A , b) .

Setul fuzzy dintre 5 și 8 I (ȘI) aproximativ 4 (linia întunecată) este ilustrat în Fig. 4.4, V, set neclar între 5 și 8 SAU (SAU) aproximativ 4 - fig. 4.4, G(linie întunecată).

Orez. 4.4. Exemple de seturi fuzzy ( A , b), ei intersecții (V) si asociatii ( G)

Pentru a descrie mulțimile fuzzy, sunt introduse conceptele de variabile fuzzy și lingvistice. O variabilă fuzzy este descrisă de o mulțime<β, X, A>, unde β este numele variabilei, X- multime universala (domeniul β), A- fuzzy pus pe X, descriind restricții asupra valorilor variabilei fuzzy β.

Valorile unei variabile lingvistice pot fi variabile fuzzy, adică variabila lingvistică este activată nivel inalt decât o variabilă fuzzy. Fiecare variabilă lingvistică este formată din: nume; set al valorilor sale, numit și setul de TERMENI de bază T. Elementele mulțimii de termeni de bază sunt denumirile variabilelor fuzzy ale mulțimii universale X regula sintactică G, din care se generează termeni noi folosind cuvinte din limbaj natural sau formal; regulă semantică R, căruia fiecare valoare a unei variabile lingvistice este asociată cu o submulțime neclară a mulțimii X.

O variabilă lingvistică este descrisă de o mulțime<β, Τ , X , G , M>, unde

β - denumirea variabilei lingvistice;

T - setul valorilor sale (setul de termeni), care sunt numele variabilelor fuzzy, domeniul de definiție al fiecăreia dintre ele este mulțimea X; o multime de T numit setul de termeni de bază al unei variabile lingvistice;

G- o procedură sintactică care vă permite să operați cu elemente ale unui set de termeni T, în special, generează noi termeni (valori);

M - o procedură semantică care vă permite să transformați fiecare valoare nouă într-o variabilă lingvistică formată prin procedură G, la o variabilă fuzzy, adică pentru a forma o mulțime fuzzy corespunzătoare.

Teoria matematică a mulțimilor fuzzy și logica fuzzy sunt generalizări ale teoriei clasice a mulțimilor și ale logicii formale clasice. Aceste concepte au fost propuse pentru prima dată de omul de știință american Lotfi Zadeh în 1965. Principalul motiv pentru apariția noii teorii a fost prezența raționamentului neclar și aproximativ atunci când oamenii descriu procese, sisteme și obiecte.

Înainte ca abordarea fuzzy a modelării sistemelor complexe să câștige recunoaștere în întreaga lume, a trecut mai mult de un deceniu de la începutul teoriei mulțimilor fuzzy. Și pe această cale de dezvoltare a sistemelor fuzzy, se obișnuiește să se distingă trei perioade.

Prima perioadă (sfârșitul anilor 60–începutul anilor 70) este caracterizată de dezvoltarea aparatului teoretic al mulțimilor fuzzy (L. Zadeh, E. Mamdani, Bellman). În a doua perioadă (70–80), primele rezultate practice au apărut în domeniul controlului fuzzy al sistemelor tehnice complexe (generator de abur cu control fuzzy). În același timp, a început să se acorde atenție problemelor de construire a sistemelor expert bazate pe logica fuzzy și dezvoltarea de controlere fuzzy. Sisteme expert fuzzy pentru sprijin decizional găsi aplicare largăîn medicină și economie. În cele din urmă, în a treia perioadă, care durează de la sfârșitul anilor 80 și continuă și astăzi, apar pachete software pentru construirea de sisteme expert fuzzy, iar domeniile de aplicare a logicii fuzzy se extind considerabil. Se aplică în industria auto, aerospațială și de transport, în domeniul produselor aparate electrocasnice, în domeniul finanțelor, analizei și luării deciziilor de management și multe altele.

Marșul triumfal al logicii fuzzy în întreaga lume a început după ce Bartholomew Cosco a demonstrat celebra teoremă FAT (Teorema de aproximare fuzzy) la sfârșitul anilor 80. În afaceri și finanțe, logica fuzzy a câștigat recunoaștere după ce, în 1988, un sistem expert bazat pe reguli neclare pentru prezicerea indicatorilor financiari a fost singurul care a prezis o prăbușire a pieței de valori. Iar numărul de aplicații fuzzy de succes se numără acum la mii.

Aparat matematic

O caracteristică a unui set fuzzy este funcția de membru. Să notăm cu MF c (x) gradul de apartenență la mulțimea fuzzy C, care este o generalizare a conceptului de funcție caracteristică a unei mulțimi obișnuite. Atunci o mulțime fuzzy C este o mulțime de perechi ordonate de forma C=(MF c (x)/x), MF c (x) . Valoarea MF c (x)=0 înseamnă lipsă de apartenență la mulțime, 1 înseamnă apartenență completă.

Să ilustrăm asta cu exemplu simplu. Să oficializăm definiția imprecisă a „ceaiului fierbinte”. X (zona de discuție) va fi scala de temperatură în grade Celsius. Evident, va varia de la 0 la 100 de grade. Un set neclar pentru conceptul „ceai fierbinte” ar putea arăta astfel:

C=(0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100).

Astfel, ceaiul cu o temperatură de 60 C aparține setului „Hot” cu un grad de apartenență de 0,80. Pentru o persoană, ceaiul la o temperatură de 60 C poate fi fierbinte, pentru altul poate să nu fie prea fierbinte. Tocmai aici se manifestă vagul specificării setului corespunzător.

Pentru multimile fuzzy, ca si pentru multimile obisnuite, sunt definite operatiile logice de baza. Cele mai de bază necesare pentru calcule sunt intersecția și unirea.

Intersecția a două mulțimi neclare („ȘI” fuzzy): A B: MF AB (x)=min(MF A (x), MF B (x)).
Unirea a două mulțimi fuzzy (fuzzy „OR”): A B: MF AB (x)=max(MF A (x), MF B (x)).

În teoria mulțimilor fuzzy a fost dezvoltată o abordare generală a implementării operatorilor de intersecție, unire și complement, implementată în așa-numitele norme și conorme triunghiulare. Implementările de mai sus ale operațiunilor de intersecție și unire sunt cele mai frecvente cazuri de t-norm și t-conorm.

Pentru a descrie mulțimile fuzzy, sunt introduse conceptele de variabile fuzzy și lingvistice.

O variabilă fuzzy este descrisă de o mulțime (N,X,A), unde N este numele variabilei, X este o mulțime universală (domeniul raționamentului), A este o mulțime fuzzy pe X.
Valorile unei variabile lingvistice pot fi variabile fuzzy, adică variabila lingvistică este la un nivel mai înalt decât variabila fuzzy. Fiecare variabilă lingvistică constă din:

• titluri;
• multimea valorilor sale, care se mai numeste si multimea de termeni de baza T. Elementele multimii de termeni de baza sunt denumirile variabilelor fuzzy;
• set universal X;
• regula sintactică G, conform căreia se generează termeni noi folosind cuvinte dintr-un limbaj natural sau formal;
• regula semantică P, care asociază fiecare valoare a unei variabile lingvistice cu o submulțime neclară a mulțimii X.

Să considerăm un astfel de concept neclar ca „Prețul acțiunilor”. Acesta este numele variabilei lingvistice. Să formăm un set de termeni de bază pentru acesta, care va consta din trei variabile neclare: „Scăzut”, „Moderat”, „Ridicat” și să setăm domeniul de aplicare al raționamentului în forma X= (unități). Ultimul lucru care rămâne de făcut este să construiți funcții de apartenență pentru fiecare termen lingvistic din setul de termeni de bază T.

Există peste o duzină de forme de curbă standard pentru specificarea funcțiilor de membru. Cele mai utilizate sunt: ​​funcțiile de apartenență triunghiulare, trapezoidale și gaussiene.

Funcția de apartenență triunghiulară este definită printr-un triplu de numere (a,b,c), iar valoarea sa în punctul x este calculată conform expresiei:

$$MF\,(x) = \,\begin(cases) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,b)(c\,-\,b),\,b\leq \,x\leq \ ,c &\ \\ 0, \;x\,\nu \in\,(a;\,c)\ \end(cases)$$

Când (b-a)=(c-b) avem cazul unei funcții de membru triunghiular simetrice, care poate fi specificată în mod unic prin doi parametri din triplul (a,b,c).

În mod similar, pentru a specifica o funcție de apartenență trapezoidală, aveți nevoie de patru numere (a,b,c,d):

$$MF\,(x)\,=\, \begin(cases) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a \leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,c)(d \,-\,c),\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\nu \in\,(a;\,d) \ \end(cases)$$

Când (b-a)=(d-c) funcția de membru trapezoidală ia o formă simetrică.

Funcția de membru de tip Gaussian este descrisă de formula

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,(\Bigl(\frac(x\,-\,c)(\sigma)\Bigr))^2\biggr]$$

și funcționează cu doi parametri. Parametru c denotă centrul mulțimii fuzzy, iar parametrul este responsabil pentru panta funcției.

Colecția de funcții de membru pentru fiecare termen din setul de termeni de bază T este de obicei reprezentată împreună pe un singur grafic. Figura 3 prezintă un exemplu de variabilă lingvistică „Prețul acțiunii” descrisă mai sus. Figura 4 prezintă o formalizare a conceptului imprecis „Vârsta persoanei”. Astfel, pentru o persoană de 48 de ani, gradul de apartenență la setul „Tânăr” este 0, „Medie” – 0,47, „Peste medie” – 0,20.

Numărul de termeni dintr-o variabilă lingvistică depășește rar 7.

Inferență neclară

Baza pentru efectuarea operației de inferență logică fuzzy este o bază de reguli care conține declarații fuzzy sub forma „Dacă-atunci” și funcții de apartenență pentru termenii lingvistici corespunzători. În acest caz, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

1. Există cel puțin o regulă pentru fiecare termen lingvistic al variabilei de ieșire.
2. Pentru orice termen al variabilei de intrare există cel puțin o regulă în care acest termen este folosit ca o condiție prealabilă (partea stângă a regulii).

În caz contrar, există o bază incompletă de reguli neclare.

Fie ca baza de reguli să aibă m reguli de forma:
R 1: DACĂ x 1 este A 11... ȘI... x n este A 1n, atunci y este B 1
…
R i: DACA x 1 este A i1 ... SI ... x n este A in , ATUNCI y este B i
…
R m: DACA x 1 este A i1 ... SI ... x n este A mn, ATUNCI y este B m,
unde x k, k=1..n – variabile de intrare; y – variabila de iesire; A ik – date seturi fuzzy cu funcții de membru.

Rezultatul inferenței neclare este o valoare clară a variabilei y * bazată pe valorile clare date x k , k=1..n.

În general, mecanismul de inferență include patru etape: introducerea neclarității (fazificarea), inferența neclară, compoziția și reducerea la claritate sau defuzzificarea (vezi Figura 5).

Algoritmii de inferență fuzzy diferă în principal prin tipul de reguli utilizate, operațiile logice și tipul metodei de defuzzificare. Au fost dezvoltate modele de inferență fuzzy Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra inferenței neclare folosind mecanismul Mamdani ca exemplu. Aceasta este cea mai comună metodă de inferență în sistemele fuzzy. Utilizează compoziția minimax de seturi fuzzy. Acest mecanism include următoarea secvență de acțiuni.

1. Procedura de fazificare: se determină grade de adevăr, i.e. valorile funcțiilor de membru pentru partea stângă a fiecărei reguli (condiții preliminare). Pentru o bază de reguli cu m reguli, notăm gradele de adevăr ca A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Ieșire neclară. În primul rând, sunt determinate nivelurile de limită pentru partea stângă a fiecărei reguli:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_(ik)\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

Compoziția sau combinația funcțiilor trunchiate rezultate, pentru care se folosește compoziția maximă a mulțimilor fuzzy:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

unde MF(y) este funcția de membru al mulțimii fuzzy finale.

Defuzificare, sau aducerea la claritate. Există mai multe metode de defuzzificare. De exemplu, metoda centrului mediu sau metoda centroidului:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

Sensul geometric al acestei valori este centrul de greutate pentru curba MF(y). Figura 6 prezintă grafic procesul de inferență fuzzy Mamdani pentru două variabile de intrare și două reguli fuzzy R1 și R2.

Integrarea cu paradigme inteligente

Hibridizarea metodelor de procesare intelectuală a informației este motto-ul sub care anii 90 au trecut printre cercetătorii occidentali și americani. Ca urmare a combinării mai multor tehnologii de inteligență artificială, a apărut un termen special - „soft computing”, care a fost introdus de L. Zadeh în 1994. În prezent, soft computing combină domenii precum: logica fuzzy, rețelele neuronale artificiale, raționamentul probabilistic și algoritmii evolutivi. Ele se completează reciproc și sunt folosite în diverse combinații pentru a crea sisteme inteligente hibride.

Influența logicii fuzzy s-a dovedit a fi poate cea mai extinsă. Așa cum mulțimile fuzzy au extins domeniul de aplicare al teoriei matematice clasice a mulțimilor, logica fuzzy a „invadat” aproape majoritatea metodelor de Data Mining, dotându-le cu noi funcționalități. Mai jos sunt cele mai multe exemple interesante astfel de asociații.

Rețele neuronale neclare

Rețelele neuronale fuzzy fac inferențe bazate pe logica fuzzy, dar parametrii funcțiilor de membru sunt ajustați folosind algoritmi de învățare NN. Prin urmare, pentru a selecta parametrii unor astfel de rețele, aplicăm metoda de retropropagare a erorii, propusă inițial pentru antrenarea unui perceptron multistrat. În acest scop, modulul de control fuzzy este reprezentat sub forma unei rețele multistrat. O rețea neuronală neclară constă de obicei din patru straturi: un strat de fazificare a variabilelor de intrare, un strat de agregare a valorilor de activare a condițiilor, un strat de agregare a regulilor fuzzy și un strat de ieșire.

Cele mai utilizate arhitecturi de rețele neuronale fuzzy sunt ANFIS și TSK. S-a dovedit că astfel de rețele sunt aproximatori universali.

Algoritmi de învățare rapidă și interpretabilitatea cunoștințelor acumulate - acești factori au făcut ca rețelele neuronale neclare de astăzi una dintre cele mai promițătoare și instrumente eficiente soft computing.

Sisteme neclare adaptive

Sistemele clasice fuzzy au dezavantajul că pentru a formula reguli și funcții de membru este necesar să se implice experți într-un anumit domeniu, ceea ce nu este întotdeauna posibil de asigurat. Sistemele adaptive fuzzy rezolvă această problemă. În astfel de sisteme, selecția parametrilor sistemului fuzzy se realizează în procesul de instruire pe date experimentale. Algoritmii pentru antrenamentul sistemelor fuzzy adaptive sunt relativ intensi și complexi în comparație cu algoritmii pentru antrenarea rețelelor neuronale și, de regulă, constau în două etape: 1. Generarea regulilor lingvistice; 2. Corectarea funcțiilor de membru. Prima problemă este o problemă de tip de căutare exhaustivă, a doua este o problemă de optimizare în spații continue. În acest caz, apare o anumită contradicție: pentru a genera reguli fuzzy, sunt necesare funcții de membru, iar pentru a efectua inferențe fuzzy sunt necesare reguli. În plus, atunci când se generează automat reguli neclare, este necesar să se asigure completitatea și consistența acestora.

O parte semnificativă a metodelor de antrenament a sistemelor fuzzy utilizează algoritmi genetici. În literatura în limba engleză, acesta corespunde unui termen special - Genetic Fuzzy Systems.

O contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei și practicii sistemelor fuzzy cu adaptare evolutivă a fost adusă de un grup de cercetători spanioli conduși de F. Herrera.

Interogări neclare

Interogările neclare către bazele de date sunt o direcție promițătoare în sisteme moderne procesarea informatiei. Acest instrument face posibilă formularea de interogări în limbaj natural, de exemplu: „Obțineți o listă de oferte de locuințe ieftine aproape de centrul orașului”, ceea ce nu este posibil folosind mecanismul standard de interogare. În acest scop, au fost dezvoltate algebra relațională fuzzy și extensii speciale ale limbajelor SQL pentru interogări fuzzy. Majoritatea cercetărilor din acest domeniu aparțin oamenilor de știință din Europa de Vest D. Dubois și G. Prade.

Reguli de asociere neclare

Regulile asociative fuzzy sunt un instrument pentru extragerea tiparelor din baze de date care sunt formulate sub formă de declarații lingvistice. Aici sunt introduse concepte speciale de tranzacție fuzzy, suport și fiabilitatea unei reguli de asociere neclară.

Hărți cognitive neclare

Hărțile cognitive fuzzy au fost propuse de B. Kosko în 1986 și sunt folosite pentru a modela relațiile cauzale identificate între conceptele unei anumite zone. Spre deosebire de hărțile cognitive simple, hărțile cognitive fuzzy sunt un grafic direcționat fuzzy ale cărui noduri sunt seturi fuzzy. Marginile direcționate ale graficului nu reflectă doar relațiile cauză-efect dintre concepte, dar determină și gradul de influență (ponderea) conceptelor conectate. Utilizarea activă a hărților cognitive fuzzy ca mijloc de modelare a sistemelor se datorează posibilității unei reprezentări vizuale a sistemului analizat și ușurinței de interpretare a relațiilor cauză-efect dintre concepte. Principalele probleme sunt legate de procesul de construire a unei hărți cognitive, care nu poate fi formalizată. În plus, este necesar să se demonstreze că harta cognitivă construită este adecvată sistemului real care se modelează. Pentru a rezolva aceste probleme, au fost dezvoltați algoritmi pentru construirea automată a hărților cognitive pe baza eșantionării datelor.

Clustering neclar

Metodele de grupare fuzzy, spre deosebire de metodele clare (de exemplu, rețelele neuronale Kohonen), permit aceluiași obiect să aparțină mai multor clustere simultan, dar cu grade diferite. Gruparea neclară în multe situații este mai „naturală” decât gruparea clară, de exemplu, pentru obiectele situate la granița clusterelor. Cele mai comune sunt algoritmul de autoorganizare fuzzy c-means și generalizarea acestuia sub forma algoritmului Gustafson-Kessel.

Literatură

• Zadeh L. Conceptul de variabilă lingvistică și aplicarea acesteia la aproximarea luării deciziilor. – M.: Mir, 1976.
• Kruglov V.V., Dli M.I. Sisteme informatice inteligente: suport computer pentru logica fuzzy și sistemele de inferență fuzzy. – M.: Fizmatlit, 2002.
• Leolenkov A.V. Modelare fuzzy în MATLAB și fuzzyTECH. – Sankt Petersburg, 2003.
• Rutkowska D., Pilinski M., Rutkowski L. Rețele neuronale, algoritmi genetici și sisteme fuzzy. – M., 2004.
• Masalovich A. Logica neclară în afaceri și finanțe. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Sisteme fuzzy ca aproximatori universali // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, nr. 11, noiembrie 1994. – P. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., A General study on genetic fuzzy systems // Genetic Algorithms in engineering and computer science, 1995. – P. 33-57.