Este clar că fiecare eveniment are un grad diferit de posibilitate de apariție (implementarea lui). Pentru a compara cantitativ evenimentele între ele în funcție de gradul de posibilitate al acestora, evident, este necesar să se asocieze cu fiecare eveniment un anumit număr, care este mai mare cu cât evenimentul este mai posibil. Acest număr se numește probabilitatea unui eveniment.
Probabilitatea evenimentului– este o măsură numerică a gradului de posibilitate obiectivă a producerii acestui eveniment.
Luați în considerare un experiment stocastic și un eveniment aleatoriu A observat în acest experiment. Să repetăm acest experiment de n ori și să fie m(A) numărul de experimente în care a avut loc evenimentul A.
Relație (1.1)
numit frecventa relativa evenimentele A din seria experimentelor efectuate.
Este ușor să verificați validitatea proprietăților:
dacă A și B sunt inconsecvente (AB= ), atunci ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Frecvența relativă este determinată numai după o serie de experimente și, în general, poate varia de la serie la serie. Cu toate acestea, experiența arată că în multe cazuri, pe măsură ce numărul de experimente crește, frecvența relativă se apropie de un anumit număr. Acest fapt de stabilitate a frecvenței relative a fost verificat în mod repetat și poate fi considerat stabilit experimental.
Exemplul 1.19.. Dacă arunci o monedă, nimeni nu poate prezice pe ce parte va ateriza deasupra. Dar dacă arunci două tone de monede, atunci toată lumea va spune că aproximativ o tonă va cădea cu stema, adică frecvența relativă a căderii stemei este de aproximativ 0,5.
Dacă, odată cu creșterea numărului de experimente, frecvența relativă a evenimentului ν(A) tinde către un anumit număr fix, atunci se spune că evenimentul A este stabil statistic, iar acest număr se numește probabilitatea evenimentului A.
Probabilitatea evenimentului A se numește un număr fix P(A), la care tinde frecvența relativă ν(A) a acestui eveniment pe măsură ce crește numărul de experimente, adică 
Această definiție se numește determinarea statistică a probabilităţii .
Să luăm în considerare un anumit experiment stocastic și să lăsăm spațiul evenimentelor sale elementare să fie format dintr-o mulțime finită sau infinită (dar numărabilă) de evenimente elementare ω 1, ω 2, …, ω i, …. Să presupunem că fiecărui eveniment elementar ω i i se atribuie un anumit număr - р i, care caracterizează gradul de posibilitate de apariție a unui eveniment elementar dat și satisface următoarele proprietăți:
Acest număr p i se numește probabilitatea unui eveniment elementarωi.
Fie acum A un eveniment aleatoriu observat în acest experiment și să corespundă unui anumit set
În acest cadru probabilitatea unui eveniment A numiți suma probabilităților evenimentelor elementare care favorizează A(inclus în setul corespunzător A):
(1.4)
Probabilitatea astfel introdusă are aceleași proprietăți ca și frecvența relativă și anume:
Și dacă AB = (A și B sunt incompatibile),
atunci P(A+B) = P(A) + P(B)
Într-adevăr, conform (1.4)
În ultima relație am profitat de faptul că nici un eveniment elementar nu poate favoriza două evenimente incompatibile în același timp.
Remarcăm în special că teoria probabilității nu indică metode de determinare a p i; acestea trebuie căutate din motive practice sau obținute dintr-un experiment statistic corespunzător.
Ca exemplu, luați în considerare schema clasica teoria probabilității. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un experiment stocastic, al cărui spațiu al evenimentelor elementare constă dintr-un număr finit (n) de elemente. În plus, să presupunem că toate aceste evenimente elementare sunt la fel de posibile, adică probabilitățile evenimentelor elementare sunt egale cu p(ω i)=p i =p. Rezultă că
Exemplul 1.20. Când aruncați o monedă simetrică, obținerea capetelor și a cozii este la fel de posibilă, probabilitățile lor sunt egale cu 0,5.
Exemplul 1.21. Când aruncați un zar simetric, toate fețele sunt la fel de posibile, probabilitățile lor sunt egale cu 1/6.
Acum, evenimentul A să fie favorizat de m evenimente elementare, ele sunt de obicei numite rezultate favorabile evenimentului A. Apoi
A primit definiția clasică a probabilității: probabilitatea P(A) a evenimentului A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului A și numărul total de rezultate
Exemplul 1.22. Urna conține m bile albe și n bile negre. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
Soluţie. Numărul total de evenimente elementare este m+n. Toate sunt la fel de probabile. Evenimentul favorabil A din care m. Prin urmare, 
.
Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:
Proprietatea 1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
Într-adevăr, dacă evenimentul este de încredere, atunci fiecare rezultat elementar al testului favorizează evenimentul. În acest caz t=p, prin urmare,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Proprietatea 2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Într-adevăr, dacă un eveniment este imposibil, atunci niciunul dintre rezultatele elementare ale testului nu favorizează evenimentul. În acest caz T= 0, prin urmare, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Proprietatea 3.Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.
Într-adevăr, doar o parte din numărul total de rezultate elementare ale testului este favorizată de un eveniment aleatoriu. Adică 0≤m≤n, ceea ce înseamnă 0≤m/n≤1, prin urmare, probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitatea dublă 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Comparând definițiile probabilității (1.5) și ale frecvenței relative (1.1), concluzionăm: definiția probabilității nu necesită efectuarea de teste de fapt; definiţia frecvenţei relative presupune că au fost efectiv efectuate teste. Cu alte cuvinte, probabilitatea este calculată înainte de experiment, iar frecvența relativă - după experiment.
Cu toate acestea, calcularea probabilității necesită informații prealabile despre numărul sau probabilitățile favorabile acest eveniment rezultate elementare. În absența unor astfel de informații preliminare, datele empirice sunt utilizate pentru a determina probabilitatea, adică frecvența relativă a evenimentului este determinată pe baza rezultatelor unui experiment stocastic.
Exemplul 1.23. Departamentul de control tehnic descoperit 3 piese non-standard într-un lot de 80 de piese selectate aleatoriu. Frecvența relativă de apariție a pieselor nestandardizate r(A)= 3/80.
Exemplul 1.24. Conform scopului.produs 24 împușcat și au fost înregistrate 19 lovituri. Rata relativă de atingere țintă. r(A)=19/24.
Observațiile pe termen lung au arătat că, dacă experimentele sunt efectuate în condiții identice, în fiecare dintre acestea numărul de teste este suficient de mare, atunci frecvența relativă prezintă proprietatea de stabilitate. Această proprietate este că în diferite experimente frecvența relativă se modifică puțin (cu cât mai puține, cu atât se efectuează mai multe teste), fluctuând în jurul unui anumit număr constant. S-a dovedit că acest număr constant poate fi luat ca o valoare aproximativă a probabilității.
Relația dintre frecvența relativă și probabilitate va fi descrisă mai detaliat și mai precis mai jos. Acum să ilustrăm proprietatea stabilității cu exemple.
Exemplul 1.25. Conform statisticilor suedeze, frecvența relativă a nașterilor de fete pentru anul 1935 pe lună este caracterizată de următoarele numere (numerele sunt ordonate în ordinea lunilor, începând cu Ianuarie): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Frecvența relativă fluctuează în jurul numărului 0,481, care poate fi luat ca valoare aproximativă pentru probabilitatea de a avea fete.
Rețineți că datele statistice diverse tari da aproximativ aceeași valoare a frecvenței relative.
Exemplul 1.26. Au fost efectuate de multe ori experimente de aruncare a monedelor, în care a fost numărat numărul de apariții ale „stemei”. Rezultatele mai multor experimente sunt prezentate în tabel.
Vrei să știi care sunt șansele matematice ca pariul tău să aibă succes? Atunci sunt două pentru tine Vești bune. În primul rând: pentru a calcula capacitatea între țări, nu trebuie să efectuați calcule complexe și să cheltuiți un numar mare de timp. Este suficient să folosiți formule simple, care va dura câteva minute pentru a lucra. În al doilea rând: după ce ați citit acest articol, puteți calcula cu ușurință probabilitatea ca oricare dintre tranzacțiile dvs. să treacă.
Pentru a determina corect capacitatea de cross-country, trebuie să faceți trei pași:
- Calculați procentul de probabilitate a rezultatului unui eveniment în funcție de biroul casei de pariuri;
- Calculați singur probabilitatea folosind date statistice;
- Aflați valoarea pariului, ținând cont de ambele probabilități.
Să ne uităm la fiecare dintre pași în detaliu, folosind nu numai formule, ci și exemple.
Trecere rapidă
Calcularea probabilității incluse în cotele caselor de pariuri
Primul pas este să aflați cu ce probabilitate însuși casa de pariuri estimează șansele unui anumit rezultat. Este clar că casele de pariuri nu stabilesc cote chiar așa. Pentru a face acest lucru folosim următoarea formulă:
PB=(1/K)*100%,
unde P B este probabilitatea rezultatului conform biroului casei de pariuri;
K – cota caselor de pariuri pentru rezultat.
Să presupunem că șansele pentru victoria lui London Arsenal în meciul cu Bayern Munchen sunt 4. Aceasta înseamnă că probabilitatea victoriei lor este evaluată de casa de pariuri ca (1/4)*100%=25%. Sau Djokovic joacă împotriva lui Youzhny. Multiplicatorul pentru victoria lui Novak este 1,2, șansele lui sunt (1/1,2)*100%=83%.
Așa evaluează însăși casa de pariuri șansele de succes ale fiecărui jucător și echipă. După ce am finalizat primul pas, trecem la al doilea.
Calculul probabilității unui eveniment de către jucător
Al doilea punct al planului nostru este propria noastră evaluare a probabilității evenimentului. Deoarece nu putem lua în considerare matematic astfel de parametri precum motivația și tonul de joc, vom folosi un model simplificat și vom folosi doar statistici din întâlnirile anterioare. Pentru a calcula probabilitatea statistică a unui rezultat, folosim formula:
PȘI=(UM/M)*100%,
UndePȘI– probabilitatea unui eveniment în funcție de jucător;
UM – numărul de meciuri reușite în care a avut loc un astfel de eveniment;
M – numărul total de meciuri.
Pentru a fi mai clar, haideți să dăm exemple. Andy Murray și Rafael Nadal au jucat 14 meciuri între ei. În 6 dintre ele totalul a fost mai mic de 21 în jocuri, în 8 totalul a fost mai mult. Trebuie să aflați probabilitatea ca următorul meci să fie jucat cu un total mai mare: (8/14)*100=57%. Valencia a jucat 74 de meciuri împotriva lui Atlético la Mestalla, în care a câștigat 29 de victorii. Probabilitatea de a câștiga Valencia: (29/74)*100%=39%.
Și învățăm toate acestea doar datorită statisticilor jocurilor anterioare! Desigur, nu va fi posibil să se calculeze o astfel de probabilitate pentru o echipă sau un jucător nou, așa că această strategie de pariere este potrivită doar pentru meciurile în care adversarii se întâlnesc de mai multe ori. Acum știm cum să determinăm probabilitățile casei de pariuri și propriile noastre rezultate și avem toate cunoștințele pentru a trece la ultimul pas.
Determinarea valorii unui pariu
Valoarea (valoarea) unui pariu și pasabilitatea au o legătură directă: cu cât valoarea este mai mare, cu atât este mai mare șansa de a trece. Valoarea se calculează după cum urmează:
V=PȘI*K-100%,
unde V este valoarea;
P I – probabilitatea de rezultat în funcție de parior;
K – cota caselor de pariuri pentru rezultat.
Să presupunem că vrem să pariem pe victoria lui Milan în meciul cu Roma și calculăm că probabilitatea ca „roș-negrii” să câștige este de 45%. Casa de pariuri ne oferă cote de 2,5 pentru acest rezultat. Ar fi valoros un astfel de pariu? Efectuăm calcule: V=45%*2,5-100%=12,5%. Grozav, avem un pariu valoros cu șanse mari de a trece.
Să luăm un alt caz. Maria Sharapova joacă împotriva Petrei Kvitova. Vrem să facem o afacere pentru ca Maria să câștige, a cărei probabilitate, conform calculelor noastre, este de 60%. Casele de pariuri oferă un multiplicator de 1,5 pentru acest rezultat. Determinăm valoarea: V=60%*1,5-100=-10%. După cum puteți vedea, acest pariu nu are valoare și ar trebui evitat.
Știind că probabilitatea poate fi măsurată, să încercăm să o exprimăm în cifre. Există trei moduri posibile.
Orez. 1.1. Măsurarea Probabilității
PROBABILITATE DETERMINATĂ DE SIMETRIE
Există situații în care posibilele rezultate sunt la fel de probabile. De exemplu, atunci când aruncați o monedă o dată, dacă moneda este standard, probabilitatea ca „capete” sau „cozi” să apară este aceeași, de exemplu. P(„capete”) = P(„cozi”). Deoarece sunt posibile doar două rezultate, atunci P(„capete”) + P(„cozi”) = 1, prin urmare, P(„capete”) = P(„cozi”) = 0,5.
În experimentele în care rezultatele au șanse egale de apariție, probabilitatea evenimentului E, P (E) este egală cu:
Exemplul 1.1. Moneda este aruncată de trei ori. Care este probabilitatea ca două capete și o coadă?
Mai întâi, să găsim toate rezultatele posibile: Pentru a ne asigura că am găsit toate opțiunile posibile, vom folosi o diagramă arborescentă (vezi Capitolul 1, Secțiunea 1.3.1).
Deci, există 8 rezultate la fel de posibile, prin urmare, probabilitatea acestora este 1/8. Evenimentul E - două capete și cozi - trei au avut loc. De aceea:
Exemplul 1.2. Standard zaruri aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca scorul să fie 9 sau mai mult?
Să găsim toate rezultatele posibile.
Tabelul 1.2. Numărul total de puncte obținute prin aruncarea unui zar de două ori
Deci, în 10 din 36 de rezultate posibile, suma punctelor este 9 sau, prin urmare:
PROBABILITATE DETERMINATĂ EMPIRIC
Exemplu cu o monedă de la masă. 1.1 ilustrează clar mecanismul de determinare a probabilității.
Având în vedere numărul total de experimente care au succes, probabilitatea rezultatului necesar se calculează după cum urmează:
Un raport este frecvența relativă de apariție a unui anumit rezultat într-un experiment suficient de lung. Probabilitatea se calculează fie pe baza datelor din experimentul efectuat, fie pe baza datelor din trecut.
Exemplul 1.3. Din cele cinci sute de lămpi electrice testate, 415 au funcționat mai mult de 1000 de ore. Pe baza datelor din acest experiment, putem concluziona că probabilitatea de funcționare normală a unei lămpi de acest tip pentru mai mult de 1000 de ore este:
Notă. Testarea este de natură distructivă, așa că nu toate lămpile pot fi testate. Dacă ar fi testată o singură lampă, probabilitatea ar fi 1 sau 0 (adică dacă poate dura 1000 de ore sau nu). De aici nevoia de a repeta experimentul.
Exemplul 1.4. În tabel 1.3 prezintă date privind vechimea în muncă a bărbaților care lucrează în companie:
Tabelul 1.3. Experiența de muncă a bărbaților
Care este probabilitatea ca următoarea persoană angajată de companie să lucreze cel puțin doi ani:
Soluţie.
Tabelul arată că 38 din 100 de angajați lucrează în companie de mai bine de doi ani. Probabilitatea empirică ca următorul angajat să rămână în companie mai mult de doi ani este:
În același timp, presupunem că noul angajat este „tipic și condițiile de muncă sunt neschimbate.
EVALUAREA SUBIECTIVĂ A PROBABILITĂȚII
În afaceri, adesea apar situații în care nu există simetrie și nici date experimentale. Prin urmare, determinarea probabilității unui rezultat favorabil sub influența opiniilor și experienței cercetătorului este subiectivă.
Exemplul 1.5.
1. Un expert în investiții estimează că probabilitatea de a obține un profit în primii doi ani este de 0,6.
2. Prognoza managerului de marketing: probabilitatea de a vinde 1000 de unitati dintr-un produs in prima luna dupa aparitia acestuia pe piata este de 0,4.
- Probabilitatea este gradul (măsură relativă, evaluare cantitativă) al posibilității de apariție a unui eveniment. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - improbabil sau improbabil. Preponderența motivelor pozitive față de cele negative și invers, poate fi în grade diferite, în urma căreia probabilitatea (și improbabilitatea) este mai mare sau mai mică. Prin urmare, probabilitatea este adesea evaluată la nivel calitativ, mai ales în cazurile în care o evaluare cantitativă mai mult sau mai puțin precisă este imposibilă sau extrem de dificilă. Sunt posibile diferite gradații de „niveluri” de probabilitate.
Studiul probabilității din punct de vedere matematic constituie o disciplină specială – teoria probabilității. În teoria probabilității și statistica matematică, conceptul de probabilitate este formalizat ca o caracteristică numerică a unui eveniment - o măsură a probabilității (sau valoarea acesteia) - o măsură a unui set de evenimente (subseturi ale unui set de evenimente elementare), luând valori de la
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Sens
(\displaystyle 1)
Corespunde unui eveniment de încredere. Un eveniment imposibil are o probabilitate de 0 (reversul, în general, nu este întotdeauna adevărat). Dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă este
(\displaystyle p)
Atunci probabilitatea neapariției sale este egală cu
(\displaystyle 1-p)
În special, probabilitatea
(\displaystyle 1/2)
Înseamnă probabilitatea egală de apariție și neapariție a unui eveniment.
Definiția clasică a probabilității se bazează pe conceptul de probabilitate egală a rezultatelor. Probabilitatea este raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru un anumit eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile. De exemplu, probabilitatea de a obține cap sau cozi într-o aruncare aleatorie de monede este de 1/2 dacă se presupune că numai aceste două posibilități apar și că sunt la fel de posibile. Această „definiție” clasică a probabilității poate fi generalizată la cazul unui număr infinit de valori posibile- de exemplu, dacă un eveniment poate avea loc cu probabilitate egală în orice punct (numărul de puncte este infinit) al unei zone limitate a spațiului (plan), atunci probabilitatea ca acesta să se producă într-o anumită parte a acestei zone permise este egal cu raportul dintre volumul (aria) acestei părți și suprafața volumului (aria) a tuturor punctelor posibile.
„Definiția” empirică a probabilității este legată de frecvența de apariție a unui eveniment pe baza faptului că cu suficient un numar mare frecvența de testare ar trebui să tindă spre gradul obiectiv de posibilitate a acestui eveniment. În prezentarea modernă a teoriei probabilităților, probabilitatea este definită axiomatic ca caz special teoria abstractă a măsurii seturilor. Cu toate acestea, legăturăîntre măsura abstractă şi probabilitatea care exprimă gradul de posibilitate al producerii unui eveniment este tocmai frecvenţa observării acestuia.
Descrierea probabilistică a anumitor fenomene a devenit larg răspândită în stiinta moderna, în special în econometrie, fizica statistică a sistemelor macroscopice (termodinamice), unde chiar și în cazul unei descrieri deterministe clasice a mișcării particulelor, o descriere deterministă a întregului sistem de particule nu pare practic posibilă și adecvată. ÎN fizică cuantică procesele descrise în sine sunt de natură probabilistă.
În economie, ca și în alte domenii ale activității umane sau în natură, trebuie să ne confruntăm constant cu evenimente care nu pot fi prezise cu exactitate. Astfel, volumul vânzărilor unui produs depinde de cerere, care poate varia semnificativ, și de o serie de alți factori care sunt aproape imposibil de luat în considerare. Prin urmare, atunci când organizați producția și desfășurați vânzări, trebuie să preziceți rezultatul unor astfel de activități pe baza fie a propriei experiențe anterioare, fie a experienței similare a altor oameni, fie a intuiției, care în mare măsură se bazează și pe date experimentale.
Pentru a evalua cumva evenimentul în cauză este necesar să se țină cont sau să se organizeze special condițiile în care este înregistrat acest eveniment.
Se apelează la implementarea anumitor condiții sau acțiuni pentru identificarea evenimentului în cauză experienţă sau experiment.
Evenimentul este numit Aleatoriu, dacă în urma experienței poate apărea sau nu.
Evenimentul este numit de încredere, dacă apare neapărat ca urmare a unei experiențe date, și imposibil, dacă nu poate apărea în această experiență.
De exemplu, ninsoarea la Moscova pe 30 noiembrie este un eveniment întâmplător. Răsăritul zilnic poate fi considerat un eveniment de încredere. Ninsorile la ecuator pot fi considerate un eveniment imposibil.
Una dintre sarcinile principale în teoria probabilității este sarcina de a determina o măsură cantitativă a posibilității ca un eveniment să se producă.
Algebra evenimentelor
Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot fi observate împreună în aceeași experiență. Astfel, prezența a două și trei mașini într-un magazin de vânzare în același timp sunt două evenimente incompatibile.
Cantitate evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente
Un exemplu al sumei evenimentelor este prezența a cel puțin unuia dintre cele două produse în magazin.
Munca evenimente este un eveniment constând în producerea simultană a tuturor acestor evenimente
Un eveniment constând în apariția a două mărfuri într-un magazin în același timp este un produs al unor evenimente: - apariția unui produs, - apariția unui alt produs.
Evenimentele formează un grup complet de evenimente dacă cel puțin unul dintre ele este sigur că va avea loc prin experiență.
Exemplu. Portul are două dane pentru primirea navelor. Pot fi avute în vedere trei evenimente: - absența navelor la dane, - prezența unei nave la una dintre dane, - prezența a două nave la două dane. Aceste trei evenimente formează un grup complet de evenimente.
Opus sunt numite două evenimente posibile unice care formează un grup complet.
Dacă unul dintre evenimentele care este opus este notat cu , atunci evenimentul opus este de obicei notat cu .
Definiții clasice și statistice ale probabilității evenimentelor
Fiecare dintre rezultatele la fel de posibile ale testelor (experimentelor) se numește rezultat elementar. Ele sunt de obicei desemnate prin litere. De exemplu, se aruncă un zar. Pot exista un total de șase rezultate elementare bazate pe numărul de puncte de pe părți.
Din rezultatele elementare puteți crea un eveniment mai complex. Astfel, evenimentul unui număr par de puncte este determinat de trei rezultate: 2, 4, 6.
O măsură cantitativă a posibilității de apariție a evenimentului în cauză este probabilitatea.
Cele mai utilizate definiții ale probabilității unui eveniment sunt: clasicȘi statistic.
Definiția clasică a probabilității este asociată cu conceptul de rezultat favorabil.
Rezultatul se numește favorabil la un eveniment dat dacă producerea acestuia implică producerea acestui eveniment.
În exemplul de mai sus, evenimentul în cauză – un număr par de puncte pe partea rulată – are trei rezultate favorabile. ÎN în acest caz, cunoscut si general
numărul de rezultate posibile. Aceasta înseamnă că definiția clasică a probabilității unui eveniment poate fi folosită aici.
Definiție clasică este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile
unde este probabilitatea evenimentului, este numărul de rezultate favorabile evenimentului, numărul total rezultate posibile.
În exemplul considerat
Definiția statistică a probabilității este asociată cu conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment în experimente.
Frecvența relativă de apariție a unui eveniment este calculată folosind formula
unde este numărul de apariții ale unui eveniment într-o serie de experimente (teste).
Definiție statistică. Probabilitatea unui eveniment este numărul în jurul căruia frecvența relativă se stabilizează (se stabilește) cu o creștere nelimitată a numărului de experimente.
În problemele practice, probabilitatea unui eveniment este considerată frecvența relativă pentru un număr suficient de mare de încercări.
Din aceste definiții ale probabilității unui eveniment este clar că inegalitatea este întotdeauna satisfăcută
Pentru a determina probabilitatea unui eveniment pe baza formulei (1.1), se folosesc adesea formule combinatorice, care sunt folosite pentru a afla numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile.
