Dik üçgenlerle ilgili bir konuyu çalıştıktan sonra öğrenciler genellikle onlarla ilgili tüm bilgileri unuturlar. Hipotenüsün nasıl bulunacağı dahil, ne olduğundan bahsetmiyorum bile.

Ve boşuna. Çünkü gelecekte dikdörtgenin köşegeninin bu hipotenüs olduğu ortaya çıkacak ve bulunması gerekiyor. Veya bir dairenin çapı, açılarından biri dik olan bir üçgenin en büyük kenarına denk gelir. Ve bu bilgi olmadan onu bulmak imkansızdır.

Bir üçgenin hipotenüsünü bulmak için birkaç seçenek vardır. Yöntem seçimi, büyüklük problemindeki başlangıç ​​veri setine bağlıdır.

Yöntem numarası 1: her iki taraf da verilir

Bu en akılda kalan yöntemdir çünkü Pisagor teoremini kullanır. Ancak bazen öğrenciler bu formülün hipotenüsün karesini bulmak için kullanıldığını unutuyorlar. Bu, kenarı bulmak için karekök almanız gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle, genellikle "c" harfiyle gösterilen hipotenüs formülü şöyle görünecektir:

c = √ (a 2 + b 2) Burada “a” ve “b” harfleri dik üçgenin her iki ayağını temsil etmektedir.

Yöntem numarası 2: bacak ve ona bitişik açı biliniyor

Hipotenüsün nasıl bulunacağını öğrenmek için trigonometrik fonksiyonları hatırlamanız gerekir. Yani kosinüs. Kolaylık sağlamak için, “a” bacağının ve ona bitişik α açısının verildiğini varsayacağız.

Şimdi bir dik üçgenin açısının kosinüsünün iki kenarın oranına eşit olduğunu hatırlamamız gerekiyor. Pay bacağın değerini, payda ise hipotenüsü içerecektir. Bundan ikincisinin aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabileceği anlaşılmaktadır:

c = a / çünkü α.

Yöntem numarası 3: bir bacak ve onun karşısında uzanan bir açı verildiğinde

Formüllerde kafa karışıklığı yaratmamak için, bu açının - β tanımını ekleyelim ve aynı "a" tarafını bırakalım. Bu durumda başka bir trigonometrik fonksiyona ihtiyacınız olacak - sinüs.

Önceki örnekte olduğu gibi sinüs, kenarın hipotenüse oranına eşittir. Bu yöntemin formülü şuna benzer:

c = a / günah β.

Trigonometrik fonksiyonlarda kafanızın karışmaması için basit bir anımsatıcıyı hatırlayabilirsiniz: eğer bir problem varsa Hakkında konuşuyoruz o halkla ilişkiler Ö karşı açı, o zaman onu kullanmanız gerekir Ve peki, eğer - oh pr Ve uzanmak, sonra Ö sinüs. İlk sesli harflere dikkat edin anahtar kelimeler. Çiftler oluştururlar o-ben veya ve hakkında.

Yöntem numarası 4: çevrelenmiş dairenin yarıçapı boyunca

Şimdi hipotenüsü nasıl bulacağınızı öğrenmek için bir dik üçgenin çevrelediği dairenin özelliğini hatırlamanız gerekecek. Aşağıdaki şekilde okunur. Çemberin merkezi hipotenüsün ortasıyla çakışıyor. Başka bir deyişle dik üçgenin en uzun kenarı dairenin köşegenine eşittir. Yani yarıçapı iki katına çıkarın. Bu problemin formülü şu şekilde görünecektir:

c = 2 * r burada r harfi bilinen yarıçapı belirtir.

Hepsi bu olası yollar Bir dik üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur? Her özel görev için veri kümesine en uygun yöntemi kullanmanız gerekir.

Örnek görev No. 1

Durum: içinde dik üçgen medyanlar her iki tarafa da çekildi. Üzerine çizilenin uzunluğu daha büyük taraf, √52'ye eşittir. Diğer medyanın uzunluğu √73'tür. Hipotenüsü hesaplamanız gerekir.

Orta refüjler üçgen şeklinde çizildiği için bacakları iki eşit parçaya bölerler. Akıl yürütmenin ve hipotenüsün nasıl bulunacağını aramanın kolaylığı için, birkaç notasyon eklemeniz gerekir. Büyük bacağın her iki yarısı da “x” harfiyle, diğer yarısı da “y” harfiyle gösterilsin.

Şimdi hipotenüsleri medyanları bilinen iki dik üçgeni ele almamız gerekiyor. Onlar için Pisagor teoreminin formülünü iki kez yazmanız gerekir:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Bu iki denklem iki bilinmeyenli bir sistem oluşturur. Bunları çözdükten sonra orijinal üçgenin bacaklarını ve onlardan hipotenüsünü bulmak kolay olacaktır.

Öncelikle her şeyi ikinci güce yükseltmeniz gerekir. Görünüşe göre:

4y 2 + x 2 = 52

y2 + 4x2 = 73.

İkinci denklemden y 2 = 73 - 4x 2 olduğu açıktır. Bu ifadenin ilk ifadeyle değiştirilmesi ve "x" olarak hesaplanması gerekir:

4(73 - 4x2) + x 2 = 52.

Dönüşümden sonra:

292 - 16x2 + x2 = 52 veya 15x2 = 240.

Son ifadeden x = √16 = 4.

Artık "y"yi hesaplayabilirsiniz:

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Koşullara göre orijinal üçgenin bacaklarının 6 ve 8'e eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu, ilk yöntemdeki formülü kullanabileceğiniz ve hipotenüsü bulabileceğiniz anlamına gelir:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Cevap: Hipotenüs 10'a eşittir.

Örnek görev No. 2

Koşul: Daha kısa kenarı 41 olan dikdörtgenin çizilen köşegenini hesaplayınız. Açıyı 2'ye 1 olarak orantılı olanlara böldüğü biliniyorsa.

Bu problemde dikdörtgenin köşegeni 90° üçgendeki en uzun kenardır. Yani her şey hipotenüsün nasıl bulunacağına bağlı.

Sorun açılarla ilgili. Bu, trigonometrik fonksiyonları içeren formüllerden birini kullanmanız gerekeceği anlamına gelir. Öncelikle dar açılardan birinin boyutunu belirlemeniz gerekir.

Koşulda tartışılan açılardan küçük olanı α olarak gösterilsin. O zaman köşegenle bölünen dik açı 3α'ya eşit olacaktır. Bunun matematiksel gösterimi şuna benzer:

Bu denklemden α'yı belirlemek kolaydır. 30°'ye eşit olacaktır. Üstelik dikdörtgenin küçük tarafının karşısında yer alacaktır. Bu nedenle 3 numaralı yöntemde açıklanan formüle ihtiyacınız olacak.

Hipotenüs, bacağın karşı açının sinüsüne oranına eşittir:

41 / günah 30° = 41 / (0,5) = 82.

Cevap: Hipotenüs 82'dir.

“Ve bize bacağın hipotenüsten daha kısa olduğunu söylüyorlar…” Bu satırlar ünlü bir şarkıdan geliyor. uzun metrajlı film Elektroniğin Maceraları gerçekten de Öklid'in geometrisine sadıktır. Sonuçta bacaklar, derecesi ölçüsü 90 derece olan bir açı oluşturan iki kenardır. Ve hipotenüs, iki bacağı birbirine dik olarak bağlayan ve dik açının karşısında yer alan en uzun "gerilmiş" kenardır. Bu nedenle hipotenüsü sadece dik üçgende bacaklara göre bulmak mümkündür ve bacak hipotenüsten daha uzun olsaydı böyle bir üçgen olmazdı.

Her iki taraf da biliniyorsa Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs nasıl bulunur?

Teorem, hipotenüsün karesinin, kenarların karelerinin toplamından başka bir şey olmadığını belirtir: x^2+y^2=z^2, burada:

• x – ilk ayak;
• y – ikinci ayak;
• z – hipotenüs.

Ama sadece hipotenüsü bulmanız gerekiyor, karesini değil. Bunu yapmak için kökü çıkarın.

Bilinen iki bacağı kullanarak hipotenüsü bulma algoritması:

• Bacakların nerede olduğunu ve hipotenüsün nerede olduğunu kendiniz belirtin.
• İlk ayağı kareleyin.
• İkinci ayağı kareleyin.
• Ortaya çıkan değerleri toplayın.
• 4. adımda elde edilen sayının kökünü çıkarın.

Bacak ve karşısındaki dar açı biliniyorsa sinüs boyunca hipotenüs nasıl bulunur?

Davranış ünlü bacak karşısındaki dar açı hipotenüsün değerine eşittir: a/sin A = c. Bu sinüs tanımının bir sonucudur:

Karşı tarafın hipotenüse oranı: sin A = a/c, burada:

• a – ilk ayak;
• A – bacağın karşısındaki dar açı;
• c- hipotenüs.

Sinüs teoremini kullanarak hipotenüsü bulma algoritması:

• Kendinize bilinen bir bacağı ve onun karşısındaki açıyı belirtin.
• Bacağını karşı köşeye bölün.
• Hipotenüsü alın.

Bacak ve ona bitişik dar açı biliniyorsa, kosinüs yoluyla hipotenüs nasıl bulunur?

Bilinen kenarın dar komşu açıya oranı hipotenüs a/cos B = c değerine eşittir. Bu, kosinüs tanımının bir sonucudur: bitişik kenarın hipotenüse oranı: cos B= a/c, burada:

• a – ikinci ayak;
• B – ikinci bacağa bitişik dar açı;
• c- hipotenüs.

Kosinüs teoremini kullanarak hipotenüsü bulma algoritması:

• Kendinize bilinen bir bacak ve bitişik bir açı belirtin.
• Bacağını bitişik açıya bölün.
• Hipotenüsü alın.

Mısır üçgenini kullanarak hipotenüs nasıl bulunur?

"Mısır üçgeni", hipotenüsü veya hatta başka bir bilinmeyen ayağı bulmada zamandan tasarruf edebileceğinizi bildiğiniz bir sayı üçlüsüdür. Üçgenin bu isme sahip olmasının nedeni, Mısır'da bazı sayıların Tanrıları simgelemesi ve piramitlerin ve diğer çeşitli yapıların inşasının temelini oluşturmasıdır.

• İlk üç sayı: 3-4-5. Buradaki bacaklar 3 ve 4'e eşittir. O zaman hipotenüs kesinlikle 5'e eşit olacaktır. Kontrol edin: (9+16=25).
• İkinci sayı üçlüsü: 5-12-13. Burada da kenarlar 5 ve 12'ye eşittir. Dolayısıyla hipotenüs 13'e eşit olacaktır. Kontrol edin: (25+144=169).

Bu tür sayılar herhangi bir sayıya bölündüğünde veya çarpıldığında bile yardımcı olur. Bacaklar 3 ve 4 ise hipotenüs 5'e eşit olacaktır. Bu sayıları 2 ile çarparsanız hipotenüs de 2 ile çarpılacaktır. Örneğin 6-8-10 sayılarının üçlüsü de sığacaktır. Pisagor teoremini kullanırsınız ve eğer bu üçlü sayıları hatırlarsanız hipotenüsü hesaplamanıza gerek kalmaz.



Dolayısıyla bilinen bacakları kullanarak hipotenüsü bulmanın 4 yolu vardır. En çok en iyi seçenek Pisagor teoremi ama aynı zamanda “Mısır üçgenini” oluşturan sayı üçlülerini de hatırlamaktan zarar gelmez, çünkü bu tür değerlerle karşılaşırsanız çok zaman kazanabilirsiniz.

Başlangıçta üçgenin 3 açısı olan bir çokyüzlü olduğunu hatırlayalım. Üçgenin diğer boyutları biliniyorsa dik üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur?

Talimatlar

1. Bacakların uzunlukları bilinmektedir. İÇİNDE bu durumda Hipotenüs Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Bu teorem şu şekildedir: Bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Bundan, hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak için sırayla her bir bacağın boyutunun karesinin alınması gerektiği sonucu çıkar. Daha sonra elde edilen sayıları ekleyin ve genel sonuç zaten karekökü çıkar.
2. Bacak (BC) ve ona bitişik açı biliniyorsa, KFB üçgeninde hipotenüs nasıl bulunur? Bilinen açıyı α olarak gösteririz. Dik üçgenin özelliklerinden biri şunu söylüyor: Bir dik üçgenin bir bacağının uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranı, hipotenüs ile bu bacak arasında bulunan açının kosinüsüne eşittir. Bu şu şekilde yazılabilir: FB=BK*cos(α).
3. Başka bir bacak (KF) ve aynı α açısı biliniyor, şimdi tam tersi olacak. Hipotenüs, dik üçgenin aynı özelliklerinin uygulanmasıyla da bulunabilir. Burada bir dik üçgenin dik kenarının uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranının dik kenarın karşısındaki açının sinüsüne eşit olduğunu görüyoruz. Şunu yazıyoruz: FB=KF*sin(α).
4. Çevresinde bir daire varsa ve yarıçapı biliniyorsa, bir üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur? Bir dik üçgenin çevrelediği bir dairenin özelliklerinden, böyle bir dairenin merkezinin, onu ikiye bölen hipotenüs noktasıyla çakıştığı bilinmektedir. Başka bir deyişle yarıçap hipotenüsün yarısına eşittir. Bu, iki yarıçapın hipotenüsü oluşturduğu anlamına gelir: FB=2*R.

Dik üçgenin özelliklerini ve Pisagor teoremini bilerek hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak çok kolaydır. Tüm özellikleri hatırlamanız hala zorsa, o zaman yerine koymanın çok kolay olduğu hazır formülleri öğrenin. bilinen değerler Hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak için

Talimatlar

Pisagor teoremini kullanarak hesaplama yapmanız gerekiyorsa, aşağıdaki algoritmayı kullanın: - Bir üçgende hangi kenarların bacak, hangilerinin hipotenüs olduğunu belirleyin. Doksan derecelik bir açı oluşturan iki kenar bacaklar, geri kalan üçüncü kenar ise hipotenüstür. (cm) - Bu üçgenin her bir ayağını ikinci kuvvete yükseltin, yani kendisiyle çarpın. Örnek 1. Bir üçgenin bir kenarı 12 cm, diğeri 5 cm ise hipotenüsü hesaplamamız gerektiğini varsayalım.Öncelikle bacakların kareleri eşittir: 12 * 12 = 144 cm ve 5 * 5 = 25 cm. Daha sonra karelerin bacaklarının toplamını belirleyin. Belirli numara dır-dir hipotenüs bulmak için sayının ikinci kuvvetinden kurtulmanız gerekir uzunluküçgenin bu tarafı. Bunu yapmak için, bacakların karelerinin toplamının değerini karekökten çıkarın. Örnek 1. 144+25=169. 169'un karekökü 13'tür. Dolayısıyla bunun uzunluğu hipotenüs 13 cm'ye eşittir.

Uzunluğu hesaplamanın başka bir yolu hipotenüsüçgendeki sinüs ve açı terminolojisinde yatmaktadır. Tanım gereği: alfa açısının sinüsü hipotenüsün karşı ayağıdır. Yani şekle bakıldığında sin a = CB / AB. Dolayısıyla hipotenüs AB = CB / sin a Örnek 2. Açı 30 derece, karşı kenar 4 cm olsun, hipotenüsü bulmamız gerekiyor. Çözüm: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Cevap: uzunluk hipotenüs 8 cm'ye eşittir.

Bulmanın benzer bir yolu hipotenüs bir açının kosinüsünün tanımından. Bir açının kosinüsü, kendisine komşu olan kenarın oranıdır. hipotenüs. Yani cos a = AC/AB, dolayısıyla AB = AC/cos a. Örnek 3. ABC üçgeninde AB hipotenüsüdür, BAC açısı 60 derecedir, AC kenarı 2 cm'dir AB'yi bulun.
Çözüm: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Cevap: Hipotenüs uzunluğu 4 cm'dir.

Yararlı tavsiye

Bir açının sinüs veya kosinüs değerini bulurken sinüs ve kosinüs tablosunu veya Bradis tablosunu kullanın.

İpucu 2: Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu nasıl bulunur?

Hipotenüs bir dik üçgenin en uzun kenarı olduğundan bu durum şaşırtıcı değildir. Yunan Dili bu kelime “sıkı” olarak çevrilmiştir. Bu kenar her zaman 90°'lik açının karşısında yer alır ve bu açıyı oluşturan kenarlara bacak denir. Bu kenarların uzunluklarını ve bu değerlerin farklı kombinasyonlarındaki dar açıların değerlerini bilerek hipotenüsün uzunluğunu hesaplayabiliriz.

Talimatlar

Her iki üçgenin (A ve B) uzunlukları biliniyorsa, belki de en ünlü matematik önermesi olan Pisagor teoremi olan hipotenüsün (C) uzunluklarını kullanın. Hipotenüsün uzunluğunun karesinin, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamı olduğunu belirtir; bundan iki kenarın kare uzunluklarının toplamının kökünü hesaplamanız gerektiği sonucu çıkar: C = √ ( A² + B²). Örneğin, bir bacağın uzunluğu 15 ve - 10 santimetre ise, √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564 olduğundan hipotenüsün uzunluğu yaklaşık 18,0277564 santimetre olacaktır.

Bir dik üçgenin kenarlarından yalnızca birinin uzunluğu (A) ve karşısındaki açının değeri (α) biliniyorsa, hipotenüsün uzunluğu (C) trigonometrik denklemlerden biri kullanılarak kullanılabilir. fonksiyonlar - sinüs. Bunu yapmak için bilinen tarafın uzunluğunu bilinen açının sinüsüne bölün: C=A/sin(α). Örneğin, bacaklardan birinin uzunluğu 15 santimetre ise ve üçgenin karşı köşesindeki açı 30° ise, o zaman hipotenüsün uzunluğu 30 santimetreye eşit olacaktır, çünkü 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Dik bir üçgende dar açılardan birinin boyutu (α) ve bitişik bacağın (B) uzunluğu biliniyorsa, hipotenüsün (C) uzunluğunu hesaplamak için başka bir trigonometrik fonksiyon - kosinüs kullanabilirsiniz. Bilinen bacağın uzunluğunu bilinen açının kosinüsüne bölmelisiniz: C=B/ cos(α). Örneğin, bu bacağın uzunluğu 15 santimetre ve ona bitişik dar açı 30° ise, 15/cos(30°)=15/(0,5*) olduğundan hipotenüsün uzunluğu yaklaşık 17,3205081 santimetre olacaktır. √3)=30/√3≈17,3205081.

Uzunluk genellikle bir doğru parçası üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi belirtmek için kullanılır. Düz, kırık veya kapalı bir çizgi olabilir. Segmentin diğer göstergelerini biliyorsanız uzunluğu oldukça basit bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

Talimatlar

Bir karenin kenar uzunluğunu bulmanız gerekiyorsa, alanını S biliyorsanız bu olmayacaktır. Karenin tüm kenarlarının olması nedeniyle, bunlardan birinin değerini aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabilirsiniz. formül: a = √S.

Bildiğiniz gibi geometri, problemlerin çözümünde özel dikkat ve hassasiyet gerektiren zor bir bilimdir. Daha sonra daha karmaşık hesaplamalarda kullandığımız birçok ifade ve formül, 6-7. Sınıflar için matematik ders kitaplarında yer almaktadır. Trigonometrik fonksiyonları öğrenme sürecini daha kolay ve eğlenceli hale getirmek için bu makalede bir dik üçgenin hipotenüsünü hesaplamanın birkaç kısa yoluna bakacağız.

Bacaklara göre hipotenüs nasıl bulunur?

Küçük bir teoriyi hatırlayalım: Dik üçgen, üç açısı olan düz bir şekildir. Bunlardan birinin büyüklüğü 90° olup kenarlarına bacak ve hipotenüs denir. Dik açının karşısındaki taraf hipotenüs, diğer ikisi ise bitişik bacaklardır. Tarafların ana oyunu, hipotenüsün bacakların karelerinin toplamına eşit olduğu Pisagor teoreminde ortaya çıkıyor. Ancak bu sadece kafa karıştırıcı görünüyor çünkü gerçekte her şey çok daha basittir.

Geometrik bir şeklin özellikleri

Bir üçgenin hipotenüsünü bulmadan önce bu şeklin hangi özelliklere sahip olduğunu anlamalısınız. Ana olanları ele alalım:

1. Bir dik üçgende her iki dar açının toplamı 90°'dir.
2. 30°'lik bir açının karşısında uzanan bir bacak, hipotenüsün ½ boyutuna eşit olacaktır.
3. Bacak hipotenüsün ½'sine eşitse, ikinci açı aynı değere sahip olacaktır - 30°.

Bir dik üçgende hipotenüsü bulmanın birkaç yolu vardır. En çok basit çözüm bacaklar üzerinden yapılan bir hesaplamadır. Diyelim ki A ve B kenarlarının değerlerini biliyorsunuz. Sonra Pisagor teoremi kurtarmaya geliyor ve bize, tarafın her değerinin karesini alırsak ve elde edilen verileri özetlersek hipotenüsün ne olduğunu bulacağımızı söylüyor. eşittir. Yani sadece karekök değerini çıkarmamız gerekiyor:

Örneğin A bacağı = 3 cm ve B bacağı = 4 cm ise hesaplama şu şekilde görünecektir:

Hipotenüs bir açıyla nasıl bulunur?

Bir dik üçgende hipotenüsün ne olduğunu bulmanın başka bir yolu da belirli bir açıyı hesaplamaktır. Bunu yapmak için değeri sinüs formülü aracılığıyla türetmemiz gerekir. Diyelim ki bacağın boyutunu (A) ve karşı açının (α) değerini biliyoruz. O halde çözümün tamamı tek bir formülde bulunur: C=A/sin(α).

Örneğin bacak uzunluğu 40 cm ve açı 45° ise hipotenüsün uzunluğu şu şekilde elde edilebilir:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Gerekli değer belirli bir açının kosinüsüyle de belirlenebilir. Diyelim ki bir bacağın (B) ve dar komşu açının (α) değerini biliyoruz. O zaman sorunu çözmek için bir formüle ihtiyacınız olacak: C=B/ cos(α).

Örneğin bacak uzunluğu 50 cm ve açı 45° ise hipotenüs şu şekilde hesaplanabilir:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Böylece bir üçgende hipotenüsü bulmanın ana yollarına baktık. Bir problemi çözerken mevcut verilere odaklanmak önemlidir, o zaman bilinmeyen miktarı bulmak oldukça basit olacaktır. Sadece birkaç formülü bilmeniz yeterlidir ve problem çözme süreci basit ve eğlenceli hale gelecektir.