Bu eşitsizlikleri Δ'daki limite geçirmek X→ 0 ve türev dikkate alındığında F "(X 0) vardır ve bu nedenle soldaki limit Δ'nın nasıl olduğuna bağlı değildir. X→ 0, şunu elde ederiz: Δ'da X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a'da Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Çünkü F"(X 0) bir sayıyı tanımlıyorsa bu iki eşitsizlik ancak şu durumlarda uyumludur: F"(X 0) = 0.

Kanıtlanmış teorem, maksimum ve minimum noktaların yalnızca türevin sıfır olduğu argümanın değerleri arasında bulunabileceğini belirtir.

Bir fonksiyonun belirli bir parçanın tüm noktalarında türevinin olduğu durumu düşündük. Türevin bulunmadığı durumlarda durum nedir? Örneklere bakalım.

Örnekler.

1. sen=|X|.

   Fonksiyonun bu noktada türevi yoktur X=0 (bu noktada fonksiyonun grafiğinin tanımlanmış bir teğeti yoktur), ancak bu noktada fonksiyonun bir minimumu vardır, çünkü sen(0)=0 ve tümü için X≠ 0sen > 0.



Fonksiyonun türevi yoktur X=0, sonsuza gittiği için X=0. Ancak bu noktada fonksiyonun maksimumu vardır.



Fonksiyonun türevi yoktur X=0, çünkü en X→0. Bu noktada fonksiyonun ne maksimumu ne de minimumu vardır. Gerçekten mi, f(x)=0 ve X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.



Dolayısıyla verilen örneklerden ve formüle edilen teoremden, bir fonksiyonun yalnızca iki durumda bir ekstremuma sahip olabileceği açıktır: 1) türevin mevcut olduğu ve sıfıra eşit olduğu noktalarda; 2) Türevin bulunmadığı noktada.

Ancak eğer bir noktada X 0 bunu biliyoruz f "(x 0 ) =0 ise bundan şu noktada sonuç çıkarılamaz: X 0 fonksiyonun bir ekstremumu vardır.

Örneğin. .



Ama dönem X=0 bir ekstrem nokta değildir, çünkü bu noktanın solunda fonksiyon değerleri eksenin altında yer alır Öküz ve sağ üstte.

Fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya mevcut olmadığı bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir argümanın değerlerine denir kritik noktalar.




Yukarıdakilerin hepsinden, fonksiyonun uç noktalarının kritik noktalar arasında olduğu sonucu çıkar, ancak her kritik nokta bir uç nokta değildir. Bu nedenle, bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için, fonksiyonun tüm kritik noktalarını bulmanız ve ardından bu noktaların her birini maksimum ve minimum için ayrı ayrı incelemeniz gerekir. Aşağıdaki teorem bu amaca hizmet eder.

Teorem 2. (Bir ekstremumun varlığı için yeterli koşul.) Fonksiyonun kritik noktayı içeren bir aralıkta sürekli olmasına izin verin X 0'dır ve bu aralığın tüm noktalarında türevlenebilirdir (belki de noktanın kendisi hariç) X 0). Bu noktadan soldan sağa doğru hareket edildiğinde türevin işareti artıdan eksiye değişirse, o zaman bu noktada X = X 0 fonksiyonunun maksimumu vardır. Eğer geçerken X Soldan sağa 0 ise türevin işareti eksiden artıya değişir, o zaman fonksiyonun bu noktada minimumu vardır.

Böylece eğer

Kanıt. Öncelikle şunu varsayalım ki geçerken X 0 türevin işareti artıdan eksiye değişir, yani. herkesin önünde X, noktaya yakın X 0 f "(x)> 0 için X< x 0 , f "(x)< 0 için x>x 0. Lagrange teoremini farka uygulayalım f(x) - f(x) 0 ) = f "(c)(x- x 0), nerede C arasında yatıyor X Ve X 0 .

1. İzin vermek X< x 0. Daha sonra C< x 0 ve f "(c)> 0. Bu yüzden f "(c)(x- x 0)< 0 ve dolayısıyla

   f(x) - f(x) 0 )< 0, yani f(x)< f(x 0 ).

2. İzin vermek x > x 0. Daha sonra c>x 0 ve f "(c)< 0. Araç f "(c)(x- x 0)< 0. Bu yüzden f(x) - f(x) 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Böylece tüm değerler için X yeterince yakın X 0 f(x)< f(x 0 ) . Ve bu şu anlama geliyor: o noktada X 0 fonksiyonunun maksimumu vardır.

Minimum teoremin ikinci kısmı da benzer şekilde kanıtlanır.



Bu teoremin anlamını şekilde açıklayalım. İzin vermek f "(x 1 ) =0 ve herhangi biri için X, yeterince yakın X 1, eşitsizlikler sağlandı

f "(x)< 0 saat X< x 1 , f "(x)> 0 saat x>x 1 .

Daha sonra noktanın solunda X 1 fonksiyon sağda artar ve azalır, bu nedenle X = X 1 fonksiyon artandan azalana doğru gider, yani maksimumu vardır.

Benzer şekilde noktaları da dikkate alabiliriz. X 2 ve X 3 .


Yukarıdakilerin tümü resimde şematik olarak gösterilebilir:

Ekstremum için y=f(x) fonksiyonunu inceleme kuralı

1. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun f(x).
2. Bir fonksiyonun ilk türevini bulun f "(x).
3. Bunun için kritik noktaları belirleyin:
   1. Denklemin gerçek köklerini bulun f "(x)=0;
   2. tüm değerleri bul X bunun için türev f "(x) mevcut değil.
4. Kritik noktanın solunda ve sağında türevin işaretini belirleyin. Türevin işareti iki kritik nokta arasında sabit kaldığından, türevin işaretini kritik noktanın bir noktasında solunda ve bir noktasında sağında belirlemek yeterlidir.
5. Fonksiyonun ekstrem noktalardaki değerini hesaplayın.

Örnekler. Minimum ve maksimum işlevleri keşfedin.




BİR FONKSİYONUN BİR BÖLÜM ÜZERİNDEKİ MAKSİMUM VE EN KÜÇÜK DEĞERLERİ

En büyüğü Bir fonksiyonun bir aralıktaki değeri, bu aralıktaki tüm değerlerinin en büyüğüdür ve en küçük– tüm değerlerinin en küçüğü.

İşlevi düşünün Fonksiyona izin ver segmentte sürekli [ a, b] Bilindiği gibi böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine parçanın sınırında veya içinde ulaşır. Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerine parçanın iç noktasında ulaşılıyorsa bu değer, fonksiyonun maksimum veya minimum değeridir, yani kritik noktalarda elde edilir.

Böylece aşağıdakileri elde ederiz bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma kuralı[ a, b] :

1. Fonksiyonun aralıktaki tüm kritik noktalarını bulun ( a, b) ve bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
2. Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın. x = a, x = b.
3. Elde edilen tüm değerlerden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Bir fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum değerleri

Bir fonksiyonun artış, azalma ve ekstremum aralıklarını bulmak hem bağımsız bir görevdir hem de diğer görevlerin önemli bir parçasıdır. tam fonksiyon çalışması. Fonksiyonun artış, azalış ve ekstremum değerlerine ilişkin ilk bilgiler aşağıda verilmiştir. türev üzerine teorik bölümÖn çalışma için şiddetle tavsiye ettiğim (veya tekrarlama)– ayrıca aşağıdaki materyalin aynı temele dayanması nedeniyle esasen türev, bu makalenin uyumlu bir devamı niteliğindedir. Bununla birlikte, eğer zaman kısaysa, o zaman bugünkü dersten alınan örneklerin tamamen resmi bir uygulaması da mümkündür.

Ve bugün havada nadir görülen bir birlik ruhu var ve orada bulunan herkesin arzuyla yandığını doğrudan hissedebiliyorum. Türevini kullanarak bir fonksiyonu keşfetmeyi öğrenin. Bu nedenle makul, iyi, ebedi terminoloji hemen monitör ekranlarınızda belirir.

Ne için? Sebeplerden biri en pratik olanıdır: böylece belirli bir görevde genel olarak sizden ne istendiğinin netleşmesi için!

Fonksiyonun monotonluğu. Bir fonksiyonun ekstremum noktaları ve ekstremumları

Biraz fonksiyon düşünelim. Basitçe söylemek gerekirse, onun olduğunu varsayıyoruz. sürekli tüm sayı doğrusunda:

Her ihtimale karşı, özellikle yeni tanışan okuyucular için olası yanılsamalardan bir an önce kurtulalım. fonksiyonun sabit işaret aralıkları. Şimdi biz İLGİLİ DEĞİL, fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl yerleştirildiği (eksenin kesiştiği yerde yukarıda, aşağıda). İkna edici olmak için eksenleri zihinsel olarak silin ve bir grafik bırakın. Çünkü ilginin yattığı yer burası.

İşlev artar Bir aralıkta, bu aralığın ilişkiyle birbirine bağlanan herhangi iki noktası için eşitsizlik doğrudur. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "aşağıdan yukarıya" doğru gider. Gösterim işlevi aralık boyunca büyür.

Aynı şekilde, fonksiyon azalır Belirli bir aralığın herhangi iki noktası için eşitsizlik doğru olacak şekilde bir aralıkta. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "yukarıdan aşağıya" doğru gider. Fonksiyonumuz aralıklarla azalır .

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa buna denir. Kesinlikle monoton bu aralıkta. Monotonluk nedir? Kelimenin tam anlamıyla alın – monotonluk.

Ayrıca tanımlayabilirsiniz azalmayan işlev (ilk tanımda rahat durum) ve artmayan fonksiyon (2. tanımda yumuşatılmış durum). Bir aralıkta azalmayan veya artmayan bir fonksiyona, belirli bir aralıkta monoton fonksiyon denir (katı monotonluk, “basitçe” monotonluğun özel bir durumudur).

Teori aynı zamanda yarım aralıklar, bölümler de dahil olmak üzere bir fonksiyonun artışını/azalışını belirlemeye yönelik diğer yaklaşımları da dikkate alır, ancak başınıza yağ-yağ-yağ dökmemek için kategorik tanımlarla açık aralıklarla çalışmayı kabul edeceğiz. - bu daha açık ve birçok pratik sorunu çözmek için oldukça yeterli.

Böylece, makalelerimde "bir fonksiyonun monotonluğu" ifadesi neredeyse her zaman gizlenecek aralıklar katı monotonluk(kesinlikle artan veya kesinlikle azalan fonksiyon).

Bir noktanın mahallesi. Ardından öğrencilerin bulabildikleri her yere kaçtıkları ve köşelerde dehşet içinde saklandıkları sözler. ...her ne kadar gönderiden sonra Cauchy sınırları Muhtemelen artık saklanmıyorlar, sadece hafifçe titriyorlar =) Endişelenmeyin, artık matematiksel analiz teoremlerinin kanıtı olmayacak - tanımları daha kesin bir şekilde formüle etmek için çevreye ihtiyacım vardı ekstrem noktalar. Hatırlayalım:

Bir noktanın mahallesi Belirli bir noktayı içeren bir aralık denir ve kolaylık sağlamak için aralığın genellikle simetrik olduğu varsayılır. Örneğin bir nokta ve onun standart komşuluğu:

Aslında tanımlar:

Nokta denir kesin maksimum nokta, Eğer var onun mahallesi, herkes için değerleri, noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. Özel örneğimizde bu bir noktadır.

Nokta denir kesin minimum nokta, Eğer var onun mahallesi, herkes için değerleri, noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. Çizimde “a” noktası var.

Not : Komşuluk simetrisi gerekliliği hiç de gerekli değildir. Ayrıca önemli varoluşun gerçeği belirtilen koşulları karşılayan mahalle (küçük veya mikroskobik)

Noktalara denir kesinlikle ekstremum noktalar ya da sadece ekstrem noktalar işlevler. Yani maksimum puanlar ve minimum puanlar için genelleştirilmiş bir terimdir.

“Aşırı” kelimesini nasıl anlıyoruz? Evet, monotonluk kadar doğrudan. Hız trenlerinin uç noktaları.

Monotonluk durumunda olduğu gibi, gevşek varsayımlar mevcuttur ve teoride daha da yaygındır. (tabii ki, dikkate alınan katı davalar da bu kapsamdadır!):

Nokta denir maksimum nokta, Eğer varçevresi öyle herkes için
Nokta denir minimum puan, Eğer varçevresi öyle herkes için Bu mahallenin değerleri, eşitsizliği barındırıyor.

Son iki tanıma göre, sabit bir fonksiyonun (veya bir fonksiyonun "düz bölümünün") herhangi bir noktasının hem maksimum hem de minimum nokta olarak kabul edildiğini unutmayın! Bu arada fonksiyon hem artmayan hem de azalmayan, yani monotondur. Bununla birlikte, bu düşünceleri teorisyenlere bırakacağız, çünkü pratikte neredeyse her zaman geleneksel "tepeler" ve "oyuklar" (çizime bakınız) benzersiz bir "tepenin kralı" veya "bataklığın prensesi" ile düşünürüz. Bir çeşitlilik olarak ortaya çıkar uç, yukarı veya aşağı yönlendirilmiş, örneğin noktadaki fonksiyonun minimumu.

Ah, kraliyetten bahsetmişken:
– anlamı denir maksimum işlevler;
– anlamı denir minimum işlevler.

Ortak ad – aşırılıklar işlevler.

Lütfen sözlerinize dikkat edin!

Ekstrem noktalar– bunlar “X” değerleridir.
Aşırılıklar– “oyun” anlamları.

! Not : Bazen listelenen terimler doğrudan fonksiyonun KENDİSİNİN GRAFİĞİ üzerinde yer alan “X-Y” noktalarına atıfta bulunur.

Bir fonksiyon kaç ekstrema sahip olabilir?

Yok, 1, 2, 3,... vb. sonsuza dek. Örneğin sinüsün sonsuz sayıda minimum ve maksimum değeri vardır.

ÖNEMLİ!"Maksimum fonksiyon" terimi aynı değil"bir fonksiyonun maksimum değeri" terimi. Değerin yalnızca yerel bir mahallede maksimum olduğunu ve sol üstte "daha havalı yoldaşların" bulunduğunu fark etmek kolaydır. Aynı şekilde “bir fonksiyonun minimumu” ile “bir fonksiyonun minimum değeri” aynı değildir ve çizimde değerin sadece belirli bir alanda minimum olduğunu görüyoruz. Bu bakımdan ekstremum noktalara da denir. yerel ekstremum noktaları ve ekstremum – yerel aşırılıklar. Yakınlarda yürürler ve dolaşırlar ve küresel kardeşler. Yani herhangi bir parabolün tepe noktasında küresel minimum veya küresel maksimum. Ayrıca, aşırı uç türleri arasında ayrım yapmayacağım ve açıklama daha çok genel eğitim amaçlı olarak dile getirildi - "yerel"/"küresel" ek sıfatları sizi şaşırtmamalı.

Teoriye yaptığımız kısa geziyi bir deneme çekimiyle özetleyelim: "Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulma" görevi ne anlama geliyor?

İfade sizi şunu bulmaya teşvik ediyor:

– artan/azalan fonksiyon aralıkları (azalmayan, artmayan çok daha az sıklıkla görülür);

– maksimum ve/veya minimum puanlar (varsa). Başarısızlığı önlemek için minimum/maksimum değerleri kendiniz bulmak daha iyidir ;-)

Bütün bunlar nasıl belirlenir? Türev fonksiyonunu kullanma!

Artan, azalan aralıklar nasıl bulunur?
Fonksiyonun ekstrem noktaları ve ekstremumları?

Aslında pek çok kural zaten biliniyor ve anlaşılıyor. türevin anlamı hakkında ders.

Teğet türev boyunca fonksiyonun arttığına dair sevindirici bir haber getiriyor tanım alanı.

Kotanjant ve türevi ile durum tam tersidir.

Ark sinüs aralık boyunca artar - buradaki türev pozitiftir: .
Fonksiyon tanımlı ancak türevlenebilir olmadığında. Ancak kritik noktada sağdan türev ve sağdan teğet vardır, diğer kenarda ise bunların solak karşılıkları vardır.

Ark kosinüs ve türevi için de benzer akıl yürütmenin sizin için çok zor olmayacağını düşünüyorum.

Yukarıdaki durumların tümü, bunların çoğu tablosal türevler, hatırlatırım, doğrudan şuradan takip edin türev tanımları.

Neden bir fonksiyonu türevini kullanarak araştıralım?

Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediğini daha iyi anlamak için: "aşağıdan yukarıya" gittiği yer, "yukarıdan aşağıya" gittiği yer, minimum ve maksimumlara ulaştığı yer (eğer ulaşıyorsa). Tüm fonksiyonlar o kadar basit değildir; çoğu durumda belirli bir fonksiyonun grafiği hakkında hiçbir fikrimiz yoktur.

Daha anlamlı örneklere geçmenin ve düşünmenin zamanı geldi Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulmak için algoritma:

Örnek 1

Fonksiyonun artış/azalış aralıklarını ve ekstremumlarını bulun

Çözüm:

1) İlk adım bulmaktır bir fonksiyonun alanı ve ayrıca kesme noktalarını (varsa) not edin. Bu durumda fonksiyon tüm sayı doğrusunda süreklidir ve bu eylem bir dereceye kadar resmidir. Ancak bazı durumlarda burada ciddi tutkular alevlenir, bu yüzden paragrafı küçümsemeden ele alalım.

2) Algoritmanın ikinci noktası şundan kaynaklanmaktadır:

bir ekstremum için gerekli koşul:

Bir noktada bir ekstremum varsa o zaman değer de mevcut değildir.

Sonu kafanız mı karıştı? “Modül x” fonksiyonunun ekstremumu .

Şart gerekli ama yeterli değil ve bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla eşitlikten fonksiyonun noktasında maksimum veya minimuma ulaştığı sonucu henüz çıkmaz. Yukarıda klasik bir örnek zaten vurgulanmıştı - bu kübik bir parabol ve onun kritik noktasıdır.

Ancak öyle de olsa, bir ekstremum için gerekli koşul, şüpheli noktaların bulunması ihtiyacını zorunlu kılmaktadır. Bunu yapmak için türevi bulun ve denklemi çözün:

İlk makalenin başında fonksiyon grafikleri hakkında Bir örnek kullanarak hızlı bir şekilde parabolün nasıl oluşturulacağını anlattım. : “...birinci türevi alıp sıfıra eşitliyoruz: ...Yani denklemimizin çözümü: - parabolün tepe noktası tam da bu noktada...”. Sanırım artık herkes parabolün tepe noktasının neden tam olarak bu noktada bulunduğunu anladı =) Genel olarak burada da benzer bir örnekle başlamalıyız ama bu çok basit (bir çaydanlık için bile). Ayrıca dersin en sonunda bir analog var. bir fonksiyonun türevi. Bu nedenle dereceyi artıralım:

Örnek 2

Fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam bir çözüm ve problemin yaklaşık nihai örneği.

Kesirli-rasyonel fonksiyonlarla uzun zamandır beklenen buluşma anı geldi:

Örnek 3

Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu keşfedin

Lütfen aynı görevin ne kadar çeşitli şekillerde yeniden formüle edilebileceğine dikkat edin.

Çözüm:

1) Fonksiyon noktalarda sonsuz süreksizliklere maruz kalır.

2) Kritik noktaları tespit ediyoruz. Birinci türevi bulup sıfıra eşitleyelim:

Denklemi çözelim. Payı sıfır olduğunda bir kesir sıfırdır:

Böylece üç kritik nokta elde ediyoruz:

3) Tespit edilen TÜM noktaları sayı doğrusu üzerinde çizeriz ve aralık yöntemi TÜREVİN işaretlerini tanımlarız:

Aralıkta bir nokta alıp türevin değerini hesaplamanız gerektiğini size hatırlatırım. ve işaretini belirleyin. Saymak bile değil, sözlü olarak "tahmin etmek" daha karlı. Örneğin aralığa ait bir noktayı alalım ve yerine koyma işlemini gerçekleştirelim: .

Dolayısıyla iki "artı" ve bir "eksi" bir "eksi" verir, bu da türevin tüm aralık boyunca negatif olduğu anlamına gelir.

Anladığınız gibi eylemin altı aralığın her biri için gerçekleştirilmesi gerekiyor. Bu arada, pay faktörünün ve paydanın herhangi bir aralıktaki herhangi bir nokta için kesinlikle pozitif olduğunu ve bunun görevi büyük ölçüde basitleştirdiğini unutmayın.

Yani türev bize FONKSİYONUN KENDİSİNİN şu kadar arttığını söyledi: ve kadar azalır. Birleştir simgesiyle aynı türdeki aralıkları birleştirmek uygundur.

Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada:
Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada:

İkinci değeri neden yeniden hesaplamak zorunda olmadığınızı düşünün ;-)

Bir noktadan geçerken türev işaret değiştirmez, dolayısıyla fonksiyonun orada EKSTREMİ YOKTUR - hem azaldı hem de azalan kaldı.

! Önemli bir noktayı tekrarlayalım: noktalar kritik olarak kabul edilmez - bir işlev içerirler tanımlanmamış. Buna göre burada Prensipte hiçbir aşırılık olamaz(türev işaret değiştirse bile).

Cevap: fonksiyon şu kadar artar: ve azalır Fonksiyonun maksimum değerine ulaşıldığı noktada: , ve bu noktada – minimum: .

Monotonluk aralıkları ve ekstremum bilgisi, yerleşik bilgilerle birlikte asimptotlar zaten fonksiyon grafiğinin görünümü hakkında çok iyi bir fikir veriyor. Ortalama eğitime sahip bir kişi, bir fonksiyonun grafiğinin iki dikey asimptotu ve bir eğik asimptotu olduğunu sözlü olarak belirleyebilir. İşte kahramanımız:

Çalışmanın sonuçlarını bu fonksiyonun grafiğiyle ilişkilendirmeyi bir kez daha deneyin.
Kritik noktada ekstremum yoktur ancak dönüm noktası(kural olarak benzer durumlarda olur).

Örnek 4

Fonksiyonun ekstremumunu bulun

Örnek 5

Fonksiyonun monotonluk aralıklarını, maksimumlarını ve minimumlarını bulun

…bugün neredeyse bir nevi “küpün içindeki X” tatiline benziyor....
Soooo, galeride kim bunun için içki içmeyi teklif etti? =)

Her görevin kendine özgü nüansları ve teknik incelikleri vardır ve bunlar dersin sonunda yorumlanır.

Fonksiyonlar, birinci ve ikinci türevlerin varlığını bilmek ve fiziksel anlamlarını anlamak hiç de gerekli değildir. Öncelikle aşağıdakileri anlamanız gerekir:

• fonksiyonun ekstremumları, keyfi olarak küçük bir komşulukta fonksiyonun değerini maksimuma çıkarır veya tersine minimuma indirir;
• uç noktada fonksiyonda herhangi bir süreksizlik olmamalıdır.

Ve şimdi aynı şey, yalnızca basit bir dilde. Tükenmez kalemin ucuna bakın. Kalem, yazı ucu yukarı bakacak şekilde dikey olarak konumlandırılırsa, topun en ortası en uç nokta, yani en yüksek nokta olacaktır. Bu durumda maksimumdan bahsediyoruz. Şimdi kalemi yazı ucu aşağı bakacak şekilde çevirirseniz, topun ortasında zaten minimum bir işlev olacaktır. Burada verilen şekli kullanarak kırtasiye kalemi için listelenen manipülasyonları hayal edebilirsiniz. Yani bir fonksiyonun ekstremumları her zaman kritik noktalardır: Maksimum veya minimum. Grafiğin bitişik bölümü istenildiği kadar keskin veya pürüzsüz olabilir, ancak her iki tarafta da mevcut olması gerekir, ancak bu durumda nokta bir ekstremumdur. Grafik yalnızca bir tarafta mevcutsa, bir tarafta ekstremum koşulları sağlansa bile bu nokta ekstremum olmayacaktır. Şimdi fonksiyonun ekstremumlarını bilimsel açıdan inceleyelim. Bir noktanın ekstremum olarak kabul edilebilmesi için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekli ve yeterlidir:

• birinci türev sıfırdı veya o noktada mevcut değildi;
• Bu noktada birinci türevin işareti değişti.

Bu durum, yüksek dereceli türevlerin bakış açısından biraz farklı yorumlanır: bir noktada türevlenebilen bir fonksiyon için, sıfıra eşit olmayan tek sıralı bir türevin olması yeterlidir, ancak tüm düşük dereceli türevlerin mevcut olması gerekir. ve sıfıra eşit olsun. Bu, ders kitaplarındaki teoremlerin mümkün olan en basit yorumudur. Ancak en sıradan insanlar için bu noktayı bir örnekle açıklamaya değer. Temel sıradan bir paraboldür. Hemen rezervasyon yapalım: Sıfır noktasında minimum var. Sadece küçük bir matematik:

• birinci türev (X 2) | = 2X, sıfır noktası için 2X = 0;
• ikinci türev (2X) | = 2, sıfır noktası için 2 = 2.

Bu basit şekilde, hem birinci dereceden hem de yüksek dereceden türevler için fonksiyonun ekstremumunu belirleyen koşullar gösterilmektedir. Buna, ikinci türevin, yukarıda tartışıldığı gibi, sıfıra eşit olmayan tek sıralı tam olarak aynı türev olduğunu ekleyebiliriz. İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları söz konusu olduğunda, her iki argüman için de koşulların karşılanması gerekir. Genelleme yapıldığında kısmi türevler kullanılır. Yani bir noktada bir ekstremun varlığı için birinci dereceden türevlerin her ikisinin de sıfıra eşit olması veya bunlardan en az birinin bulunmaması gerekir. Bir ekstremun varlığının yeterli olduğundan emin olmak için, ikinci dereceden türevlerin çarpımı ile fonksiyonun karışık ikinci dereceden türevinin karesi arasındaki fark olan bir ifade incelenir. Bu ifade sıfırdan büyükse bir ekstremum var demektir, ancak sıfıra eşitse soru açık kalır ve ek araştırmaların yapılması gerekir.