Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir sayıdır. Bir üçgeni oluşturan noktalara onun noktaları denir ve parçalar yan yanadır.
Üçgenin türüne (dikdörtgen, tek renkli vb.) bağlı olarak, girdi verilerine ve problemin koşullarına bağlı olarak üçgenin kenarını farklı şekillerde hesaplayabilirsiniz.
Bir makale için hızlı gezinme
Bir dik üçgenin kenarlarını hesaplamak için, hipotenüsün karesinin bacakların karelerinin toplamına eşit olduğunu belirten Pisagor teoremi kullanılır.
Bacakları "a" ve "b", hipotenüsü ise "c" olarak etiketlersek sayfalar aşağıdaki formüllerle bulunabilir:
Bir dik üçgenin (a ve b) dar açıları biliniyorsa kenarları aşağıdaki formüllerle bulunabilir:
Kırpılmış üçgen
Her iki tarafı da aynı olan üçgene eşkenar üçgen denir.
İki bacakta hipotenüs nasıl bulunur?
"a" harfi aynı sayfanın aynısı ise, "b" taban, "b" tabanın karşısındaki açı, "a" bitişik açı ise sayfaları hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanabilirsiniz:
İki köşe ve bir kenar
Herhangi bir üçgenin bir sayfası (c) ve iki açısı (a ve b) biliniyorsa, kalan sayfaları hesaplamak için sinüs formülü kullanılır:
Üçüncü değeri y = 180 - (a + b) bulmalısınız çünkü
bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180°'dir; 
İki kenar ve bir açı
Bir üçgenin iki tarafı (a ve b) ve aralarındaki açı (y) biliniyorsa, üçüncü tarafı hesaplamak için kosinüs teoremi kullanılabilir.
Dik üçgenin çevresi nasıl belirlenir
Üçgen üçgen, biri 90 derece, diğer ikisi dar açı olan bir üçgendir. hesaplama çevreçok üçgen hakkında bilinen bilgi miktarına bağlıdır.
İhtiyacın olacak
- Duruma bağlı olarak, üçgenin üç tarafının yanı sıra dar açılarından biri de 2 becerisine sahiptir.
talimatlar
Birinci Yöntem 1. Üç sayfanın tümü biliniyorsa üçgen Daha sonra, dik veya üçgen olmamasına bakılmaksızın çevre şu şekilde hesaplanır: P = A + B + C, mümkünse c hipotenüstür; a ve b bacaklardır.
ikinci Yöntem 2.
Bir dikdörtgenin yalnızca iki kenarı varsa Pisagor teoremini kullanarak, üçgenşu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = v (a2 + b2) + a + b veya P = v (c2 - b2) + b + c.
üçüncü Yöntem 3. Hipotenüs c ve bir dar açı olsun? Bir dik üçgen verildiğinde çevreyi şu şekilde bulmak mümkün olacaktır: P = (1 + sin?
dördüncü Yöntem 4. Dik üçgende bir bacağın uzunluğunun a'ya eşit olduğunu ve tam tersine dar bir açıya sahip olduğunu söylüyorlar. O zaman hesapla çevre Bu üçgen aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilecektir: P = a * (1 / tg?
1/oğul? + 1)
beşte biri Yöntem 5.
Çevrimiçi üçgen hesaplama
Ayağımız önde olsun ve buna dahil olsun, o zaman aralık şu şekilde hesaplanacaktır: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)
İlgili videolar
Pisagor teoremi tüm matematiğin temelidir. Gerçek bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirler. Bu teoremin şu anda 367 kanıtı var.
talimatlar
Birinci Pisagor teoreminin klasik okul formülasyonu şu şekildedir: Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.
İki Catet dik üçgeninde hipotenüsü bulmak için, bacakların uzunluklarının karesine başvurmanız, bunları toplamanız ve toplamın karekökünü almanız gerekir. İfadesinin orijinal formülasyonunda piyasa, Catete'nin ürettiği 2 karenin karelerinin toplamına eşit olan hipotenüse dayanmaktadır. Bununla birlikte, modern cebirsel formülasyon, bir alan temsilinin eklenmesini gerektirmez.
ikinciÖrneğin, kenarları 7 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen.
O zaman Pisagor teoremine göre kare hipotenüs R + S = 49 + 64 = 113 cm'ye eşittir. Hipotenüs ise 113'ün kareköküne eşittir.
Dik üçgenin açıları
Sonuç asılsız bir sayıydı.
üçüncüÜçgenin kenarları 3 ve 4 ise hipotenüs = 25 = 5. Karekökünü aldığınızda doğal bir sayı elde edersiniz. 3, 4, 5 sayıları x ilişkisini sağladıklarından bir Pygagor üçlüsü oluştururlar. +E? = Z, bu doğaldır.
Pisagor üçlüsünün diğer örnekleri şunlardır: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
dördüncü Bu durumda bacaklar birbirinin aynısı ise Pisagor teoremi daha ilkel bir denkleme dönüşür. Örneğin, böyle bir elin A sayısına eşit olduğunu ve hipotenüsün C için tanımlandığını varsayalım ve sonra c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu durumda A'ya ihtiyacınız yoktur.
beşte biri Pisagor teoremi - özel durum Bu, bir üçgenin üç tarafı arasındaki ilişkiyi, ikisi arasındaki herhangi bir açı için belirleyen genel kosinüs teoreminden daha büyüktür.
İpucu 2: Bacaklar ve açılar için hipotenüs nasıl belirlenir
Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır.
talimatlar
Birinci Bilinen kateterler durumunda, bir dik üçgenin akut açısının yanı sıra, hipotenüs, açının zıt / e olması durumunda bacağın bu açının kosinüs / sinüs oranına eşit bir boyuta sahip olabilir: H = C1 (veya C2) / sin, H = C1 (veya C2?) / cos?. Örnek: ABC'ye hipotenüsü AB ve dik açısı C olan düzensiz bir üçgen verilsin.
B 60 derece ve A 30 derece olsun. BC sapının uzunluğu 8 cm'dir. AB hipotenüsünün uzunluğu bulunmalıdır. Bunu yapmak için yukarıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.
Hipotenüs dikdörtgenin en uzun kenarıdır üçgen. Dik açıda bulunur. Bir dikdörtgenin hipotenüsünü bulma yöntemi üçgen Kaynak verilerine bağlı olarak.
talimatlar
Birinci Bacaklarınız dik ise üçgen, daha sonra dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğu üçgen bir Pisagor analogu tarafından keşfedilebilir - hipotenüs uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2 + b2, burada a ve b, sağdaki bacakların uzunluğudur üçgen .
ikinci Bacaklardan biri biliniyorsa ve dar bir açıdaysa, hipotenüsü bulma formülü, bilinen bacağa - bitişik (bacak yakın konumdadır) veya tam tersi ile ilgili olarak belirli bir açının varlığına veya yokluğuna bağlı olacaktır ( tam tersi durumda ise nego.V belirtilen açının kosinüs açısındaki bacağın hipotenüsüne eşittir: a = a / cos; E, diğer yandan hipotenüs sinüs açılarının oranıyla aynıdır: da = a / günah.
İlgili videolar
Yararlı ipuçları
Kenarları 3:4:5 ile ilişkili olan açılı üçgene, bu figürlerin eski Mısır mimarları tarafından yaygın olarak kullanılması nedeniyle Mısır deltası adı verilmiştir.
Bu aynı zamanda sayfaların ve alanın tam sayılarla temsil edildiği Jero üçgenlerinin en basit örneğidir.
Açısı 90° olan üçgene dikdörtgen denir. Sağ köşenin karşısındaki tarafa hipotenüs, diğerine ise bacaklar denir.
Normal üçgenlerin bazı özelliklerinden, yani dar açıların toplamının 90° olması ve karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün yarısı olması gerçeğinden yararlanılarak bir dik üçgenin nasıl oluşturulduğunu bulmak istiyorsanız 30°'dir.
Bir makale için hızlı gezinme
Kırpılmış üçgen
Eşit üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır.
Dik bir eş üçgenin açısını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:
- Bu 90°'den daha kötü değil.
- Akut açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, yani.
α ve β açıları 45°'ye eşittir.
Eğer bilinen değer dar açılardan biri biliniyor, diğeri şu formül kullanılarak bulunabilir: β = 180°-90°-α veya α = 180°-90°-β.
Bu oran en çok açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.
Anahtar Kavramlar
Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.
Çünkü tek seviye, ikisi keskin kalıyor.
Üçgeni çevrimiçi hesapla
Onları bulmak istiyorsanız şunu bilmeniz gerekir:
Diğer yollar
Bir dik üçgenin dar açılarının değerleri ortalamadan hesaplanabilir - üçgenin karşı tarafındaki bir noktadan bir çizgi ve yükseklik - çizgi hipotenüsten dik açıyla çizilen bir diktir. .
Kenarortay sağ köşeden hipotenüsün ortasına kadar uzansın ve yükseklik h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor: 
- günah α = b / (2 * s); günah β = a / (2 * s).
- çünkü α = a / (2 * s); çünkü β = b / (2 * s).
- günah α = h/b; günah β = h/a.
İki sayfa
Hipotenüsün ve bacaklardan birinin uzunlukları bir dik üçgende veya her iki tarafta biliniyorsa, akut açıların değerlerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:
- α = arksin (a/c), β = arksin (b/c).
- α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
- α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).
Bir dik üçgenin uzunluğu
Üçgenin Alanı ve Alanı
çevre
Herhangi bir üçgenin çevresi üç kenarının uzunluklarının toplamına eşittir. Üçgen bulmanın genel formülü şöyledir:
burada P üçgenin çevresi, a, b ve c kenarlarıdır.
Eşit bir üçgenin çevresi kenar uzunluklarının art arda birleştirilmesiyle veya kenar uzunluğunun 2 ile çarpılıp taban uzunluğunun çarpıma eklenmesiyle bulunabilir.
Bir denge üçgeni bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:
burada P eşit bir üçgenin çevresidir, ancak ya b ya da b tabandır.
Eşkenar üçgenin çevresi Kenar uzunluklarının sırayla birleştirilmesiyle veya herhangi bir sayfanın uzunluğunun 3 ile çarpılmasıyla bulunabilir.
Eşkenar üçgenlerin kenarını bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:
burada P eşkenar üçgenin çevresidir, a ise kenarlarından herhangi biridir.
bölge
Bir üçgenin alanını ölçmek istiyorsanız bunu paralelkenarla karşılaştırabilirsiniz. ABC üçgenini düşünün:
Aynı üçgeni alıp bir paralelkenar elde edecek şekilde sabitlersek, bu üçgenle aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir paralelkenar elde ederiz:
Bu durumda ortak taraf kalıplanmış paralelkenarın köşegeni boyunca üçgenler eklenir.
Paralelkenarın özelliklerinden. Paralelkenarın köşegenlerinin her zaman ikiye bölünebildiği bilinmektedir. eşit üçgen ise her üçgenin yüzeyi paralelkenarın aralığının yarısına eşittir.
Paralelkenarın alanı taban yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan üçgenin alanı bu çarpımın yarısına eşit olacaktır. Böylece ΔABC için alan aynı olacaktır.
Şimdi bir dik üçgen düşünün:
İki özdeş dik üçgen eğer birbirine yaslanırsa dikdörtgen şeklinde bükülebilir, bu da birbirlerine hipotenüs demektir.
Dikdörtgenin yüzeyi bitişik kenarların yüzeyiyle çakıştığı için bu üçgenin alanı aynıdır:
Bundan herhangi bir dik üçgenin yüzeyinin bacakların çarpımının 2'ye eşit olduğu sonucuna varabiliriz.
Bu örneklerden, her üçgenin yüzeyinin uzunluğun çarpımı ile aynı olduğu ve yüksekliğin alt tabakanın 2'ye bölünmesiyle azaltıldığı sonucuna varılabilir.
Bir üçgenin alanını bulmak için genel formül şöyle görünecektir:
burada S üçgenin alanıdır, ancak tabanıdır, ancak yüksekliği a tabanına düşer.
Bildiğiniz gibi geometri, problemlerin çözümünde özel dikkat ve hassasiyet gerektiren zor bir bilimdir. Daha sonra daha karmaşık hesaplamalarda kullandığımız birçok ifade ve formül, 6-7. Sınıflar için matematik ders kitaplarında yer almaktadır. Trigonometrik fonksiyonları öğrenme sürecini daha kolay ve eğlenceli hale getirmek için bu makalede bir dik üçgenin hipotenüsünü hesaplamanın birkaç kısa yoluna bakacağız.
Bacaklara göre hipotenüs nasıl bulunur?
Küçük bir teoriyi hatırlayalım: Dik üçgen, üç açısı olan düz bir şekildir. Bunlardan birinin değeri 90° olup kenarlarına bacak ve hipotenüs denir. Dik açının karşısındaki taraf hipotenüs, diğer ikisi ise bitişik bacaklardır. Tarafların ana oyunu, hipotenüsün bacakların karelerinin toplamına eşit olduğu Pisagor teoreminde ortaya çıkıyor. Ancak bu sadece kafa karıştırıcı görünüyor çünkü gerçekte her şey çok daha basittir.
Geometrik bir şeklin özellikleri
Bir üçgenin hipotenüsünü bulmadan önce bu şeklin hangi özelliklere sahip olduğunu anlamalısınız. Ana olanları ele alalım:
- Bir dik üçgende her iki dar açının toplamı 90°'dir.
- 30°'lik bir açının karşısında uzanan bir bacak, hipotenüsün ½ boyutuna eşit olacaktır.
- Bacak hipotenüsün ½'sine eşitse, ikinci açı aynı değere sahip olacaktır - 30°.
Bir dik üçgende hipotenüsü bulmanın birkaç yolu vardır. En çok basit çözüm bacaklar üzerinden yapılan bir hesaplamadır. Diyelim ki A ve B taraflarının bacaklarının değerlerini biliyorsunuz. Sonra Pisagor teoremi kurtarmaya geliyor ve bize bacağın her değerinin karesini alırsak ve elde edilen verileri özetlersek, ne bulacağımızı bulacağımızı söylüyor. hipotenüs eşittir. Yani sadece karekök değerini çıkarmamız gerekiyor:
Örneğin A bacağı = 3 cm ve B bacağı = 4 cm ise hesaplama şu şekilde görünecektir:
Hipotenüs bir açıyla nasıl bulunur?
Bir dik üçgende hipotenüsün ne olduğunu bulmanın başka bir yolu da belirli bir açıyı hesaplamaktır. Bunu yapmak için değeri sinüs formülü aracılığıyla türetmemiz gerekir. Diyelim ki bacağın boyutunu (A) ve karşı açının (α) değerini biliyoruz. O halde çözümün tamamı tek bir formülde bulunur: C=A/sin(α).
Örneğin bacak uzunluğu 40 cm ve açı 45° ise hipotenüsün uzunluğu şu şekilde elde edilebilir:
40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.
Gerekli değer belirli bir açının kosinüsüyle de belirlenebilir. Diyelim ki bir bacağın (B) ve dar komşu açının (α) değerini biliyoruz. O zaman sorunu çözmek için bir formüle ihtiyacınız olacak: C=B/cos(α).
Örneğin bacak uzunluğu 50 cm ve açı 45° ise hipotenüs şu şekilde hesaplanabilir:
50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.
Böylece bir üçgende hipotenüsü bulmanın ana yollarına baktık. Bir görevi çözerken mevcut verilere odaklanmak önemlidir, o zaman bilinmeyen miktarı bulmak oldukça basit olacaktır. Sadece birkaç formülü bilmeniz yeterlidir ve problem çözme süreci basit ve eğlenceli hale gelecektir.
Bu sorunu çözmek için üç seçenek vardır. Birincisi, problem koşullarında bacakların eşit olduğu verilirse (aslında dik bir ikizkenar üçgenimiz var). İkincisi, eğer hala bir açı verilmişse (%45'lik açı hariç, o zaman aynı ikizkenar üçgene sahip oluruz ve ilk seçeneğe geri döneriz). Ve üçüncüsü - bacaklardan biri bilindiğinde. Bu seçenekleri daha ayrıntılı olarak ele alalım.
Bilinen bir hipotenüse sahip eşit bacaklar nasıl bulunur?
- ilk bacak ("a" harfiyle gösterelim) ikinci ayağa eşittir ((bunu "b" harfiyle gösterelim): a=b;
- bacak büyüklüğü;
Bu versiyonda problemin çözümü Pisagor teoreminin kullanımına dayanmaktadır. Dik üçgenlere uygulanır ve ana versiyonu şöyle görünür: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Bacaklarımız eşit olduğundan her iki bacağı da aynı sembolle gösterebiliriz: a=b, yani a=a anlamına gelir.
- Biz bizim yerine semboller teoremine göre (yukarıdakiler dikkate alınarak):
c^2=a^2+a^2, - Daha sonra formülü olabildiğince basitleştiriyoruz:
с^2=2*(a^2) - grup,
с=√2*а - denklemin her iki tarafını da karekök haline getiririz,
a=c/√2 - aradığımız şeyi çıkarıyoruz. - Hadi değiştirelim verilen değer hipotenüs ve çözümü elde ederiz:
a=x/√2
Bilinen bir hipotenüs ve açı verildiğinde bacaklar nasıl bulunur?
- hipotenüs ("c" harfiyle gösterelim) x cm'ye eşittir: c=x;
- β açısı q'ya eşit: β=q;
- bacak büyüklüğü;
Bu sorunu çözmek için trigonometrik fonksiyonları kullanmanız gerekir. Bunlardan en popüler ikisi:
- sinüs fonksiyonu - istenen açının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir;
- kosinüs fonksiyonu - istenen açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranına eşittir;
Herhangi birini kullanabilirsiniz. İlkini kullanarak bir örnek vereceğim. Bacakların “a” (köşeye bitişik) ve “b” (köşenin karşısı) sembolleriyle gösterilmesine izin verin. Buna göre açımız “a” kenarı ile hipotenüs arasındadır.
- Seçilen sembolleri formülde değiştiririz:
sinβ = b/c - Bacağını türetiyoruz:
b=c*sinβ - Verdiğimizi yerine koyarız ve tek ayağımız olur.
b=c*sinq
İkinci bacak, ikinci trigonometrik fonksiyon kullanılarak bulunabilir veya üçüncü seçeneğe gidebilirsiniz.
Hipotenüs ve diğer taraf biliniyorsa bir taraf nasıl bulunur?
- hipotenüs ("c" harfiyle gösterelim) x cm'ye eşittir: c=x;
- bacak ("b" harfiyle gösterelim) y cm'ye eşittir: b=y;
- diğer bacağın büyüklüğü (“a” harfiyle gösterelim);
Bu versiyonda problemin çözümü, ilkinde olduğu gibi Pisagor teoremini kullanmaktır.
- Sembollerimizi teoremin yerine koyarız:
c^2=a^2+b^2, - Gerekli bacağı çıkarıyoruz:
a^2=c^2-b^2 - Denklemin her iki tarafını da kareköküne alıyoruz:
a=√(c^2-b^2) - Bu değerleri yerine koyarsak çözümümüz olur:
a=√(x^2-y^2)
Talimatlar
Bir dik üçgenin bacaklarından biri bilinsin. Diyelim ki |BC| = b. O zaman hipotenüsün bacakların karelerinin toplamına eşit olduğuna göre Pisagor teoremini kullanabiliriz: a^2 + b^2 = c^2. Bu denklemden bilinmeyen tarafı |AB| = a = √ (c^2 - b^2).
Bir dik üçgenin açılarından birinin bilindiğini varsayalım, ∟α olsun. Daha sonra ABC dik üçgeninin AB ve BC'si trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bulunabilir. Böylece şunu elde ederiz: sinüs ∟α, karşı tarafın oranına eşittir sin α = b / c, kosinüs ∟α, bitişik tarafın hipotenüse oranına eşittir çünkü cos α = a / c. Buradan gerekli kenar uzunluklarını buluruz: |AB| = a = c * çünkü α, |BC| = b = c * sin α.
Bacakların oranı k = a / b bilinsin. Sorunu trigonometrik fonksiyonları kullanarak da çözüyoruz. A / b oranı, ∟α kotanjantından başka bir şey değildir: bitişik taraf ctg α = a / b. Bu durumda bu eşitlikten a = b * ctg α'yı ifade ederiz. Ve Pisagor teoremini a^2 + b^2 = c^2 yerine koyarız:
b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. B^2'yi parantezlerden çıkarırsak b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2 elde ederiz. Ve buradan bacağın uzunluğunu b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1) olarak kolayca elde ederiz; burada k, bacakların verilen oranıdır.
Benzer şekilde, eğer b/a bacaklarının oranı biliniyorsa, sorunu tanjant α = b/a kullanarak çözeriz. b = a * tan α değerini Pisagor teoremi a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2'ye koyarız. Dolayısıyla a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), burada k, bacakların verilen oranıdır.
Özel durumları ele alalım.
∟α = 30°. Sonra |AB| = a = c * çünkü α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.
∟α = 45°. Sonra |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.
Konuyla ilgili video
lütfen aklınızda bulundurun
Karekökler pozitif işaretle çıkarılır, çünkü uzunluk negatif olamaz. Bu açık görünüyor, ancak sorunu otomatik olarak çözerseniz bu hata çok yaygındır.
Bir dik üçgenin bacaklarını bulmak için indirgeme formüllerini kullanmak uygundur: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.
Kaynaklar:
- Trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için Bradis tabloları
Bir dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler trigonometri adı verilen matematik dalında tartışılmaktadır. Dik bir üçgenin kenarlarını bulmak için Pisagor teoremini, trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilmek ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için örneğin bir hesap makinesi veya Bradis tabloları gibi bazı araçlara sahip olmak yeterlidir. Aşağıda bir dik üçgenin kenarlarını bulma problemlerinin ana durumlarını ele alalım.
İhtiyacın olacak
- Hesap makinesi, Bradis tabloları.
Talimatlar
Size dar açılardan biri, örneğin A ve hipotenüs verilirse, bacaklar temel trigonometrik tanımlardan bulunabilir:
a= c*sin(A), b= c*cos(A).
Dar açılardan biri örneğin A ve kenarlardan biri örneğin a verilirse hipotenüs ve diğer kenar şu bağıntılardan hesaplanır: b=a*tg(A), c= a*sin(A).
Faydalı tavsiyeler
Hesaplama için gerekli açılardan herhangi birinin sinüs veya kosinüs değerini bilmiyorsanız Bradis tablolarını kullanabilirsiniz, bunlar trigonometrik fonksiyonların değerlerini sağlar. büyük sayı köşeler Ek olarak, modern hesap makinelerinin çoğu açıların sinüslerini ve kosinüslerini hesaplama yeteneğine sahiptir.
Kaynaklar:
- 2019'da dik üçgenin kenarı nasıl hesaplanır
İpucu 3: Dik üçgenin kenarlarını biliyorsanız açı nasıl bulunur?
Tre kare Açılarından biri dik (90°'ye eşit) olan açıya dikdörtgen denir. En uzun kenarı daima dik açının karşısında yer alır ve hipotenüs olarak adlandırılır, diğer iki kenarı ise her zaman dik açının karşısında yer alır ve buna hipotenüs denir. taraflar bacaklar denir. Bu üç kenarın uzunlukları biliniyorsa, üç kenarın tüm açılarının değerlerini bulun. kare ve zor olmayacak çünkü aslında sadece açılardan birini hesaplamanız gerekiyor. Bunu yapmanın birkaç yolu var.
Talimatlar
Dikdörtgen bir üçgen üzerinden trigonometrik fonksiyonların tanımlarını (α, β, γ) miktarlarını hesaplamak için kullanın. Örneğin, dar bir açının sinüsü için, karşı bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı gibi. Bu, eğer bacakların uzunlukları (A ve B) ve hipotenüs (C) ise, örneğin A bacağının karşısında bulunan α açısının sinüsünü uzunluğu bölerek bulabileceğiniz anlamına gelir. taraflar Ve uzunluk için taraflar C (hipotenüs): sin(α)=A/C. Bu açının sinüsünün değerini bulduktan sonra sinüs - arksinüsün ters fonksiyonunu kullanarak değerini derece cinsinden bulabilirsiniz. Yani, α=arksin(sin(α))=arksin(A/C). Aynı şekilde bir üçgende dar açının boyutunu da bulabilirsiniz. kare Evet ama bu gerekli değil. Bütün açıların toplamı üç olduğundan kare a 180° ve üçte kare Açılardan biri 90° ise üçüncü açının değeri 90° ile bulunan açının değeri arasındaki fark olarak hesaplanabilir: β=180°-90°-α=90°-α.
Sinüsü tanımlamak yerine, istenen açıya bitişik bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı olarak formüle edilen bir dar açının kosinüsü tanımını kullanabilirsiniz: cos(α)=B/ C. Ve burada açıyı derece cinsinden bulmak için ters trigonometrik fonksiyonu (arkkosinüs) kullanın: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Bundan sonra, bir önceki adımda olduğu gibi, eksik açının değerini bulmak kalıyor: β=90°-α.
Benzer bir teğet kullanabilirsiniz - istenen açının karşısındaki bacağın uzunluğunun bitişik bacağın uzunluğuna oranıyla ifade edilir: tan(α)=A/B. Yine ters trigonometrik fonksiyonu kullanarak açıyı derece cinsinden belirleyin: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Eksik açının formülü değişmeden kalacaktır: β=90°-α.
Konuyla ilgili video
İpucu 4: Bir dik üçgenin kenar uzunluğu nasıl bulunur?
Bir üçgenin açılarından biri dik ise bu üçgen dik açılı olarak kabul edilir. Taraf üçgen Dik açının karşısında bulunana hipotenüs, diğer ikisine ise hipotenüs denir. taraflar- bacaklar. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmak için üçgen, birkaç yöntem kullanabilirsiniz.
Talimatlar
Üçüncüyü bulabilirsin taraflar diğer iki tarafın uzunluklarını bilmek üçgen. Bu, dikdörtgen bir karenin olduğunu belirten Pisagor teoremi kullanılarak yapılabilir. üçgen bacaklarının karelerinin toplamı. (a² = b²+ c²). Buradan dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarını ifade edebiliriz. üçgen:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Örneğin dikdörtgen için üçgen hipotenüsün uzunluğu a (18 cm) ve bacaklardan birinin uzunluğu, örneğin c (14 cm) bilinmektedir. İle uzunluk diğer tarafta 2 cebirsel işlem yapmanız gerekir:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Cevap: Bacak uzunluğu √128 cm veya yaklaşık 11,3 cm'dir.
Belirli bir dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğunu ve dar noktalarından birinin boyutunu biliyorsanız başvurabilirsiniz. üçgen. Uzunluğu c ve dar açılardan biri α'ya eşit olsun. Bu durumda 2 kişi daha bulun taraflar dikdörtgen üçgen aşağıdaki formüller kullanılarak mümkün olacaktır:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Şunu verebilirsiniz: Hipotenüsün uzunluğu 15 cm, dar açılardan biri 30 derecedir. Diğer iki tarafın uzunluklarını bulmak için 2 adım uygulamanız gerekir:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (yaklaşık)
Bulmanın en önemsiz yolu uzunluk taraflar dikdörtgen üçgen- belirli bir şeklin çevresinden ifade etmektir:
P = a + b + c, burada P dikdörtgenin çevresidir üçgen. Bu ifadeden şunu ifade etmek kolaydır uzunluk dikdörtgenin herhangi bir kenarı üçgen.
İpucu 5: Tüm kenarları bilerek dik üçgenin açısını nasıl bulabilirsiniz?
Üç tarafın da doğrudan bilgisi kömürüçgen, açılarından herhangi birini hesaplamak için fazlasıyla yeterlidir. O kadar çok bilgi var ki, size en uygun trigonometri fonksiyonunu kullanabilmeniz için hesaplamalarda hangi tarafları kullanacağınızı bile seçme şansına sahipsiniz.
Talimatlar
Ark sinüsle uğraşmayı tercih ederseniz hipotenüs uzunluğunu (C) kullanın - en uzun olanı taraflar- ve istenilen açının (α) karşısında bulunan bacak (A). Bu bacağın uzunluğunu hipotenüsün uzunluğuna bölmek, istenen açının sinüs değerini verecektir ve sinüsün - arksinüsün - elde edilen değerden ters fonksiyonu, açının değerini . Bu nedenle hesaplamalarınızda aşağıdakileri kullanın: α = arcsin(A/C).
Arksinüsü arkkosinüs ile değiştirmek için, istenen açıyı (α) oluşturan kenarların uzunluk hesaplamalarını kullanın. Bunlardan biri hipotenüs (C), diğeri ise bacak (B) olacaktır. Tanım gereği, kosinüs, hipotenüsün uzunluğuna olan açıya bitişik olan bacağın uzunluğudur ve kosinüs değerinden gelen açı, ark kosinüs fonksiyonudur. Aşağıdaki hesaplama formülünü kullanın: α = arccos(B/C).
Hesaplamalarda kullanılabilir. Bunu yapmak için iki kısa kenarın (bacakların) uzunluğuna ihtiyacınız var. Düz bir çizgide dar bir açının (α) tanjantı kömürÜçgen, karşısındaki bacağın (A) uzunluğunun bitişik bacağın (B) uzunluğuna oranıyla belirlenir. Yukarıda açıklanan seçeneklere benzer şekilde aşağıdaki formülü kullanın: α = arktan(A/B).
Formül
Hangi üçgene dik üçgen denir?
Birkaç çeşit üçgen vardır. Bazıları tamamen dar açılara sahiptir, bazıları bir geniş ve iki dar açıya sahiptir ve diğerleri iki dar ve bir düz açıya sahiptir. Bu özelliğe göre bunların her türü geometrik şekiller ve adını aldı: dar açılı, geniş açılı ve dikdörtgen. Yani açılarından biri 90° olan üçgene dik üçgen denir. İlkine benzer bir şey daha var. İki kenarı birbirine dik olan üçgene dik üçgen denir.Hipotenüs ve bacaklar
Dar ve geniş üçgenlerde, açıların köşelerini birleştiren bölümlere basitçe kenarlar denir. Tarafın başka isimleri de var. Dik açıya bitişik olanlara bacak denir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Yunancadan tercüme edilen "hipotenüs" kelimesi "sıkı", "cathetus" ise "dik" anlamına gelir.Hipotenüs ve bacaklar arasındaki ilişkiler
Dik üçgenin kenarları, hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştıran belirli ilişkilerle birbirine bağlanır. Örneğin bacakların boyutlarını bilerek hipotenüsün uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Adını keşfeden kişinin adını taşıyan bu ilişkiye Pisagor teoremi adı verilir ve şu şekilde görünür:c2=a2+b2, burada c hipotenüs, a ve b kenarlardır. Yani hipotenüs, bacakların kareleri toplamının kareköküne eşit olacaktır. Bacaklardan herhangi birini bulmak için diğer bacağın karesini hipotenüsün karesinden çıkarmak ve elde edilen farkın karekökünü çıkarmak yeterlidir.
Bitişik ve karşı bacak
Bir dik üçgen DIA çizin. C harfi genellikle dik açının tepe noktasını, A ve B ise dar açıların köşelerini belirtir. Her a, b ve c açısının karşısındaki kenarları, karşılarındaki açıların adlarından sonra çağırmak uygundur. A açısını düşünün. A tarafı onun karşısında olacak, b tarafı da bitişik olacak. Karşı kenarın hipotenüse oranına denir. Bu trigonometrik fonksiyon şu formül kullanılarak hesaplanabilir: sinA=a/c. Bitişik bacağın hipotenüse oranına kosinüs denir. Şu formül kullanılarak hesaplanır: cosA=b/c.Böylece açıyı ve kenarlardan birini bilerek diğer tarafı hesaplamak için bu formülleri kullanabilirsiniz. Her iki taraf da trigonometrik ilişkilerle birbirine bağlıdır. Zıtın komşuya oranına teğet, komşunun zıttıya oranına kotanjant denir. Bu ilişkiler tgA=a/b veya ctgA=b/a formülleriyle ifade edilebilir.
Dik üçgenlerle ilgili bir konuyu çalıştıktan sonra öğrenciler genellikle onlarla ilgili tüm bilgileri unuturlar. Hipotenüsün nasıl bulunacağı dahil, ne olduğundan bahsetmiyorum bile.
Ve boşuna. Çünkü gelecekte dikdörtgenin köşegeninin bu hipotenüs olduğu ortaya çıkacak ve bulunması gerekiyor. Veya bir dairenin çapı, açılarından biri dik olan bir üçgenin en büyük kenarına denk gelir. Ve bu bilgi olmadan onu bulmak imkansızdır.
Bir üçgenin hipotenüsünü bulmak için birkaç seçenek vardır. Yöntem seçimi, büyüklük problemindeki başlangıç veri setine bağlıdır.
Yöntem numarası 1: her iki taraf da verilir
Bu en akılda kalan yöntemdir çünkü Pisagor teoremini kullanır. Ancak bazen öğrenciler bu formülün hipotenüsün karesini bulmak için kullanıldığını unutuyorlar. Bu, kenarı bulmak için karekök almanız gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle, genellikle "c" harfiyle gösterilen hipotenüs formülü şöyle görünecektir:
c = √ (a 2 + b 2) Burada “a” ve “b” harfleri dik üçgenin her iki ayağını temsil etmektedir.
Yöntem numarası 2: bacak ve ona bitişik açı biliniyor
Hipotenüsü nasıl bulacağınızı öğrenmek için trigonometrik fonksiyonları hatırlamanız gerekir. Yani kosinüs. Kolaylık sağlamak için, “a” bacağının ve ona bitişik α açısının verildiğini varsayacağız.
Şimdi bir dik üçgenin açısının kosinüsünün iki kenarın oranına eşit olduğunu hatırlamamız gerekiyor. Pay bacağın değerini, payda ise hipotenüsü içerecektir. Bundan ikincisinin aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabileceği anlaşılmaktadır:
c = a / çünkü α.
Yöntem numarası 3: bir bacak ve onun karşısında uzanan bir açı verildiğinde
Formüllerde kafa karışıklığı yaratmamak için, bu açının - β tanımını ekleyelim ve aynı "a" tarafını bırakalım. Bu durumda başka bir trigonometrik fonksiyona ihtiyacınız olacak - sinüs.
Önceki örnekte olduğu gibi sinüs, kenarın hipotenüse oranına eşittir. Bu yöntemin formülü şuna benzer:
c = a / günah β.
Trigonometrik fonksiyonlarda kafanızın karışmaması için basit bir anımsatıcıyı hatırlayabilirsiniz: eğer bir problem varsa hakkında konuşuyoruz o halkla ilişkiler O ters açı, o zaman onu kullanmanız gerekir Ve peki, eğer - oh pr Ve uzanmak, sonra O sinüs. İlk sesli harflere dikkat edin anahtar kelimeler. Çiftler oluştururlar o-ben veya ve-o.
Yöntem numarası 4: sınırlandırılmış dairenin yarıçapı boyunca
Şimdi hipotenüsün nasıl bulunacağını öğrenmek için dik üçgenin çevrelediği dairenin özelliğini hatırlamanız gerekecek. Aşağıdaki şekilde okunur. Çemberin merkezi hipotenüsün ortasıyla çakışıyor. Başka bir deyişle dik üçgenin en uzun kenarı dairenin köşegenine eşittir. Yani yarıçapı iki katına çıkarın. Bu problemin formülü şu şekilde görünecektir:
c = 2 * r burada r harfi bilinen yarıçapı belirtir.
Hepsi bu olası yollar Bir dik üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur? Her özel görev için veri kümesine en uygun yöntemi kullanmanız gerekir.
Örnek görev No. 1
Durum: Dik üçgende kenarortaylar her iki tarafa da çizilir. Üzerine çizilenin uzunluğu daha büyük taraf, √52'ye eşittir. Diğer ortancanın uzunluğu √73'tür. Hipotenüsü hesaplamanız gerekir.
Orta refüjler üçgen şeklinde çizildiği için bacakları iki eşit parçaya bölerler. Muhakeme kolaylığı ve hipotenüsün nasıl bulunacağını araştırmak için birkaç notasyon eklemeniz gerekir. Büyük bacağın her iki yarısı da “x” harfiyle, diğer yarısı da “y” harfiyle gösterilsin.
Şimdi hipotenüsleri medyanları bilinen iki dik üçgeni ele almamız gerekiyor. Onlar için Pisagor teoreminin formülünü iki kez yazmanız gerekir:
(2y) 2 + x 2 = (√52) 2
(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.
Bu iki denklem iki bilinmeyenli bir sistem oluşturur. Bunları çözdükten sonra orijinal üçgenin bacaklarını ve onlardan hipotenüsünü bulmak kolay olacaktır.
Öncelikle her şeyi ikinci güce yükseltmeniz gerekir. Görünüşe göre:
4y 2 + x 2 = 52
y2 + 4x2 = 73.
İkinci denklemden y 2 = 73 - 4x 2 olduğu açıktır. Bu ifadenin ilk ifadeyle değiştirilmesi ve "x" olarak hesaplanması gerekir:
4(73 - 4x2) + x 2 = 52.
Dönüşümden sonra:
292 - 16x2 + x2 = 52 veya 15x2 = 240.
Son ifadeden x = √16 = 4.
Artık "y"yi hesaplayabilirsiniz:
y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.
Koşullara göre orijinal üçgenin bacaklarının 6 ve 8'e eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu, ilk yöntemdeki formülü kullanabileceğiniz ve hipotenüsü bulabileceğiniz anlamına gelir:
√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Cevap: Hipotenüs 10'a eşittir.
Örnek görev No. 2
Koşul: Daha kısa kenarı 41 olan dikdörtgenin çizilen köşegenini hesaplayınız. Açıyı 2'ye 1 olarak orantılı olanlara böldüğü biliniyorsa.
Bu problemde dikdörtgenin köşegeni 90° üçgendeki en uzun kenardır. Yani her şey hipotenüsün nasıl bulunacağına bağlı.
Sorun açılarla ilgili. Bu, trigonometrik fonksiyonları içeren formüllerden birini kullanmanız gerekeceği anlamına gelir. Öncelikle dar açılardan birinin boyutunu belirlemeniz gerekir.
Koşulda tartışılan açılardan küçük olanı α olarak gösterilsin. O zaman köşegenle bölünen dik açı 3α'ya eşit olacaktır. Bunun matematiksel gösterimi şuna benzer:
Bu denklemden α'yı belirlemek kolaydır. 30°'ye eşit olacaktır. Üstelik dikdörtgenin küçük tarafının karşısında yer alacaktır. Bu nedenle 3 numaralı yöntemde açıklanan formüle ihtiyacınız olacak.
Hipotenüs, bacağın karşı açının sinüsüne oranına eşittir:
41 / günah 30° = 41 / (0,5) = 82.
Cevap: Hipotenüs 82'dir.
