Oluşum tarihinden ikinci dereceden denklemler

Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir çalışılıyor Genel Özellikler miktarlara ilişkin eylemler.

Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce biliniyordu. Antik Babil.

Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler

Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, arsa alanlarının bulunması ve askeri nitelikteki kazı çalışmaları ile ilgili sorunların çözülmesi ihtiyacından da kaynaklanmıştır. astronomi ve matematiğin gelişmesinde olduğu gibi. Babilliler ikinci dereceden denklemleri MÖ 2000 civarında çözebildiler. Modern cebirsel gösterimi kullanarak, çivi yazılı metinlerinde eksik olanlara ek olarak, örneğin tam ikinci dereceden denklemlerin bulunduğunu söyleyebiliriz:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" genişlik = "93" yükseklik = "41 src = ">

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Aksine yüksek seviye Babil'de cebirin gelişmesiyle birlikte çivi yazılı metinlerde bu kavram eksiktir negatif sayı Ve genel yöntemlerİkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.

Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer.

Örneğin, görevlerinden biri burada.

Problem 2. “Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilerek iki sayı bulun.”

Diophantus şu sonuca varıyor: Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı anlaşılıyor, çünkü eşit olsalardı çarpımları 96'ya değil 100'e eşit olurdu. Dolayısıyla bunlardan biri birden fazla olacaktır. toplamlarının yarısı, yani 10 + x. Diğeri daha azdır, yani 10 - x. Aralarındaki fark 2x. Dolayısıyla denklem:

(10+x)(10-x) =96,

Dolayısıyla x = 2. Gerekli sayılardan biri 12, diğeri 8'dir. Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları bildiğinden Diophantus için x = - 2 çözümü mevcut değildir.

Bu problemi gerekli sayılardan birini bilinmeyen olarak seçerek çözerseniz denklemin çözümüne ulaşabilirsiniz:

Diophantus'un gerekli sayıların yarı farkını bilinmeyen olarak seçerek çözümü basitleştirdiği açıktır; sorunu tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başarır.

Hindistan'da İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), şunları özetledi: Genel kural Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümleri:

ax2 + bx = c, a>

Denklem (1)'de katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Bu tür yarışmalarla ilgili eski Hint kitaplarından biri şöyle diyor: “Güneş nasıl parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakırsa, öğrenmiş adam cebirsel problemler önererek ve çözerek halka açık toplantılarda ihtişamını gölgede bırakacak. Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.

Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

Problem 3'e karşılık gelen denklem:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" genişlik = "12" yükseklik = "26 src = ">x2 - 64x = - 768

ve tamamlamak için Sol Taraf Bu denklemin karesine her iki tarafa da 322 eklenir ve şu elde edilir:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

El-Harizmi'nin ikinci dereceden denklemleri

El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

1) “Kareler köklere eşittir” yani ax2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax2.

Negatif sayıları kullanmaktan kaçınan Harizmi'ye göre, bu denklemlerin her birinin terimleri çıkarılabilir değil, toplamlardır. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi, sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, El-Harizmi, belirli sayısal örnekler ve ardından bunların geometrik kanıtlarını kullanarak bunları çözmenin kurallarını ortaya koyar.

Bir örnek verelim.

Problem 4. “Kare ve 21 sayısı 10 köke eşittir. Kökü bulun” (x2 + 21 = 10x denkleminin kökü anlamına gelir).

Çözüm: Kök sayısını ikiye bölün, 5 elde edersiniz, 5'i kendisiyle çarpın, sonuçtan 21 çıkarın, kalan 4 olur. 4'ten kökü alın, 2 elde edersiniz. 5'ten 2 çıkarın, 3 elde edersiniz, bu aradığınız kök olacak. Veya 2'yi 5'e ekleyin, bu da 7'yi verir, bu da bir köktür.

El-Khorezmi'nin incelemesi, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.

Avrupa'da ikinci dereceden denklemlerXII- XVIIV.

Avrupa'da Harezmi'nin modelini takip eden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formlar ilk olarak 1202 yılında yazılan "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci. Yazar bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulunmuştur. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri çözmenin genel kuralı, Avrupa'da 1544 yılında M. Stiefel tarafından formüle edildi.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için formülün türetilmesi Genel görünüm Viet'te bu var, ancak Viet yalnızca olumlu kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğerlerinin çalışmaları sayesinde bilim adamlarının yoluİkinci dereceden denklemlerin çözümü modern bir biçim alır..

Pratik problemlerin çözümü için cebirsel yöntemlerin kökenleri bilimle bağlantılıdır. Antik Dünya. Matematik tarihinden bilindiği üzere Mısırlı, Sümerli ve Babilli yazıcı ve hesap makinelerinin (M.Ö. XX-VI yüzyıllar) çözdüğü matematik problemlerinin önemli bir kısmı hesaplama niteliğindeydi. Ancak o zaman bile zaman zaman, bir miktarın arzu edilen değerinin belirli dolaylı koşullarla belirlendiği ve modern bakış açımıza göre bir denklemin veya denklem sisteminin oluşturulmasını gerektiren sorunlar ortaya çıktı. Başlangıçta bu tür problemleri çözmek için aritmetik yöntemler kullanıldı. Daha sonra cebirsel kavramların başlangıcı oluşmaya başladı. Örneğin, Babilli hesap makineleri bakış açısından indirgenebilecek problemleri çözebildiler. modern sınıflandırma ikinci dereceden denklemler. Daha sonra cebirsel bileşenin izole edilmesi ve bağımsız çalışmasının temelini oluşturan kelime problemlerini çözmek için bir yöntem oluşturuldu.

Bu çalışma başka bir çağda, ilk olarak denklemlerin indirgenmesini sağlayan karakteristik eylemleri tanımlayan Arap matematikçiler (MS VI-X yüzyıllar) tarafından gerçekleştirildi. standart görünüm benzer terimlerin getirilmesi, terimlerin denklemin bir kısmından diğerine işaret değişikliği ile aktarılması. Ve daha sonra, uzun bir araştırma sonucunda modern cebirin dilini, harflerin kullanımını, aritmetik işlemler için sembollerin tanıtılmasını, parantezleri vb. yaratan Rönesans'ın Avrupalı matematikçileri tarafından. 16. yüzyılın başında- 17. yüzyıllar. Matematiğin özel bir parçası olan cebir, kendine has konusu, yöntemi ve uygulama alanlarıyla zaten oluşmuştu. Günümüze kadarki gelişimi, yöntemlerin geliştirilmesi, uygulama alanlarının genişletilmesi, kavramların ve bunların matematiğin diğer dallarındaki kavramlarla bağlantılarının açıklığa kavuşturulmasından ibaretti.

Dolayısıyla denklem kavramıyla ilgili malzemenin önemi ve genişliği göz önüne alındığında, bu konunun incelenmesi modern yöntemler matematik, kökeni ve işleyişinin üç ana alanıyla ilişkilidir.

İkinci dereceden herhangi bir denklemi çözmek için bilmeniz gerekenler:

diskriminant bulma formülü;

· ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü;

· bu tür denklemleri çözmek için algoritmalar.

· tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek;

· İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözebilir;

· Verilen ikinci dereceden denklemleri çözebilir;

· çözülmüş denklemlerdeki hataları bulun ve düzeltin;

· kontrol edin.

Her denklemin çözümü iki ana bölümden oluşur:

· bu denklemin en basitine dönüştürülmesi;

· Denklemleri aşağıdakilere göre çözme bilinen kurallar, formüller veya algoritmalar.

İkinci dereceden denklemleri çözerken öğrencilerin aktivite yöntemlerinin genelleştirilmesi yavaş yavaş gerçekleşir. “İkinci Dereceden Denklemler” konusunu incelerken aşağıdaki aşamaları ayırt edebiliriz:

Aşama I – “Eksik ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi.”

Aşama II – “İkinci dereceden tam denklemlerin çözülmesi.”

Aşama III – “İndirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi.”

İlk aşamada tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler dikkate alınır. İlk başta matematikçiler tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendikleri için, dedikleri gibi bunun için hiçbir şey icat etmeleri gerekmedi. Bunlar şu formdaki denklemlerdir: ax2 = 0, ax2 + c = 0, burada c≠ 0, ax2 + bx = 0, burada b ≠ 0. Bu denklemlerden birkaçını çözmeyi düşünün:

1. Eğer ax2 = 0 ise. Bu tür denklemler aşağıdaki algoritma kullanılarak çözülür:

1) x2'yi bulun;

2) x'i bulun.

Örneğin 5x2 = 0. Denklemin her iki tarafının da 5'e bölünmesi şunu verir: x2 = 0, dolayısıyla x = 0.

2. Eğer ax2 + c = 0 ise, c≠ 0 Bu türdeki denklemler aşağıdaki algoritma kullanılarak çözülür:

1) terimleri sağ tarafa taşıyın;

2) kareleri c sayısına eşit olan tüm sayıları bulun.

Örneğin x2 - 5 = 0, Bu denklem x2 = 5 denkleminin eşdeğeridir. Bu nedenle kareleri 5 sayısına eşit olan tüm sayıları bulmamız gerekiyor..gif" width=16" height=19 ">..gif" width = "16" height = "19 src = "> ve başka kökü yoktur.

3. Eğer ax2 + bx = 0 ise, b ≠ 0. Bu tür denklemler aşağıdaki algoritma kullanılarak çözülür:

1) ortak faktörü parantezlerin dışına taşıyın;

2) x1, x2'yi bulun.

Örneğin, x2 - 3x = 0. x2 - 3x = 0 denklemini x (x - 3) = 0 biçiminde yeniden yazalım. Bu denklemin kökleri açıkça x1 = 0, x2 = 3'tür. Başka kökleri yoktur çünkü Eğer sıfır ve x yerine 3 dışında herhangi bir sayı koyarsanız denklemin sol tarafında x (x – 3) = 0 olur ve sıfıra eşit olmayan bir sayı elde edersiniz.

Dolayısıyla, bu örnekler eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü göstermektedir:

1) denklem ax2 = 0 biçimindeyse, bir kökü x = 0'dır;

2) denklem ax2 + bx = 0 biçimindeyse, çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır: x (ax + b) = 0; bu ya x = 0 ya da ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> anlamına gelir. Şu durumda -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, yani - = m, burada m>0, x2 = m denkleminin iki kökü vardır

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" genişlik = "29" yükseklik = "24 src = ">.gif" genişlik = "29" yükseklik = "24 src = ">, (bu durumda daha kısa = gösterimine izin verilir.

Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olabilir, bir kökü olabilir veya kökü olmayabilir.

İkinci aşamada, ikinci dereceden denklemin tamamının çözümüne geçiş gerçekleştirilir. Bunlar a, b, c'ye verilen sayılar ve ≠ 0, x'in bilinmeyen olduğu ax2 + bx + c = 0 formundaki denklemlerdir.

Herhangi bir tam ikinci dereceden denklem forma dönüştürülebilir İkinci dereceden bir denklemin kök sayısını belirlemek ve bu kökleri bulmak için. Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü için aşağıdaki durumlar dikkate alınır: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Eğer D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Örneğin 2x2 + 4x + 7 = 0. Çözüm: burada a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

D'den beri< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. D = 0 ise ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü vardır ve bu formül tarafından bulunur.

Örneğin 4x – 20x + 25 = 0. Çözüm: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

D = 0 olduğundan bu denklemin tek kökü vardır. Bu kök ..gif" width = "100" yükseklik = "45">.gif" genişlik = "445" yükseklik = "45 src = "> formülü kullanılarak bulunur.

ax2 + bx + c = 0 formundaki bir denklemi çözmek için bir algoritma derlendi.

1. Diskriminant D'yi D = b2 – 4ac formülünü kullanarak hesaplayın.

2. Eğer D ise< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. D = 0 ise, ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır ve bu formülle bulunur

4..gif" genişlik = "101" yükseklik = "45">.

Bu algoritma evrenseldir; hem eksik hem de tam ikinci dereceden denklemlere uygulanabilir. Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler genellikle bu algoritma kullanılarak çözülmez.

Matematikçiler pratik ve ekonomik insanlardır, bu nedenle şu formülü kullanırlar: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=>>, D..gif" width=89" height=49"> ile aynı işarete sahipse denklem (3)'ün iki kökü vardır;

2) eğer bu denklemin çakışan iki kökü varsa;

3) Bu denklemin kökleri yoksa.

İkinci dereceden denklemlerin incelenmesinde önemli bir nokta, indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir ilişkinin varlığını belirten Vieta teoreminin dikkate alınmasıdır.

Vieta'nın teoremi. Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, buradan alınan ikinci katsayıya eşittir. zıt işaret ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir.

Başka bir deyişle, eğer x1 ve x2, x2 + px + q = 0 denkleminin kökleri ise, o zaman

Bu formüllere, cebirsel semboller sistemini tanıtan ve temel cebirin temellerini geliştiren Fransız matematikçi F. Vieta () onuruna Vieta formülleri adı verilir. Denklem teorisini önemli ölçüde geliştiren sayıları harflerle gösteren ilk kişilerden biriydi.

Örneğin verilen x2 - 7x +10 = 0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7, çarpımı ise 10'dur. Köklerin toplamının alınan ikinci katsayıya eşit olduğu görülmektedir. zıt işaretlidir ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir.

Vieta teoreminin tersi de doğrudur.

Teorem Vieta teoreminin tersidir. Formül (5) x1, x2, p, q sayıları için geçerliyse, x1 ve x2, x2 + px + q = 0 denkleminin kökleridir.

Vieta teoremi ve onun tersi genellikle çeşitli problemleri çözmek için kullanılır.

Örneğin. Kökleri 1 ve -3 sayıları olan aşağıdaki ikinci dereceden denklemi yazalım.

Vieta'nın formüllerine göre

– p = x1 + x2 = - 2,

Dolayısıyla gerekli denklem x2 + 2x – 3 = 0 formundadır.

Vieta teoremine hakim olmanın zorluğu çeşitli nedenlerden kaynaklanmaktadır. Öncelikle direkt ve ters teoremler arasındaki farkı dikkate almak gerekir. Vieta'nın direkt teoremi ikinci dereceden bir denklemi ve köklerini verir; tersinde yalnızca iki sayı vardır ve ikinci dereceden denklem teoremin sonunda ortaya çıkar. Öğrenciler sıklıkla akıl yürütmelerini Vieta'nın doğrudan veya ters teoremine yapılan yanlış referansa dayandırma hatasına düşerler.

Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerini seçim yoluyla bulurken, öğrencilerin sıklıkla yaptığı gibi doğrudan teoreme değil, Vieta'nın ters teoremine başvurmanız gerekir. Vieta teoremlerini sıfır diskriminant durumuna genişletmek için, bu durumda ikinci dereceden denklemin iki eşit kökü olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu anlaşmanın rahatlığı, ikinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırırken ortaya çıkar.

Araştırma

Konu hakkında

"İkinci dereceden denklemleri çözme yolları"

Gerçekleştirilen:
grup 8 "G" sınıfı

İşin başı:
Benkovskaya Maria Mihaylovna

Projenin amaç ve hedefleri.

1. Diğer bilimler gibi matematiğin de çözülmemiş gizemleri olduğunu gösterin.
2. Matematikçilerin standart dışı düşünmeyle ayırt edildiğini vurgulayın. Ve bazen yaratıcılık ve sezgi iyi matematikçi Tek kelimeyle muhteşem!
3. İkinci dereceden denklemleri çözme girişiminin matematikte yeni kavram ve fikirlerin gelişmesine katkıda bulunduğunu gösterin.
4. Çeşitli bilgi kaynaklarıyla çalışmayı öğrenin.
5. Matematikte araştırma çalışmalarına devam edin

Araştırma aşamaları

1. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihi.

2. İkinci dereceden denklemin tanımı ve çeşitleri.

3. İkinci dereceden denklemlerin diskriminant formülünü kullanarak çözülmesi.

4. François Viète ve teoremi.

5. İkinci dereceden bir denklemin köklerini hızlı bir şekilde bulmak için katsayıların özellikleri.

6. Pratik yönelim.

Denklemler, teoremler aracılığıyla

Bir çok problemi çözdüm.

(Chaucer, İngiliz şair, Ortaçağ.)

sahne. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihi.

Sadece birinci değil ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, eski zamanlarda alan bulma ile ilgili problemleri çözme ihtiyacından kaynaklanıyordu. arsalar ve askeri nitelikteki toprak işlerinin yanı sıra astronomi ve matematiğin gelişmesiyle birlikte.

Babilliler ikinci dereceden denklemleri MÖ 2000 yıllarında çözebildiler. Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern olanlarla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kuralı nasıl buldukları bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor.

Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

Diophantus'un Aritmetiği, açıklamaların eşlik ettiği ve denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir. çeşitli dereceler ancak cebirin sistematik bir sunumunu içermez.

İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, 499'da derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemelerinde zaten bulunmaktadır. Hintli matematikçi ve astronom Aryabhatta. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:

El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem listeliyor. Negatif sayıları bilmeyen El-Harizmi için her denklemin terimleri çıkarılabilir değil, toplamadır. Aynı zamanda, pozitif çözümü olmayan denklemler açıkça dikkate alınmaz; eksik ikinci dereceden bir denklemi çözerken, el-Khorezmi, 17. yüzyıla kadar tüm bilim adamları gibi sıfır çözümünü hesaba katmaz.

El-Harizmi'nin eseri, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını ve bunların çözümüne yönelik formülleri sistematik olarak ortaya koyan, bize ulaşan ilk kitaptır.

Avrupa'da Harizmi örnek alınarak modellenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk olarak İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202 yılında yazdığı Abaküs Kitabı'nda ortaya konmuştur. Bu hacimli çalışma, sunumunun bütünlüğü ve netliği ile öne çıkıyor. Yazar bağımsız olarak problemlerin çözümü için bazı yeni cebirsel yöntemler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. “Abaküs Kitabı”ndaki pek çok problem, 16. - 17. ve kısmen 18. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarına aktarılmıştır.

Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel kural tüm olası işaret kombinasyonları için katsayılar b,c Avrupa'da yalnızca 1544'te M. Stiefel tarafından formüle edildi.

İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Viète'den elde edilebilir, ancak Viète yalnızca pozitif kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli, 16. yüzyılda yalnızca olumlu değil, aynı zamanda olumsuz kökleri de hesaba katan ilk kişiler arasındaydı. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemi ancak 17. yüzyılda Girrard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde modern şeklini aldı.

ÇIKTI:

İkinci dereceden denklemleri içeren problemlerle 499 gibi erken bir tarihte karşılaşıldı.

İÇİNDE Antik Hindistan Zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı - OLİMPİYATLAR .

©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2016-04-11

GİRİİŞ

Bir okul cebir dersindeki denklemler lider yer. Okul matematik dersindeki diğer konulara göre onların çalışmalarına daha fazla zaman ayrılır. Denklem teorisinin gücü, yalnızca doğa yasalarının bilgisi için teorik öneme sahip olması değil, aynı zamanda belirli pratik amaçlara da hizmet etmesidir. Mekansal formlar ve niceliksel ilişkilerle ilgili sorunların çoğu gerçek dünya bir karara varmak çeşitli türler denklemler. İnsanlar bunları çözmenin yollarını öğrenerek soruların yanıtlarını bulurlar. çeşitli sorular bilim ve teknolojiden (ulaşım, Tarım, endüstri, iletişim vb.). Ayrıca denklem çözme yeteneğini geliştirmek için öğrencinin denklem çözmeyi öğrenirken bağımsız çalışması büyük önem taşımaktadır. Herhangi bir konuyu incelerken denklemler, öğrencilerin yaratıcı matematiksel etkinliklerinin geliştirilmesi için teorik bilgiyi pekiştirmenin, derinleştirmenin, tekrarlamanın ve genişletmenin etkili bir yolu olarak kullanılabilir.

Modern dünyada denklemler matematiğin çeşitli dallarında ve önemli uygulamalı problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu konu, sunumun büyük derinliği ve öğretimde yardımıyla kurulan bağlantıların zenginliği ve sunumun mantıksal geçerliliği ile karakterize edilir. Bu nedenle denklemler çizgisinde istisnai bir konuma sahiptir. Öğrenciler, halihazırda bir miktar deneyim biriktirmiş, yeterince geniş bir cebirsel ve genel matematiksel kavram, kavram ve beceri stoğuna sahip olan "Kare Trinomials" konusunu incelemeye başlarlar. Denklemlerle ilgili materyalin sentezlenmesi, tarihselcilik ve erişilebilirlik ilkelerinin uygulanması büyük ölçüde bu konunun materyali üzerindedir.

Alaka düzeyi Konu “İkinci dereceden denklemlerin çözümü” konusunda tarihselcilik ilkelerinin uygulanmasının gerekliliği ve bunu uygulayacak materyalin yetersizliğidir.

Araştırma problemi: İkinci dereceden denklemlerin çözümünü öğretmek için tarihsel materyalin tanımlanması.

İşin amacı: Matematik derslerinde ikinci dereceden denklemler üzerinde çalışmaya ilişkin fikirlerin oluşturulması, “İkinci Dereceden Denklemler” konusunda tarihselcilik unsurları içeren bir dizi ders seçimi.

Çalışmanın amacı: 8. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin tarihselcilik unsurlarını kullanarak çözülmesi.

Çalışma konusu: ikinci dereceden denklemler ve tarihi materyalleri kullanarak ikinci dereceden denklem çözmeyi öğretmeye yönelik derslerin geliştirilmesi.

Görevler:

araştırma problemi üzerine bilimsel ve metodolojik literatürün analizini yapmak;

okul ders kitaplarını analiz edin ve ikinci dereceden denklemleri çözmeyi öğretme yerini vurgulayın;

Tarihi materyalleri kullanarak ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin bir dizi ders seçin.

Araştırma Yöntemleri:

“İkinci dereceden denklemlerin çözümü” konulu literatürün analizi;

“İkinci dereceden denklemlerin çözümü” konulu bir ders sırasında öğrencilerin gözlemlenmesi;

materyal seçimi: tarihsel bilgileri kullanarak “İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi” konulu dersler.

§ 1. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden

Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir, nicelikler üzerindeki işlemlerin genel özelliklerini inceler.

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu.

Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.

Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer.

Örneğin, görevlerinden biri burada.

Problem 2. “Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilerek iki sayı bulun.”

Diophantus şu sonuca varıyor: Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı anlaşılıyor, çünkü eşit olsalardı çarpımları 96'ya değil 100'e eşit olurdu. Dolayısıyla bunlardan biri birden fazla olacaktır. toplamlarının yarısı, yani .
. Diğeri daha küçüktür, yani.
. Aralarındaki fark
. Dolayısıyla denklem:

Buradan
. Gerekli sayılardan biri 12 diğeri ise 8'dir. Çözüm
Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları bildiğinden Diophantus için mevcut değildir.

Bu problemi gerekli sayılardan birini bilinmeyen olarak seçerek çözerseniz denklemin çözümüne ulaşabilirsiniz:

Hindistan'da İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:

(1)

Denklem (1)'de katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da cebirsel problemler önererek ve çözerek halka açık toplantılarda ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.

Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

Problem 3'e karşılık gelen denklem:

Bhaskara kisvesi altında yazıyor:

ve bu denklemin sol tarafını kareye tamamlamak için her iki tarafa da 322 eklenir ve şunu elde edilir:

El-Harizmi'nin ikinci dereceden denklemleri

El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

Bir örnek verelim.

Problem 4. “Kare ve 21 sayısı 10 köke eşittir. Kökü bulun" (denklemin kökü anlamına gelir)
).

El-Harizmi'nin eseri, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.

Avrupa'da ikinci dereceden denklemlerXII- XVIIV.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulunmuştur. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel kural
tüm olası işaret ve katsayı kombinasyonları için b, c, Avrupa'da 1544'te M. Stiefel tarafından formüle edildi.

İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Viète'den elde edilebilir, ancak Viète yalnızca pozitif kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir şekil alıyor.

Pratik problemlerin çözümüne yönelik cebirsel yöntemlerin kökenleri, antik dünyanın bilimiyle ilişkilidir. Matematik tarihinden bilindiği üzere Mısırlı, Sümerli ve Babilli yazıcı ve hesap makinelerinin (M.Ö. XX-VI yüzyıllar) çözdüğü matematik problemlerinin önemli bir kısmı hesaplama niteliğindeydi. Ancak o zaman bile zaman zaman, bir miktarın arzu edilen değerinin belirli dolaylı koşullarla belirlendiği ve modern bakış açımıza göre bir denklemin veya denklem sisteminin oluşturulmasını gerektiren sorunlar ortaya çıktı. Başlangıçta bu tür problemleri çözmek için aritmetik yöntemler kullanıldı. Daha sonra cebirsel kavramların başlangıcı oluşmaya başladı. Örneğin Babil hesap makineleri, modern sınıflandırma açısından ikinci derece denklemlere indirgenebilecek problemleri çözebildiler. Daha sonra cebirsel bileşenin izole edilmesi ve bağımsız çalışmasının temelini oluşturan kelime problemlerini çözmek için bir yöntem oluşturuldu.

Bu çalışma başka bir dönemde, ilk olarak denklemlerin standart bir forma getirilmesini sağlayan karakteristik eylemleri tanımlayan Arap matematikçiler (MS VI-X yüzyıllar) tarafından gerçekleştirildi: benzer terimleri getirmek, terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarmak. işaret değişikliği. Ve daha sonra, uzun bir araştırma sonucunda modern cebirin dilini, harflerin kullanımını, aritmetik işlemler için sembollerin tanıtılmasını, parantezleri vb. yaratan Rönesans'ın Avrupalı matematikçileri tarafından. 16. yüzyılın başında- 17. yüzyıllar. Matematiğin özel bir parçası olan cebir, kendine has konusu, yöntemi ve uygulama alanlarıyla zaten oluşmuştu. Günümüze kadarki gelişimi, yöntemlerin geliştirilmesi, uygulama alanlarının genişletilmesi, kavramların ve bunların matematiğin diğer dallarındaki kavramlarla bağlantılarının açıklığa kavuşturulmasından ibaretti.

Dolayısıyla denklem kavramıyla ilgili materyalin önemi ve genişliği göz önüne alındığında, modern matematik yöntemlerinde incelenmesi, kökeni ve işleyişinin üç ana alanıyla ilişkilidir.

Ana sayfa > Rapor

Kahramanlar adını taşıyan belediye eğitim kurumu ortaokulu Sovyetler Birliği
Sotnikova A.T. ve Shepeleva N. G. köyü Uritskoe

Konuyla ilgili rapor:

"Köken tarihi

ikinci dereceden denklemler"

Tarafından hazırlandı:İzotova Yulia,
Ampleeva Elena,
Şepelev Nikolay,

Dyachenko Yuri.

Ah matematik. Asırlardır ihtişamla kaplısın,

Tüm dünyevi armatürlerin armatürü.

Sen görkemli kraliçesin

Gauss'un onu vaftiz etmesine şaşmamalı.

Katı, mantıklı, görkemli,

Bir ok gibi uçarken ince,

Senin solmayan ihtişamın

Yüzyıllar geçtikçe ölümsüzlüğe kavuştu.

İnsan aklını övüyoruz,

Onun işleri sihirli eller,

Bu yüzyılın umudu

Tüm dünyevi bilimlerin kraliçesi.

Bugün size söylemek istiyoruz

Menşe tarihi

Her öğrencinin bilmesi gerekenler -

İkinci dereceden denklemlerin tarihi.

Öklid, MÖ 3. yüzyılda e. İkinci dereceden denklemleri çözmek için gerekli tüm materyalin toplandığı “İlkeler” adlı ikinci kitabın tamamını geometrik cebire ayırdı.

Öklid (Eνκλειδηζ), antik Yunan matematikçisi, matematik üzerine bize ulaşan ilk teorik incelemenin yazarı

Öklid hakkında bilgi son derece azdır. Güvenilir sayılabilecek tek şey onun bilimsel aktivite MÖ 3. yüzyılda İskenderiye'de gerçekleşti. e. Öklid, İskenderiye okulunun ilk matematikçisidir. Onun asıl iş“İlkeler” (Latince formda - “Elementler”) planimetri, stereometri ve sayı teorisinde bir dizi sorunun bir sunumunu içerir; bu kitapta Yunan matematiğinin önceki gelişimini özetledi ve temelleri attı. Daha fazla gelişme matematik. Balıkçıl - MS 1. yüzyılda Yunanistan'da ilk kez Yunan matematikçi ve mühendis. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için tamamen cebirsel bir yol sunar.

İskenderiye Balıkçılı; Balıkçıl, 1. yüzyıl N. örneğin, Yunan tamirci ve matematikçi. Hayatının zamanı belirsizdir, yalnızca Arşimet'ten (MÖ 212'de ölen) alıntı yaptığı ve kendisinin de Pappus'tan (MS 300 civarı) alıntı yaptığı bilinmektedir. Şu anda hakim olan görüş onun 1. yüzyılda yaşadığı yönündedir. N. e. Geometri, mekanik, hidrostatik, optik okudu; prototip bir buhar motoru ve hassas tesviye aletleri icat etti. En popülerleri otomatik tiyatro, çeşmeler vb. otomatik makinelerdi. G., statik ve kinetik kanunlarına dayanarak teodoliti tanımladı ve kaldıraç, blok, vida ve askeri araçların tanımını yaptı. Optikte ışığın yansıması yasalarını, matematikte ise en önemli ölçüm yöntemlerini formüle etti. geometrik şekiller. G.'nin ana eserleri Ietrics, Pneumatics, Automatopoetics, Mechanics (Fransızca; eser tamamen Arapça olarak korunmuştur), Catoptics (ayna bilimi; yalnızca Latince çeviri) ve diğerleri G. seleflerinin başarılarını kullandı: Öklid, Arşimet, Lampsacus'tan Strato. Üslubu basit ve nettir, ancak bazen çok özlü veya yapısal değildir. G.'nin eserlerine ilgi 3. yüzyılda ortaya çıktı. N. e. Yunanlı, ardından Bizanslı ve Arap öğrenciler onun eserlerini yorumladılar ve tercüme ettiler.

Diofantus- MS 3. yüzyılda bir Yunan bilim adamı, geometriye başvurmadan bazı ikinci dereceden denklemleri tamamen cebirsel olarak çözdü ve denklemin kendisini ve çözümünü sembolik biçimde yazdı.

“Size Yunan matematikçi Diophantus'un ikinci dereceden denklemleri nasıl oluşturup çözdüğünü anlatacağım. Örneğin, görevlerinden biri şu:“Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilen iki sayı bulun.”

1. Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı sonucu çıkıyor çünkü eğer eşit olsaydı çarpımları 96 değil 100 olurdu.

2. Yani bunlardan biri miktarının yarısından fazlası olacaktır, yani. 10 + x, diğeri daha küçüktür, yani. 10 – x.

3. Aralarındaki fark 2x'tir.

4. Dolayısıyla (10 + x) * (10 – x) = 96 denklemi

100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0

5. Cevap x = 2. Aradığımız sayılardan biri 12'dir.
diğer - 8. Diophantus için x = - 2 çözümü mevcut değildir çünkü Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları biliyordu.” Diophantus çok karmaşık denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyordu ve bunları bilinmeyenler için kullanıyordu harf atamaları, hesaplama için özel bir karakter getirdi, kelime kısaltmalarını kullandı. Bhaskare – Akaria- MS 12. yüzyılda Hintli matematikçi. İkinci dereceden denklemleri çözmek için genel bir yöntem keşfetti.

Hintli matematikçilerin problemlerinden birine, örneğin Bhaskara problemine bakalım:

“Bir maymun sürüsü eğleniyor: Bir meydandaki toplam sayının sekizde biri ormanda eğleniyor, geri kalan on iki tanesi tepenin zirvesinde çığlık atıyor. Söylesene, orada kaç tane maymun var?”

Problemi yorumlayarak problemin (x/8) 2 + 12 = x denklemine karşılık geldiğini söylemek isterim. Bhaskara x 2 – 64x = - 768 şeklinde yazıyor. Her iki tarafa da 32'nin karesi eklendiğinde denklem şöyle oluyor:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

Karekökü aldıktan sonra şunu elde ederiz: x – 32 =16.

"İÇİNDE bu durumda Bhaskara şöyle diyor: "İlk bölümün negatif birimleri, ikinci bölümün birimleri onlardan daha küçük olacak şekildedir ve bu nedenle ikincisi hem pozitif hem de negatif olarak değerlendirilebilir ve bilinmeyenin çift değerini elde ederiz: 48 ve 16.”

Şu sonuca varmak gerekiyor: Bhaskara'nın çözümü ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

Eski Hint Bhaskara sorununun çözülmesi önerildi:

“Maymunların beşte birlik karesi, üçe indirildi, mağaraya saklandı, bir maymun ağaca tırmandı ve görüldü. Kaç tane maymun vardı? Bu problemin ikinci dereceden bir denkleme indirgenerek temel bir şekilde çözülebileceğine dikkat edilmelidir.

Al - Harezmi - 825 yılında “Restorasyon ve Muhalefet Kitabı” kitabını yazan bir Arap bilgini. Bu dünyanın ilk cebir ders kitabıydı. Ayrıca altı tür ikinci dereceden denklem verdi ve altı denklemin her biri için, onu çözmek için özel bir kural formüle etti. Harezmî risalesinde 6 çeşit denklem vardır ve bunları şu şekilde ifade ederler:

1. “Kareler köklere eşittir” yani. ah 2 = inç.

2. “Kareler sayılara eşittir” yani. balta 2 = c.

3. “Kökler sayıya eşittir” yani. ah = s.

4. “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani. balta 2 + c = inç.

5. “Kareler ve kökler sayılara eşittir” yani. ax 2 + inx = s.

6. “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani. + c = eksen 2'de.

İkinci dereceden bir denklemin çözümüne varan el-Khorezmi problemini analiz edelim. "Kare ve sayı köklere eşittir." Örneğin bir kare ve 21 sayısı aynı karenin 10 köküne eşittir. soru şu; kendisine 21 eklendiğinde aynı karenin 10 köküne eşit olan bir kareden ne oluşur?

VE Öğrenciler 4. el-Khorezmi formülünü kullanarak şunu yazmalıdır: x 2 + 21 = 10x

François Viet - Fransız matematikçi, belirli bir ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı ve çarpımı üzerine bir teorem formüle etti ve kanıtladı.

Açıkladığım sanat yenidir ya da en azından zamanla o kadar bozulmuş ve barbarların etkisiyle o kadar bozulmuştur ki, ona tamamen yeni bir görünüm vermenin gerekli olduğunu düşündüm.

François Viet

Iet Francois (1540-13.12.1603), ünlü La Rochelle kalesinden çok da uzak olmayan Poitou eyaletinin Fontenay-le-Comte şehrinde doğdu. Hukuk eğitimi almış, on dokuz yaşından itibaren başarılı bir şekilde avukatlık mesleğini icra etmiştir. memleket. Bir avukat olarak Viet, halk arasında otoriteye ve saygıya sahipti. O, geniş eğitimli bir adamdı. Astronomi, matematik ve her şeyi biliyordum boş zaman bu bilimlere verdi.

Ana tutku Vieta matematikti. Cardano, Bombelli, Stevin ve diğerlerinin en yakın öncülleri olan Arşimed ve Diophantus klasiklerinin eserlerini derinlemesine inceledi. Viet sadece onlara hayran olmakla kalmadı, aynı zamanda sözlü sembolizm nedeniyle anlaşılması güç olan büyük bir kusur da gördü: Neredeyse tüm eylemler ve işaretler kelimelerle yazılmıştı, şimdi kullandığımız o kullanışlı, neredeyse otomatik kurallara dair hiçbir ipucu yoktu. kullanmak. Yazmak ve dolayısıyla cebirsel karşılaştırmaları veya diğer cebirsel ifadeleri genel bir biçimde başlatmak imkansızdı. Sayısal katsayılı her denklem türü özel bir kurala göre çözüldü. Bu nedenle böyle şeylerin var olduğunu kanıtlamak gerekiyordu. genel eylemler bu sayılara bağlı olmayan tüm sayılar üzerinde. Viet ve takipçileri, söz konusu sayının nesnelerin sayısı mı yoksa parçanın uzunluğu mu olduğunun önemli olmadığını tespit etti. Önemli olan bu sayılarla cebirsel işlemler yapabilmeniz ve sonuç olarak yine aynı türden sayılar elde edebilmenizdir. Bu, bazı soyut işaretlerle gösterilebilecekleri anlamına gelir. Viet tam da bunu yaptı. Sadece gerçek hesabını tanıtmakla kalmadı, aynı zamanda temelde yeni bir keşif yaptı ve kendisine sayıları değil, sayıların üzerinde yapılan işlemleri inceleme hedefini koydu. Bu notasyon yöntemi, Vieth'in cebirsel denklemlerin genel özelliklerini incelerken önemli keşifler yapmasına olanak sağladı. Bunun için Vieta'ya cebirin "babası", harf sembollerinin kurucusu denmesi tesadüf değildir.

Bilgi kaynakları:

http :// biraz. beş. ru/ Kaynaklar/ Karpuhina/2003/12/ İltifat edildi%20 iş/ Konser/ dizin1. htm

http :// sayfalar. marsu. ru/ iac/ okul/ S4/ sayfa74. HTML

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı

Belediye eğitim kurumu

"22 No'lu Ortaokul"

İkinci dereceden ve daha yüksek dereceli denklemler

Tamamlanmış:

8 "B" sınıfı öğrencileri

Kuznetsov Evgeniy ve Rudi Alexey

Danışman:

Zenina Alevtina Dmitrievna

Matematik öğretmeni

giriiş

1.1 Antik Babil'deki Denklemler

1.2 Arap denklemleri

1.3 Hindistan'daki Denklemler

Bölüm 2. İkinci dereceden denklemler teorisi ve yüksek dereceli denklemler

2.1 Temel kavramlar

2.2 x'te çift katsayı için formüller

2.3 Vieta teoremi

2.4 Belirli bir nitelikteki ikinci dereceden denklemler

2.5 Daha yüksek dereceli polinomlar (denklemler) için Vieta teoremi

2.6 İkinci dereceden (biquadratik) indirgenebilen denklemler

2.7 İki ikinci dereceden denklemlerin incelenmesi

2.8 Cordano formülleri

2.9 Üçüncü dereceden simetrik denklemler

2.10 Karşılıklı denklemler

2.11 Horner şeması

Çözüm

Kaynakça

Ek 1

Ek 2

Ek 3

giriiş

Denklemler okul cebir dersinde önde gelen bir yere sahiptir. Çalışmalarına diğer konulardan daha fazla zaman ayrılır. Aslında denklemler yalnızca önemli teorik öneme sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda tamamen pratik amaçlara da hizmet eder. Gerçek dünyadaki mekansal formlar ve niceliksel ilişkilerle ilgili çok sayıda problem, çeşitli denklem türlerinin çözülmesinden kaynaklanmaktadır. Bunları çözmenin yollarını öğrenerek, bilim ve teknolojiden (ulaşım, tarım, sanayi, iletişim vb.) kaynaklanan çeşitli sorulara yanıtlar buluyoruz.

Bu yazıda çeşitli denklemleri çözmek için formüller ve yöntemler göstermek istiyorum. Bu amaçla okul müfredatında yer almayan denklemler verilmektedir. Bunlar esas olarak belirli nitelikteki denklemler ve daha yüksek dereceli denklemlerdir. Bu konuyu genişletmek için bu formüllerin kanıtları verilmiştir.

Makalemizin amaçları:

Denklem çözme becerilerini geliştirin

Denklemleri çözmenin yeni yollarını geliştirin

Bu denklemleri çözmenin bazı yeni yollarını ve formüllerini öğrenin.

Çalışmanın amacı temel cebirdir. Çalışmanın amacı denklemlerdir. Bu konunun seçimi, denklemlerin hem ilkokul müfredatında hem de sonraki her sınıfta yer alması gerçeğine dayanıyordu. orta okul, liseler, kolejler. Pek çok geometrik problem, fizik, kimya ve biyolojideki problemler denklemler kullanılarak çözülür. Denklemler yirmi beş yüzyıl önce çözüldü. Bugün hala yaratılıyorlar - her ikisi de kullanım için Eğitim süreci ve üniversitelerdeki rekabetçi sınavlar için, en üst düzeydeki olimpiyatlar için.

Bölüm 1. İkinci dereceden denklemlerin ve yüksek mertebeden denklemlerin tarihi

1.1 Antik Babil'deki Denklemler

Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir, nicelikler üzerindeki işlemlerin genel özelliklerini inceler.

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu. Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci derecedeki denklemleri çözme ihtiyacı, askeri nitelikteki arsaların ve arazi işlerinin bulunmasıyla ilgili sorunların çözülmesi ihtiyacından kaynaklanıyordu. astronomi ve matematiğin gelişmesiyle birlikte. Daha önce de belirttiğimiz gibi ikinci dereceden denklemler M.Ö. 2000 yıllarında Babilliler tarafından çözülebilmiştir. Modern cebirsel notasyonu kullanarak çivi yazılı metinlerde hem eksik hem de tam ikinci dereceden denklemlerin bulunduğunu söyleyebiliriz.

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern olanlarla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor.

Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden bir denklemi çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

1.2 Arap denklemleri

Araplar tarafından hem ikinci dereceden hem de yüksek mertebeden denklemlerin çözümü için bazı yöntemler geliştirildi. Böylece ünlü Arap matematikçi El-Khorezmi, "El-Jabar" adlı kitabında çeşitli denklemleri çözmenin birçok yolunu anlattı. Onların tuhaflığı, Al-Khorezmi'nin denklemlerin köklerini (çözümlerini) bulmak için karmaşık radikalleri kullanmasıydı. Miras paylaşımına ilişkin sorularda bu tür denklemlerin çözülmesine ihtiyaç vardı.

1.3 Hindistan'daki Denklemler

İkinci dereceden denklemler Hindistan'da da çözüldü. İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir konik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kural ortaya koydu:

aх² + bx= c, burada a > 0

Bu denklemde a dışındaki katsayılar negatif olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Eski Hindistan'da zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek diğerinin ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Hem ikinci dereceden hem de daha yüksek dereceli denklemler, uzak atalarımız tarafından çözüldü. Bu denklemler çok farklı ve uzak ülkelerde çözüldü. Denklemlere duyulan ihtiyaç büyüktü. Denklemler inşaatta, askeri işlerde ve günlük durumlarda kullanıldı.

Bölüm 2. İkinci dereceden denklemler ve yüksek mertebeden denklemler

2.1 Temel kavramlar

İkinci dereceden bir denklem, formun bir denklemidir

a, b, c katsayıları herhangi bir gerçek sayıdır ve a ≠ 0'dır.

İkinci dereceden bir denklemin baş katsayısı 1 ise azaltılmış denklem olarak adlandırılır.

Örnek :

x 2 + 2x + 6 = 0.

İkinci dereceden denklem, baş katsayısı 1'den farklıysa indirgenmemiş denklem olarak adlandırılır.

Örnek :

2x2 + 8x + 3 = 0.

Tam ikinci dereceden denklem, üç terimin de mevcut olduğu ikinci dereceden bir denklemdir, diğer bir deyişle b ve c katsayılarının sıfır olmadığı bir denklemdir.

Örnek :

3x2 + 4x + 2 = 0.

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem, en az bir b, c katsayısının sıfıra eşit olduğu ikinci dereceden bir denklemdir.

Dolayısıyla üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:

1) ax² = 0 (çakışan iki kökü vardır x = 0).

2) ax² + bx = 0 (iki kökü vardır x 1 = 0 ve x 2 = -)

Örnek :

x1 = 0, x2 = -5.

Cevap: x 1 =0, x 2 = -5.

Eğer -<0 - уравнение не имеет корней.

Örnek :

Cevap: Denklemin kökleri yoktur.

–> 0 ise x 1,2 = ±

Örnek :

Cevap: x 1,2 =±

İkinci dereceden herhangi bir denklem, diskriminant (b² - 4ac) kullanılarak çözülebilir. Genellikle b² - 4ac ifadesi D harfiyle gösterilir ve ikinci dereceden ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı (veya ikinci dereceden üç ax² + bx + c teriminin diskriminantı) olarak adlandırılır.

Örnek :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Cevap: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Diskriminant'a bağlı olarak denklemin bir çözümü olabilir veya olmayabilir.

1) Eğer D< 0, то не имеет решения.

2) Eğer D = 0 ise denklemin çakışan iki çözümü vardır x 1,2 =

3) D > 0 ise aşağıdaki formüle göre iki çözüm bulunur:

x 1,2 =

2.2 x'te çift katsayı için formüller

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin

ax² + bx + c = 0 formülüyle bulunur

x 1,2 =

Ancak matematikçiler hesaplamalarını kolaylaştırma fırsatını asla kaçırmayacaklar. Bu formülün, b katsayısının b = 2k olması durumunda, özellikle b'nin bir çift sayı olması durumunda basitleştirilebileceğini buldular.

Aslında ikinci dereceden ax² + bx + c = 0 denkleminin b katsayısı b = 2k olsun. Formülümüzde b yerine 2k sayısını yazarsak şunu elde ederiz:

Dolayısıyla, ikinci dereceden ax² + 2kx + c = 0 denkleminin kökleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

x 1,2 =

Örnek :

5x2 - 2x + 1 = 0

Bu formülün avantajı, b sayısının karesi değil, yarısı olması; bu kareden çıkarılanın 4ac değil, sadece ac olması ve son olarak paydanın 2a değil sadece a içermesidir. .

İkinci dereceden denklem verilirse formülümüz şöyle görünecektir:

Örnek :

x 2 – 4x + 3 = 0

Cevap: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Vieta teoremi

İkinci dereceden denklemin köklerinin çok ilginç bir özelliği Fransız matematikçi Francois Viète tarafından keşfedildi. Bu özelliğe Vieta teoremi adı verildi:

Böylece x 1 ve x 2 sayıları denklemin kökleri olur:

ax² + bx + c = 0

eşitliği sağlamak gerekli ve yeterlidir

x 1 + x 2 = -b/a ve x 1 x 2 = c/a

Vieta teoremi ikinci dereceden bir denklemin işaretlerini ve mutlak değerini yargılamamızı sağlar

x² + bx + c = 0

1. Eğer b>0, c>0 ise her iki kök de negatiftir.

2. Eğer b<0, c>0 ise her iki kök de pozitiftir.

3. Eğer b>0 ise, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Eğer b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Belirli bir nitelikteki ikinci dereceden denklemler

1) ax² + bx + c = 0 denkleminde a + b + c = 0 ise, o zaman

x 1 = 1 ve x 2 = .

Kanıt :

ax² + bx + c = 0 denkleminde kökleri

x 1,2 = (1).

b'yi a + b + c = 0 eşitliğinden temsil edelim

Bu ifadeyi formül (1)'de yerine koyalım:

Denklemin iki kökünü ayrı ayrı ele alırsak şunu elde ederiz:

1) x 1 =

2) x 2 =

Şöyle olur: x 1 = 1 ve x 2 =.

1. Örnek :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, dolayısıyla

2. Örnek :

418x² - 1254x + 836 = 0

Bu örneği bir diskriminant kullanarak çözmek çok zordur, ancak yukarıdaki formülü bilerek kolayca çözülebilir.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) ax² + bx + c = 0 denkleminde a - b + c = 0 ise:

x 1 =-1 ve x 2 =-.

Kanıt :

ax² + bx + c = 0 denklemini düşünün, şu şekilde olur:

x 1,2 = (2).

b'yi a - b + c = 0 eşitliğinden temsil edelim

b = a + c, formül (2)'de yerine koyun:

İki ifade elde ederiz:

1) x 1 =

2) x 2 =

Bu formül öncekine benzer ama aynı zamanda önemlidir çünkü... Bu türün örnekleri yaygındır.

1) Örnek :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, dolayısıyla

2)Örnek :

Cevap: x1 = -1; x2 = -

3) Yöntem “ transferler ”

İkinci dereceden y² + by + ac = 0 ve ax² + bx + c = 0 denklemlerinin kökleri aşağıdaki ilişkilerle ilişkilidir:

x 1 = ve x 2 =

Kanıt :

a) ax² + bx + c = 0 denklemini düşünün

x 1,2 = =

b) y² + by + ac = 0 denklemini düşünün

y 1,2 =

Her iki çözümün diskriminantlarının eşit olduğuna dikkat edin; bu iki denklemin köklerini karşılaştıralım. Birbirlerinden önde gelen bir faktörle ayrılırlar, ilk denklemin kökleri ikincinin köklerinden a kadar küçüktür. Vieta teoremini ve yukarıdaki kuralı kullanarak çeşitli denklemleri çözmek zor değildir.

Örnek :

Keyfi bir ikinci dereceden denklemimiz var

10x² - 11x + 3 = 0

Bu denklemi verilen kurala göre dönüştürelim

y² - 11y + 30 = 0

Vieta teoremi kullanılarak oldukça kolay çözülebilen indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ediyoruz.

y 1 ve y 2, y² - 11y + 30 = 0 denkleminin kökleri olsun

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Bu denklemlerin köklerinin birbirinden a kadar farklı olduğunu bilerek, o zaman

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

Bazı durumlarda, önce verilen ax² + bx + c = 0 denklemini değil, verilen “transfer” katsayısı a'dan elde edilen azaltılmış y² + + ac = 0'ı çözmek ve sonra bulunanı bölmek uygundur. Orijinal denklemi bulmak için a'ya göre kökler.

2.5 Daha yüksek dereceli polinomlar (denklemler) için Vieta formülü

İkinci dereceden denklemler için Viète tarafından türetilen formüller, daha yüksek dereceli polinomlar için de geçerlidir.

Polinom olsun

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

N farklı kökü var x 1, x 2..., x n.

Bu durumda, formun çarpanlara ayrılması vardır:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Bu eşitliğin her iki tarafını da 0 ≠ 0'a bölelim ve ilk kısımdaki parantezleri açalım. Eşitliği elde ederiz:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Ancak iki polinom ancak ve ancak aynı güçlerin katsayıları eşitse tamamen eşittir. Bundan şu sonuç çıkıyor: eşitlik

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Örneğin üçüncü dereceden polinomlar için

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Kimliklerimiz var

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

İkinci dereceden denklemlere gelince, bu formüle Vieta formülleri denir. Bu formüllerin sol tarafları bu denklemin x 1, x 2..., x n köklerinden simetrik polinomlardır, sağ tarafları ise polinomun katsayısı ile ifade edilir.

2.6 İkinci dereceden (biquadratik) indirgenebilen denklemler

Dördüncü dereceden denklemler ikinci dereceden denklemlere indirgenir:

balta 4 + bx 2 + c = 0,

biquadratic denir ve a ≠ 0.

Bu denkleme x 2 = y koymak yeterlidir, dolayısıyla,

ay² + by + c = 0

ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 köklerini hemen bulmak için y'yi x ile değiştirin ve şunu elde edin:

x² =

x 1,2,3,4 = .

Dördüncü dereceden bir denklemin x 1 varsa, o zaman aynı zamanda bir kökü de vardır x 2 = -x 1,

Eğer x 3 varsa, o zaman x 4 = - x 3. Böyle bir denklemin köklerinin toplamı sıfırdır.

Örnek :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Denklemi iki ikinci dereceden denklemlerin kökleri formülünde yerine koyalım:

x 1,2,3,4 = ,

x 1 = -x 2 ve x 3 = -x 4 olduğunu bildiğimizde:

x 3,4 =

Cevap: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 İki ikinci dereceden denklemlerin incelenmesi

Biquadratic denklemi ele alalım

balta 4 + bx 2 + c = 0,

burada a, b, c gerçek sayılardır ve a > 0. Yardımcı bilinmeyen y = x²'yi dahil ederek, bu denklemin köklerini inceliyoruz ve sonuçları tabloya giriyoruz (bkz. Ek No. 1)

2.8 Cardano formülü

Modern sembolizmi kullanırsak Cardano formülünün türetilmesi şu şekilde görünebilir:

x =

Bu formül genel bir üçüncü derece denklemin köklerini belirler:

balta 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Bu formül çok hantal ve karmaşıktır (birkaç karmaşık radikal içerir). Her zaman geçerli olmayabilir çünkü... doldurulması çok zordur.

2.9 Üçüncü dereceden simetrik denklemler

Üçüncü derecenin simetrik denklemleri formun denklemleridir

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

a ve b'ye a¹0 ile sayılar verilmiştir.

Denklemin nasıl olduğunu gösterelim ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Denklemin ( 1 ) denkleme eşdeğerdir

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Bu, köklerinin denklemin kökleri olacağı anlamına gelir.

ax² +(b – a)x + a = 0

ve sayı x = -1

denklem ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + balta + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Örnek :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

x 1 = 1 olduğu açıktır ve

2x² + 5x + 2 = 0 denkleminin x 2 ve x 3 kökleri,

Bunları diskriminant aracılığıyla bulalım:

x 1,2 =

x2 = -, x3 = -2

2) Örnek :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

x 1 = -1 olduğu açıktır ve

5x² + 26x + 5 = 0 denkleminin x 2 ve x 3 kökleri,

Bunları diskriminant aracılığıyla bulalım:

x 1,2 =

x2 = -5, x3 = -0,2.

2.10 Karşılıklı denklemler

Karşılıklı denklem – cebirsel denklem

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + an n – 1 x + an n =0,

burada a k = a n – k, burada k = 0, 1, 2…n ve a ≠ 0.

Karşılıklı bir denklemin köklerini bulma sorunu, daha düşük dereceli bir cebirsel denklemin çözümlerini bulma sorununa indirgenir. Karşılıklı denklemler terimi L. Euler tarafından tanıtıldı.

Formun dördüncü derece denklemi:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Bu denklemi forma indirgemek

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0 ve y = x + m/x ve y² - 2m = x² + m²/x²,

Denklemin ikinci dereceden indirgendiği yerden

ay² + by + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

Bunu x 2'ye bölmek eşdeğer denklemi verir

3x 2 + 5x – 14 – 5 × veya

Nerede ve

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, dolayısıyla

y 1 = y 2 = -2, dolayısıyla

Ve nerede

Cevap: x 1,2 = x 3,4 = .

Karşılıklı denklemlerin özel bir durumu simetrik denklemlerdir. Daha önce üçüncü dereceden simetrik denklemlerden bahsetmiştik ama dördüncü dereceden simetrik denklemler de var.

Dördüncü dereceden simetrik denklemler.

1) Eğer m = 1 ise, bu birinci türden simetrik bir denklemdir;

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ve yeni bir ikameyle çözüldü

2) Eğer m = -1 ise bu ikinci türden simetrik bir denklemdir;

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 ve yeni bir ikame ile çözüldü

2.11 Horner şeması

Polinomları bölmek için "açıya göre bölme" kuralı veya Horner şeması kullanılır . Bu amaçla polinomlar azalan derecelerde düzenlenir. X ve Q(x) bölümünün baş terimini, bölenin D(x) baş terimiyle çarpıldığında, bölen P(x)'in baş teriminin elde edilmesi koşulundan bulun. Bölümün bulunan terimi önce bölenle çarpılır ve bölünen paydan çıkarılır. Bölümün baştaki terimi, bölenin baştaki terimiyle çarpıldığında fark polinomunun baştaki terimini vermesi koşulundan belirlenir, vb. Farkın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar işlem devam eder (bkz. Ek No. 2).

R = 0 denklemleri durumunda bu algoritmanın yerini Horner şeması alır.

Örnek :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Serbest terimin ±1 bölenlerini bulun; ± 2; ± 3; ± 6.

Denklemin sol tarafını f(x) ile gösterelim. Açıkçası, f(1) = 0, x1 = 1. f(x)'i x – 1'e bölün. (bkz. Ek No. 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Son faktörü Q(x) ile gösteriyoruz. Q(x) = 0 denklemini çözüyoruz.

x 2,3 =

Cevap : 1; -2; -3.

Bu bölümde çeşitli denklemlerin çözümü için bazı formüller verdik. Kısmi denklemlerin çözümü için bu formüllerin çoğu. Bu özellikler çok uygundur çünkü denklemleri bu denklem için ayrı bir formül kullanarak çözmek genel prensibi kullanmaktan çok daha kolaydır. Her yöntem için bir kanıt ve birkaç örnek sunduk.

Çözüm

Birinci bölümde ikinci dereceden denklemlerin ve yüksek mertebeden denklemlerin ortaya çıkış tarihi incelendi. Çeşitli denklemler 25 yüzyıldan daha uzun bir süre önce çözüldü. Hindistan'ın Babil kentinde bu tür denklemleri çözmek için birçok yöntem oluşturuldu. Denklemlere ihtiyaç olmuştur ve olmaya devam edecektir.

İkinci bölümde ikinci dereceden denklemleri ve yüksek dereceli denklemleri çözmenin (köklerini bulmanın) çeşitli yolları sunulmaktadır. Temel olarak bunlar belirli bir nitelikteki denklemleri çözme yöntemleridir, yani bazı ortak özellikler veya türlerle birleştirilen her denklem grubu için yalnızca bu denklem grubu için geçerli olan özel bir kural verilir. Bu yöntem (her denklem için kendi formülünüzü seçmek), bir diskriminant aracılığıyla kökleri bulmaktan çok daha kolaydır.

Bu özette tüm hedeflere ulaşılmış ve ana görevler tamamlanmış, yeni, önceden bilinmeyen formüller kanıtlanmış ve öğrenilmiştir. Özete dahil etmeden önce örneklerin birçok çeşidi üzerinde çalıştık, dolayısıyla bazı denklemlerin nasıl çözüleceğine dair zaten bir fikrimiz var. Her çözüm ilerideki çalışmalarda işimize yarayacaktır. Bu makale eski bilgilerin sınıflandırılmasına ve yenilerinin öğrenilmesine yardımcı oldu.

Kaynakça

1.Vilenkin N.Ya. “8. sınıf için cebir”, M., 1995.

2. Galitsky M.L. “Cebirde problemlerin toplanması”, M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. “Yollar ve labirentler”, M., 1986.

4.Zvavich L.I. “Cebir 8. sınıf”, M., 2002.

5. Kushnir I.A. “Denklemler”, Kiev 1996.

6. Savin Yu.P. “Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü”, M., 1985.

7. Mordkovich A.G. “Cebir 8. sınıf”, M., 2003.

8. Khudobin A.I. “Cebirde problemlerin toplanması”, M., 1973.

9. Sharygin I.F. “Cebirde seçmeli ders”, M., 1989.

Ek 1

Biquadratic denklemlerin incelenmesi

C	B		sonuçlar
C	B		Yardımcı denklemin kökleri üzerine ay² +by+c=0	Bu denklemin kökleri hakkında a(x²)² +bx² +c=0
C< 0	b- herhangi bir gerçek sayı		sen< 0 ; y > 0 1 2	x = ±Öy
Ç > 0	B<0	D > 0		x = ±Öy
		D=0	y > 0	x = ±Öy
		D< 0	Kök yok	Kök yok
	b ≥ 0			Kök yok
			Kök yok	Kök yok
			y > 0; sen< 0 1 2	x = ±Öy
C=0	b > 0		y = 0	x = 0
	b = 0		y = 0	x = 0
	B< 0		y = 0	x = 0

Ek 2

Bir polinomu köşe kullanarak polinomlara bölme

0	1	bir 2	...	BİR	C
+
b 0 c	b 1 c	…	b n-1 c
B 0	b 1	b2	…	bn	= R (kalan)

Ek 3

Horner şeması

Kök
	1	4	1	-6	1
x 1 = 1
yıkma	5	6	0
	1	1×1 +4 = 5	5×1 + 1 = 6	6×1 – 6 = 0
kök
x 1 = 1

§ 1. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden

2.11 Horner şeması

İkinci dereceden denklemin köklerinin çok ilginç bir özelliği Fransız matematikçi Francois Viète tarafından keşfedildi. Bu özelliğe Vieta teoremi adı verildi:

Böylece x 1 ve x 2 sayıları denklemin kökleri olur:

ax² + bx + c = 0

Kimliklerimiz var

Denklemi iki ikinci dereceden denklemlerin kökleri formülünde yerine koyalım:

C< 0

sen< 0 ; y > 0

1 2

x = ±Öy

x = ±Öy

x = ±Öy

y > 0; sen< 0

1 2

x = ±Öy

İlgini çekebilir