Tanım. Prizma- bu, tüm köşeleri iki paralel düzlemde bulunan bir çokyüzlüdür ve aynı iki düzlemde, sırasıyla paralel kenarları olan eşit çokgenler olan prizmanın iki yüzü vardır ve tüm kenarlar bunlara uzanmaz. düzlemler paraleldir.

İki eşit yüz denir prizma tabanları(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmanın diğer tüm yüzlerine denir yan yüzler(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tüm yan yüzler formu prizmanın yan yüzeyi .

Bir prizmanın tüm yan yüzleri paralelkenardır .

Tabanda olmayan kenarlara prizmanın yan kenarları denir ( AA1, 1, CC 1, GG 1, EE 1).

prizma köşegen uçları prizmanın yüzlerinden birinde yer almayan iki köşesi olan bir segment denir (AD 1).

Prizmanın tabanlarını birleştiren ve aynı anda her iki tabana dik olan doğru parçasının uzunluğuna denir. prizma yüksekliği .

Tanım:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (İlk olarak, baypas sırasına göre, bir tabanın köşeleri gösterilir ve daha sonra aynı sırayla diğerinin köşeleri belirtilir; her bir yan kenarın uçları aynı harflerle gösterilir, sadece köşeler bir taban, indekssiz harflerle, diğerinde - indeksli olarak gösterilir)

Prizmanın adı, tabanında yatan şekildeki açıların sayısı ile ilişkilidir, örneğin, Şekil 1'de taban bir beşgendir, bu nedenle prizma denir. beşgen prizma. Ama o zamandan beri böyle bir prizmanın 7 yüzü vardır, o zaman heptahedron(2 yüz prizmanın tabanıdır, 5 yüz paralelkenardır, yan yüzlerdir)

Düz prizmalar arasında belirli bir tip göze çarpar: düzenli prizmalar.

Düz prizma denir doğru, tabanları düzgün çokgenler ise.

paralel borulu

küboid- tabanı dikdörtgen olan sağ paralel yüzlü.

Özellikler ve teoremler:

,

d karenin köşegenidir;
a - karenin kenarı.

Bir prizma fikri şu şekilde verilir:

• çeşitli mimari yapılar;
• Çocuk oyuncakları;
• ambalaj kutuları;
• tasarımcı öğeleri, vb.

Prizmanın toplam ve yanal yüzey alanı

S dolu \u003d S tarafı + 2S ana,

nerede S dolu- toplam yüzey alanı, S tarafı- yan yüzey alanı, S ana- taban alanı

Düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ürününe ve prizmanın yüksekliğine eşittir..

S tarafı\u003d P ana * h,

nerede S tarafı düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanıdır,

P ana - düz bir prizmanın tabanının çevresi,

h, düz prizmanın yan kenara eşit yüksekliğidir.

prizma Hacmi

Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Katı geometri dersi için okul müfredatında, üç boyutlu figürlerin çalışması genellikle basit bir geometrik gövdeyle başlar - bir prizma çokyüzlü. Tabanlarının rolü, paralel düzlemlerde uzanan 2 eşit çokgen tarafından gerçekleştirilir. Özel bir durum, düzenli bir dörtgen prizmadır. Tabanları, paralelkenar (veya prizma eğimli değilse dikdörtgenler) şeklinde kenarları dik olan 2 özdeş düzenli dörtgendir.

prizma neye benziyor

Düzenli bir dörtgen prizma, tabanlarında 2 kare bulunan ve yan yüzleri dikdörtgenlerle temsil edilen bir altıgendir. Bu geometrik şekil için başka bir isim düz paralelyüzdür.

Dörtgen bir prizmayı gösteren şekil aşağıda gösterilmiştir.

Resimde de görebilirsiniz geometrik bir cismi oluşturan en önemli unsurlar. Genellikle şu şekilde adlandırılırlar:

Bazen geometrideki problemlerde bir bölüm kavramını bulabilirsiniz. Tanım şöyle olacaktır: bir kesit, hacimsel bir gövdenin kesme düzlemine ait olan tüm noktalarıdır. Kesit diktir (şeklin kenarlarını 90 derecelik bir açıyla keser). Dikdörtgen prizma için, 2 kenardan ve tabanın köşegenlerinden geçen bir diyagonal bölüm de dikkate alınır (oluşturulabilecek maksimum bölüm sayısı 2'dir).

Kesit, kesme düzlemi tabanlara veya yan yüzlere paralel olmayacak şekilde çizilirse, sonuç kesik bir prizmadır.

İndirgenmiş prizmatik elemanları bulmak için çeşitli oranlar ve formüller kullanılır. Bazıları planimetri sürecinden bilinmektedir (örneğin, bir prizmanın tabanının alanını bulmak için, bir karenin alanı için formülü hatırlamak yeterlidir).

Yüzey alanı ve hacim

Formülü kullanarak bir prizmanın hacmini belirlemek için, taban ve yükseklik alanını bilmeniz gerekir:

V = Yaylı h

Düzgün dört yüzlü bir prizmanın tabanı, kenarları olan bir kare olduğundan a, Formülü daha ayrıntılı bir biçimde yazabilirsiniz:

V = a² h

Bir küpten bahsediyorsak - eşit uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip normal bir prizma, hacim aşağıdaki gibi hesaplanır:

Bir prizmanın yan yüzey alanını nasıl bulacağınızı anlamak için, onun süpürmesini hayal etmeniz gerekir.

Yan yüzeyin 4 eşit dikdörtgenden oluştuğu çizimden görülebilir. Alanı, tabanın çevresi ile şeklin yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır:

Yan = Konum h

Bir karenin çevresi olduğundan P = 4a, formül şu şekli alır:

Yan = 4a sa

Küp için:

Kenar = 4a²

Bir prizmanın toplam yüzey alanını hesaplamak için yan alana 2 taban alanı ekleyin:

Sfull = Yan + 2Sbase

Dörtgen bir düzenli prizmaya uygulandığında, formül şu şekildedir:

Dolu = 4a h + 2a²

Bir küpün yüzey alanı için:

Dolu = 6a²

Hacmi veya yüzey alanını bilerek, geometrik bir gövdenin tek tek öğelerini hesaplayabilirsiniz.

Prizma elemanlarını bulma

Çoğu zaman, hacmin verildiği veya yanal yüzey alanının değerinin bilindiği, tabanın kenarının uzunluğunun veya yüksekliğinin belirlenmesinin gerekli olduğu sorunlar vardır. Bu gibi durumlarda, formüller türetilebilir:

• taban yan uzunluğu: a = Yan / 4h = √(V / h);
• yükseklik veya yan kaburga uzunluğu: h = Yan / 4a = V / a²;
• taban alanı: Sprim = V / s;
• yan yüz alanı: Yan gr = Yan / 4.

Bir köşegen kesitin ne kadar alana sahip olduğunu belirlemek için köşegenin uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. bir kare için d = a√2.Öyleyse:

Sdiag = ah√2

Prizmanın köşegenini hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:

ödül = √(2a² + h²)

Yukarıdaki oranların nasıl uygulanacağını anlamak için birkaç basit görevi uygulayabilir ve çözebilirsiniz.

Çözümlü problem örnekleri

İşte matematikte devlet final sınavlarında görünen görevlerden bazıları.

1. Egzersiz.

Kum, düzenli bir dörtgen prizma şeklindeki bir kutuya dökülür. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir.Aynı şekle sahip, ancak taban uzunluğu 2 kat daha uzun olan bir kaba taşırsanız kum seviyesi ne olur?

Aşağıdaki gibi tartışılmalıdır. Birinci ve ikinci kaplardaki kum miktarı değişmedi, yani içindeki hacmi aynı. Tabanın uzunluğunu şu şekilde tanımlayabilirsiniz: a. Bu durumda, ilk kutu için maddenin hacmi şöyle olacaktır:

V₁ = ha² = 10a²

İkinci kutu için tabanın uzunluğu 2a, ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Çünkü V₁ = V₂, ifadeler eşitlenebilir:

10a² = 4ha²

Denklemin her iki tarafını da a² azalttıktan sonra şunu elde ederiz:

Sonuç olarak, yeni kum seviyesi h = 10 / 4 = 2.5 santimetre.

Görev 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ düzgün bir prizmadır. BD = AB₁ = 6√2 olduğu bilinmektedir. Vücudun toplam yüzey alanını bulun.

Hangi öğelerin bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir şekil çizebilirsiniz.

Düzgün bir prizmadan bahsettiğimize göre, tabanın köşegeni 6√2 olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı değere sahiptir, bu nedenle yan yüz de tabana eşit bir kare şeklindedir. Her üç boyutun da - uzunluk, genişlik ve yükseklik - eşit olduğu ortaya çıktı. ABCDA₁B₁C₁D₁'nin bir küp olduğu sonucuna varabiliriz.

Herhangi bir kenarın uzunluğu bilinen köşegen aracılığıyla belirlenir:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Toplam yüzey alanı, küp formülü ile bulunur:

Dolu = 6a² = 6 6² = 216

Görev 3.

Oda yenileniyor. Zemininin 9 m² alana sahip kare şeklinde olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir 1 m² 50 rubleye mal olursa bir odayı duvar kağıdı yapmanın en düşük maliyeti nedir?

Taban ve tavan kareler yani düzgün dörtgenler ve duvarları yatay yüzeylere dik olduğu için düzgün prizma olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gerekir.

Odanın uzunluğu a = √9 = 3 m.

Meydan duvar kağıdı ile kaplanacak Yan = 4 3 2.5 = 30 m².

Bu oda için en düşük duvar kağıdı maliyeti 50 30 = 1500 ruble.

Böylece, bir dikdörtgen prizma için problemleri çözmek için, bir kare ve bir dikdörtgenin alanını ve çevresini hesaplayabilmek, ayrıca hacim ve yüzey alanını bulmak için formülleri bilmek yeterlidir.

Bir küpün alanı nasıl bulunur

"A Alın" video kursu, matematik sınavını 60-65 puanla başarılı bir şekilde geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil KULLANIMI'nın 1-13 arasındaki tüm görevleri tamamlayın. Matematikte Temel KULLANIM'ı geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazladır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Sınavın hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Bankası görevlerinden 1. bölümün ilgili tüm görevleri analiz edilmiştir. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.

Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. Teori, referans materyal, her türlü KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.

Prizmanın yan yüzeyinin alanı. Merhaba! Bu yayında, stereometri ile ilgili bir grup görevi analiz edeceğiz. Bir gövde kombinasyonunu düşünün - bir prizma ve bir silindir. Şu anda, bu makale, stereometrideki görev türlerinin dikkate alınmasıyla ilgili tüm makale dizisini tamamlamaktadır.

Görev bankasında yeni görevler belirirse, elbette gelecekte bloga eklemeler olacaktır. Ancak zaten var olan, sınavın bir parçası olarak tüm sorunları kısa bir cevapla nasıl çözeceğinizi öğrenebilmeniz için yeterlidir. Materyal gelecek yıllar için yeterli olacaktır (matematikteki program statiktir).

Sunulan görevler, prizmanın alanının hesaplanması ile ilgilidir. Aşağıda düz bir prizma (ve buna göre düz bir silindir) düşündüğümüzü not ediyorum.

Herhangi bir formül bilmeden, bir prizmanın yan yüzeyinin tüm yan yüzleri olduğunu anlarız. Düz bir prizmada yan yüzler dikdörtgendir.

Böyle bir prizmanın yan yüzey alanı, tüm yan yüzlerinin (yani dikdörtgenlerin) alanlarının toplamına eşittir. Bir silindirin yazılı olduğu düzgün bir prizmadan bahsediyorsak, bu prizmanın tüm yüzlerinin EŞİT dikdörtgenler olduğu açıktır.

Resmi olarak, düzenli bir prizmanın yan yüzey alanı aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

27064. Taban yarıçapı ve yüksekliği 1'e eşit olan bir silindirin etrafında düzenli bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzeyinin alanını bulun.

Bu prizmanın yan yüzeyi, alana eşit dört dikdörtgenden oluşur. Yüzün yüksekliği 1'dir, prizmanın tabanının kenarı 2'dir (bunlar silindirin iki yarıçapıdır), yani yan yüzün alanı:

Yan yüzey alanı:

73023. Taban yarıçapı √0.12 ve yüksekliği 3 olan bir silindirin etrafını çevreleyen düzgün üçgen prizmanın yan yüzeyinin alanını bulun.

Bu prizmanın yan yüzeyinin alanı, üç yan yüzün (dikdörtgenler) alanlarının toplamına eşittir. Yan yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik üç. Tabanın kenarının uzunluğunu bulun. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):

Yarıçapı √0.12 olan bir dairenin yazılı olduğu düzgün bir üçgenimiz var. AOC dik üçgeninden AC'yi bulabiliriz. Ve sonra AD (AD=2AC). Tanjant tanımına göre:

Yani AD \u003d 2AC \u003d 1.2 Böylece, yan yüzeyin alanı şuna eşittir:

27066. Taban yarıçapı √75 ve yüksekliği 1 olan bir silindirin etrafını çevreleyen düzgün altıgen prizmanın yan yüzeyinin alanını bulun.

İstenilen alan, tüm yan yüzlerin alanlarının toplamına eşittir. Düzgün altıgen bir prizma için yan yüzler eşit dikdörtgenlerdir.

Bir yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik biliniyor, 1'e eşit.

Tabanın kenarının uzunluğunu bulun. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):

Yarıçapı √75 olan bir dairenin yazılı olduğu düzgün bir altıgenimiz var.

Bir ABO dik üçgeni düşünün. OB ayağını biliyoruz (bu, silindirin yarıçapıdır). AOB açısını da belirleyebiliriz, 300'e eşittir (AOC üçgeni eşkenardır, OB bir açıortaydır).

Teğetin tanımını bir dik üçgende kullanalım:

AC \u003d 2AB, OB bir medyan olduğundan, yani AC'yi ikiye böler, bu da AC \u003d 10 anlamına gelir.

Böylece yan yüzün alanı 1∙10=10 ve yan yüzeyin alanı:

76485. Taban yarıçapı 8√3 ve yüksekliği 6 olan bir silindirde yazılı düzgün üçgen prizmanın yan yüzeyinin alanını bulun.

Üç eşit boyutlu yüzün (dikdörtgenler) belirtilen prizmasının yan yüzeyinin alanı. Alanı bulmak için prizmanın tabanının kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir (yüksekliğini biliyoruz). İzdüşümünü (üstten görünüm) düşünürsek, bir daire içinde yazılı düzenli bir üçgenimiz olur. Bu üçgenin kenarı yarıçap cinsinden şu şekilde ifade edilir:

Bu ilişkinin detayları. yani eşit olacak

O zaman yan yüzün alanı şuna eşittir: 24∙6=144. Ve gerekli alan:

245354. Taban yarıçapı 2 olan bir silindirin yanında düzenli bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzey alanı 48'dir. Silindirin yüksekliğini bulun.