Bir sayının mutlak değeri a orijinden noktaya olan mesafedir ANCAK(a).

Bu tanımı anlamak için bir değişken yerine ikame ediyoruz a herhangi bir sayı, örneğin 3 ve tekrar okumayı deneyin:

Bir sayının mutlak değeri 3 orijinden noktaya olan mesafedir ANCAK(3 ).

Modülün normal mesafeden başka bir şey olmadığı ortaya çıkıyor. Orijinden A noktasına olan uzaklığı görmeye çalışalım( 3 )

Koordinatların başlangıç ​​noktasından A noktasına olan uzaklık( 3 ) eşittir 3 (üç birim veya üç adım).

Bir sayının modülü iki dikey çizgiyle gösterilir, örneğin:

3 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |3|

4 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |4|

5 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |5|

3 sayısının modülünü aradık ve 3'e eşit olduğunu öğrendik.

Şöyle okur: "Üç modülü üçtür"

Şimdi -3 sayısının modülünü bulmaya çalışalım. Yine tanıma dönüyoruz ve yerine -3 sayısını koyuyoruz. Sadece nokta yerine A yeni noktayı kullan B. puan A ilk örnekte zaten kullandık.

Sayının modülü 3 orijinden noktaya olan mesafeyi ara B(—3 ).

Bir noktadan diğerine olan mesafe negatif olamaz. Bu nedenle, bir uzaklık olan herhangi bir negatif sayının modülü de negatif olmayacaktır. -3 sayısının modülü 3 sayısı olacaktır. Başlangıç ​​noktasından B(-3) noktasına olan uzaklık da üç birime eşittir:

Şöyle okur: "Üç eksi bir sayının modülü üçtür"

0 sayısının modülü 0'dır, çünkü 0 koordinatlı nokta orijin ile çakışır, yani. orijinden noktaya uzaklık O(0) sıfıra eşittir:

"Sıfır modülü sıfırdır"

Sonuçlar çıkarıyoruz:

• Bir sayının modülü negatif olamaz;
• Pozitif bir sayı ve sıfır için modül, sayının kendisine ve negatif bir sayı için zıt sayıya eşittir;
• Zıt sayıların eşit modülleri vardır.

Zıt sayılar

Sadece işaretleri farklı olan sayılara denir karşısında. Örneğin, -2 ve 2 sayıları zıt sayılardır. Sadece işaretlerde farklılık gösterirler. -2 sayısının bir eksi işareti vardır ve 2'nin bir artı işareti vardır, ancak bunu görmüyoruz, çünkü daha önce söylediğimiz gibi artı geleneksel olarak yazılmaz.

Zıt sayılara daha fazla örnek:

Zıt sayıların eşit modülleri vardır. Örneğin, -2 ve 2 için modülleri bulalım.

Şekil, orijinden noktalara olan mesafenin bir(−2) ve B(2) iki adıma eşittir.

Dersi beğendin mi?
Yeni Vkontakte grubumuza katılın ve yeni ders bildirimlerini almaya başlayın

Öğrenciler için en zor konulardan biri, modül işareti altında bir değişken içeren denklemleri çözmektir. Bir başlangıç ​​için bakalım neyle bağlantılı? Örneğin, neden ikinci dereceden denklemler çoğu çocuk fındık gibi tıklar, ancak bir modül gibi en karmaşık kavramdan bu kadar uzak olan bu kadar çok sorun var mı?

Benim düşünceme göre, tüm bu zorluklar, modüllü denklemleri çözmek için açıkça formüle edilmiş kuralların olmamasıyla ilişkilidir. Bu nedenle, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, öğrenci önce diskriminant formülünü, ardından ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri uygulaması gerektiğini kesin olarak bilir. Peki ya denklemde bir modülle karşılaşılırsa? Denklemin modül işareti altında bir bilinmeyen içermesi durumunda gerekli eylem planını açıkça tanımlamaya çalışacağız. Her durum için birkaç örnek veriyoruz.

Ama önce hatırlayalım modül tanımı. Yani, sayının modülü a sayının kendisi çağrılırsa a negatif olmayan ve -a eğer numara a Sıfırdan daha az. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

|a| = a ≥ 0 ve |a| = -a eğer bir< 0

Modülün geometrik anlamından bahsetmişken, her gerçek sayının sayı ekseninde belirli bir noktaya karşılık geldiği unutulmamalıdır. koordinat. Yani, modül veya bir sayının mutlak değeri, bu noktadan sayısal eksenin orijine olan mesafedir. Mesafe her zaman pozitif bir sayı olarak verilir. Bu nedenle, herhangi bir negatif sayının modülü pozitif bir sayıdır. Bu arada, bu aşamada bile birçok öğrencinin kafası karışmaya başlar. Modülde herhangi bir sayı olabilir, ancak modülün uygulanmasının sonucu her zaman pozitif bir sayıdır.

Şimdi denklemleri çözmeye geçelim.

1. |x| biçiminde bir denklem düşünün. = c, burada c bir gerçek sayıdır. Bu denklem, modülün tanımı kullanılarak çözülebilir.

Tüm gerçek sayıları üç gruba ayırıyoruz: sıfırdan büyük olanlar, sıfırdan küçük olanlar ve üçüncü grup 0 sayısı. Çözümü bir diyagram şeklinde yazıyoruz:

(±c eğer c > 0 ise

Eğer |x| = c, sonra x = (c = 0 ise 0

(eğer varsa kök yok< 0

1) |x| = 5, çünkü 5 > 0, sonra x = ±5;

2) |x| = -5, çünkü -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sonra x = 0.

2. |f(x)| biçiminde bir denklem = b, burada b > 0. Bu denklemi çözmek için modülden kurtulmak gerekir. Bunu şu şekilde yaparız: f(x) = b veya f(x) = -b. Şimdi elde edilen denklemlerin her birini ayrı ayrı çözmek gerekiyor. Eğer orijinal denklemde b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, çünkü 4 > 0, sonra

x + 2 = 4 veya x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, çünkü 11 > 0, öyleyse

x 2 - 5 = 11 veya x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 kök yok

3) |x 2 – 5x| = -8 , çünkü -sekiz< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| biçiminde bir denklem = g(x). Modülün anlamına göre, böyle bir denklemin sağ tarafı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse, yani. g(x) ≥ 0. O zaman:

f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. 5x - 10 ≥ 0 ise bu denklemin kökleri olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümü burada başlar.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Çözüm:

2x - 1 = 5x - 10 veya 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z.'yi birleştirin. ve çözüm, şunu elde ederiz:

Kök x \u003d 11/7, O.D.Z.'ye göre uymuyor, 2'den küçük ve x \u003d 3 bu koşulu karşılıyor.

Cevap: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözelim:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Çözüm:

x - 1 \u003d 1 - x 2 veya x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 veya x = 1 x = 0 veya x = 1

3. Çözümü ve O.D.Z.'yi birleştirin:

Yalnızca x = 1 ve x = 0 kökleri uygundur.

Cevap: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| biçiminde bir denklem = |g(x)|. Böyle bir denklem, aşağıdaki iki denkleme eşdeğerdir: f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Bu denklem aşağıdaki ikisine eşdeğerdir:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 veya x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 veya x = 4 x = 2 veya x = 1

Cevap: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Yerine koyma yöntemiyle çözülen denklemler (değişken değişimi). Bu çözüm yöntemi, belirli bir örnekle açıklamak en kolay yoldur. Öyleyse, modülü olan ikinci dereceden bir denklem verilsin:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Modülün özelliği ile x 2 = |x| 2 , böylece denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Değişimi yapalım |x| = t ≥ 0, o zaman şunu elde ederiz:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Bu denklemi çözerek, t \u003d 1 veya t \u003d 5 elde ederiz. Değiştirmeye geri dönelim:

|x| = 1 veya |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Cevap: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Başka bir örneğe bakalım:

x 2 + |x| – 2 = 0. Modülün özelliği ile x 2 = |x| 2, yani

|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x| = t ≥ 0, o zaman:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Bu denklemi çözerek, t \u003d -2 veya t \u003d 1 elde ederiz. Değiştirmeye geri dönelim:

|x| = -2 veya |x| = 1

Kök yok x = ± 1

Cevap: x = -1, x = 1.

6. Başka bir denklem türü, "karmaşık" modülü olan denklemlerdir. Bu tür denklemler, "bir modül içinde modüller" içeren denklemleri içerir. Bu tür denklemler, modülün özellikleri kullanılarak çözülebilir.

1) |3 – |x|| = 4. İkinci tip denklemlerde olduğu gibi davranacağız. Çünkü 4 > 0, sonra iki denklem elde ederiz:

3 – |x| = 4 veya 3 – |x| = -4.

Şimdi her denklemde x modülünü ifade edelim, sonra |x| = -1 veya |x| = 7.

Ortaya çıkan denklemlerin her birini çözüyoruz. İlk denklemde kök yoktur, çünkü -bir< 0, а во втором x = ±7.

Cevap x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Bu denklemi benzer şekilde çözeriz:

3 + |x + 1| = 5 veya 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 veya x + 1 = -2. Kök yok.

Cevap: x = -3, x = 1.

Modüllü denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem de vardır. Bu aralık yöntemidir. Ama daha fazla dikkate alacağız.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Talimat

Modül sürekli bir fonksiyon olarak temsil ediliyorsa, argümanının değeri pozitif veya negatif olabilir: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Karmaşık sayıların toplanması ve çıkarılmasının toplama ve ile aynı kuralı izlediğini görmek kolaydır.

İki karmaşık sayının çarpımı:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

i^2 = -1 olduğundan, sonuç şudur:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Karmaşık sayılar için bir kuvvete yükseltme ve kök çıkarma işlemleri, gerçek sayılarla aynı şekilde tanımlanır. Bununla birlikte, karmaşık alanda, herhangi bir sayı için, tam olarak n tane b sayısı vardır, öyle ki b^n = a, yani n'inci derecenin n kökü.

Özellikle, bu, bir değişkendeki n'inci dereceden herhangi bir cebirsel denklemin, bazıları ve olabilen tam olarak n karmaşık kökü olduğu anlamına gelir.

İlgili videolar

Kaynaklar:

• 2019'da "Karmaşık sayılar" dersi

Kök, böyle bir sayı bulmanın matematiksel işlemini gösteren bir simgedir; kök işaretinden önce belirtilen güce yükseltilmesi bu işaretin altında belirtilen sayıyı vermelidir. Çoğu zaman, kökleri olan problemleri çözmek için sadece değeri hesaplamak yeterli değildir. Kök işareti altında bir sayı, değişken veya ifadenin girilmesi olan ek işlemler yapmalıyız.

Talimat

Kökün üssünü belirleyin. Bir gösterge, kök ifadesini (bu kökün çıkarıldığı sayı) elde etmek için kökün hesaplanması sonucunun yükseltilmesi gereken gücü gösteren bir tamsayıdır. Kök simgesinden önce bir üst simge olarak belirtilen kökün üssü. Bu belirtilmemişse, gücü iki olan bir kareköktür. Örneğin, √3 kök üssü iki, ³√3 üssü üç, ⁴√3 kök üssü dört vb.

Kök işaretinin altına eklemek istediğiniz sayıyı, bir önceki adımda belirlediğiniz bu kökün üssüne eşit güce yükseltin. Örneğin, ⁴√3 kökünün işaretinin altına 5 sayısını girmeniz gerekiyorsa, kökün üssü dörttür ve 5'i dördüncü kuvvet 5⁴=625'e çıkarmanın sonucuna ihtiyacınız vardır. Bunu sizin için uygun olan herhangi bir şekilde yapabilirsiniz - aklınızda, bir hesap makinesi veya yayınlanan ilgili hizmetleri kullanarak.

Bir önceki adımda elde edilen değeri kök işaretinin altına radikal ifadenin çarpanı olarak girin. Bir önceki adımda ⁴√3 5 (5*⁴√3) kökü altında toplama ile kullanılan örnek için bu işlem şu şekilde yapılabilir: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Mümkünse, elde edilen radikal ifadeyi basitleştirin. Önceki adımlardaki örnek için, kök işaretinin altındaki sayıları çarpmanız yeterlidir: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Bu, kök altına bir sayı ekleme işlemini tamamlar.

Problemde bilinmeyen değişkenler varsa yukarıda anlatılan adımlar genel bir şekilde yapılabilir. Örneğin, dördüncü derece kök altına bilinmeyen bir x değişkeni eklemek istiyorsanız ve kök ifadesi 5/x³ ise, tüm eylem dizisi şu şekilde yazılabilir: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Kaynaklar:

• kök işaretine ne denir

Gerçek sayılar herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için yeterli değildir. Gerçek sayılar arasında kökü olmayan en basit ikinci dereceden denklem x^2+1=0'dır. Bunu çözerken, x=±sqrt(-1) olduğu ortaya çıkıyor ve temel cebir yasalarına göre, bir çift derecenin kökünü negatiften çıkarın. sayılar yasaktır.

A aşağıdaki kurallara göre hesaplanır:

Kısalık için kullanın |a|. Böylece |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 vb.

Herhangi beden X oldukça doğru bir değere karşılık gelir | X|. Ve bu demek ki Kimlik de= |X| kurar de bazıları gibi argüman işlevi X.

Takvim Bu fonksiyonlar aşağıda sunulmuştur.

İçin x > 0 |x| = x, ve için x< 0 |x|= -x; bu satırla bağlantılı olarak y = | x| de x> 0, çizgiyle hizalanır y=x(birinci koordinat açısının açıortayı) ve ne zaman X< 0 - с прямой y = -x(ikinci koordinat açısının açıortay).

Ayırmak denklemler işaretin altına bilinmeyenleri dahil et modül.

Bu tür denklemlerin keyfi örnekleri - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 vb.

Denklemleri Çözme modül işareti altında bilinmeyeni içerme, bilinmeyen x sayısının mutlak değeri pozitif a sayısına eşitse, bu x sayısının kendisinin a veya -a'ya eşit olduğu gerçeğine dayanır.

Örneğin: eğer | X| = 10, o zaman veya X=10 veya X = -10.

Düşünmek bireysel denklemlerin çözümü.

denkleminin çözümünü inceleyelim | X- 1| = 2.

Modülü açalım o zaman fark X- 1, + 2 veya - 2'ye eşit olabilir. x - 1 = 2 ise, o zaman X= 3; eğer X- 1 = - 2, o zaman X= - 1. Bir ikame yapıyoruz ve bu değerlerin her ikisinin de denklemi sağladığını elde ediyoruz.

Cevap. Bu denklemin iki kökü vardır: x 1 = 3, x 2 = - 1.

analiz edelim denklemin çözümü | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Sonrasında modül genişletme elde ederiz: veya 6 - 2 X= 3X+ 1 veya 6 - 2 X= - (3X+ 1).

İlk durumda X= 1 ve ikinci X= - 7.

muayene saat X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; mahkemeden takip X = 1 - kök b verilen denklemler.

saat x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; 20 ≠ -20'den beri, o zaman X= - 7 bu denklemin kökü değildir.

Cevap. saat denklemlerin sadece bir kökü vardır: X = 1.

Bu tür denklemler çözmek ve grafiksel olarak.

o zaman karar verelim örneğin, grafiksel denklem | X- 1| = 2.

Önce inşa edelim fonksiyon grafiği de = |x— 1|. Önce fonksiyonun grafiğini çizelim. de=X- 1:

onun o kısmı grafik Sanatları eksenin üzerinde bulunan X değişmeyeceğiz. Onun için X- 1 > 0 ve dolayısıyla | X-1|=X-1.

Eksenin altında bulunan grafiğin parçası X, göstermek simetrik olarak Bu eksen hakkında. Çünkü bu kısım için X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - bir). Sonuç olarak oluşan astar(düz çizgi) ve olacak fonksiyon grafiği y = | X—1|.

Bu çizgi ile kesişecek dümdüz de= 2 iki noktada: apsis -1 ile M 1 ve apsis 3 ile M 2 ve buna göre denklem | X- 1| =2'nin iki kökü olacaktır: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Öğrenciler için en zor konulardan biri, modül işareti altında bir değişken içeren denklemleri çözmektir. Bir başlangıç ​​için bakalım neyle bağlantılı? Örneğin, neden ikinci dereceden denklemler çoğu çocuk fındık gibi tıklar, ancak bir modül gibi en karmaşık kavramdan bu kadar uzak olan bu kadar çok sorun var mı?

Benim düşünceme göre, tüm bu zorluklar, modüllü denklemleri çözmek için açıkça formüle edilmiş kuralların olmamasıyla ilişkilidir. Bu nedenle, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, öğrenci önce diskriminant formülünü, ardından ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri uygulaması gerektiğini kesin olarak bilir. Peki ya denklemde bir modülle karşılaşılırsa? Denklemin modül işareti altında bir bilinmeyen içermesi durumunda gerekli eylem planını açıkça tanımlamaya çalışacağız. Her durum için birkaç örnek veriyoruz.

Ama önce hatırlayalım modül tanımı. Yani, sayının modülü a sayının kendisi çağrılırsa a negatif olmayan ve -a eğer numara a Sıfırdan daha az. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

|a| = a ≥ 0 ve |a| = -a eğer bir< 0

Modülün geometrik anlamından bahsetmişken, her gerçek sayının sayı ekseninde belirli bir noktaya karşılık geldiği unutulmamalıdır. koordinat. Yani, modül veya bir sayının mutlak değeri, bu noktadan sayısal eksenin orijine olan mesafedir. Mesafe her zaman pozitif bir sayı olarak verilir. Bu nedenle, herhangi bir negatif sayının modülü pozitif bir sayıdır. Bu arada, bu aşamada bile birçok öğrencinin kafası karışmaya başlar. Modülde herhangi bir sayı olabilir, ancak modülün uygulanmasının sonucu her zaman pozitif bir sayıdır.

Şimdi denklemleri çözmeye geçelim.

1. |x| biçiminde bir denklem düşünün. = c, burada c bir gerçek sayıdır. Bu denklem, modülün tanımı kullanılarak çözülebilir.

Tüm gerçek sayıları üç gruba ayırıyoruz: sıfırdan büyük olanlar, sıfırdan küçük olanlar ve üçüncü grup 0 sayısı. Çözümü bir diyagram şeklinde yazıyoruz:

(±c eğer c > 0 ise

Eğer |x| = c, sonra x = (c = 0 ise 0

(eğer varsa kök yok< 0

1) |x| = 5, çünkü 5 > 0, sonra x = ±5;

2) |x| = -5, çünkü -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sonra x = 0.

2. |f(x)| biçiminde bir denklem = b, burada b > 0. Bu denklemi çözmek için modülden kurtulmak gerekir. Bunu şu şekilde yaparız: f(x) = b veya f(x) = -b. Şimdi elde edilen denklemlerin her birini ayrı ayrı çözmek gerekiyor. Eğer orijinal denklemde b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, çünkü 4 > 0, sonra

x + 2 = 4 veya x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, çünkü 11 > 0, öyleyse

x 2 - 5 = 11 veya x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 kök yok

3) |x 2 – 5x| = -8 , çünkü -sekiz< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| biçiminde bir denklem = g(x). Modülün anlamına göre, böyle bir denklemin sağ tarafı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse, yani. g(x) ≥ 0. O zaman:

f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. 5x - 10 ≥ 0 ise bu denklemin kökleri olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümü burada başlar.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Çözüm:

2x - 1 = 5x - 10 veya 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z.'yi birleştirin. ve çözüm, şunu elde ederiz:

Kök x \u003d 11/7, O.D.Z.'ye göre uymuyor, 2'den küçük ve x \u003d 3 bu koşulu karşılıyor.

Cevap: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözelim:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Çözüm:

x - 1 \u003d 1 - x 2 veya x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 veya x = 1 x = 0 veya x = 1

3. Çözümü ve O.D.Z.'yi birleştirin:

Yalnızca x = 1 ve x = 0 kökleri uygundur.

Cevap: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| biçiminde bir denklem = |g(x)|. Böyle bir denklem, aşağıdaki iki denkleme eşdeğerdir: f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Bu denklem aşağıdaki ikisine eşdeğerdir:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 veya x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 veya x = 4 x = 2 veya x = 1

Cevap: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Yerine koyma yöntemiyle çözülen denklemler (değişken değişimi). Bu çözüm yöntemi, belirli bir örnekle açıklamak en kolay yoldur. Öyleyse, modülü olan ikinci dereceden bir denklem verilsin:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Modülün özelliği ile x 2 = |x| 2 , böylece denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Değişimi yapalım |x| = t ≥ 0, o zaman şunu elde ederiz:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Bu denklemi çözerek, t \u003d 1 veya t \u003d 5 elde ederiz. Değiştirmeye geri dönelim:

|x| = 1 veya |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Cevap: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Başka bir örneğe bakalım:

x 2 + |x| – 2 = 0. Modülün özelliği ile x 2 = |x| 2, yani

|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x| = t ≥ 0, o zaman:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Bu denklemi çözerek, t \u003d -2 veya t \u003d 1 elde ederiz. Değiştirmeye geri dönelim:

|x| = -2 veya |x| = 1

Kök yok x = ± 1

Cevap: x = -1, x = 1.

6. Başka bir denklem türü, "karmaşık" modülü olan denklemlerdir. Bu tür denklemler, "bir modül içinde modüller" içeren denklemleri içerir. Bu tür denklemler, modülün özellikleri kullanılarak çözülebilir.

1) |3 – |x|| = 4. İkinci tip denklemlerde olduğu gibi davranacağız. Çünkü 4 > 0, sonra iki denklem elde ederiz:

3 – |x| = 4 veya 3 – |x| = -4.

Şimdi her denklemde x modülünü ifade edelim, sonra |x| = -1 veya |x| = 7.

Ortaya çıkan denklemlerin her birini çözüyoruz. İlk denklemde kök yoktur, çünkü -bir< 0, а во втором x = ±7.

Cevap x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Bu denklemi benzer şekilde çözeriz:

3 + |x + 1| = 5 veya 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 veya x + 1 = -2. Kök yok.

Cevap: x = -3, x = 1.

Modüllü denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem de vardır. Bu aralık yöntemidir. Ama daha fazla dikkate alacağız.

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.