Deşifre metni

1. 6-11. Sınıflardaki öğrencilerin eğitim ve araştırma çalışmalarının bölgesel bilimsel ve pratik konferansı “Matematiğin uygulamalı ve temel konuları” Matematik çalışmanın metodolojik yönleri Gabova Angela Yurievna modülünü içeren fonksiyon grafiklerinin oluşturulması, 10. sınıf, MOBU “Gymnasium 3” ” Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, belediye eğitim kurumu “Gymnasium 3” matematik öğretmeni, Kudymkar Perm, 2016

2 İçindekiler: Giriş...3 s. I. Ana bölüm...6 s. Tarihsel referans.. 6 sayfa 2. Fonksiyonların temel tanımları ve özellikleri sayfa 2.1 İkinci dereceden fonksiyon.. 7 sayfa 2.2 Doğrusal fonksiyon... 8 sayfa 2.3 Kesirli rasyonel fonksiyon 8 sayfa 3. Modül ile grafik oluşturma algoritmaları 9 sayfa 3.1 Modül tanımı. 9 sayfa 3.2 Modüllü doğrusal bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için algoritma...9 sayfa 3.3 Formülde “iç içe modüller” içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmak.10 sayfa 3.4 y = a formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritma 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 s.3.5 Modüllü ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için algoritma.14 s.3.6 Modüllü kesirli bir rasyonel fonksiyonun grafiğini oluşturmak için algoritma. 15s. 4. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinde mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak meydana gelen değişiklikler..17p. II. Sonuç...26 s. III. Referanslar ve kaynaklar listesi...27 s. IV. Ek....28 s. 2

3 Giriş Fonksiyonların grafiğini çizmek bunlardan biridir. en ilginç konular okul matematiğinde. Zamanımızın en büyük matematikçisi Israel Moiseevich Gelfand şunları yazdı: “Grafik oluşturma süreci, formülleri ve açıklamaları geometrik görüntülere dönüştürmenin bir yoludur. Bu grafik, formülleri ve işlevleri görmenin ve bu işlevlerin nasıl değiştiğini görmenin bir yoludur. Örneğin y =x 2 yazılırsa hemen bir parabol görürsünüz; y = x 2-4 ise dört birim alçaltılmış bir parabol görürsünüz; y = -(x 2 4) ise önceki parabolün ters döndüğünü görürsünüz. Bir formülü ve onun geometrik yorumunu anında görebilme yeteneği, yalnızca matematik çalışmak için değil, aynı zamanda diğer konular için de önemlidir. Bu, bisiklete binmek, klavyede yazmak veya araba kullanmak gibi ömür boyu sizinle kalacak bir beceridir." Modüllerle denklem çözmenin temelleri 6-7. sınıflarda edinildi. Bu konuyu seçtim çünkü bunun daha derin ve kapsamlı bir araştırma gerektirdiğine inanıyorum. Sayıların modülü ve mutlak değerin işaretini içeren grafikler oluşturmanın farklı yolları hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorum. Modül işareti çizgilerin, parabollerin ve hiperbollerin “standart” denklemlerine dahil edildiğinde grafikleri alışılmadık ve hatta güzel hale gelir. Bu tür grafiklerin nasıl oluşturulacağını öğrenmek için, temel rakamları oluşturma tekniklerinde ustalaşmanız ve ayrıca bir sayının modülünün tanımını kesin olarak bilmeniz ve anlamanız gerekir. Okul matematik dersinde modüllü grafikler yeterince derinlemesine ele alınmıyor, bu yüzden bu konudaki bilgimi genişletip kendi araştırmamı yapmak istedim. Modülün tanımını bilmeden mutlak değer içeren en basit grafiği bile oluşturmak imkansızdır. Karakteristik özellik modül işaretli ifadeler içeren fonksiyonların grafikleri, 3

4, modül işareti altındaki ifadenin işaret değiştirdiği noktalarda bükülmelerin varlığıdır. Çalışmanın amacı: Modül işareti altında bir değişken içeren doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli rasyonel fonksiyonların bir grafiğinin oluşturulmasını düşünmek. Hedefler: 1) Doğrusal, ikinci dereceden ve mutlak değerin özelliklerine ilişkin literatürü incelemek kesirli-rasyonel işlevler. 2) Mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak fonksiyon grafiklerindeki değişiklikleri araştırır. 3) Denklemlerin grafiğini çizmeyi öğrenin. Çalışmanın amacı: doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri. Araştırma konusu: Mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli rasyonel fonksiyonların grafiğindeki değişiklikler. Pratik önemi işim: 1) bu konuyla ilgili edinilen bilgiyi kullanmak, derinleştirmek ve diğer fonksiyon ve denklemlere uygulamak; 2) becerilerin kullanımında Araştırma çalışması gelecekte Eğitim faaliyetleri. Uygunluk: Grafik görevleri geleneksel olarak matematiğin en zor konularından biridir. Mezunlarımız Devlet Sınavını ve Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçme sorunuyla karşı karşıyadır. Araştırma problemi: GIA'nın ikinci bölümünden modül işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin oluşturulması. Araştırma hipotezi: temel alınarak geliştirilen uygulama ortak yöntemler Modülün işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin oluşturulması, GIA'nın ikinci bölümünün görevlerini çözme yöntemleri öğrencilerin bu görevleri çözmelerine olanak sağlayacaktır 4

5 bilinçli olarak en akılcı çözüm yöntemini seçer, farklı çözüm yöntemlerini uygular ve Devlet Sınavını daha başarılı bir şekilde geçersiniz. Çalışmada kullanılan araştırma yöntemleri: 1. Bu konuyla ilgili matematik literatürünün ve internet kaynaklarının analizi. 2. Çalışılan materyalin üreme yoluyla çoğaltılması. 3. Bilişsel ve arama etkinliği. 4.Sorunlara çözüm bulmak amacıyla verilerin analizi ve karşılaştırılması. 5. Hipotezlerin beyanı ve bunların doğrulanması. 6. Karşılaştırma ve genelleme matematik gerçekleri. 7. Elde edilen sonuçların analizi. Bu çalışmayı yazarken şu kaynaklar kullanıldı: İnternet kaynakları, OGE testleri, matematik literatürü. 5

6 I. Ana bölüm 1.1 Tarihsel arka plan. 17. yüzyılın ilk yarısında bir değişkenin diğerine bağımlılığı olarak fonksiyon fikri ortaya çıkmaya başladı. Böylece, Fransız matematikçiler Pierre Fermat () ve Rene Descartes (), bir noktanın koordinatının apsisi üzerindeki bir eğriye bağımlılığı olarak bir fonksiyon hayal ettiler. Ve İngiliz bilim adamı Isaac Newton (), fonksiyonu, hareketli bir noktanın zamana bağlı olarak değişen koordinatı olarak anladı. "İşlev" terimi (Latince işlevin yürütülmesi, başarılmasından gelir) ilk kez Alman matematikçi Gottfried Leibniz() tarafından tanıtıldı. Bir fonksiyonu geometrik bir görüntüyle (bir fonksiyonun grafiği) ilişkilendirdi. Daha sonra İsviçreli matematikçi Johann Bernoulli (ve üye St.Petersburg Akademisi Bilimlerde, 18. yüzyılın ünlü matematikçisi Leonard Euler () bir fonksiyonu analitik bir ifade olarak değerlendirdi. Euler ayrıca bir değişkenin diğerine bağımlılığı olarak bir fonksiyona ilişkin genel bir anlayışa sahiptir. "Modül" kelimesi buradan gelir. Latince kelime"modül", "ölçü" anlamına gelir. Bu belirsiz kelime(homonym), birçok anlamı olan ve yalnızca matematikte değil aynı zamanda mimari, fizik, teknoloji, programlama ve diğer alanlarda da kullanılan kesin bilimler. Mimarlıkta bu, belirli bir mimari yapı için oluşturulan ve yapının çoklu oranlarını ifade etmek için kullanılan ilk ölçü birimidir. Kurucu unsurlar. Teknolojide bu, teknolojinin çeşitli alanlarında kullanılan, evrensel bir anlamı olmayan ve çeşitli katsayıları ve miktarları (örneğin, etkileşim modülü, elastik modül vb.) belirlemeye hizmet eden bir terimdir. 6

7 Toplu modül (fizikte), bir malzemedeki normal gerilimin bağıl uzamaya oranıdır. 2. Fonksiyonların temel tanımları ve özellikleri Fonksiyon, matematiksel kavramların en önemlilerinden biridir. Bir fonksiyon, y değişkeninin x değişkenine bağımlılığıdır; öyle ki, x değişkeninin her değeri, y değişkeninin tek bir değerine karşılık gelir. Bir fonksiyonu belirleme yöntemleri: 1) analitik yöntem (fonksiyon matematiksel bir formül kullanılarak belirtilir); 2) tablo yöntemi (işlev bir tablo kullanılarak belirtilir); 3) tanımlayıcı yöntem (işlev sözlü açıklamayla belirtilir); 4) grafik yöntemi(işlev bir grafik kullanılarak belirtilir). Bir fonksiyonun grafiği, apsisleri argümanın değerine eşit olan ve koordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir. 2.1 İkinci dereceden fonksiyon y = ax 2 + in + c formülüyle tanımlanan, x ve y'nin değişken olduğu ve a, b ve c parametrelerinin herhangi bir gerçek sayı olduğu ve a = 0 olan fonksiyona ikinci dereceden fonksiyon denir. y=ax 2 +in+c fonksiyonunun grafiği bir paraboldür; y=ax 2 +in+c parabolünün simetri ekseni düz bir çizgidir, a>0 için parabolün "dalları" yukarı doğru yönlendirilir, a için<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (tek değişkenli fonksiyonlar için). Doğrusal fonksiyonların temel özelliği: fonksiyonun artışı argümanın artışıyla orantılıdır. Yani fonksiyon doğrudan orantılılığın bir genellemesidir. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği, adının geldiği düz bir çizgidir. Bu, bir gerçek değişkenin gerçek bir fonksiyonuyla ilgilidir. 1) Düz çizgi apsis ekseninin pozitif yönü ile dar bir açı oluşturduğunda. 2) Düz çizgi x ekseninin pozitif yönü ile geniş bir açı oluşturduğunda. 3) çizginin ordinat ekseni ile kesişme noktasının ordinat göstergesidir. 4) Düz bir çizgi orijinden geçtiğinde. , 2.3 Kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinom olan bir kesirdir. Herhangi bir sayıda değişkendeki polinomların olduğu formdadır. Özel bir durum, tek değişkenli rasyonel fonksiyonlardır: burada ve polinomlardır. 1) Dört aritmetik işlem kullanılarak değişkenlerden elde edilebilecek her ifade rasyonel bir fonksiyondur. 8

9 2) Rasyonel fonksiyonlar kümesi aritmetik işlemler ve bileşim işlemi altında kapalıdır. 3) Herhangi bir rasyonel fonksiyon, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir - bu, analitik entegrasyonda kullanılır. negatif değildir ve a negatifse a'nın karşısındaki sayıdır. a = 3.2 Modüllü doğrusal bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için algoritma y = x fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmak için pozitif x için x = x'e sahip olduğumuzu bilmeniz gerekir. Bu, argümanın pozitif değerleri için y= x grafiğinin y=x grafiğiyle çakıştığı anlamına gelir, yani grafiğin bu kısmı orijinden apsis eksenine 45 derecelik bir açıyla çıkan bir ışındır. . x'te< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Oluşturmak için (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) noktalarını alırız. Şimdi bir y= x-1 grafiği oluşturalım. Eğer A, y= x grafiğinde (a; a) koordinatlarına sahip bir nokta ise, o zaman grafikte Y= x-1 ile aynı Y koordinatına sahip nokta olacaktır. A1(a+1; a) noktası olsun. İkinci grafiğin bu noktası, birinci grafiğin A(a; a) noktasından Ox eksenine paralel olarak sağa kaydırılarak elde edilebilir. Bu, y= x-1 fonksiyonunun grafiğinin tamamının, y= x fonksiyonunun grafiğinden Ox eksenine paralel olarak 1 sağa kaydırılarak elde edildiği anlamına gelir. Grafikleri oluşturalım: y= x-1 Oluşturmak için (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) noktalarını alın. 3.3 Formülde “iç içe modüller” içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturma Özel bir örnek kullanarak oluşturma algoritmasını ele alalım. Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Fonksiyonun grafiğini oluşturun. 2. Alt yarı düzlemin grafiğini OX eksenine göre yukarı doğru simetrik olarak görüntüleyip fonksiyonun grafiğini elde ediyoruz. onbir

12 3. Fonksiyonun grafiğini OX eksenine göre simetrik olarak aşağıya doğru görüntülüyor ve fonksiyonun grafiğini elde ediyoruz. 4. Fonksiyonun grafiğini OX eksenine göre simetrik olarak aşağıya doğru görüntüleyip fonksiyonun grafiğini elde ediyoruz. 5. Fonksiyonun OX eksenine göre grafiğini görüntüleyip bir grafik elde ediyoruz. 12

13 6. Sonuç olarak fonksiyonun grafiği şu şekilde görünür: 3.4. y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritma. Önceki örnekte modül işaretlerini ortaya çıkarmak oldukça kolaydı. Daha fazla modül toplamı varsa, alt modüler ifadelerin tüm olası işaret kombinasyonlarını dikkate almak sorunlu olur. Bu durumda fonksiyonun grafiği nasıl oluşturulur? Grafiğin, apsisleri -1 ve 2 olan noktalarda köşeleri olan kesikli bir çizgi olduğuna dikkat edin. x = -1 ve x = 2'de alt modüler ifadeler sıfıra eşittir. Uygulamada, bu tür grafikleri oluşturma kuralına yaklaştık: y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b formundaki bir fonksiyonun grafiği, sonsuz uç bağlantılara sahip kesikli bir çizgidir. Böyle bir kesikli çizgi oluşturmak için tüm köşelerini (köşelerin apsisleri alt modüler ifadelerin sıfırlarıdır) ve sol ve sağ sonsuz bağlantılarda bir kontrol noktasını bilmek yeterlidir. 13

14 Sorun. y = x + x 1 + x + 1 fonksiyonunun grafiğini çizin ve en küçük değerini bulun. Çözüm: 1. Alt modüler ifadelerin sıfırları: 0; -1; Sürekli çizginin köşeleri (0; 2); (-13); (1; 3). (alt modüler ifadelerin sıfırlarını denklemde yerine koyarız) 3 Sağda (2; 6), solda (-2; 6) kontrol noktası. Bir grafik oluşturuyoruz (Şekil 7), fonksiyonun en küçük değeri, Fonksiyon grafiklerini dönüştürmek için algoritmaların hazırlanması modülü ile ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için Algoritmadır. 1. y= f(x) fonksiyonunun grafiğini çizmek. Bir modülün tanımı gereği, bu işlev iki işlev kümesine bölünmüştür. Sonuç olarak, y= f(x) fonksiyonunun grafiği iki grafikten oluşur: sağ yarı düzlemde y= f(x), sol yarı düzlemde y= f(-x). Buna dayanarak bir kural (algoritma) formüle edilebilir. y= f(x) fonksiyonunun grafiği, y= f(x) fonksiyonunun grafiğinden şu şekilde elde edilir: x 0'da grafik korunur ve x'te< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. y= f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için, önce x> 0 için, sonra x için y= f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturmalısınız.< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Bu grafiği elde etmek için daha önce elde ettiğiniz grafiği üç birim sağa kaydırmanız yeterlidir. Kesirin paydası x + 3 ifadesini içeriyorsa grafiği sola kaydıracağımızı unutmayın: Şimdi fonksiyonun grafiğini elde etmek için tüm koordinatları ikiyle çarpmamız gerekiyor. Son olarak grafiği yukarı kaydırıyoruz. iki birim: Yapmamız gereken son şey, belirli bir fonksiyonun, eğer modül işareti altında bulunuyorsa, grafiğini oluşturmaktır. Bunu yapmak için grafiğin koordinatları negatif olan tüm kısmını (x ekseninin altında kalan kısmı) simetrik olarak yukarı doğru yansıtırız: Şekil 4 16

17 4.İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinde mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı değişiklikler. y = x 2 - x -3 fonksiyonunun grafiğini oluşturun 1) x 0 için x = x olduğundan, gerekli grafik y = 0,25 x 2 - x - 3 parabolüne çakışır. Eğer x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Bu nedenle x'in inşasını tamamlıyorum<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Şek. 4 y = f (x) fonksiyonunun grafiği, argümanın negatif olmayan değerleri kümesindeki y = f (x) fonksiyonunun grafiğiyle çakışır ve eksenine göre ona simetriktir. Bağımsız değişkenin negatif değerleri kümesindeki OU. İspat: Eğer x 0 ise f (x) = f (x), yani. argümanın negatif olmayan değerleri kümesinde, y = f (x) ve y = f (x) fonksiyonlarının grafikleri çakışmaktadır. y = f(x) çift bir fonksiyon olduğundan grafiği op-amp'e göre simetriktir. Böylece, y = f (x) fonksiyonunun grafiği, y = f (x) fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki şekilde elde edilebilir: 1. x>0 için y = f (x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun; 2. x için<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. x için<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Eğer x2 - x -6 ise<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 ve simetrik olarak yansıtılan kısım y = f(x) y'de<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0 ise f (x) = f (x) olur, bu da bu bölümde y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin, fonksiyonun y = f (x) grafiğiyle çakıştığı anlamına gelir. Eğer f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Şekil.5 Sonuç: y= f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için 1. y=f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturun; 2. Grafiğin alt yarı düzlemde bulunduğu alanlarda, yani f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 y = f (x) fonksiyonunun grafiklerini oluşturmaya yönelik araştırma çalışması Mutlak değer tanımını ve daha önce tartışılan örnekleri kullanarak fonksiyonun grafiklerini oluşturacağız: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 ve sonuç çıkarın. y = f (x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için yapmanız gerekenler: 1. x>0 için y = f (x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun. 2. Grafiğin ikinci bölümünü oluşturun, yani oluşturulan grafiği op-amp'e göre simetrik olarak yansıtın, çünkü Bu fonksiyon eşittir. 3. Ortaya çıkan grafiğin alt yarı düzlemde bulunan bölümlerini OX eksenine simetrik olarak üst yarı düzleme dönüştürün. y = 2 x - 3 fonksiyonunun grafiğini oluşturun (modülü belirlemek için 1. yöntem) 1. 2 x - 3 > 0, x >1,5 için y = 2 x - 3'ü oluşturun; X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, x>0 için b) x için<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) x için<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Op-amp'in eksenine göre oluşturulan çizgiye simetrik olan düz bir çizgi oluşturuyoruz. 3) Grafiğin alt yarı düzlemde bulunan bölümlerini OX eksenine göre simetrik olarak gösteriyorum. Her iki grafiği karşılaştırdığımızda aynı olduklarını görüyoruz. 21

22 Sorun örnekleri Örnek 1. y = x 2 6x +5 fonksiyonunun grafiğini düşünün. X kare olduğundan, x sayısının işareti ne olursa olsun, karesi alındıktan sonra pozitif olacaktır. Bundan, y = x 2-6x +5 fonksiyonunun grafiğinin, y = x 2-6x +5 fonksiyonunun grafiğiyle aynı olacağı sonucu çıkar, yani. mutlak değer işareti içermeyen bir fonksiyonun grafiği (Şekil 2). Şekil 2 Örnek 2. y = x 2 6 x +5 fonksiyonunun grafiğini düşünün. Bir sayının modül tanımını kullanarak y = x 2 6 x +5 formülünü değiştiririz. Şimdi bize tanıdık gelen parçalı bağımlılık atamasıyla uğraşıyoruz. Şöyle bir grafik oluşturacağız: 1) y = x 2-6x +5 parabolünü oluşturun ve bunun 22 olan kısmını daire içine alın.

23, x'in negatif olmayan değerlerine karşılık gelir, yani. Oy ekseninin sağında bulunan kısım. 2) aynı koordinat düzleminde, y = x 2 +6x +5 parabolünü oluşturun ve bunun x'in negatif değerlerine karşılık gelen kısmını daire içine alın, yani. Oy ekseninin solunda bulunan kısım. Parabollerin daire içine alınmış kısımları hep birlikte y = x 2-6 x +5 fonksiyonunun grafiğini oluşturur (Şekil 3). Şekil 3 Örnek 3. y = x 2-6 x +5 fonksiyonunun grafiğini düşünün. Çünkü y = x 2 6x +5 denkleminin grafiği, modül işareti olmayan fonksiyonun grafiğiyle aynıdır (örnek 2'de tartışılmıştır), bundan y = x 2 6 x +5 fonksiyonunun grafiğinin aynı olduğu sonucu çıkar örnek 2'de ele alınan y = x 2 6 x +5 fonksiyonunun grafiğine (Şekil 3). Örnek 4. y = x 2 6x +5 fonksiyonunun grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için y = x 2-6x fonksiyonunun grafiğini oluşturalım. Ondan y = x 2-6x fonksiyonunun bir grafiğini elde etmek için, parabolün her noktasını negatif bir koordinatla, aynı apsisli, ancak zıt (pozitif) koordinatlı bir noktayla değiştirmeniz gerekir. Başka bir deyişle, parabolün x ekseninin altında bulunan kısmının, x eksenine göre ona simetrik bir çizgi ile değiştirilmesi gerekir. Çünkü y = x 2-6x +5 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmamız gerekiyor, ardından y = x 2-6x olarak kabul ettiğimiz fonksiyonun grafiğinin y ekseni boyunca 5 birim yukarıya yükseltilmesi gerekiyor (Şekil 4) ). 23

24 Şekil.4 Örnek 5. y = x 2-6x+5 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Bunu yapmak için iyi bilinen parçalı fonksiyonu kullanacağız. y = 6x +5 6x + 5 = 0 fonksiyonunun sıfırlarını bulalım. İki durumu ele alalım: 1) Eğer öyleyse, denklem y = x 2 6x -5 formunu alacaktır. Bu parabolü oluşturalım ve bulunduğu kısmı daire içine alalım. 2) Eğer öyleyse denklem y = x 2 + 6x +5 formunu alır. Bu parabolün üzerinde duralım ve noktanın solunda bulunan kısmını koordinatlarla daire içine alalım (Şekil 5). 24

25 Şekil.5 Örnek6. y = x 2 6 x +5 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için y = x 2-6 x +5 fonksiyonunun grafiğini oluşturacağız. Bu grafiği Örnek 3'te oluşturduk. Fonksiyonumuz tamamen modül işareti altında olduğundan, y = x 2 6 x +5 fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için y = x 2 fonksiyonunun grafiğinin her noktasına ihtiyacımız var. Negatif koordinatlı 6 x + 5, aynı apsisli ancak zıt (pozitif) koordinatlı bir nokta ile değiştirilmelidir; parabolün Ox ekseninin altında bulunan kısmı, Ox eksenine göre ona simetrik bir çizgi ile değiştirilmelidir (Şekil 6). Şekil.6 25

26 II. Sonuç “Matematiksel bilgi ancak yaratıcı bir şekilde ustalaşılırsa ustaca ve yararlı bir şekilde kullanılabilir, böylece öğrenci bu bilgiye kendi başına nasıl ulaşabileceğini görebilir.” BİR. Kolmogorov. Bu problemler OGE sınavlarında çok sık rastlandığı için dokuzuncu sınıf öğrencilerinin büyük ilgisini çekmektedir. Fonksiyonların veri grafiklerini oluşturabilme yeteneği, sınavı daha başarılı bir şekilde geçmenizi sağlayacaktır. Fransız matematikçiler Pierre Fermat () ve Rene Descartes (), bir noktanın koordinatının apsisi üzerindeki bir eğriye bağımlılığı olarak bir fonksiyon hayal ettiler. Ve İngiliz bilim adamı Isaac Newton (), fonksiyonu, hareketli bir noktanın zamana bağlı olarak değişen koordinatı olarak anladı. 26

27 III. Referans ve kaynak listesi 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. 8-9. Sınıflar için cebir problemlerinin toplanması: Ders kitabı. okul öğrencileri için el kitabı. ve ileri sınıflar okudu Matematik 2. baskı. M.: Aydınlanma, Dorofeev G.V. Cebir. Fonksiyonlar. Veri analizi. 9. sınıf: m34 Eğitici. genel eğitim çalışmaları için. kuruluş 2. baskı, stereotip. M.: Bustard, Solomonik V.S. Matematikte soru ve problemlerin toplanması M.: “Yüksek Okul”, Yashchenko I.V. GIA. Matematik: Standart sınav seçenekleri: Seçenekler hakkında.m.: “Milli Eğitim”, s. 5. Yaşçenko I.V. OGE. Matematik: Standart sınav seçenekleri: Seçenekler hakkında.m.: “Milli Eğitim”, s. 6. Yaşçenko I.V. OGE. Matematik: standart sınav seçenekleri: Seçenekler hakkında.m.: “Milli Eğitim”, ile

28 Ek 28

29 Örnek 1. y = x 2 8 x Çözüm fonksiyonunun grafiğini çizin. Fonksiyonun paritesini belirleyelim. y(-x)'in değeri y(x)'in değeriyle aynıdır, dolayısıyla bu fonksiyon çifttir. O halde grafiği Oy eksenine göre simetriktir. x 0 için y = x 2 8x + 12 fonksiyonunun grafiğini çiziyoruz ve negatif x için grafiği Oy'ya göre simetrik olarak gösteriyoruz (Şekil 1). Örnek 2. Aşağıdaki y = x 2 8x formundaki grafik Bu, fonksiyonun grafiğinin şu şekilde elde edildiği anlamına gelir: y = x 2 8x + 12 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun, grafiğin yukarıda yer alan kısmını bırakın Ox ekseni değişmez ve grafiğin apsis ekseninin altında kalan ve Ox eksenine göre simetrik olarak görüntülenen kısmı (Şekil 2). Örnek 3. y = x 2 8 x + 12 fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağıdaki dönüşümlerin bir kombinasyonunu uygulayın: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Cevap: Şekil 3. Örnek 4 Modül işareti altındaki ifade, x=2/3 noktasında işaret değiştiriyor. x'te<2/3 функция запишется так: 29

30 x>2/3 için fonksiyon şu şekilde yazılacaktır: Yani x=2/3 noktası koordinat düzlemimizi iki alana böler, bunlardan birinde (sağda) bir fonksiyon oluştururuz, diğerinde ise bir fonksiyon oluştururuz. (sola doğru) fonksiyonun grafiğini oluşturuyoruz: Örnek 5 Sonra grafik de bozuk ama modül işaretleri altında iki ifade içerdiğinden iki kırılma noktası var: Bakalım alt modüler ifadeler hangi noktalarda işaret değiştirecek: Hadi bakalım. alt modüler ifadelerin işaretlerini koordinat doğrusu üzerinde düzenleyin: 30

31 Birinci aralıkta modülleri genişletiyoruz: İkinci aralıkta: Üçüncü aralıkta: Böylece (- ; 1.5] aralığında birinci denklemle yazılmış bir grafik, aralıkta ikinci denklemle yazılmış bir grafik elde ediyoruz. ve aralıkta)