Ders konusu

• Paralelkenarın köşegenlerinin özellikleri.

Dersin Hedefleri

• Yeni tanımlarla tanışın ve daha önce çalışılmış olanlardan bazılarını hatırlayın.
• Paralelkenarın köşegenlerinin özelliklerini belirtiniz ve kanıtlayınız.
• Problemleri çözerken şekillerin özelliklerini uygulamayı öğrenin.
• Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini geliştirmek, mantıksal düşünme, matematiksel konuşma.
• Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı özenli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.

Dersin Hedefleri

• Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.

Ders planı

1. Giriiş.
2. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı.
3. Paralelkenar, özellikleri ve özellikleri.
4. Görev örnekleri.
5. Kendi kendine kontrol.

giriiş

"Büyük Bilimsel keşif büyük bir soruna çözüm sağlar, ancak her sorunun çözümünde bir miktar keşif vardır."

Paralelkenarın zıt kenarlarının özelliği

Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir.

Kanıt.

Verilen paralelkenar ABCD olsun. Ve köşegenlerinin O noktasında kesişmesine izin verin.
Üçgenlerin eşitliğinin ilk kriterine göre Δ AOB = Δ COD olduğundan (∠ AOB = ∠ COD, dikey olanlar olarak, AO=OC, DO=OB, paralelkenarın köşegenlerinin özelliğine göre), AB=CD. Aynı şekilde BOC ve DOA üçgenlerinin eşitliğinden BC = DA sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.

Paralelkenarın zıt açılarının özelliği

Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir.

Kanıt.

Verilen paralelkenar ABCD olsun. Ve köşegenlerinin O noktasında kesişmesine izin verin.
Bir paralelkenarın karşıt kenarlarının özelliklerine ilişkin teoremde kanıtlanmış olanlardan Δ ABC = üç kenardaki Δ CDA (kanıtlanmış olandan AB=CD, BC=DA, AC – genel). Üçgenlerin eşitliğinden ∠ ABC = ∠ CDA sonucu çıkar.
Ayrıca ∠ ABD = ∠ CDB'den çıkan ∠ DAB = ∠ BCD olduğu da kanıtlanmıştır. Teorem kanıtlandı.

Paralelkenarın köşegenlerinin özelliği

Paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür.

Kanıt.

Verilen paralelkenar ABCD olsun. AC köşegenini çizelim. Üzerinde ortadaki O'yu işaretleyelim. DO segmentinin devamında DO'ya eşit olan OB 1 segmentini bir kenara koyacağız.
Önceki teoreme göre AB 1 CD bir paralelkenardır. Bu nedenle AB 1 doğrusu DC'ye paraleldir. Ancak A noktasından DC'ye paralel yalnızca bir doğru çizilebilir. Bu, düz AB 1'in düz AB ile çakıştığı anlamına gelir.
Ayrıca BC 1'in BC ile çakıştığı da kanıtlanmıştır. Bu, C noktasının C1 ile çakıştığı anlamına gelir. ABCD paralelkenarı AB 1 CD paralelkenarı ile çakışıyor. Sonuç olarak, paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür. Teorem kanıtlandı.

Ders kitaplarında normal okullar(örneğin Pogorelov'da) şu şekilde kanıtlanmıştır: köşegenler paralelkenarı 4 üçgene böler. Bir çifti düşünelim ve eşit olduklarını öğrenelim: tabanları zıt taraflardır, ona bitişik karşılık gelen açılar, paralel çizgilerle dikey açılar gibi eşittir. Yani köşegenlerin parçaları çiftler halinde eşittir. Tüm.

Hepsi bu?
Yukarıda, kesişme noktasının, eğer varsa, köşegenleri ikiye böldüğü kanıtlanmıştır. Yukarıdaki mantık hiçbir şekilde onun varlığını kanıtlamaz. Yani, "paralelkenarın köşegenleri kesişir" teoreminin bir kısmı kanıtlanmamıştır.

İşin komik yanı bu kısmı kanıtlamanın çok daha zor olmasıdır. Bu, bu arada, daha fazlasından kaynaklanıyor genel sonuç: Herhangi bir dışbükey dörtgenin kesişen köşegenleri olacaktır, ancak dışbükey olmayan herhangi bir dörtgen kesişmeyecektir.

Bir kenar ve iki bitişik açı boyunca üçgenlerin eşitliği (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti) ve diğerleri.

Thales, bir kenar boyunca iki üçgenin ve iki komşu açının eşitliği konusunda önemli bir teorem buldu pratik kullanım. Denizdeki bir geminin mesafesini belirlemek için Milet limanına bir uzaklık ölçer inşa edildi. Üç adet tahrikli A, B ve C çivisinden (AB = BC) ve CA'ya dik işaretli bir düz çizgi SC'den oluşuyordu. SK düz çizgisi üzerinde bir gemi göründüğünde, D, .B ve E noktaları aynı düz çizgi üzerinde olacak şekilde D noktasını bulduk. Çizimden de anlaşılacağı üzere yerdeki CD mesafesi gemiye olan istenilen mesafedir.

Sorular

1. Bir karenin köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür mü?
   
2. Paralelkenarın köşegenleri eşit midir?
3. Paralelkenarın zıt açıları eşit midir?
4. Paralelkenarın tanımını söyler misiniz?
5. Paralelkenarın kaç işareti var?
   
6. Eşkenar dörtgen paralelkenar olabilir mi?
   

Kullanılan kaynakların listesi

1. Kuznetsov A.V., matematik öğretmeni (5-9. Sınıflar), Kiev
2. “Birleşik Devlet Sınavı 2006. Matematik. Öğrencileri hazırlamak için eğitim ve öğretim materyalleri / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. “M. I. Skanavi tarafından düzenlenen koleksiyonun matematikteki ana rekabet problemlerini çözme”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: eğitim kurumları için ders kitabı”

Ders üzerinde çalıştık

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Hakkında bir soru sorun çağdaş eğitim, bir fikri ifade edin veya acil bir sorunu çözün, şunları yapabilirsiniz: Eğitim forumu, nerede Uluslararası seviye taze düşünce ve eylemden oluşan bir eğitim konseyi toplanıyor. Yarattıktan Blog, Yalnızca yetkin bir öğretmen olarak statünüzü geliştirmekle kalmayacak, aynı zamanda geleceğin okulunun gelişimine de önemli bir katkı sağlayacaksınız. Eğitim Liderleri Birliğiüst düzey uzmanlara kapıları açar ve onları dünyanın en iyi okullarını yaratma konusunda işbirliği yapmaya davet eder.

Konular > Matematik > Matematik 8. sınıf

Paralelkenar kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.

Bu şekilde karşılıklı kenarlar ve açılar birbirine eşittir. Paralelkenarın köşegenleri bir noktada kesişir ve onu ikiye böler. Paralelkenarın alanı için formüller, kenarları, yüksekliği ve köşegenleri kullanarak değeri bulmanızı sağlar. Özel durumlarda paralelkenar da sunulabilir. Dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen olarak kabul edilirler.
Öncelikle paralelkenarın alanını yüksekliğe ve indirildiği tarafa göre hesaplama örneğine bakalım.

Bu dava klasik kabul edilir ve ek araştırma gerektirmez. Alanı iki kenardan ve aralarındaki açıyı hesaplamak için formülü dikkate almak daha iyidir. Hesaplamalarda da aynı yöntem kullanılır. Kenarlar ve aralarındaki açı verilirse alan şu şekilde hesaplanır:

Diyelim ki kenarları a = 4 cm, b = 6 cm olan bir paralelkenar veriliyor ve aralarındaki açı α = 30°. Alanı bulalım:

Köşegenler boyunca paralelkenarın alanı

Köşegenleri kullanan paralelkenarın alanı formülü, değeri hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.
Hesaplamalar için köşegenler arasında bulunan açının boyutuna ihtiyacınız olacaktır.

Köşegenleri kullanarak paralelkenarın alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Köşegenleri D = 7 cm, d = 5 cm olan bir paralelkenarın aralarındaki açı α = 30° olsun. Verileri formülde yerine koyalım:

Paralelkenarın alanını köşegen üzerinden hesaplamanın bir örneği bize mükemmel bir sonuç verdi - 8.75.

Paralelkenarın köşegenden geçen alanının formülünü bilerek birçok ilginç problemi çözebilirsiniz. Bunlardan birine bakalım.

Görev: Alanı 92 metrekare olan bir paralelkenar verilmiştir. bkz. F noktası BC kenarının ortasında yer almaktadır. Paralelkenarımızda yer alacak yamuk ADFB'nin alanını bulalım. Öncelikle aldığımız her şeyi şartlara göre çizelim.
Çözüme başlayalım:

Koşullarımıza göre ah =92 ve buna göre yamuğumuzun alanı şuna eşit olacaktır:

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Paralelkenarın tanımı ve temel özellikleri

Para-ral-le-lo-gram'ın tanımını hatırlayarak başlayalım.

Tanım. Paralelkenar- ne-sen-rekh-gon-nick, her iki yanlış yanlısı tarafı da paraleldir (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Hatırlayalım pa-ral-le-lo-gram-ma'nın temel özellikleri:

Tüm bu özellikleri kullanabilmek için, birisiyle ilgili fi-gu-ra'nın -Roy olduğundan emin olmanız gerekir. Hakkında konuşuyoruz, - pa-ral-le-lo-gram. Bunu yapmak için pa-ral-le-lo-gram-ma'nın işaretleri gibi gerçekleri bilmek gerekir. Şu anda ilk ikisine bakıyoruz.

2. Paralelkenarın ilk işareti

Teorem. pa-ral-le-lo-gram-ma'nın ilk işareti. Dört kömürün karşıt iki tarafı eşit ve paralelse, o zaman bu dört kömür takma adı - paralelkenar. .

Pirinç. 2. pa-ral-le-lo-gram-ma'nın ilk işareti

Kanıt. Çaprazı dört-reh-kömür-ni-ka'ya koyalım (bkz. Şekil 2), onu iki üç-kömür-ni-ka'ya böldü. Bu üçgenler hakkında bildiklerimizi yazalım:

üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre.

Belirtilen üçgenlerin eşitliğinden, geçiş sırasında düz çizgilerin paralelliğinin işareti ile ch-nii onların s-ku-shchi olduğu anlaşılmaktadır. Şuna sahibiz:

Do-ka-za-ama.

3. Paralelkenarın ikinci işareti

Teorem. İkinci işaret pa-ral-le-lo-gram-ma'dır. Eğer bir dört köşede karşılıklı iki kenar eşitse bu dört köşe paralelkenar. .

Pirinç. 3. pa-ral-le-lo-gram-ma'nın ikinci işareti

Kanıt. Köşegeni dört köşeye yerleştiriyoruz (bkz. Şekil 3), o da onu iki üçgene bölüyor. Teorinin formundan yola çıkarak bu üçgenler hakkında bildiklerimizi yazalım:

üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işaretine göre.

Üçgenlerin eşitliğinden, paralel çizgilerin işaretiyle, onları keserken s-ku-shchey olduğu sonucu çıkar. Hadi yiyelim:

tanım gereği par-ral-le-lo-gram. Q.E.D.

Do-ka-za-ama.

4. Birinci paralelkenar özelliğinin kullanımına bir örnek

Pa-ral-le-lo-gram işaretlerini kullanma örneğine bir göz atalım.

Örnek 1. Çıkıntıda kömür yok Bul: a) kömürlerin köşeleri; b) yüz ro-kuyu.

Çözüm. Şekil Şek. 4.

pa-ral-le-lo-gram, pa-ral-le-lo-gram-ma'nın ilk işaretine göre.

A. yanlısı açılar hakkında bir par-ral-le-lo-gram özelliği ile, bir tarafa uzandığında açıların toplamı hakkında bir par-ral-le-lo-gram özelliği ile.

B. Yanlış yanlısı tarafların eşitliğinin doğası gereği.

re-tiy işareti pa-ral-le-lo-gram-ma

5. İnceleme: Paralelkenarın Tanımı ve Özellikleri

Bunu hatırlayalım paralelkenar- bu, çiftler halinde yanlış tarafları olan dört kare bir köşedir. Yani, eğer - par-ral-le-lo-gram ise, o zaman (Bkz. Şekil 1).

Paralel-le-lo-gramın bir dizi özelliği vardır: yanlış yanlısı açılar eşittir (), yanlış yanlısı açılar -biz eşitiz ( ). Ek olarak, re-se-che-niya noktasındaki dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram, açıların toplamına göre bölünür ve herhangi bir pa kenarına basıldığında -ral-le-lo-gram-ma, eşit vb.

Ancak tüm bu özelliklerden yararlanmak için, ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram olduğundan kesinlikle emin olmak gerekir. Bu amaçla par-ral-le-lo-gram'ın işaretleri vardır: yani, tek değerli bir sonuca varılabilecek gerçekler, yani ne-rekh-kömür-nick'in par-ral- olduğu yönündeki gerçekler le-lo-gram-anne. Önceki derste zaten iki işarete bakmıştık. Şimdi üçüncü kez bakıyoruz.

6. Paralelkenarın üçüncü işareti ve kanıtı

Dört kömürde re-se-che-niya noktasında bir diya-devam varsa, onlar-by-lams yaparlar, o zaman verilen dört-sen Roh-kömür-nick bir pa-ral-le'dir -lo-gram-anne.

Verilen:

Sen ne-kömür-nicksin; ; .

Kanıtlamak:

Paralelkenar.

Kanıt:

Bu gerçeğin ispatı için tarafların par-le-lo-grama paralelliğini göstermek gerekir. Ve düz çizgilerin paralelliği çoğunlukla bu dik açılardaki iç çapraz açıların eşitliği yoluyla elde edilir. Böylece, par-ral -le-lo-gram-ma'nın üçüncü işaretini elde etmenin bir sonraki yöntemi şudur: üçgenlerin eşitliği yoluyla .

Bu üçgenlerin nasıl eşit olduğunu görelim. Gerçekten de durumdan şu sonuç çıkıyor: . Ayrıca açılar dik olduğundan eşittirler. Yani:

(eşitliğin ilk işaretitri-kömür-ni-cov- iki kenar boyunca ve aralarındaki köşe).

Üçgenlerin eşitliğinden: (bu düz çizgilerdeki ve ayırıcılardaki iç çapraz açılar eşit olduğundan). Ayrıca üçgenlerin eşitliğinden şu sonuç çıkar. Bu, dört kömürde iki yüzün eşit ve paralel olduğunu anladığımız anlamına gelir. İlk işarete göre pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-ama.

7. Paralelkenarın üçüncü işaretine ilişkin problem örneği ve genelleme

Pa-ral-le-lo-gram'ın üçüncü işaretini kullanma örneğine bakalım.

örnek 1

Verilen:

- paralelkenar; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (bkz. Şekil 2).

Kanıtlamak:- pa-ral-le-lo-gram.

Kanıt:

Bu, dört-kömür-no-dia-devam edip etmedikleri, re-se-che-niya noktasında-la-lam yaptıkları anlamına gelir. Pa-ral-le-lo-gram'ın üçüncü işaretiyle, bundan şu sonuç çıkar: pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-ama.

Pa-ral-le-lo-gram'ın üçüncü işaretini analiz ederseniz, bu işaretin par-ral-le-lo-gram özelliğine sahip-veteriner olduğunu fark edebilirsiniz. Yani, dia-go-na-li de-la-xia'nın sadece par-le-lo-gram'ın bir özelliği olmadığı ve onun ayırt edici kha-rak-te-ri-sti-che- olduğu gerçeğidir. özellik, bu sayede ne-sen-rekh-kömür-ni-cov kümesinden ayırt edilebilir.

KAYNAK

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Belirli bir şeklin paralelkenar olup olmadığını belirlemek için bir takım işaretler vardır. Paralelkenarın üç ana özelliğine bakalım.

1 paralelkenar işareti

Bir dörtgenin iki kenarı eşit ve paralel ise bu dörtgen bir paralelkenar olacaktır.

Kanıt:

ABCD dörtgenini düşünün. AB ve CD kenarları paralel olsun. Ve AB=CD olsun. BD köşegenini içine çizelim. Verilen dörtgeni ikiye böler eşit üçgen: ABD ve CBD.

Bu üçgenlerin iki tarafı birbirine ve aralarındaki açıya eşittir (BD - ortak taraf, koşula göre AB = CD, AB ve CD paralel çizgilerinin enine BD'si ile çapraz açı olarak açı1 = açı2.) ve dolayısıyla açı3 = açı4.

Ve bu açılar, BC ve AD çizgileri BD keseniyle kesiştiğinde çapraz olarak uzanacaktır. Bundan BC ve AD'nin birbirine paralel olduğu sonucu çıkar. ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların çift paralel olduğu ve dolayısıyla ABCD dörtgeninin bir paralelkenar olduğu elimizde.

Paralelkenar işareti 2

Bir dörtgende karşılıklı kenarlar çiftler halinde eşitse, bu dörtgen bir paralelkenar olacaktır.

Kanıt:

ABCD dörtgenini düşünün. BD köşegenini içine çizelim. Bu dörtgeni iki eşit üçgene bölecek: ABD ve CBD.

Bu iki üçgenin üç tarafı birbirine eşit olacaktır (BD ortak kenardır, AB = CD ve BC = AD koşula göre). Buradan açı1 = açı2 sonucunu çıkarabiliriz. Buradan AB'nin CD'ye paralel olduğu sonucu çıkar. Ve AB = CD ve AB, CD'ye paralel olduğundan, paralelkenarın ilk kriterine göre ABCD dörtgeni bir paralelkenar olacaktır.

3 paralelkenar işareti

Bir dörtgenin köşegenleri kesişirse ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünürse, bu dörtgen bir paralelkenar olacaktır.

ABCD dörtgenini düşünün. İçine O noktasında kesişecek ve bu nokta tarafından ikiye bölünecek iki AC ve BD köşegeni çizelim.

AOB ve COD üçgenleri, üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre birbirine eşit olacaktır. (Koşullara göre AO = OC, BO = OD, dikey açı olarak AOB açısı = COD açısı.) Dolayısıyla AB = CD ve açı1 = açı 2. 1 ve 2 açılarının eşitliğinden AB'nin CD'ye paralel olduğunu elde ederiz. O zaman ABCD dörtgeninde AB kenarlarının CD'ye eşit ve paralel olduğunu ve paralelkenarın ilk kriterine göre ABCD dörtgeninin bir paralelkenar olacağını görüyoruz.

Kanıt

Öncelikle AC köşegenini çizelim. İki üçgen elde ediyoruz: ABC ve ADC.

ABCD bir paralelkenar olduğundan aşağıdaki ifade doğrudur:

reklam || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2çapraz yatmak gibi.

AB || CD\Sağok\açı3 =\açı 4çapraz yatmak gibi.

Dolayısıyla \triangle ABC = \triangle ADC (ikinci kritere göre: ve AC ortaktır).

Ve dolayısıyla \triangle ABC = \triangle ADC, bu durumda AB = CD ve AD = BC olur.

Kanıtlanmış!

2. Karşılıklı açılar aynıdır.

Kanıt

Kanıta göre özellikler 1 Biz biliyoruz ki \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Böylece zıt açıların toplamı: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. \triangle ABC = \triangle ADC olduğunu düşünürsek \angle A = \angle C , \angle B = \angle D elde ederiz.

Kanıtlanmış!

3. Köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Kanıt

Başka bir köşegen çizelim.

İle özellik 1 Karşılıklı kenarların aynı olduğunu biliyoruz: AB = CD. Bir kez daha çapraz uzanan eşit açılara dikkat edin.

Böylece üçgenlerin eşitliğine ilişkin ikinci kritere (iki açı ve aralarındaki kenar) göre \triangle AOB = \triangle COD olduğu açıktır. Yani, BO = OD (\açı 2 ve \açı 1 köşelerinin karşısı) ve AO = OC (sırasıyla \açı 3 ve \açı 4'ün karşısı).

Kanıtlanmış!

Paralelkenarın işaretleri

Eğer probleminizde yalnızca bir özellik mevcutsa şekil bir paralelkenardır ve bu şeklin tüm özelliklerini kullanabilirsiniz.

Daha iyi ezberlemek için paralelkenar işaretinin aşağıdaki soruyu cevaplayacağını unutmayın: "nasıl öğrenebilirim?". Yani, belirli bir şeklin paralelkenar olduğunun nasıl öğrenileceği.

1. Paralelkenar, iki kenarı eşit ve paralel olan bir dörtgendir.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD bir paralelkenardır.

Kanıt

Hadi daha yakından bakalım. Neden AD || M.Ö?

\triangle ABC = \triangle ADC by özellik 1: AB = CD, AC - ortak ve \angle 1 = \angle 2 paralel AB ve CD ve kesen AC ile çapraz uzanır.

Ancak eğer \triangle ABC = \triangle ADC ise, o zaman \angle 3 = \angle 4 (sırasıyla AB ve CD'nin karşısında yer alır). Ve bu nedenle AD || BC (\açı 3 ve \açı 4 - çapraz uzananlar da eşittir).

İlk işaret doğrudur.

2. Paralelkenar, karşılıklı kenarları eşit olan bir dörtgendir.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD bir paralelkenardır.

Kanıt

Hadi düşünelim bu işaret. AC köşegenini tekrar çizelim.

İle özellik 1\triangle ABC = \triangle ACD .

Bundan şu sonuç çıkıyor: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || M.Ö. Ve \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD yani ABCD bir paralelkenardır.

İkinci işaret doğrudur.

3. Paralelkenar, karşılıklı açıları eşit olan bir dörtgendir.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- paralelkenar.

Kanıt

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(ABCD bir dörtgen olduğundan ve koşula göre \angle A = \angle C , \angle B = \angle D).

\alpha + \beta = 180^(\circ) olduğu ortaya çıktı. Ancak \alpha ve \beta AB sekantında dahili tek taraflıdır.

Ve \alpha + \beta = 180^(\circ) gerçeği aynı zamanda AD || M.Ö.

Üstelik \alpha ve \beta, AD sekantında dahili tek taraflıdır. Bu da AB || anlamına geliyor CD.

Üçüncü işaret doğrudur.

4. Paralelkenar, köşegenleri kesişme noktasıyla ikiye bölünmüş bir dörtgendir.

AO = OC; BO = OD\Sağok paralelkenar.

Kanıt

BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 dikey olarak \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, ve \Rightarrow AB || CD.

Benzer şekilde BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, ve \Rightarrow AD || M.Ö.

Dördüncü işaret doğrudur.