Düzlem - Tanımlayıcı geometri. Uçakla ilgili sorunlar Düzlemdeki ana çizgiler

Aidiyet işaretleri planimetri kursundan iyi bilinmektedir. Görevimiz bunları geometrik nesnelerin izdüşümleriyle ilişkili olarak ele almaktır.

Bir nokta, eğer bu düzlemde bulunan bir doğruya aitse, bu düzleme aittir.

Düz bir düzleme ait olmak iki kriterden biriyle belirlenir:

a) düz bir çizgi bu düzlemde yer alan iki noktadan geçer;

b) Bir doğru bir noktadan geçiyor ve bu düzlemdeki doğrulara paralel.

Bu özellikleri kullanarak örnek olarak problemi çözelim. Düzlemin bir üçgenle tanımlanmasına izin verin ABC. Eksik projeksiyonu oluşturmak gerekiyor D 1 puan D bu uçağa ait. Yapım sırası aşağıdaki gibidir (Şekil 2.5).

Nokta yoluyla D 2 düz bir çizgi projeksiyonu gerçekleştiriyoruz D, uçakta yatıyorum DABCüçgenin kenarlarından biri ile noktayı kesen A 2. O halde 1 2 noktası doğrulara aittir A 2 D 2 ve C 2 İÇİNDE 2. Bu nedenle, 1 1 yatay izdüşümünü elde edebiliriz. C 1 İÇİNDE 1 iletişim hattı üzerinden. Bağlantı noktaları 1 1 ve A 1, yatay bir projeksiyon elde ediyoruz D 1. Meselenin şu olduğu açık D 1 ona aittir ve nokta ile projeksiyon bağlantısı hattında yer almaktadır. D 2 .

Bir noktanın mı yoksa düz bir düzlemin mi ait olduğunu belirleme problemleri oldukça basit bir şekilde çözülür. Şek. Şekil 2.6 bu tür sorunların çözümündeki ilerlemeyi göstermektedir. Sorunun daha net anlaşılması için düzlemi bir üçgenle tanımlıyoruz.

Pirinç. 2.6. Bir noktanın düz bir düzleme ait olup olmadığını belirleme problemleri.

Bir noktanın ait olup olmadığını belirlemek için e uçak DABC, önden projeksiyonu boyunca düz bir çizgi çizin E 2 A 2. A düz çizgisinin düzleme ait olduğunu varsayarsak DABC, yatay projeksiyonunu oluşturalım A 1 ve 2 numaralı kesişme noktalarında 1. Gördüğümüz gibi (Şekil 2.6, a), düz A 1 noktasından geçmiyor e 1. Bu nedenle nokta E İDABC.

Bir hatta ait olma sorununda Vüçgen uçaklar ABC(Şekil 2.6, b), düz çizgi çıkıntılarından birini kullanmak yeterlidir V 2 başka bir tane inşa et V 1 * bunu dikkate alarak ВÌDAВС. Gördüğümüz gibi, V 1* ve V 1 eşleşmiyor. Bu nedenle düz Ë DABC'de.

Düzlemdeki seviye çizgileri

Seviye çizgilerinin tanımı daha önce verilmişti. Belirli bir düzleme ait seviye çizgilerine denir ana . Bu çizgiler (düz çizgiler), tanımlayıcı geometrinin bir takım problemlerinin çözümünde önemli bir rol oynar.

Üçgenin tanımladığı düzlemde seviye çizgileri oluşturmayı düşünelim (Şekil 2.7).

Pirinç. 2.7. Üçgenle tanımlanan bir düzlemin ana çizgilerinin oluşturulması

Yatay düzlem DABCönden projeksiyonunu çizerek başlıyoruz H Eksene paralel olduğu bilinen 2 AH. Bu yatay doğru bu düzleme ait olduğundan düzlemin iki noktasından geçer. DABC yani puanlar A ve 1. Önden projeksiyonlara sahip olmak A 2 ve 1 2, iletişim hattı boyunca yatay projeksiyonlar elde ediyoruz ( A 1 zaten mevcut) 1 1 . Noktaları birleştirme A 1 ve 1 1, yatay bir projeksiyonumuz var H 1 yatay düzlem DABC. Profil projeksiyonu H 3 yatay düzlem DABC eksene paralel olacak AH tanımı gereği.

Ön düzlem DABC benzer şekilde inşa edilmiştir (Şekil 2.7), tek fark çiziminin yatay bir çıkıntıyla başlamasıdır F 1, çünkü OX eksenine paralel olduğu biliniyor. Profil projeksiyonu F 3 cephe OZ eksenine paralel olmalı ve çıkıntılardan geçmelidir İLE 3, 2 3 aynı noktalardan İLE ve 2.

Uçağın profil çizgisi DABC yatay var R 1 ve ön R Eksenlere paralel 2 projeksiyon OY Ve OZ ve profil projeksiyonu R 3 kesişim noktaları kullanılarak önden elde edilebilir İÇİNDE ve 3 saniye D ABC.

Düz bir düzleme ait:

2) Belirli bir düzleme ait bir noktadan geçen ve bu düzlemin herhangi bir düz çizgisine paralel olan bir düz çizgi, bir düzleme aittir.

Düz bir düzleme ait olduğunu gösteren bu iki işaretten aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

1) bir düzlem izlerle verilmişse, o zaman çizginin izleri düzlem üzerinde aynı adı taşıyan izler üzerinde bulunuyorsa, çizgi düzleme aittir;

2) Düzlemin bir izi ile ortak bir noktaya sahip olan ve diğer ize paralel olan bir düz çizgi, bir düzleme aittir.

İzlerle tanımlanan genel konumdaki Q düzlemini düşünün (Şekil 17). NM düz çizgisi bu düzleme aittir, çünkü izleri aynı adı taşıyan düzlemlerin izleri üzerindedir.

Şekil 18, kesişen t ve n çizgileriyle tanımlanan düzlemi göstermektedir. Bu düzlemde uzanan düz bir çizgi oluşturmak için, çıkıntılardan birini, örneğin yatay c1'i keyfi olarak çizmek ve ardından bu çizginin kesişme noktalarını düzlemin düz çizgileriyle ön düzleme yansıtmak yeterlidir. C2 düz çizgisinin ön izdüşümü elde edilen noktalardan geçecektir.

Şekil 17 Şekil 18

İkinci konuma göre, Şekil 19'da P düzlemine ait bir h düz çizgisi inşa edilmiştir - P düzlemiyle ortak bir N (N1, N2) noktasına sahiptir ve düzlemde uzanan bir düz çizgiye paraleldir - yatay iz P1.

Şekil 19 Şekil 20

Belirli konumdaki düzlemleri ele alalım. Düz bir çizgi veya şekil yatay olarak çıkıntı yapan bir düzleme aitse (Şekil 20), bu geometrik elemanların yatay izdüşümleri düzlemin yatay izleriyle çakışır.

Düz veya düz bir şekil önden çıkıntı yapan bir düzleme aitse, bu geometrik elemanların önden çıkıntıları düzlemin önden izleriyle çakışır.

Bir noktanın bir düzleme ait olması:

Bir nokta, eğer bu düzlemde bulunan bir doğruya aitse, bu düzleme aittir.

Örnek: Bir P (a || b) düzlemi verildiğinde. P düzlemine ait B noktasının yatay izdüşümü bilinmektedir. B noktasının ön izdüşümünü bulunuz (Şekil 21).

Şekil 22, 23, 24'te bu soruna parçalı bir çözüm gösterilmektedir:

1) B1'den geçen herhangi bir düz çizgi çizin (B noktasının bilinen izdüşümü),

P düzleminde uzanmak - bunun için düz çizginin düzlemle iki ortak noktası olması gerekir. Bunları çizimde işaretleyelim - M1 ve K1;

2) bu noktaların önden izdüşümlerini, noktaların düz çizgilere ait olup olmadığına, yani M2'nin a doğrusunda, K2'nin b doğrusuna ait olup olmadığına göre oluşturun. Noktaların önden izdüşümleri boyunca düz bir çizginin önden izdüşümünü çizelim;

Şekil 21 Şekil 22

diğer sunumların özeti

“Dihedral açıların belirlenmesi” - Belirli bir düzlemde çizilen düz bir çizgi. Bir ışın atalım. Piramidin tabanı. Piramitlerde dihedral açılar. Görev. K noktası. Problem çözme. Tanım. Eşkenar dörtgen. Dik düzlemler. Dihedral açıyı bulun. Hadi BK'yi inşa edelim. M ve K noktaları farklı yüzeylerde yer almaktadır. M noktası, 30'a eşit dihedral açının yüzlerinden birinde bulunur. Tanım ve özellikler. Doğrusal bir açının inşası. Açıyı bulun. Bir dik çizin.

“Sterometrinin temel aksiyomları” - Stereometride ilk dersler. Uçak. Geometri. Eski bir Çin atasözü. Stereometri aksiyomlarından elde edilen sonuçlar. Uzamsal figürlerin görüntüleri. Stereometrinin konusu. Düz bir çizginin noktaları bir düzlemde bulunur. Dört eşkenar üçgen. Stereometri aksiyomları. Aksiyomlardan elde edilen sonuçlar. Aksiyom. Keops Piramidi. Uçakların ortak bir noktası var. Geometrik cisimler. Uzaydaki temel figürler. Kaynaklar ve bağlantılar.

“Piramit kavramı” - Eşit açılar. Modern bir sanayi kuruluşunun modeli. Kimyada piramitler. Geometride piramit. Dünya çapında seyahat edin. Bir piramidin bölümlerinin düzlemlere göre gösterimi. Seyahat rotası. Projeksiyonlar. Mısır piramitleri. Piramidin tabanı. Bölüm izleme. Yan kaburga. Doğru piramit. Piramitlerin dünyasına sanal bir yolculuk. Test soruları. Bitişik yan yüzler. Giza'nın harikaları. Adım piramitleri. Çokyüzlü.

"Kartezyen sistem" - Kartezyen sistemin tanımı. Koordinat sistemi kavramı. Herhangi bir noktanın koordinatları. Kartezyen koordinat sistemi. Dikdörtgen koordinat sistemi. Uzayda Kartezyen koordinatların tanıtılması. Nokta koordinatları. Rene Descartes. Doldurulacak sorular. Vektör koordinatları.

“Doğadaki simetri örnekleri” - Ayrık simetri. Simetrik dağılım örnekleri. Doğada simetri. Kristalin dış şeklinin simetrisi. Silindirin simetrisi. Simetri türleri. Doğal nesneler. Simetri nedir? Simetri doğanın temel bir özelliğidir. Coğrafyada simetri. Biyolojide simetri. İnsanlar, birçok hayvan ve bitki ikili simetriye sahiptir. Jeolojide simetri. Fizikte simetri.

“Paralelkenar problemleri” - Çemberlerin merkezleri. Paralelkenarın çevresi. Paralelkenarın alanı. Segmentlerin eşitliği. Akut açı. İki daire. Paralelkenarın özelliği. Orta çizgi. Açılar. Paralelkenarın işaretleri. Kare. Dörtgen. Parça. Üçgenler. Noktalar. Bir daireye teğet. Kanıt. Paralelkenarın özellikleri. Paralelkenarın yüksekliği. Diyagonal. Geometri. Daire. Paralelkenarın köşegenleri.

Tanım. Bir doğru ve düzlemin ortak noktaları (a ||) yoksa paralel olarak adlandırılır.

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki paralellik işareti.

Teorem. Belirli bir düzlemde yer almayan bir doğru, bu düzlemde yer alan bir doğruya paralelse, o zaman düzlemin kendisine de paraleldir.

Sonuçlar.

Düz bir çizginin ve bir düzlemin göreceli konumu durumları:

A) düz çizgi düzlemde yer alır;
b) bir düz çizgi ile bir düzlemin yalnızca bir ortak noktası vardır;
c) Bir doğru ile bir düzlemin tek bir ortak noktası yoktur.

Uçakların karşılıklı düzenlenmesi durumları:

Paralel düzlemlerin özellikleri:

"Konu 3" konulu problemler ve testler. "Doğru ve düzlemin paralelliği; düzlemlerin paralelliği."

Düzlemlerin paralelliği
Dersler: 1 Ödevler: 8 Testler: 1
Düz doğruların, doğruların ve düzlemlerin paralelliği - Doğruların ve düzlemlerin paralelliği, 10. sınıf
İki çizginin paralellik işaretleri. Paralel çizgiler aksiyomu - Paralel çizgiler 7. sınıf
Dersler: 2 Ödevler: 11 Testler: 1
Çizgilerin uzaydaki göreceli konumu. Düz çizgiler arasındaki açı - Doğruların ve düzlemlerin paralelliği, 10. sınıf
Dersler: 1 Ödevler: 9 Testler: 1
Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği - Doğruların ve düzlemlerin dikliği, derece 10
Dersler: 1 Ödevler: 10 Testler: 1

“Sterometri Aksiyomları” konusu mekansal kavramların geliştirilmesinde önemli bir rol oynamaktadır, bu nedenle daha fazla model (karton ve örgü iğneleri) ve çizimleri dahil etmeye çalışın.

“Uzayda Paralellik” konusu uzayda düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği hakkında bilgi sağlar. Bu materyal, düz çizgilerin paralelliği hakkında planimetriden bilinen bilgileri özetlemektedir. Belirli bir çizgiye paralel bir çizginin varlığı ve benzersizliğine ilişkin teorem örneğini kullanarak, uzaydaki noktalardan ve çizgilerden bahsettiğimiz durumlarda planimetriden bilinen gerçekleri yeniden kanıtlamanın gerekliliği hakkında bir fikir edinirsiniz. ve belirli bir uçakla ilgili değil.

İspat problemleri birçok durumda ispat teoremlerine benzetilerek çözülür. Segmentlerin uzunluklarının hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmek için planimetri dersini tekrarlamak gerekir: üçgenlerin eşitliği ve benzerliği, dikdörtgenin tanımları, özellikleri ve özellikleri, paralelkenar, eşkenar dörtgen, kare, yamuk.

Bir nokta, izdüşümleri bu çizgi üzerindeki aynı adı taşıyan çıkıntıların üzerinde bulunuyorsa, bir çizgiye aittir (Şekil 21a).

Bir nokta, eğer bu düzlemde bulunan bir doğrunun üzerinde yer alıyorsa, bu düzleme aittir (Şekil 21b).

Düz bir çizgi, bu düzlemde yer alan iki noktadan geçiyorsa bu düzleme aittir (Şekil 21c).

Bir doğru, bir düzlemde yer alan herhangi bir doğruya paralel ise o düzleme paraleldir. Şekil 22, Σ: t // b О Σ (aÇ b) düzlemine ait bir b düz çizgisine paralel bir t düz çizgisini göstermektedir.

Şekil 22

Uzaydaki herhangi bir noktadan belirli bir düzleme paralel sonsuz sayıda çizgi çizebilirsiniz.

Bu, bir doğrunun ve bir düzlemin ortak noktasını belirleme görevidir. Buluşma noktası da denir. Bir doğrunun belirli konumdaki bir düzlemle kesişimini düşünelim.

Σ düzlemi ABC üçgeni tarafından tanımlanır ve yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlemdir. k düz çizgisinin Σ düzlemiyle buluşma noktası yatay izdüşüm ile belirlenir. K noktasının önden projeksiyonu bir iletişim hattı kullanılarak tamamlanır. Sembolik gösterim şu şekilde görünecektir: k Ç Σ (ABC) = K.

Çizginin uçağa göre görünürlüğü, önden rekabet eden 1 ve 2 noktaları kullanılarak belirlenir.

Şekil 23

Bir çizginin genel bir düzlemle kesişimi Şekil 24'te gösterilmektedir. Bu durumda çizgiyi çıkıntı düzlemine kapatmak gerekir.

TО Σ ^ П 2 - düz çizgi T yatay projeksiyon düzlemine dik olan Σ düzlemine aittir. Bu düzlemin bununla kesişme çizgisi (1, 2) doğrusudur. Daha sonra bu doğrunun düz çizgi ile kesişme noktası bulunur. T düz çizgi ile düzlemin buluşma noktası olacak. Bir çizginin bir uçağa göre görünürlüğü, rekabet eden noktalar kullanılarak belirlenir. Yatay olarak yarışan 3 ve 4 noktalarını ele alalım. Doğruya ait olan 3. nokta 4. noktadan daha alçakta olduğu için yatay düzlemde kesişme noktasının sağındaki çizgi görünmez. Daha sonra önden yarışan 1 ve 5 noktalarını alıyoruz. Uçağa ait olan 1 noktası daha yakın olduğundan düz çizgi düzlemin arkasındadır ve 1 noktasından K noktasına kadar önden projeksiyonda görünmez.

Şekil 24

Uçağa ait özel düz çizgiler yatay, ön ve profil düz çizgileri içerir. Bu çizgilerin yapısı tanımlayıcı geometrideki birçok problemin çözümünde kullanılır. Görüntüleri Şekil 25'te verilmiştir. Ayrıca, yatay düzlemde yatay doğal bir boyuta sahiptir, ön düzlemde - ön ve profil düzleminde - profil düz çizgisi.

Şekil 25