Örnek

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 vb.

orantı faktörü

Orantılı büyüklüklerin sabit oranına denir orantılılık katsayısı. Orantılılık katsayısı, bir miktarın kaç biriminin diğerinin birimine düştüğünü gösterir.

Doğrudan orantılılık

Doğrudan orantılılık- bazı niceliğin başka bir niceliğe bağlı olduğu ve oranlarının sabit kaldığı fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle, bu değişkenler değişir orantılı şekilde, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değiştiyse, işlev de aynı yönde iki kez değişir.

Matematiksel olarak, doğrudan orantılılık bir formül olarak yazılır:

f(x) = ax,a = cÖnst

ters orantılılık

ters orantı- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.

Matematiksel olarak, ters orantılılık bir formül olarak yazılır:

İşlev özellikleri:

Kaynaklar

Wikimedia Vakfı. 2010 .

I. Doğrudan orantılı değerler.

Değere izin ver y boyutuna bağlıdır X. bir artış ile ise X boyutunun birkaç katı de aynı faktör tarafından artar, daha sonra bu tür değerler X ve de doğru orantılı denir.

Örnekler.

1 . Satın alınan malların miktarı ve satın alma maliyeti (bir birim malın sabit fiyatıyla - 1 parça veya 1 kg, vb.) Kaç kat daha fazla mal satın alındı, kaç kat daha fazla ve ödendi.

2 . Katedilen mesafe ve üzerinde harcanan zaman (sabit hızda). Yol kaç kat daha uzun, üzerinde kaç kat daha fazla zaman harcayacağız.

3 . Bir cismin hacmi ve kütlesi. ( Bir karpuz diğerinden 2 kat daha büyükse, kütlesi 2 kat daha büyük olacaktır.)

II. Miktarların doğru orantılı olma özelliği.

İki miktar doğru orantılıysa, o zaman birinci miktarın iki keyfi değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.

Görev 1. Ahududu reçeli için 12 kg ahududu ve 8 kg Sahra. Alınırsa ne kadar şeker gerekli olacak 9 kg Ahududu?

Çözüm.

Böyle tartışıyoruz: gerekli olsun x kgşeker 9 kg Ahududu. Ahududu kütlesi ve şeker kütlesi doğru orantılıdır: kaç kez daha az ahududu, aynı miktarda şeker gereklidir. Bu nedenle, alınan (ağırlıkça) ahududu oranı ( 12:9 ) alınan şeker oranına eşit olacaktır ( 8:x). Oranı alıyoruz:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Cevap:üzerinde 9 kg ahududu almak 6 kg Sahra.

sorunun çözümüşöyle yapılabilirdi:

Sezdirmek 9 kg ahududu almak x kg Sahra.

(Şekildeki oklar bir yöne yönlendirilmiştir ve aşağı veya yukarı fark etmez. Anlamı: sayının kaç katıdır 12 daha fazla sayı 9 , aynı numara 8 daha fazla sayı X, yani burada doğrudan bir bağımlılık var).

Cevap:üzerinde 9 kg ahududu almak 6 kg Sahra.

Görev 2. araba için 3 saat kat edilen mesafe 264 km. onu ne kadar sürer 440 km aynı hızda giderse?

Çözüm.

izin ver x saat araba mesafeyi kaplayacak 440 km.

Cevap: araba geçecek 5 saatte 440 km.

I. Doğrudan orantılı değerler.

Değere izin ver y boyutuna bağlıdır X. bir artış ile ise X boyutunun birkaç katı de aynı faktör tarafından artar, daha sonra bu tür değerler X ve de doğru orantılı denir.

Örnekler.

1 . Satın alınan malların miktarı ve satın alma maliyeti (bir birim malın sabit fiyatıyla - 1 parça veya 1 kg, vb.) Kaç kat daha fazla mal satın alındı, kaç kat daha fazla ve ödendi.

2 . Katedilen mesafe ve üzerinde harcanan zaman (sabit hızda). Yol kaç kat daha uzun, üzerinde kaç kat daha fazla zaman harcayacağız.

3 . Bir cismin hacmi ve kütlesi. ( Bir karpuz diğerinden 2 kat daha büyükse, kütlesi 2 kat daha büyük olacaktır.)

II. Miktarların doğru orantılı olma özelliği.

İki miktar doğru orantılıysa, o zaman birinci miktarın iki keyfi değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.

Görev 1. Ahududu reçeli için 12 kg ahududu ve 8 kg Sahra. Alınırsa ne kadar şeker gerekli olacak 9 kg Ahududu?

Çözüm.

Böyle tartışıyoruz: gerekli olsun x kgşeker 9 kg Ahududu. Ahududu kütlesi ve şeker kütlesi doğru orantılıdır: kaç kez daha az ahududu, aynı miktarda şeker gereklidir. Bu nedenle, alınan (ağırlıkça) ahududu oranı ( 12:9 ) alınan şeker oranına eşit olacaktır ( 8:x). Oranı alıyoruz:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Cevap:üzerinde 9 kg ahududu almak 6 kg Sahra.

sorunun çözümüşöyle yapılabilirdi:

Sezdirmek 9 kg ahududu almak x kg Sahra.

(Şekildeki oklar bir yöne yönlendirilmiştir ve aşağı veya yukarı fark etmez. Anlamı: sayının kaç katıdır 12 daha fazla sayı 9 , aynı numara 8 daha fazla sayı X, yani burada doğrudan bir bağımlılık var).

Cevap:üzerinde 9 kg ahududu almak 6 kg Sahra.

Görev 2. araba için 3 saat kat edilen mesafe 264 km. onu ne kadar sürer 440 km aynı hızda giderse?

Çözüm.

izin ver x saat araba mesafeyi kaplayacak 440 km.

Cevap: araba geçecek 5 saatte 440 km.

Görev 3. Su borudan havuza girer. Başına 2 saat o doldurur 1/5 havuz. Havuzun hangi kısmı su ile doldurulur saat 5?

Çözüm.

Görevin sorusuna cevap veriyoruz: için saat 5 doldur 1/x havuzun bir parçası. (Havuzun tamamı bir bütün olarak alınır).

Bugün hangi niceliklere ters orantılı denir, ters orantılılık grafiğinin nasıl göründüğüne ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil, aynı zamanda okul duvarlarının dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.

Böyle farklı oranlar

orantılılık Birbirine bağlı olan iki niceliği adlandırın.

Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Bu nedenle, miktarlar arasındaki ilişki doğrudan ve ters orantılılığı tanımlar.

Doğrudan orantılılık- bu, iki nicelik arasındaki böyle bir ilişkidir, birinde bir artış veya azalma diğerinde bir artış veya azalmaya yol açar. Şunlar. tavırları değişmez.

Örneğin, sınavlara hazırlanmak için ne kadar çaba harcarsanız, notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da bir yürüyüşte yanınıza ne kadar çok şey alırsanız, sırt çantanızı taşımak o kadar zorlaşır. Şunlar. sınavlara hazırlanmak için harcanan emek, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konan şeylerin sayısı, ağırlığı ile doğru orantılıdır.

ters orantılılık- bu, bağımsız bir değerin (argüman olarak adlandırılır) birkaç katı kadar bir azalmanın veya artışın, bağımlı bir değerde orantılı (yani aynı miktarda) bir artışa veya azalmaya neden olduğu işlevsel bir bağımlılıktır (buna fonksiyon denir) ).

Basit bir örnekle açıklayalım. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Şunlar. ne kadar çok elma alırsan o kadar az paran kalır.

Fonksiyon ve grafiği

Ters orantılılık fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. nerede x≠ 0 ve k≠ 0.

Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım alanı, aşağıdakiler dışındaki tüm gerçek sayıların kümesidir. x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Aralık hariç tüm gerçek sayılardır y= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
3. Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
4. Tuhaftır ve grafiği orijine göre simetriktir.
5. Düzenli olmayan.
6. Grafiği koordinat eksenlerini geçmez.
7. Sıfırları yok.
8. Eğer bir k> 0 (yani, argüman artar), işlev, aralıklarının her birinde orantılı olarak azalır. Eğer bir k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argüman arttıkça ( k> 0) fonksiyonun negatif değerleri (-∞; 0) aralığında ve pozitif değerler (0; +∞) aralığındadır. Argüman azalırken ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki gibi tasvir edilmiştir:

Ters Oransal Problemler

Daha açık hale getirmek için, birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve çözümleri, ters oranın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini görselleştirmenize yardımcı olacak.

Görev numarası 1. Araba 60 km/h hızla hareket ediyor. Hedefine ulaşması 6 saatini aldı. İki katı hızla hareket ederse, aynı mesafeyi kat etmesi ne kadar sürer?

Zaman, mesafe ve hız ilişkisini tanımlayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantılılık fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Ve arabanın yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösterir.

Bunu doğrulamak için, koşula göre 2 kat daha yüksek olan V 2'yi bulalım: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / s. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Şimdi problemin durumuna göre bizden istenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.

Gördüğünüz gibi, seyahat süresi ve hız gerçekten ters orantılıdır: orijinalinden 2 kat daha yüksek bir hızla, araba yolda 2 kat daha az zaman harcar.

Bu sorunun çözümü orantı olarak da yazılabilir. Neden böyle bir diyagram oluşturuyoruz:

↓ 60 km/sa – 6 sa

↓120 km/sa – x ​​saat

Oklar ters bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca, orantı hazırlanırken kaydın sağ tarafının çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 \u003d x / 6. x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 saati nereden alıyoruz.

Görev numarası 2. Atölye, belirli bir iş miktarıyla 4 saatte başa çıkan 6 işçi çalıştırmaktadır. İşçi sayısı yarıya inerse, kalan işçilerin aynı miktarda işi tamamlaması ne kadar sürer?

Problemin koşullarını görsel bir diyagram şeklinde yazıyoruz:

↓ 6 işçi - 4 saat

↓ 3 işçi - x s

Bunu orantı olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 saat alıyoruz, 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanı tüm işi tamamlamak için 2 kat daha fazla zaman harcayacak.

Görev numarası 3. İki boru havuza çıkıyor. Bir borudan su 2 l/sn hızla girer ve 45 dakikada havuzu doldurur. Başka bir boru ile havuz 75 dakikada doldurulacaktır. Su bu borudan havuza ne kadar hızlı girer?

Öncelikle problemin durumuna göre bize verilen tüm miktarları aynı ölçü birimlerine getireceğiz. Bunu yapmak için, havuzun doldurma hızını dakikada litre olarak ifade ediyoruz: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / dak.

Havuzun ikinci borudan daha yavaş doldurulması durumundan çıktığı için, su giriş hızının daha düşük olduğu anlamına gelir. Ters orantı karşısında. Bilinmeyen hızı x cinsinden ifade edelim ve aşağıdaki şemayı çizelim:

↓ 120 l/dak - 45 dak

↓ x l/dak – 75 dak

Ve sonra bir orantı yapacağız: 120 / x \u003d 75/45, buradan x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / dak.

Problemde havuzun dolum hızı litre/saniye olarak ifade ediliyor, cevabımızı aynı forma getirelim: 72/60 = 1,2 l/s.

Görev numarası 4. Kartvizitler küçük bir özel matbaada basılmaktadır. Matbaanın bir çalışanı saatte 42 kartvizit hızında çalışıyor ve tam zamanlı - 8 saat çalışıyor. Daha hızlı çalışıp saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?

Kanıtlanmış bir yoldan gidiyoruz ve sorunun durumuna göre, istenen değeri x olarak gösteren bir şema çiziyoruz:

↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat

↓ 48 kartvizit/h – xh

Önümüzde ters orantılı bir ilişki var: Bir matbaa çalışanı saatte kaç kez daha fazla kartvizit basıyorsa, aynı işi tamamlaması için aynı süreyi alacaktır. Bunu bilerek, oranı kurabiliriz:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 saat.

Böylece 7 saatte işi bitiren matbaa çalışanı bir saat önce eve gidebiliyordu.

Çözüm

Bize öyle geliyor ki bu ters orantılılık problemleri gerçekten basit. Artık onları da böyle değerlendireceğinizi umuyoruz. Ve en önemlisi, miktarların ters orantılı bağımlılığı hakkında bilgi, sizin için birden fazla kez gerçekten yararlı olabilir.

Sadece matematik derslerinde ve sınavlarında değil. Ama o zaman bile, bir seyahate çıkacağınız, alışveriş yapacağınız, tatillerde biraz para kazanmaya karar vereceğiniz vb.

Çevrenizde fark ettiğiniz ters ve doğru orantılılık örneklerini yorumlarda belirtin. Bu bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Arkadaşlarınızın ve sınıf arkadaşlarınızın da oynayabilmesi için bu makaleyi sosyal ağlarda "paylaşmayı" unutmayın.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Örnek

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 vb.

orantı faktörü

Orantılı büyüklüklerin sabit oranına denir orantılılık katsayısı. Orantılılık katsayısı, bir miktarın kaç biriminin diğerinin birimine düştüğünü gösterir.

Doğrudan orantılılık

Doğrudan orantılılık- bazı niceliğin başka bir niceliğe bağlı olduğu ve oranlarının sabit kaldığı fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle, bu değişkenler değişir orantılı şekilde, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değiştiyse, işlev de aynı yönde iki kez değişir.

Matematiksel olarak, doğrudan orantılılık bir formül olarak yazılır:

f(x) = ax,a = cÖnst

ters orantılılık

ters orantı- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.

Matematiksel olarak, ters orantılılık bir formül olarak yazılır:

İşlev özellikleri:

Kaynaklar

Wikimedia Vakfı. 2010 .