Uzayda diklik sahip olabilir:

1. İki düz çizgi

3. İki uçak

Sırayla bu üç durumu ele alalım: bunlarla ilgili teoremlerin tüm tanımları ve ifadeleri. Ve sonra üç dikeyle ilgili çok önemli bir teoremi tartışacağız.

İki doğrunun dikliği.

Tanım:

Diyebilirsiniz ki: Amerika'yı bana da açtılar! Ancak uzayda her şeyin bir uçaktakiyle tamamen aynı olmadığını unutmayın.

Bir düzlemde, yalnızca bu tür çizgiler (kesişen) dik olabilir:

Ancak iki doğrunun uzayda dikliği kesişmese bile olabilir. Bak:

bir doğru, onu kesmemesine rağmen ona diktir. Nasıl yani? Çizgiler arasındaki açının tanımını hatırlıyoruz: eğri çizgiler arasındaki açıyı bulmak için, a çizgisi üzerindeki rastgele bir noktadan bir çizgi çizmeniz gerekir. Ve sonra ve arasındaki açı (tanım gereği!) ve arasındaki açıya eşit olacaktır.

Hatırladı? Pekala, bizim durumumuzda, ve çizgileri dik çıkarsa, o zaman ve çizgileri dik kabul edilmelidir.

Tamamen açık olmak için, bir bakalım örnek. Bir küp olsun. Ve çizgiler arasındaki açıyı bulmanız isteniyor. Bu çizgiler kesişmez - kesişirler. ve arasındaki açıyı bulmak için çizin.

Bir paralelkenar (ve hatta bir dikdörtgen!) Olduğu gerçeğinden dolayı, öyle olduğu ortaya çıktı. Ve - bir kare olduğu gerçeğinden dolayı, öyle olduğu ortaya çıktı. Bu şu anlama geliyor.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği.

Tanım:

İşte resim:

bir çizgi, bu düzlemdeki tüm-tüm doğrulara dik ise bir düzleme diktir: ve, ve, ve, ve hatta! Ve bir milyar başka satır!

Evet, ancak o zaman bir düz çizgi ve bir düzlemde dikeyliği genel olarak nasıl kontrol edebilirsiniz? Yani hayat yeterli değil! Ama neyse ki, matematikçiler icat ederek bizi sonsuzluk kabusundan kurtardılar. bir çizginin ve bir düzlemin diklik işareti.

Formüle ediyoruz:

Bakın ne kadar harika:

düzlemde çizginin dik olduğu yalnızca iki çizgi (ler) varsa, bu çizgi hemen düzleme, yani bu düzlemdeki tüm çizgilere (yanda duran bazı çizgiler dahil) dik olacaktır. ). Bu çok önemli bir teorem, bu yüzden anlamını bir diyagram şeklinde de çizeceğiz.

Ve tekrar bakalım örnek.

Bize düzgün bir tetrahedron verilsin.

Görev: bunu kanıtlamak. Diyeceksiniz ki: bunlar iki düz çizgi! Düz bir çizginin ve bir düzlemin dikeyliğinin bununla ne ilgisi var?

Fakat bak:

kenarın ortasını işaretleyip ve çizelim. Bunlar ve içindeki medyanlardır. Üçgenler düzenli ve.

İşte burada, bir mucize: olduğu gibi olduğu ortaya çıktı. Ve ayrıca, düzlemdeki tüm düz çizgilere ve dolayısıyla ve. Kanıtlanmış. Ve en önemli nokta, tam olarak bir düz çizginin ve bir düzlemin diklik işaretinin kullanılmasıydı.

Düzlemler dik olduğunda

Tanım:

Yani (daha fazla ayrıntı için “dihedral açı” konusuna bakın), iki dikey (s) arasındaki açının bu düzlemlerin kesişme çizgisine eşit olduğu ortaya çıkarsa, iki düzlem (ler) diktir. Ve dikey düzlemler kavramını bir doğru ve bir düzlem uzayındaki diklik kavramıyla birleştiren bir teorem var.

Bu teorem denir

Düzlemlerin diklik kriteri.

Formüle edelim:

Her zaman olduğu gibi, "o zaman ve ancak o zaman" kelimelerinin kodunun çözülmesi şöyle görünür:

• Eğer, o zaman dikey olarak geçer.

• Dikey olarak geçerse, o zaman.

(doğal olarak, burada ve uçaklardır).

Bu teorem, stereometrideki en önemli teoremlerden biridir, ancak ne yazık ki uygulanması en zor olanlardan biridir.

Bu yüzden çok dikkatli olmalısın!

Yani ifade şöyledir:

Ve yine, "o zaman ve ancak o zaman" kelimelerinin deşifre edilmesi. Teorem aynı anda iki şeyi belirtir (resme bakın):

Problemi çözmek için bu teoremi uygulamaya çalışalım.

Bir görev: düzgün bir altıgen piramit verilmiştir. ve çizgileri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm:

Normal bir piramitte tepe noktası projeksiyon sırasında tabanın merkezine düştüğü için, çizginin çizginin izdüşümü olduğu ortaya çıkıyor.

Ama bunu düzgün bir altıgende biliyoruz. Üç dikey teoremini uyguluyoruz:

Ve cevabı yazın:

UZAYDA ÇİZGİLERİN DİKEYLİĞİ. ANA KONU HAKKINDA KISACA

İki doğrunun dikliği.

Uzayda iki çizgi, aralarındaki açı ise diktir.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği.

Bir doğru, bir düzlemdeki tüm doğrulara dik ise o düzleme diktir.

Düzlem dikliği.

Aralarındaki dihedral açı eşitse düzlemler diktir.

Düzlemlerin diklik kriteri.

İki düzlem ancak ve ancak biri diğer düzleme dik olandan geçerse diktir.

Üç dikey teoremi:

neyse konu bitti Bu satırları okuyorsanız, çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların sadece %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, o zaman% 5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu ... bu sadece süper! Akranlarınızın büyük çoğunluğundan zaten daha iyisiniz.

Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...

Ne için?

Sınavı başarıyla geçmek, bütçeden enstitüye kabul edilmek ve EN ÖNEMLİ Ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...

İyi bir eğitim almış kişiler, almayanlardan çok daha fazla kazanıyor. Bu istatistik.

Ama asıl mesele bu değil.

Asıl mesele, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle araştırmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? bilmiyorum...

Ama kendin için düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olacağından ve nihayetinde ... daha mutlu olacağından emin olmak için ne gerekiyor?

ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONU İLE İLGİLİ SORUNLARI ÇÖZÜN.

Sınavda size teori sorulmayacaktır.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve onları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değil) ve kesinlikle tavsiye ediyoruz.

Görevlerimizden yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek vardır:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
2. Öğreticideki 99 makalenin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 ruble

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere erişim ve bunlardaki tüm gizli metinler anında açılabilir.

Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm kullanım ömrü boyunca sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmediyseniz, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.

“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Bu yazıda bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği hakkında konuşacağız. İlk olarak, bir düzleme dik olan düz bir çizginin tanımı verilir, bir grafik çizimi ve bir örnek verilir ve dikey bir çizginin ve bir düzlemin gösterimi gösterilir. Bundan sonra, düz bir çizginin ve bir düzlemin diklik işareti formüle edilir. Ayrıca, üç boyutlu uzayda bir dikdörtgen koordinat sisteminde doğru ve düzlem bazı denklemlerle verildiğinde, bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini kanıtlamayı mümkün kılan koşullar elde edilir. Sonuç olarak, tipik örneklerin ve problemlerin ayrıntılı çözümleri gösterilmiştir.

Sayfa gezintisi.

Dikey çizgi ve düzlem - temel bilgiler.

Bir düzleme dik olan bir doğrunun tanımı, doğruların dikliği üzerinden verildiği için, önce dikey doğruların tanımını tekrarlamanızı öneririz.

Tanım.

öyle derler düzleme dik düz çizgi, eğer bu düzlemde uzanan herhangi bir doğruya dik ise.

Ayrıca düzlemin doğruya dik olduğunu veya doğru ile düzlemin dik olduğunu da söyleyebilirsiniz.

Dikliği belirtmek için, "" formunun simgesini kullanın. Yani c doğrusu düzleme dik ise kısaca şöyle yazabiliriz.

Bir düzleme dik düz bir çizgiye örnek olarak, bir odanın iki bitişik duvarının kesiştiği bir düz çizgi verilebilir. Bu çizgi düzleme ve tavan düzlemine diktir. Spor salonundaki ip, zemin düzlemine dik düz bir çizgi olarak da görülebilir.

Makalenin bu paragrafının sonunda, eğer çizgi düzleme dik ise, çizgi ile düzlem arasındaki açının doksan derece olarak kabul edildiğini not ediyoruz.

Düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliği - diklik işareti ve koşulları.

Uygulamada sıklıkla şu soru ortaya çıkar: "Verilen doğru ve düzlem dik mi?" Cevaplamak gerekirse, var bir çizginin ve bir düzlemin dikliği için yeterli koşul, yani, yerine getirilmesi çizginin ve düzlemin dikliğini garanti eden böyle bir koşul. Bu yeterli koşul, bir çizginin ve bir düzlemin dikliğinin işareti olarak adlandırılır. Bunu bir teorem şeklinde formüle ediyoruz.

teorem.

Bir doğrunun bir düzleme dik olması için, doğrunun bu düzlemde kesişen iki doğruya dik olması yeterlidir.

Doğrunun ve düzlemin dikliğinin işaretinin ispatını 10-11. sınıf geometri ders kitabında görebilirsiniz.

Bir çizginin ve bir düzlemin dikliğini belirleme problemlerini çözerken, aşağıdaki teorem de sıklıkla kullanılır.

teorem.

Paralel iki doğrudan biri düzleme dik ise, diğer doğru da düzleme diktir.

Okulda, çözümü için düz bir çizginin ve bir düzlemin diklik işaretinin yanı sıra son teoremin kullanıldığı birçok problem göz önünde bulundurulur. Burada onlar üzerinde durmayacağız. Makalenin bu bölümünde, bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için aşağıdaki gerekli ve yeter koşulun uygulanması üzerinde duracağız.

Bu koşul aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir.

İzin vermek a düz çizgisinin yönlendirici vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. a doğrusu ile düzlemin dikliği için gerekli ve yeterlidir. ve : , burada t bir gerçek sayıdır.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için bu gerekli ve yeterli koşulun ispatı, doğrunun yönlendirici vektörü ve düzlemin normal vektörünün tanımlarına dayanır.

Açıkçası, bu koşul, bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini kanıtlamak için, doğrunun yönlendirici vektörünün koordinatları ve sabit bir üç boyutlu uzayda düzlemin normal vektörünün koordinatları kolayca bulunduğunda, kullanılması uygundur. . Bu, düzlemin ve düz çizginin geçtiği noktaların koordinatlarının verildiği durumlar için olduğu gibi, düz çizginin uzayda bazı denklemlerle belirlendiği ve düzlemin şu şekilde verildiği durumlar için de geçerlidir: bir tür düzlem denklemi.

Birkaç örneğe bir göz atalım.

Örnek.

Doğrunun dik olduğunu kanıtlayın ve uçaklar.

Çözüm.

Uzayda bir düz çizginin kanonik denklemlerinin paydalarındaki sayıların, bu düz çizginin yönlendirici vektörünün karşılık gelen koordinatları olduğunu biliyoruz. Böylece, - yön vektörü düz .

Düzlemin genel denklemindeki x, y ve z değişkenlerindeki katsayılar, o düzlemin normal vektörünün koordinatlarıdır, yani, düzlemin normal vektörüdür.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için gerekli ve yeterli koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Çünkü , sonra vektörler ve ilişki ile ilişkilidir , yani eşdoğrusaldırlar. Bu nedenle düz bir çizgi düzleme dik.

Örnek.

Çizgiler dik mi? ve uçak.

Çözüm.

Doğrunun ve düzlemin dik olması için gerekli ve yeterli koşulun sağlandığını kontrol etmek için verilen doğrunun yön vektörünü ve düzlemin normal vektörünü bulalım.

Yön vektörü düz dır-dir

Video dersi 2: Üç dikme teoremi. teori

Video dersi 3: Üç dikme teoremi. Bir görev

Ders: Doğru ve düzlemin dikliği, işaretleri ve özellikleri; dikey ve eğik; üç dikey teoremi

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği

Genel olarak düz çizgilerin dikliğinin ne olduğunu hatırlayalım. Dik çizgiler, 90 derecelik bir açıyla kesişen çizgilerdir. Bu durumda, aralarındaki açı, hem belirli bir noktada kesişme durumunda hem de geçiş durumunda olabilir. Bazı çizgiler dik açıyla kesişirse, paralel öteleme nedeniyle çizgi ikinci çizgideki bir noktaya aktarılırsa, dik çizgiler olarak da adlandırılabilirler.

Tanım: Bir doğru, bir düzleme ait herhangi bir doğruya dik ise, bu düzleme dik kabul edilebilir.

Özellik: Bir düzlemde birbirine dik iki doğru varsa ve bunlardan her birine üçüncü bir doğru dikse, bu üçüncü doğru düzleme diktir.

Özellikleri:

• Bazı doğrular bir düzleme dik ise, karşılıklı olarak birbirlerine paraleldirler.

• İki paralel düzlem ve düzlemlerden birine dik olan bir düz çizgi varsa, o zaman bu düzlem ikinciye de diktir.
• Karşıt ifade de yapılabilir: Belirli bir çizgi iki farklı düzleme dik ise, bu tür düzlemler zorunlu olarak paraleldir.

eğik

Eğer bir doğru, düzlemde olmayan rastgele bir noktayı düzlemdeki herhangi bir noktayla birleştirirse, böyle bir çizgiye çağrılacaktır. eğik.

Lütfen sadece onunla düzlem arasındaki açı 90 derece değilse eğimli olduğunu unutmayın.

Şekilde AB, düzleme eğimli α'dır. Bu durumda B noktası eğimin tabanı olarak adlandırılır.

A noktasından düzleme düzlemle 90 derecelik açı yapacak bir parça çizerseniz, bu parçaya dik denir. Dikey ayrıca düzleme en küçük mesafe olarak da adlandırılır.

AC, A noktasından α düzlemine çizilen bir dikeydir. C noktasına dikmenin tabanı denir.

Bu çizimde dikmenin (C) tabanını eğimlinin (B) tabanına bağlayacak bir parça çizilirse, ortaya çıkan parçaya projeksiyon.

Basit yapılar sonucunda bir dik üçgen elde ettik. Bu üçgende ABC açısına eğik ile izdüşüm arasındaki açı denir.

Üç Dik Teorem

Tanım. Belirli bir düzlemde bulunan ve kesişme noktasından geçen herhangi bir doğruya dik ise, bir düzlemi kesen bir çizginin o düzleme dik olduğu söylenir.
işaret bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği. Bir doğru, bir düzlemin kesişen iki doğrusuna dikse, verilen düzleme diktir.
Kanıt. İzin vermek a- düz çizgilere dik düz çizgi b ve İle birlikte uçağa ait a. A, çizgilerin kesişme noktasıdır. Uçakta a A noktasından geçen bir çizgi çizin d düz çizgilerle çakışmayan b ve İle birlikte. Şimdi düz a düz bir çizgi çizelim k, çizgilerle kesişen d ve İle birlikte ve A noktasından geçmemek. Kesişme noktaları sırasıyla D, B ve C. Düz bir çizgi üzerine koyun a A noktasından farklı yönlerde eşit AA 1 ve AA 2 segmentleri. A 1 CA 2 ikizkenar üçgeni, çünkü AC yüksekliği aynı zamanda medyandır (özellik 1), yani A 1 C \u003d CA 2. Benzer şekilde, bir A 1 BA 2 üçgeninde, A 1 B ve BA 2 kenarları eşittir. Bu nedenle üçüncü kriterde A 1 BC ve A 2 BC üçgenleri eşittir, bu nedenle A 1 BD ve A 2 BD açıları eşittir. Bu, A 1 BD ve A 2 BD üçgenlerinin de birinci kritere göre eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, A 1 D ve A 2 D. Dolayısıyla A 1 DA 2 üçgeni tanım gereği ikizkenardır. Bir ikizkenar üçgende A 1 D A 2 D A medyandır (yapı gereği) ve dolayısıyla yükseklik, yani A 1 AD açısı düz bir çizgidir, yani düz bir çizgidir açizgiye dik d. Böylece, çizginin kanıtlanabilir a A noktasından geçen ve düzleme ait herhangi bir doğruya dik a. Tanımdan, çizginin a düzleme dik a.

Bina belirli bir düzleme, bu düzlemin dışında alınan bir noktadan dik olan bir çizgi.
İzin vermek a- düzlem, A - dikeyin indirilmesi gereken nokta. Düzlemde düz bir çizgi çizin a. A noktasından ve bir doğrudan a bir uçak çiz b(bir çizgi ve bir nokta bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tane). Uçakta b A noktasından düz bir çizgiye düşmek a dikey AB. Düzlemdeki B noktasından a dikmeyi eski haline getirin ve bu dikeyin ötesinde uzandığı çizgiyi gösterin İle birlikte. AB segmentinden ve düz çizgiden İle birlikte bir uçak çiz g(kesişen iki çizgi bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tane). Uçakta g A noktasından düz bir çizgiye düşmek İle birlikte dik AC. AC doğru parçasının düzleme dik olduğunu kanıtlayalım. b. Kanıt. Düz a düz çizgilere dik İle birlikte ve AB (yapı gereği), bu da düzlemin kendisine dik olduğu anlamına gelir g, kesişen bu iki çizginin bulunduğu yer (çizginin ve düzlemin dikeyliği kriterine göre). Ve bu düzleme dik olduğu için, bu düzlemdeki herhangi bir doğruya da diktir, yani bir doğru a AC'ye dik. AC doğrusu, α düzleminde bulunan iki doğruya diktir: İle birlikte(inşaat gereği) ve a(kanıtlanmış olana göre), α düzlemine dik olduğu anlamına gelir (çizginin ve düzlemin dikliği kriterine göre)

teorem 1 . Kesişen iki çizgi sırasıyla iki dikey çizgiye paralelse, bunlar da diktir.
Kanıt. İzin vermek a ve b- Dikey çizgiler a 1 ve b 1 - bunlara paralel kesişen düz çizgiler. Çizgilerin olduğunu kanıtlayalım a 1 ve b 1 diktir.
düz ise a, b, a 1 ve b 1 aynı düzlemde yatıyorsa, planimetriden bilindiği gibi teoremde belirtilen özelliğe sahiptirler.
Şimdi çizgilerimizin aynı düzlemde olmadığını varsayalım. sonra çizgiler a ve b bir α düzleminde yatıyor ve çizgiler a 1 ve b 1 - bazı düzlemlerde β . Düzlemlerin paralelliğine dayanarak, α ve β düzlemleri paraleldir. Çizgilerin kesişme noktası C olsun a ve b, ve С 1 - çizgilerin kesişme noktaları a 1 ve b bir . Paralel çizgiler düzleminde çizin a ve a a ve a A ve A 1 noktalarında 1 . Paralel doğrular düzleminde b ve b SS 1 düz çizgisine paralel 1 düz çizgi. Çizgileri aşacak b ve b 1 B ve B noktalarında 1 .
CAA 1 C 1 ve CBB 1 C 1 dörtgenleri, karşılıklı kenarları paralel olduğundan paralelkenardır. Dörtgen ABB 1 A 1 de bir paralelkenardır. AA 1 ve BB 1 kenarları paraleldir, çünkü her biri CC 1 doğrusuna paraleldir. Dolayısıyla dörtgen, AA 1 ve BB 1 paralel doğrularından geçen bir düzlemde yer alır. Ve AB ve A 1 B 1 paralel doğruları boyunca α ve β paralel düzlemlerini kesiyor.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Üçüncü eşitlik işaretine göre, ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri eşittir. Dolayısıyla, DIA açısına eşit olan A 1 C 1 B 1 açısı düzdür, yani. dümdüz a 1 ve b 1 diktir. Ch.t.d.

Özellikleri doğruya ve düzleme dik.
teorem 2 . Bir düzlem iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir.
Kanıt. İzin vermek a 1 ve a 2 - iki paralel çizgi ve α - düzlem, çizgiye dik a bir . Bu düzlemin doğruya dik olduğunu kanıtlayalım. a 2 .
A noktasından çizginin 2 kesişimini çizin a 2 düzlemi α keyfi bir çizgi ile İle birlikteα düzleminde 2. A 1 noktasından geçen α düzleminde çizginin kesişimini çizelim a 1 düzlemi ile α düz çizgi İle birlikte 1 çizgiye paralel İle birlikte 2. Düz çizgiden beri a 1, α düzlemine diktir, sonra çizgiler a 1 ve İle birlikte 1 diktir. Ve Teorem 1'e göre, bunlara paralel kesişen doğrular a 2 ve İle birlikte 2 de diktir. Böylece, doğrudan a 2 herhangi bir doğruya diktir İle birlikteα düzleminde 2. Ve bu, doğrudan a 2, α düzlemine diktir. Teorem kanıtlanmıştır.

teorem 3 . Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
Bir α düzlemimiz ve ona dik iki doğrumuz var. a ve b. bunu kanıtlayalım a || b.
Düzlem çizgilerinin kesişme noktalarından düz bir çizgi çizin İle birlikte. Aldığımız işarete göre a ^ c ve b ^ c. Düz çizgiler aracılığıyla a ve b bir düzlem çizelim (iki paralel çizgi bir düzlemi tanımlar ve ayrıca yalnızca bir tane). Bu düzlemde iki paralel çizgimiz var. a ve b ve sekant İle birlikte. Bir kenarlı iç açıların toplamı 180° ise doğrular paraleldir. Tam da böyle bir durumumuz var - iki dik açı. Bu yüzden a || b.

Sürekli olarak aynı düzleme dik olanların paralel olduğunu görüyoruz. Örneğin, dikey parçalar birbirine paraleldir. Bu bölümler, paralel sütunlar veya direkler, gemi ormanındaki ince çam gövdeleri, müze binalarının sütunları (Şekil 84) veya dikey köprü destekleri vb. ile temsil edilebilir.

Pirinç. 84

Bu zarif geometri, şimdi ispatlayacağımız teoremde ifade edilmektedir.

8.1 Bir düzleme dik doğruların paralelliği

Kanıt. İki düz çizgi a ve b'nin a düzlemine dik olmasına ve sırasıyla A ve B noktalarında kesişmesine izin verin (Şekil 85). p düzlemini a doğrusundan ve B noktasından geçirerek çizelim ve b doğrusunun da β düzleminde olduğunu gösterelim.

Pirinç. 85

a düzleminde, AB doğru parçasına dik ve orta noktası A noktası olan bir MN doğru parçası alın. AM = AN ve AB ⊥ MN olduğuna göre BM = BN.

b doğrusu üzerindeki herhangi bir C ≠ B noktasını alalım ve CA, CM, CN doğru parçalarını çizelim. b ⊥ a olduğundan, CBM ve CBN üçgenleri dik üçgendir. Ortak bir CB bacağına ve eşit BM ve BN bacaklarına sahip olduklarından eşittirler. Bu nedenle CM = CN, yani CMN üçgeni ikizkenardır. Ortanca CA'sı aynı zamanda yüksekliğidir, yani CA ⊥ MN.

Yani, A noktasından geçen üç doğru - AC, AB ve a - MN doğrusuna diktir. Dikey düzlemdeki teoreme göre (bölüm 7.2), aynı düzlemde - AB ve a çizgilerinden geçen β düzleminde bulunurlar.

AC doğrusu β düzleminde bulunduğundan С ∈ β noktasıdır. Dolayısıyla, b doğrusu β düzleminde yer alır (a doğrusu gibi). Ancak β düzleminde, a ve b doğruları aynı AB doğrusuna diktir (a ⊥ α olduğundan, b ⊥ α ve AB doğrusu α'da yer alır). Bu nedenle b||a.

Kanıtlanmış teorem, uzaydaki çizgilerin paralelliğinin bir işaretidir.

8.2 Dikeyden paralele

Bu alt bölümde, dikey paralellik teoremine ters bir teorem ispatlıyoruz.

Kanıt. İki çizgi a ve b paralel olsun ve a düzlemi a'ya dik olsun (Şekil 86). b doğrusu, α düzlemini bir B noktasında keser (Bölüm 3.3'teki önermeye göre). İki olasılık vardır:

1. b ⊥ α;
2. b, α'ya dik değildir.

Pirinç. 86

İkincisinin çalıştığını varsayalım. Sonra ⊥ α ile B noktasından geçen düz bir çizgi çizeriz (Problem 7.3). c||α dikmeleri için paralellik teoremi ile. B noktasından a doğrusuna paralel iki doğrunun geçtiği ortaya çıktı ki bu imkansız.

Yani b ⊥ α.

Dike paralel teoremi, bir çizginin ve bir düzlemin dikliğinin başka bir işaretidir.

Otokontrol için sorular

1. Hangi paralel çizgi işaretlerini tanıdınız?
2. Düz bir çizginin ve bir düzlemin hangi dikeylik işaretlerini şimdi biliyorsunuz?