Çoğu zaman, logaritmik eşitsizlikleri çözerken, logaritmanın değişken tabanıyla ilgili sorunlar vardır. Yani, formun bir eşitsizliği

standart bir okul eşitsizliğidir. Kural olarak, bunu çözmek için eşdeğer bir sistem grubuna geçiş kullanılır:

Bu yöntemin dezavantajı, iki sistem ve bir küme saymamak, yedi eşitsizliği çözme ihtiyacıdır. Verilen ikinci dereceden fonksiyonlarla bile, popülasyon çözümü çok zaman gerektirebilir.

Bu standart eşitsizliği çözmenin alternatif, daha az zaman alan bir yolu önerilebilir. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi dikkate alıyoruz.

Teorem 1. Bir X kümesinde sürekli artan bir fonksiyon olsun. O zaman bu kümede fonksiyonun artış işareti, argümanın artışının işaretiyle çakışacaktır, yani. , nerede .

Not: X kümesinde sürekli azalan bir fonksiyon varsa, o zaman .

Eşitsizliğe geri dönelim. Ondalık logaritmaya geçelim (sabit tabanı birden büyük olan herhangi birine gidebilirsiniz).

Şimdi teoremi kullanabiliriz, payda fonksiyonların artışını fark edebiliriz. ve paydada. bu yüzden doğru

Sonuç olarak, cevaba götüren hesaplamaların sayısı yaklaşık yarı yarıya azalır, bu sadece zamandan tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda potansiyel olarak daha az aritmetik ve dikkatsiz hata yapmanıza da olanak tanır.

örnek 1

(1) ile karşılaştırarak buluruz , , .

(2)'ye geçerek şunları elde ederiz:

Örnek 2

(1) ile karşılaştırarak , , .

(2)'ye geçerek şunları elde ederiz:

Örnek 3

Eşitsizliğin sol tarafı artan bir fonksiyon olduğundan ve , o zaman cevap belirlenir .

Terme 1'in uygulanabileceği örnekler dizisi, Terme 2 dikkate alındığında kolaylıkla genişletilebilir.

sette olsun X, , , işlevleri tanımlanır ve bu kümede işaretler ve çakışır, yani, o zaman adil olur.

Örnek 4

Örnek 5

Standart yaklaşımla, örnek şemaya göre çözülür: Faktörler farklı işaretlerde olduğunda çarpım sıfırdan küçüktür. Şunlar. Başlangıçta belirtildiği gibi, her bir eşitsizliğin yediye daha ayrıldığı iki eşitsizlik sistemi kümesini ele alıyoruz.

Teorem 2'yi hesaba katarsak, (2)'yi hesaba katan faktörlerin her biri, bu O.D.Z. örneğinde aynı işarete sahip başka bir fonksiyonla değiştirilebilir.

Teorem 2'yi dikkate alarak, bir fonksiyonun artışını argümanın bir artışıyla değiştirme yöntemi, tipik C3 USE problemlerini çözerken çok uygun olduğu ortaya çıkıyor.

Örnek 6

Örnek 7

. belirtelim. Almak

. Değiştirmenin şu anlama geldiğini unutmayın: . Denkleme dönersek, .

Örnek 8

Kullandığımız teoremlerde fonksiyonların sınıflarında herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu makalede örnek olarak logaritmik eşitsizliklerin çözümüne teoremler uygulanmıştır. Aşağıdaki birkaç örnek, diğer eşitsizlik türlerini çözme yönteminin vaadini gösterecektir.

Sınava daha zaman olduğunu ve hazırlanmak için zamanın olacağını düşünüyor musun? Belki de bu böyledir. Ancak her durumda, öğrenci eğitime ne kadar erken başlarsa, sınavları o kadar başarılı geçer. Bugün logaritmik eşitsizliklere bir makale ayırmaya karar verdik. Bu, ekstra bir puan alma fırsatı anlamına gelen görevlerden biridir.

Logaritmanın (log) ne olduğunu zaten biliyor musunuz? Gerçekten öyle umuyoruz. Ama bu soruya bir cevabınız yoksa bile sorun değil. Logaritmanın ne olduğunu anlamak çok kolaydır.

Neden tam olarak 4? 81 elde etmek için 3 sayısını böyle bir güce yükseltmeniz gerekiyor. Prensibi anladığınızda daha karmaşık hesaplamalara geçebilirsiniz.

Eşitsizlikleri birkaç yıl önce yaşadınız. Ve o zamandan beri onlarla sürekli matematikte karşılaşıyorsunuz. Eşitsizlikleri çözmede sorun yaşıyorsanız, uygun bölüme bakın.
Şimdi kavramları ayrı ayrı tanıdığımızda genel olarak değerlendirmelerine geçeceğiz.

En basit logaritmik eşitsizlik.

En basit logaritmik eşitsizlikler bu örnekle sınırlı değil, sadece farklı işaretli üç tane daha var. Bu neden gerekli? Logaritmalarla eşitsizliğin nasıl çözüleceğini daha iyi anlamak. Şimdi daha uygulanabilir bir örnek veriyoruz, yine de oldukça basit, karmaşık logaritmik eşitsizlikleri sonraya bırakıyoruz.

Nasıl çözeceksin? Her şey ODZ ile başlar. Herhangi bir eşitsizliği her zaman kolayca çözmek istiyorsanız, bunun hakkında daha fazla bilgi sahibi olmalısınız.

ODZ nedir? Logaritmik eşitsizlikler için DPV

Kısaltma alan anlamına gelir izin verilen değerler. Sınav ödevlerinde bu ifade genellikle ortaya çıkar. DPV, yalnızca logaritmik eşitsizlikler durumunda sizin için yararlı değildir.

Yukarıdaki örneğe tekrar bakın. İlkeyi anlamanız için ODZ'yi buna dayanarak ele alacağız ve logaritmik eşitsizliklerin çözümü soru sormaz. Logaritmanın tanımından 2x+4'ün sıfırdan büyük olması gerektiği sonucu çıkar. Bizim durumumuzda, bu şu anlama gelir.

Bu sayı tanım gereği pozitif olmalıdır. Yukarıda verilen eşitsizliği çözün. Bu sözlü olarak bile yapılabilir, burada X'in 2'den az olamayacağı açıktır. Eşitsizliğin çözümü kabul edilebilir değerler aralığının tanımı olacaktır.
Şimdi en basit logaritmik eşitsizliği çözmeye geçelim.

Logaritmaların kendilerini eşitsizliğin her iki kısmından atarız. Sonuç olarak bize ne kaldı? basit eşitsizlik

Çözmesi kolay. X, -0.5'ten büyük olmalıdır. Şimdi elde edilen iki değeri sistemde birleştiriyoruz. Böylece,

Bu, dikkate alınan logaritmik eşitsizlik için kabul edilebilir değerlerin bölgesi olacaktır.

ODZ neden gerekli? Bu, yanlış ve imkansız cevapları ayıklamak için bir fırsattır. Cevap, kabul edilebilir değerler aralığında değilse, o zaman cevap anlamsızdır. Bu, uzun süre hatırlamaya değer, çünkü sınavda genellikle ODZ'yi aramaya ihtiyaç vardır ve bu sadece logaritmik eşitsizliklerle ilgili değildir.

Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma

Çözüm birkaç adımdan oluşur. İlk olarak, kabul edilebilir değerler aralığını bulmak gerekir. ODZ'de iki değer olacak, bunu yukarıda düşündük. Bir sonraki adım, eşitsizliğin kendisini çözmektir. Çözüm yöntemleri aşağıdaki gibidir:

• çarpan değiştirme yöntemi;
• ayrışma;
• rasyonalizasyon yöntemi.

Duruma göre yukarıdaki yöntemlerden biri kullanılmalıdır. Hemen çözüme gidelim. Hemen hemen her durumda USE görevlerini çözmek için uygun olan en popüler yöntemi ortaya çıkaracağız. Ardından, ayrıştırma yöntemini ele alacağız. Özellikle "zor" bir eşitsizlikle karşılaşırsanız yardımcı olabilir. Yani, logaritmik eşitsizliği çözme algoritması.

Çözüm örnekleri :

Tam olarak böyle bir eşitsizliği almamız boşuna değil! Tabana dikkat edin. Unutmayın: birden büyükse, geçerli değerler aralığını bulurken işaret aynı kalır; aksi takdirde eşitsizlik işareti değiştirilmelidir.

Sonuç olarak, eşitsizliği elde ederiz:

Şimdi sunuyoruz Sol Taraf sıfıra eşit denklemin formuna. “Küçüktür” işareti yerine “eşit” koyarız, denklemi çözeriz. Böylece ODZ'yi bulacağız. Umarız böyle bir çözümle basit denklem sorun yaşamazsınız. Cevaplar -4 ve -2'dir. Hepsi bu değil. Bu noktaları grafikte göstermeniz, "+" ve "-" yerleştirmeniz gerekir. Bunun için ne yapılması gerekiyor? Aralıklardaki sayıları ifadeye yerleştirin. Değerlerin pozitif olduğu yere "+" koyarız.

Cevap: x, -4'ten büyük ve -2'den küçük olamaz.

Sadece sol taraf için geçerli değerler aralığını bulduk, şimdi sağ taraf için geçerli değerler aralığını bulmamız gerekiyor. Bu hiç de kolay değil. Cevap: -2. Alınan her iki alanı da kesiyoruz.

Ve ancak şimdi eşitsizliğin kendisini çözmeye başlıyoruz.

Karar vermeyi kolaylaştırmak için mümkün olduğunca basitleştirelim.

Çözümde yine interval yöntemini kullanıyoruz. Hesapları atlayalım, onunla her şey önceki örnekten zaten açık. Cevap.

Ancak bu yöntem, logaritmik eşitsizliğin aynı temellere sahip olması durumunda uygundur.

Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri farklı tabanlarla çözmek, başlangıçta bir tabana indirgemeyi içerir. Ardından yukarıdaki yöntemi kullanın. Ama dahası var zor durum. En çok birini düşünün karmaşık tipler logaritmik eşitsizlikler.

Değişken tabanlı logaritmik eşitsizlikler

Bu tür özelliklere sahip eşitsizlikler nasıl çözülür? Evet ve bunlar sınavda bulunabilir. Eşitsizlikleri aşağıdaki şekilde çözmeniz, işiniz üzerinde de olumlu bir etkiye sahip olacaktır. Eğitim süreci. Soruna ayrıntılı olarak bakalım. Teoriyi bir kenara bırakıp doğrudan pratiğe geçelim. Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için bir kez örneğe aşina olmanız yeterlidir.

Sunulan formun logaritmik eşitsizliğini çözmek için, aynı taban ile logaritmanın sağ tarafını azaltmak gerekir. İlke eşdeğer geçişlere benzer. Sonuç olarak, eşitsizlik böyle görünecektir.

Aslında geriye logaritmasız bir eşitsizlikler sistemi yaratmak kalıyor. Rasyonelleştirme yöntemini kullanarak eşdeğer bir eşitsizlik sistemine geçiyoruz. Uygun değerleri yerine koyduğunuzda ve değişikliklerini takip ettiğinizde kuralın kendisini anlayacaksınız. Sistem aşağıdaki eşitsizliklere sahip olacaktır.

Eşitsizlikleri çözerken rasyonalizasyon yöntemini kullanarak, aşağıdakileri hatırlamanız gerekir: tabandan bir çıkarmanız gerekir, logaritmanın tanımı gereği x, eşitsizliğin her iki kısmından (sağdan soldan), iki ifadeler çarpılır ve sıfıra göre orijinal işaretin altına ayarlanır.

Diğer çözüm, aralık yöntemiyle gerçekleştirilir, burada her şey basittir. Çözüm yöntemlerindeki farklılıkları anlamanız önemlidir, o zaman her şey kolayca yoluna girmeye başlayacaktır.

AT logaritmik eşitsizlikler birçok nüans. Bunların en basitini çözmek yeterince kolaydır. Her birini sorunsuz bir şekilde çözmek için nasıl yapılır? Bu makaledeki tüm cevapları zaten aldınız. Şimdi önünüzde uzun bir antrenman var. Sınavda çeşitli problemleri çözmeye sürekli çalışın ve en yüksek puanı alabileceksiniz. Zor işinizde iyi şanslar!

Logaritmik eşitsizlikler

Önceki derslerde logaritmik denklemlerle tanışmıştık ve şimdi bunların ne olduğunu ve nasıl çözüleceğini biliyoruz. Ve bugünün dersi logaritmik eşitsizliklerin incelenmesine ayrılacaktır. Bu eşitsizlikler nelerdir ve logaritmik bir denklemi çözme ile eşitsizlikler arasındaki fark nedir?

Logaritmik eşitsizlikler, logaritmanın işaretinin altında veya tabanında bir değişkeni olan eşitsizliklerdir.

Veya bir logaritmik eşitsizliğin, logaritmik denklemde olduğu gibi bilinmeyen değerinin logaritmanın işareti altında olacağı bir eşitsizlik olduğu da söylenebilir.

En basit logaritmik eşitsizlikler şöyle görünür:

burada f(x) ve g(x), x'e bağlı bazı ifadelerdir.

Buna şu örneği kullanarak bakalım: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritmik eşitsizlikleri çözme

Logaritmik eşitsizlikleri çözmeden önce, çözüldüklerinde aşağıdakine benzer olduklarını belirtmekte fayda var. üstel eşitsizlikler, yani:

İlk olarak, logaritmalardan logaritmanın işareti altındaki ifadelere geçerken, logaritmanın tabanını da bir ile karşılaştırmamız gerekir;

İkinci olarak, bir değişken değişikliği kullanarak logaritmik bir eşitsizliği çözerken, en basit eşitsizliği elde edene kadar değişime göre eşitsizlikleri çözmemiz gerekir.

Ama logaritmik eşitsizlikleri çözmenin benzer anlarını düşünen bizdik. Şimdi oldukça önemli bir farka bakalım. Logaritmik işlevin sınırlı bir tanım alanına sahip olduğunu biliyoruz, bu nedenle logaritmalardan logaritmanın işareti altındaki ifadelere geçerken, kabul edilebilir değerler aralığını (ODV) hesaba katmanız gerekir.

Yani, logaritmik bir denklemi çözerken önce denklemin köklerini bulabileceğimiz ve ardından bu çözümü kontrol edebileceğimiz akılda tutulmalıdır. Ancak logaritmik eşitsizliği çözmek bu şekilde çalışmayacaktır, çünkü logaritmalardan logaritmanın işareti altındaki ifadelere geçerken eşitsizliğin ODZ'sini yazmak gerekecektir.

Ek olarak, eşitsizlikler teorisinin pozitif ve pozitif olan gerçek sayılardan oluştuğunu hatırlamakta fayda var. negatif sayılar, yanı sıra 0 sayısı.

Örneğin, "a" sayısı pozitif olduğunda şu gösterim kullanılmalıdır: a > 0. Bu durumda bu sayıların hem toplamı hem de çarpımı pozitif olacaktır.

Bir eşitsizliği çözmenin temel ilkesi, onu daha basit bir eşitsizlikle değiştirmektir, ancak asıl mesele, verilen eşitsizliğin eşdeğer olmasıdır. Ayrıca, bir eşitsizlik de elde ettik ve onu daha basit bir forma sahip olanla değiştirdik, vb.

Bir değişkenle eşitsizlikleri çözmek için tüm çözümlerini bulmanız gerekir. Eğer iki eşitsizlik aynı x değişkenine sahipse, çözümleri aynı olmak kaydıyla bu eşitsizlikler eşdeğerdir.

Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için görevler gerçekleştirirken, a> 1 olduğunda, logaritmik fonksiyonun arttığını ve 0 olduğunda unutulmamalıdır.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Logaritmik eşitsizlikleri çözmenin yolları

Şimdi logaritmik eşitsizlikleri çözerken gerçekleşen bazı yöntemlere bakalım. Daha iyi bir anlayış ve asimilasyon için bunları belirli örnekler kullanarak anlamaya çalışacağız.

En basit logaritmik eşitsizliğin aşağıdaki forma sahip olduğunu biliyoruz:

Bu eşitsizlikte V - aşağıdaki gibi eşitsizlik işaretlerinden biridir:<,>, ≤ veya ≥.

Bu logaritmanın tabanı birden büyük olduğunda (a>1), logaritmalardan logaritmanın işareti altındaki ifadelere geçiş yapılırsa, bu versiyonda eşitsizlik işareti korunur ve eşitsizlik şöyle görünür:

aşağıdaki sisteme eşdeğerdir:

Logaritmanın tabanı sıfırdan büyükse ve birden az (0

Bu, bu sisteme eşdeğerdir:

Aşağıdaki resimde gösterilen en basit logaritmik eşitsizlikleri çözmenin daha fazla örneğine bakalım:

Örneklerin çözümü

Egzersiz yapmak. Bu eşitsizliği çözmeye çalışalım:

Kabul edilebilir değerler alanının kararı.

Şimdi sağ tarafını şu şekilde çarpmaya çalışalım:

Bakalım neler yapabiliriz:

Şimdi, sublogaritmik ifadelerin dönüşümüne geçelim. Logaritmanın tabanı 0 olduğundan< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Ve bundan, elde ettiğimiz aralığın tamamen ODZ'ye ait olduğu ve böyle bir eşitsizliğin çözümü olduğu sonucu çıkar.

İşte aldığımız cevap:

Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için ne gereklidir?

Şimdi logaritmik eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözmek için neye ihtiyacımız olduğunu analiz etmeye çalışalım.

Öncelikle tüm dikkatinizi odaklayın ve bu eşitsizlikte verilen dönüşümleri yaparken hata yapmamaya çalışın. Ayrıca, bu tür eşitsizlikleri çözerken, ODZ eşitsizliğinin gereksiz çözümlerin kaybedilmesine veya kazanılmasına yol açabilecek genişleme ve daralmalarının önlenmesi gerektiği unutulmamalıdır.

İkinci olarak, logaritmik eşitsizlikleri çözerken, DHS tarafından yönlendirilirken bir eşitsizliğe yönelik çözümleri kolayca seçebilmeniz için, mantıksal olarak düşünmeyi ve bir eşitsizlikler sistemi ile bir eşitsizlikler kümesi gibi kavramlar arasındaki farkı anlamayı öğrenmeniz gerekir.

Üçüncüsü, bu tür eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözmek için, her birinizin temel işlevlerin tüm özelliklerini mükemmel bir şekilde bilmeniz ve anlamlarını açıkça anlamanız gerekir. Bu tür işlevler yalnızca logaritmik değil, aynı zamanda rasyonel, güç, trigonometrik vb. okullaşma cebir.

Gördüğünüz gibi, logaritmik eşitsizlikler konusunu inceledikten sonra, hedeflerinize ulaşmada dikkatli ve ısrarcı olmanız koşuluyla, bu eşitsizlikleri çözmede zor bir şey yoktur. Eşitsizlikleri çözmede herhangi bir sorun olmaması için, mümkün olduğunca çok çalışmanız, çeşitli görevleri çözmeniz ve aynı zamanda bu tür eşitsizlikleri ve sistemlerini çözmenin ana yollarını ezberlemeniz gerekir. Logaritmik eşitsizliklere başarısız çözümlerle, gelecekte tekrar onlara dönmemek için hatalarınızı dikkatlice analiz etmelisiniz.

Ev ödevi

Konunun daha iyi özümsenmesi ve kapsanan materyalin konsolidasyonu için aşağıdaki eşitsizlikleri çözün:

Logaritmik bir fonksiyon içeriyorsa bir eşitsizliğe logaritmik denir.

Logaritmik eşitsizlikleri çözme yöntemleri, iki şey dışında farklı değildir.

İlk olarak, logaritmik eşitsizlikten sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken, ortaya çıkan eşitsizliğin işaretini takip edin. Aşağıdaki kurala uyar.

Logaritmik fonksiyonun tabanı 1$'dan büyükse, logaritmik eşitsizlikten sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken, eşitsizlik işareti korunur ve 1$'dan küçükse, tersine çevrilir.

İkinci olarak, herhangi bir eşitsizliğin çözümü bir aralıktır ve bu nedenle, sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğinin çözümünün sonunda, iki eşitsizlikten oluşan bir sistem oluşturmak gerekir: bu sistemin ilk eşitsizliği, aşağıdakilerin eşitsizliği olacaktır. alt logaritmik fonksiyonlar ve ikincisi, logaritmik eşitsizliğe dahil edilen logaritmik fonksiyonların tanım alanının aralığı olacaktır.

Uygulama.

Eşitsizlikleri çözelim:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logaritmanın tabanı 2$>1$ olduğundan işaret değişmez. Logaritmanın tanımını kullanarak şunları elde ederiz:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )