Olasılığın klasik ve istatistiksel tanımı
İçin pratik aktiviteler olayları gerçekleşme olasılık derecesine göre karşılaştırabilmek gerekir. Klasik bir durumu ele alalım. Torbada 8'i olmak üzere 10 top var beyaz, 2 siyah. Açıkçası, “çubuktan beyaz bir top çekilecek” olayı ve “çuvaldan siyah bir top çekilecek” olayı değişen derecelerde bunların meydana gelme olasılığı. Bu nedenle olayları karşılaştırmak için belirli bir niceliksel ölçüme ihtiyaç vardır.
Bir olayın meydana gelme olasılığının niceliksel ölçüsü olasılık . Bir olayın olasılığına ilişkin en yaygın kullanılan tanımlar klasik ve istatistikseldir.
Klasik tanım Olasılık, olumlu bir sonuç kavramıyla ilişkilidir. Buna daha detaylı bakalım.
Bazı testlerin sonuçlarının tam bir olaylar grubu oluşturmasına ve eşit derecede mümkün olmasına izin verin; benzersiz bir şekilde mümkün, uyumsuz ve eşit derecede mümkün. Bu tür sonuçlara denir temel sonuçlar, veya vakalar. Testin sona erdiği söyleniyor vaka şeması veya " vazo şeması", Çünkü Böyle bir test için herhangi bir olasılık problemi, farklı renkteki torbalar ve toplarla ilgili eşdeğer bir problemle değiştirilebilir.
Sonuç denir uygun etkinlik A Bu olayın gerçekleşmesi olayın gerçekleşmesini gerektiriyorsa A.
Klasik tanıma göre bir olayın olasılığı A, bu olay için olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşittir. yani
| , | (1.1) |
Nerede P(A)– olayın olasılığı A; M– olayın lehine olan vakaların sayısı A; N– toplam vaka sayısı.
Örnek 1.1. Bir zar atıldığında altı olası sonuç vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6 puan. Çift sayıda puan alma olasılığı nedir?
Çözüm. Tüm N= 6 sonuç, olayların tam bir grubunu oluşturur ve eşit derecede mümkündür; benzersiz bir şekilde mümkün, uyumsuz ve eşit derecede mümkün. Olay A - “çift sayıda puanın ortaya çıkması” - 3 sonuç (durum) tarafından desteklenir - 2, 4 veya 6 puan kaybı. Bir olayın olasılığı için klasik formülü kullanarak şunu elde ederiz:
P(A) = = . ◄
Bir olayın olasılığının klasik tanımına dayanarak, onun özelliklerine dikkat ediyoruz:
1. Herhangi bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasındadır;
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.
3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.
Daha önce de belirtildiği gibi, olasılığın klasik tanımı yalnızca olası sonuçların simetrisine sahip olan testler sonucunda ortaya çıkabilecek olaylar için geçerlidir; bir vaka modeline indirgenebilir. Ancak var büyük sınıf Olasılıkları klasik tanım kullanılarak hesaplanamayan olaylar.
Örneğin, madeni paranın düzleştiğini varsayarsak, “armanın ortaya çıkması” ve “başların ortaya çıkması” olaylarının eşit derecede mümkün sayılamayacağı açıktır. Bu nedenle, klasik şemaya göre olasılığı belirleme formülü bu durumda uygulanamaz.
Ancak, yapılan denemelerde belirli bir olayın ne sıklıkta gerçekleşeceğine bağlı olarak olayların olasılığını tahmin etmeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Bu durumda olasılığın istatistiksel tanımı kullanılır.
İstatistiksel olasılıkA olayı, bu olayın gerçekleştirilen n denemede meydana gelme göreceli sıklığıdır (frekansı), yani;
 ,
| (1.2) |
Nerede P*(Bir)– bir olayın istatistiksel olasılığı A; w(A)– olayın göreceli sıklığı A; M– olayın meydana geldiği deneme sayısı A; N– toplam test sayısı.
Matematiksel olasılıktan farklı olarak P(A), klasik tanımda ele alındığında istatistiksel olasılık P*(Bir) bir karakteristiktir deneyimli, deneysel. Başka bir deyişle, bir olayın istatistiksel olasılığı A bağıl frekansın stabilize edildiği (ayarlandığı) sayıdır w(A) aynı koşullar altında gerçekleştirilen testlerin sayısında sınırsız bir artışla.
Örneğin, bir atıcının hedefi 0,95 olasılıkla vurduğu söylendiğinde, bu, onun belirli koşullar altında (aynı mesafeden aynı hedef, aynı tüfek vb.) yaptığı yüzlerce atıştan 1'inin ateş ettiği anlamına gelir. ), ortalama olarak yaklaşık 95 başarılı olan var. Doğal olarak, her yüzde 95 başarılı atış olmayacak, bazen daha az, bazen daha fazla olacak, ancak ortalama olarak, aynı koşullar altında birden fazla atış tekrarı ile bu isabet yüzdesi değişmeden kalacaktır. Atıcının becerisinin bir göstergesi olan 0,95 rakamı genellikle çok yüksektir. stabil yani Çoğu atıştaki isabet yüzdesi, belirli bir atıcı için hemen hemen aynı olacaktır, yalnızca nadir durumlarda ortalama değerden önemli ölçüde sapacaktır.
Klasik olasılık tanımının bir diğer dezavantajı ( 1.1 ) kullanımını sınırlamak, sınırlı sayıda olası test sonucunu varsaymasıdır. Bazı durumlarda bu dezavantajın üstesinden geometrik bir olasılık tanımı kullanılarak gelinebilir. bir noktanın belirli bir alana (bir düzlemin parçası, parçası vb.) düşme olasılığını bulma.
Düz şekil olsun G düz bir figürün parçasını oluşturur G(Şekil 1.1). Yerleştirmek G rastgele bir nokta atılıyor. Bu, bölgedeki tüm noktaların G Atılan rastgele bir noktanın ona çarpıp çarpmaması konusunda “eşit haklar”. Bir olayın olasılığını varsayarsak A– atılan nokta şekle çarpıyor G– bu şeklin alanıyla orantılıdır ve göreli konumuna bağlı değildir. G, formdan da değil G, bulacağız
Olasılık olaya olumlu temel sonuçların sayısının oranı denir bu olay, bu olayın ortaya çıkabileceği deneyimin tüm eşit derecede olası sonuçlarının sayısına. A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir (burada P ilk harftir) Fransızca kelime olasılık - olasılık). Tanıma göre
(1.2.1)
A olayının lehine olan temel sonuçların sayısı nerede; - tam bir olay grubu oluşturan, deneyin eşit derecede mümkün olan tüm temel sonuçlarının sayısı.
Olasılığın bu tanımına klasik denir. Olasılık teorisinin gelişiminin ilk aşamasında ortaya çıktı.
Bir olayın olasılığı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir. Güvenilir bir olayı harfle belirtelim. Bu nedenle belirli bir olay için
(1.2.2)
2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. İmkansız bir olayı harfle belirtelim. İmkansız bir olay için bu nedenle
(1.2.3)
3. Rastgele bir olayın olasılığı birden küçük pozitif bir sayı olarak ifade edilir. Rastgele bir olay için , veya , eşitsizlikleri sağlandığına göre, o zaman
(1.2.4)
4. Herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri karşılıyor
(1.2.5)
Bu, (1.2.2) - (1.2.4) ilişkilerinden kaynaklanmaktadır.
Örnek 1. Bir kavanozda 4'ü kırmızı, 6'sı mavi olmak üzere eşit boyut ve ağırlıkta 10 top vardır. Torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm. "Çeken topun maviye dönmesi" olayını A harfiyle belirtiyoruz. Bu testin eşit derecede olası 10 temel sonucu vardır ve bunlardan 6'sı A olayını tercih eder. Formül (1.2.1)'e uygun olarak şunu elde ederiz: 
Örnek 2. 1'den 30'a kadar olan tüm doğal sayılar aynı kartlara yazılarak bir torbaya konur. Kartlar iyice karıştırıldıktan sonra torbadan bir kart çıkarılır. Alınan karttaki sayının 5'in katı olma olasılığı nedir?
Çözüm.“Alınan kartın üzerindeki sayının 5’in katı olması” olayını A ile gösterelim. Bu testte, A olayının 6 sonuç (5, 10, 15, 20, 25, 30 sayıları) tarafından tercih edildiği 30 eşit olası temel sonuç vardır. Buradan, 
Örnek 3.İki zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Zarların üst yüzlerinin toplamı 9 puan olacak şekilde B olayının olasılığını bulun.
Çözüm. Bu testte yalnızca 6 2 = 36 eşit olası temel sonuç vardır. B Olayı 4 sonuç tarafından tercih edilir: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dolayısıyla 
Örnek 4. Rastgele 10'dan büyük olmayan bir doğal sayı seçiliyor. Bu sayının asal olma olasılığı nedir?
Çözüm. Seçilen sayının asal olması olayını C harfi ile gösterelim. Bu durumda n = 10, m = 4 (asal sayılar 2, 3, 5, 7). Bu nedenle gerekli olasılık 
Örnek 5. Simetrik iki madeni para atılıyor. Her iki madeni paranın üst yüzlerinde de sayı olma olasılığı nedir?
Çözüm. Olayı D harfiyle gösterelim. üst taraf her madalyonun bir numarası olduğu ortaya çıktı." Bu testte eşit derecede olası 4 temel sonuç vardır: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). ((G gösterimi) , C) ilk madeni paranın üzerinde bir armanın olduğu, ikincisinde ise bir sayının olduğu anlamına gelir). D Olayı bir temel sonuç (C, C) tarafından tercih edilir. 
Örnek 6. Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının rakamlarının aynı olma olasılığı nedir?
Çözüm.İki basamaklı sayılar 10'dan 99'a kadar olan sayılardır; Toplamda bu tür 90 sayı var. Aynı sayılar 9 sayı vardır (bu sayılar 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99'dur). Bu durumda m = 9, n = 90 olduğundan, o zaman 
,
burada A “aynı basamaklara sahip sayı” olayıdır.
Örnek 7. Kelimenin harflerinden diferansiyel Bir harf rastgele seçilir. Bu harfin a) sesli harf, b) ünsüz, c) harf olma olasılığı nedir? H?
Çözüm. Diferansiyel sözcüğünde 5'i ünlü, 7'si ünsüz olmak üzere 12 harf vardır. Edebiyat H bu kelimede hayır yok. Olayları belirtelim: A - “sesli harf”, B - “ünsüz harf”, C - “harf” H". Olumlu temel sonuçların sayısı: - A olayı için, - B olayı için, - C olayı için. n = 12 olduğundan, o zaman
, Ve .
Örnek 8.İki zar atılıyor ve her zarın üst kısmındaki puanların sayısı not ediliyor. Her iki zarın da aynı sayıda puan gösterme olasılığını bulun.
Çözüm. Bu olayı A harfiyle gösterelim. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Tam bir olay grubunu oluşturan eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı, bu durumda n=6 2 =36. Bu, gerekli olasılığın 
Örnek 9. Kitabın 300 sayfası var. Rastgele olma olasılığı nedir? sayfayı aç sahip olacak seri numarası, 5'in katı mı?
Çözüm. Sorunun koşullarından, tam bir olay grubunu oluşturan eşit derecede olası tüm temel sonuçların n = 300 olacağı sonucu çıkar. Bunlardan m = 60'ı belirtilen olayın oluşmasını destekler. Aslında, 5'in katı olan bir sayı 5k biçimindedir; burada k bir doğal sayıdır ve bu nedenle 
. Buradan, 
, burada A - "sayfa" olayı 5"in katı olan bir sıra numarasına sahiptir.
Örnek 10. İki zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 7 mi yoksa 8 mi alma olasılığı daha yüksek?
Çözüm. Olayları belirtelim: A - “7 puan atılır”, B – “8 puan atılır”. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ve B olayı tercih edilir 5 sonuca göre: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Eşit derecede olası tüm temel sonuçlar n = 6 2 = 36'dır. Bu şu anlama gelir: Ve .
Yani P(A)>P(B), yani toplam 7 puan almak, toplam 8 puan almaktan daha olası bir olaydır.
Görevler
1. Rastgele 30'u geçmeyen bir doğal sayı seçiliyor. Bu sayının 3'ün katı olma olasılığı nedir?
2. Vazoda A kırmızı ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan mavi toplar. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı nedir?
3. Rastgele 30'u geçmeyen bir sayı seçiliyor. Bu sayının 30'a bölen olma olasılığı nedir?
4. Vazoda A mavi ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan kırmızı toplar. Bu torbadan bir top alınıp bir kenara konuluyor. Bu topun kırmızı olduğu ortaya çıktı. Daha sonra torbadan bir top daha çekiliyor. İkinci topun da kırmızı olma olasılığını bulun.
5. 50'yi aşmayan bir ulusal sayı rastgele seçiliyor. Bu sayının asal olma olasılığı nedir?
6. Üç zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 9 veya 10 puan alma olasılığı daha yüksek olan şey nedir?
7. Üç zar atılıyor ve atılan puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 11 puan mı (A olayı) yoksa 12 puan mı (B olayı) alma olasılığı daha yüksektir?
Cevaplar
1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - toplamda 9 puan alma olasılığı; p 2 = 27/216 - toplamda 10 puan alma olasılığı; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Sorular
1. Adı verilen bir olayın olasılığı nedir?
2. Güvenilir bir olayın olasılığı nedir?
3. İmkansız bir olayın olasılığı nedir?
4. Rastgele bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
5. Herhangi bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
6. Olasılığın hangi tanımına klasik denir?
- Olasılık, bir olayın meydana gelme olasılığının derecesidir (göreceli ölçüm, niceliksel değerlendirme). Bazı olası olayların gerçekte meydana gelmesinin nedenleri karşıt nedenlerden daha ağır bastığında, bu olaya olası, aksi halde olası olmayan veya olasılık dışı denir. Olumlu gerekçelerin olumsuz olanlara üstünlüğü veya tam tersi, değişen dereceler Bunun sonucunda olasılık (ve olasılık dışılık) daha fazla veya daha azdır. Bu nedenle olasılık, özellikle az ya da çok doğru niceliksel değerlendirmenin imkansız ya da son derece zor olduğu durumlarda, genellikle niteliksel düzeyde değerlendirilir. Olasılığın çeşitli “düzeyleri” dereceleri mümkündür.
Olasılığın matematiksel açıdan incelenmesi özel bir disiplin - olasılık teorisi oluşturur. Olasılık teorisinde ve matematiksel istatistiklerde olasılık kavramı, bir olayın sayısal bir özelliği - bir olasılık ölçüsü (veya değeri) - bir dizi olay (bir dizi temel olayın alt kümesi) üzerinde bir ölçüm, değerler alma olarak resmileştirilir. dan
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Anlam
(\displaystyle 1)
Güvenilir bir olaya karşılık gelir. İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır (tersi genellikle her zaman doğru değildir). Bir olayın gerçekleşme olasılığı ise
(\displaystyle p)
O zaman oluşmama olasılığı eşittir
(\displaystyle 1-p)
Özellikle olasılık
(\displaystyle 1/2)
Bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme olasılığının eşit olması anlamına gelir.
Olasılığın klasik tanımı, sonuçların eşit olasılığı kavramına dayanmaktadır. Olasılık, belirli bir olay için olumlu sonuçların sayısının, eşit derecede olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Örneğin, rastgele bir para atışında yazı veya tura gelme olasılığı, yalnızca bu iki olasılığın meydana geldiği ve bunların eşit derecede mümkün olduğu varsayılırsa 1/2'dir. Olasılığın bu klasik “tanımı” sonsuz sayıdaki durumlara genelleştirilebilir. olası değerler- örneğin, eğer bir olay sınırlı bir uzay alanının (düzlem) herhangi bir noktasında (nokta sayısı sonsuzdur) eşit olasılıkla meydana gelebilirse, o zaman bu izin verilen alanın bir kısmında meydana gelme olasılığı şöyledir: bu parçanın hacminin (alanının), olası tüm noktaların hacim (alanı) alanına oranına eşittir.
Olasılığın ampirik "tanımı", bir olayın yeterli sayıda olayla gerçekleşmesi gerçeğine dayalı olarak meydana gelme sıklığı ile ilgilidir. büyük sayı Test sıklığı bu olayın nesnel olasılık derecesine uygun olmalıdır. Olasılık teorisinin modern sunumunda olasılık aksiyomatik olarak şu şekilde tanımlanır: özel durum set ölçüsünün soyut teorisi. Yine de, bağlantı Soyut ölçü ile bir olayın meydana gelme olasılığının derecesini ifade eden olasılık arasındaki oran, tam olarak onun gözlemlenme sıklığıdır.
Belirli olayların olasılıksal açıklaması, dünyada yaygın hale gelmiştir. modern bilim, özellikle ekonometride, makroskobik (termodinamik) sistemlerin istatistiksel fiziğinde, parçacıkların hareketinin klasik deterministik bir açıklaması durumunda bile, tüm parçacık sisteminin deterministik bir açıklaması pratik olarak mümkün ve uygun görünmemektedir. İÇİNDE kuantum fiziği açıklanan süreçler olasılıksal niteliktedir.
Kısa teori
Olayları, meydana gelme olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, olayın olasılığı adı verilen sayısal bir ölçüm uygulanır. Rastgele bir olayın olasılığı bir olayın meydana gelme objektif olasılığının ölçüsünü ifade eden bir sayıdır.
Ne kadar önemli olduğunu belirleyen miktarlar objektif gerekçeler Olayın olasılığı ile karakterize edilen bir olayın meydana gelmesine güvenmek. Olasılığın, bilen kişiden bağımsız olarak var olan ve bir olayın oluşmasına katkıda bulunan tüm koşullar dizisi tarafından koşullandırılan nesnel bir nicelik olduğu vurgulanmalıdır.
Olasılık kavramı için yaptığımız açıklamalar, kavramı sayısallaştırmadığından matematiksel bir tanım değildir. Belirli problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılan, rastgele bir olayın olasılığının çeşitli tanımları vardır (klasik, olasılığın geometrik tanımı, istatistiksel vb.).
Olay olasılığının klasik tanımı Bu kavramı, artık tanıma tabi olmayan ve sezgisel olarak açık olduğu varsayılan, eşit derecede olası olaylara ilişkin daha temel bir kavrama indirgemektedir. Örneğin, eğer bir zar homojen bir küp ise, bu küpün yüzlerinden herhangi birinin kaybı eşit derecede olası olaylar olacaktır.
Güvenilir bir olayın, toplamı olayı veren eşit olası durumlara bölünmesine izin verin. Yani, bozulduğu durumlar, olay için elverişli olarak adlandırılır, çünkü bunlardan birinin ortaya çıkması, olayın gerçekleşmesini sağlar.
Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilecektir.
Bir olayın olasılığı, o olayla ilgili olumlu durumların sayısının oranına eşittir. toplam sayı sayıya göre mümkün olan tek, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlar, yani.
Bu olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını göz önünde bulundurarak, benzersiz şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir dizi bulmak, bunların toplam sayısını n, yani uygun durumların sayısını m hesaplamak gerekir. Belirli bir olayı belirleyin ve ardından yukarıdaki formülü kullanarak hesaplamayı gerçekleştirin.
Bir olayın olasılığı, olaya uygun deney sonuçlarının sayısının toplam deney sonuçları sayısına oranına eşit olur. klasik olasılık rastgele olay.
Tanımdan aşağıdaki olasılık özellikleri çıkar:
Özellik 1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.
Özellik 2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.
Özellik 3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.
Özellik 4. Tam bir grup oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.
Özellik 5. Ters olayın meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde belirlenir.
Ters bir olayın meydana gelmesini destekleyen durumların sayısı. Dolayısıyla zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile A olayının meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir:
Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının deneyime başvurmadan, ancak mantıksal akıl yürütmeye dayanarak belirlenebilmesidir.
Bir takım koşullar sağlandığında güvenilir bir olay mutlaka gerçekleşecek, ancak imkansız bir olay kesinlikle olmayacaktır. Bir takım koşullar yaratıldığında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek olaylardan, bazılarının gerçekleşmesine haklı sebeplerle, bazılarının ise daha az sebeplere bağlı olarak meydana gelmesine güvenilebilir. Örneğin, bir torbada siyah toplardan daha fazla beyaz top varsa, o zaman torbadan rastgele çekildiğinde beyaz bir topun ortaya çıkmasını ummak için siyah bir topun ortaya çıkmasından daha fazla neden vardır.
Bir sonraki sayfada tartışılmaktadır.
Sorun çözümü örneği
Örnek 1
Bir kutuda 8 beyaz, 4 siyah ve 7 kırmızı top bulunmaktadır. Rastgele 3 top çekiliyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: - en az 1 kırmızı top çekilir, - aynı renkte en az 2 top vardır, - en az 1 kırmızı ve 1 beyaz top vardır.
Sorun çözümü
Toplam test sonucu sayısını 19 (8+4+7) elementin 3'lü kombinasyon sayısı olarak buluyoruz:
Olayın olasılığını bulalım– en az 1 kırmızı top çekilir (1,2 veya 3 kırmızı top)
Gerekli olasılık:
Hadi olay– aynı renkte en az 2 top var (2 veya 3 beyaz top, 2 veya 3 siyah top ve 2 veya 3 kırmızı top)
Etkinlik için olumlu sonuçların sayısı:
Gerekli olasılık:
Hadi olay– en az bir kırmızı ve 1 beyaz top var
(1 kırmızı, 1 beyaz, 1 siyah veya 1 kırmızı, 2 beyaz veya 2 kırmızı, 1 beyaz)
Etkinlik için olumlu sonuçların sayısı:
Gerekli olasılık:
Cevap: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068
Örnek 2
İki atıldı zar. Puanların toplamının en az 5 olma olasılığını bulun.
Çözüm
Etkinliğin en az 5 puan almasına izin verin
Olasılığın klasik tanımını kullanalım:
Olası test sonuçlarının toplam sayısı
İlgilenilen olayı destekleyen denemelerin sayısı
İlk zarın düşen tarafında bir puan, iki puan..., altı puan görünebilir. benzer şekilde ikinci zar atıldığında altı sonuç mümkündür. İlk zarın atılmasının sonuçlarından her biri, ikinci zarın sonuçlarının her biriyle birleştirilebilir. Bu nedenle, olası temel test sonuçlarının toplam sayısı, tekrarlı yerleştirme sayısına eşittir (6. ciltten 2 öğenin yerleştirilmesiyle seçim):
Ters olayın olasılığını bulalım - puanların toplamı 5'ten azdır
Aşağıdaki düşen puan kombinasyonları etkinliğin lehine olacaktır:
| № | 1. kemik | 2. kemik | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Ortalamaçözüm maliyeti deneme çalışması 700 - 1200 ruble (ancak tüm sipariş için en az 300 ruble). Fiyat, kararın aciliyetinden büyük ölçüde etkilenir (bir günden birkaç saate kadar). Bir sınav/test için çevrimiçi yardımın maliyeti 1000 ruble'dir. Bileti çözmek için.
Daha önce görevlerin koşullarını gönderdikten ve ihtiyacınız olan çözüm için son teslim tarihlerini size bildirdikten sonra doğrudan sohbete bir istek bırakabilirsiniz. Tepki süresi birkaç dakikadır.
İlgili sorunlara örnekler
Toplam olasılık formülü. Bayes formülü
Sorunu çözme örneğini kullanarak formülü ele alıyoruz tam olasılık ve Bayes formülü ve ayrıca hipotezlerin ve koşullu olasılıkların ne olduğunu açıklar.
Her olayın farklı derecelerde ortaya çıkma (uygulanma) olasılığına sahip olduğu açıktır. Olayları olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırabilmek için elbette her olayı birbiriyle ilişkilendirmek gerekir. belirli sayı olay ne kadar mümkün olursa o kadar büyük olur. Bu sayıya bir olayın olasılığı denir.
Olayın olasılığı- bu olayın meydana gelmesinin nesnel olasılık derecesinin sayısal bir ölçüsüdür.
Stokastik bir deneyi ve bu deneyde gözlemlenen rastgele bir A olayını düşünün. Bu deneyi n kez tekrarlayalım ve m(A), A olayının meydana geldiği deney sayısı olsun.
İlişki (1.1)
isminde bağıl frekans Gerçekleştirilen deney serisindeki olaylar A.
Özelliklerin geçerliliğini doğrulamak kolaydır:
eğer A ve B tutarsızsa (AB= ), o zaman ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Göreceli frekans yalnızca bir dizi deneyden sonra belirlenir ve genel olarak konuşursak, seriden seriye değişebilir. Ancak deneyimler, birçok durumda deney sayısı arttıkça bağıl frekansın belirli bir sayıya yaklaştığını göstermektedir. Bu bağıl frekans kararlılığı gerçeği defalarca doğrulanmıştır ve deneysel olarak kanıtlandığı düşünülebilir.
Örnek 1.19.. Bir madeni para atarsanız, hiç kimse paranın hangi tarafın üstüne düşeceğini tahmin edemez. Ancak iki ton bozuk para atarsanız, o zaman herkes armayla birlikte yaklaşık bir tonun düşeceğini söyleyecektir, yani armanın düşme göreceli sıklığı yaklaşık 0,5'tir.
Deney sayısındaki artışla birlikte ν(A) olayının bağıl frekansı sabit bir sayıya yöneliyorsa, o zaman şunu söylüyorlar: A olayı istatistiksel olarak kararlıdır ve bu sayıya A olayının olasılığı denir.
Olayın olasılığı A deney sayısı arttıkça bu olayın bağıl frekansı ν(A)'nın yöneldiği sabit bir sayı P(A) çağrılır; 
Bu tanım denir olasılığın istatistiksel belirlenmesi .
Belirli bir stokastik deneyi ele alalım ve temel olayların uzayının sonlu veya sonsuz (ancak sayılabilir) bir dizi temel olaydan (ω 1, ω 2, …, ω i, …) oluşmasına izin verelim. Her temel olaya ω i, belirli bir temel olayın meydana gelme olasılığının derecesini karakterize eden ve aşağıdaki özellikleri karşılayan belirli bir sayı - р i atandığını varsayalım:
Bu sayıya p i denir temel bir olayın olasılığıωi.
Şimdi A'nın bu deneyde gözlemlenen rastgele bir olay olduğunu ve belirli bir diziye karşılık geldiğini varsayalım.
Bu ortamda bir olayın olasılığı A A lehine temel olayların olasılıklarının toplamını çağırın(karşılık gelen A kümesine dahildir):
(1.4)
Bu şekilde ortaya konan olasılık, bağıl frekansla aynı özelliklere sahiptir:
Ve eğer AB = (A ve B uyumsuzsa),
bu durumda P(A+B) = P(A) + P(B)
Aslında (1.4)’e göre
Son ilişkide, tek bir temel olayın aynı anda iki uyumsuz olayı destekleyemeyeceği gerçeğinden yararlandık.
Olasılık teorisinin pi'yi belirlemeye yönelik yöntemleri belirtmediğini özellikle not ediyoruz; bunların pratik nedenlerle aranması veya ilgili istatistiksel deneyden elde edilmesi gerekir.
Örnek olarak şunu düşünün klasik şema olasılık teorisi. Bunu yapmak için, temel olayların uzayı sonlu (n) sayıda öğeden oluşan stokastik bir deney düşünün. Ayrıca tüm bu temel olayların eşit derecede mümkün olduğunu, yani temel olayların olasılıklarının p(ω i)=p i =p'ye eşit olduğunu varsayalım. Şunu takip ediyor
Örnek 1.20. Simetrik bir para atıldığında tura ve tura gelmesi eşit derecede mümkündür, olasılıkları 0,5'tir.
Örnek 1.21. Simetrik bir zar atıldığında tüm yüzler eşit derecede olasıdır, olasılıkları 1/6'dır.
Şimdi A olayının m temel olay tarafından tercih edilmesine izin verin, bunlara genellikle denir. A olayının lehine sonuçlar. Daha sonra
Kabul edilmiş olasılığın klasik tanımı: A olayının olasılığı P(A), A olayı için olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşittir
Örnek 1.22. Torbanın içinde m adet beyaz top ve n adet siyah top bulunmaktadır. Beyaz bir topun çekilme olasılığı nedir?
Çözüm. Temel olayların toplam sayısı m+n'dir. Hepsi eşit derecede olasıdır. Uygun olay A'nın m. Buradan, 
.
Olasılığın tanımından aşağıdaki özellikler çıkar:
Özellik 1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.
Aslında eğer olay güvenilirse, testin her temel sonucu olayın lehinedir. Bu durumda t=p, buradan,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Mülk 2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.
Aslında, eğer bir olay imkansızsa, o zaman testin temel sonuçlarından hiçbiri olayı desteklemez. Bu durumda T= 0 dolayısıyla, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Mülk 3.Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.
Gerçekten de rastgele bir olay, testin temel sonuçlarının toplam sayısının yalnızca bir kısmına fayda sağlar. Yani 0≤m≤n, yani 0≤m/n≤1 anlamına gelir, dolayısıyla herhangi bir olayın olasılığı 0≤ çifte eşitsizliğini karşılar. P(A) ≤1. (1.8)
Olasılık (1.5) ve bağıl frekans (1.1) tanımlarını karşılaştırarak şu sonuca varıyoruz: olasılığın tanımı test yapılmasına gerek yoktur gerçekte; bağıl frekansın tanımı şunu varsaymaktadır: aslında testler yapıldı. Başka bir deyişle, olasılık deneyden önce hesaplanır ve bağıl frekans - deneyden sonra hesaplanır.
Ancak olasılığın hesaplanması, belirli bir olay için olumlu olan temel sonuçların sayısı veya olasılıkları hakkında ön bilgi gerektirir. Bu tür ön bilgilerin yokluğunda, olasılığı belirlemek için ampirik veriler kullanılır, yani olayın göreceli sıklığı stokastik bir deneyin sonuçlarına göre belirlenir.
Örnek 1.23. Teknik kontrol departmanı keşfedilen 3 Rastgele seçilmiş 80 parçadan oluşan bir partideki standart olmayan parçalar. Standart olmayan parçaların göreceli görülme sıklığı r(A)= 3/80.
Örnek 1.24. Üretilme amacına göre 24 atış yapıldı ve 19 vuruş kaydedildi. Göreceli hedef isabet oranı. r(A)=19/24.
Uzun süreli gözlemler, deneylerin her birinde test sayısı yeterince büyük olan aynı koşullar altında gerçekleştirilmesi durumunda bağıl frekansın kararlılık özelliği sergilediğini göstermiştir. Bu özellik farklı deneylerde bağıl frekansın çok az değiştiği (ne kadar az olursa, o kadar çok test yapılır), belirli bir sabit sayı etrafında dalgalandığı görülür. Bu sabit sayının olasılığın yaklaşık değeri olarak alınabileceği ortaya çıktı.
Göreceli frekans ve olasılık arasındaki ilişki aşağıda daha ayrıntılı ve daha kesin bir şekilde açıklanacaktır. Şimdi kararlılık özelliğini örneklerle açıklayalım.
Örnek 1.25. İsveç istatistiklerine göre, 1935 yılı için aylara göre kız doğumlarının göreceli sıklığı aşağıdaki sayılarla karakterize edilir (sayılar ay sırasına göre düzenlenmiştir; Ocak): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Göreceli frekans 0,481 civarında dalgalanıyor ve bu da kız çocuk sahibi olma olasılığı için yaklaşık bir değer olarak alınabiliyor.
İstatistiksel verilere dikkat edin çeşitli ülkeler yaklaşık olarak aynı bağıl frekans değerini verir.
Örnek 1.26. Birçok kez yazı tura atma deneyleri yapıldı ve bu deneylerde "armanın" görünme sayısının sayıldığı görüldü. Çeşitli deneylerin sonuçları tabloda gösterilmektedir.
