Nakon što prouče temu pravouglog trougla, učenici često izbacuju sve podatke o njima iz glave. Uključujući kako pronaći hipotenuzu, a da ne spominjemo šta je to.

I uzalud. Jer u budućnosti se ispostavi da je dijagonala pravokutnika upravo ova hipotenuza i treba je pronaći. Ili se promjer kruga poklapa s najvećom stranom trokuta, čiji je jedan od uglova pravi. I nemoguće ga je pronaći bez ovog znanja.

Postoji nekoliko načina da se pronađe hipotenuza trokuta. Izbor metode zavisi od početnog skupa podataka u problemu veličina.

Metoda broj 1: date su obje noge

Ovo je metoda koja se najviše pamti jer koristi Pitagorinu teoremu. Samo ponekad učenici zaborave da je ova formula kvadrat hipotenuze. Dakle, da biste pronašli samu stranu, morat ćete uzeti kvadratni korijen. Stoga će formula za hipotenuzu, koja se obično označava slovom "c", izgledati ovako:

c = √ (a 2 + a 2), gdje su slova "a" i "b" napisana oba kraka pravokutnog trougla.

Metoda broj 2: poznati su krak i ugao uz nju

Da biste naučili kako pronaći hipotenuzu, morate zapamtiti trigonometrijske funkcije. Naime kosinus. Radi praktičnosti, pretpostavit ćemo da su zadani krak "a" i ugao α koji je uz njega.

Sada moramo zapamtiti da je kosinus kuta pravokutnog trokuta jednak omjeru dvije strane. Brojilac će biti vrijednost kateta, a nazivnik hipotenuza. Iz ovoga slijedi da se potonji može izračunati po formuli:

c = a / cos α.

Metoda broj 3: s obzirom na nogu i ugao koji leži nasuprot njoj

Kako se ne bismo zbunili u formulama, uvodimo oznaku za ovaj ugao - β, a stranu ostavljamo kao "a". U ovom slučaju potrebna je još jedna trigonometrijska funkcija - sinus.

Kao iu prethodnom primjeru, sinus je jednak omjeru kateta i hipotenuze. Formula za ovu metodu izgleda ovako:

c \u003d a / sin β.

Kako se ne biste zbunili u trigonometrijskim funkcijama, možete se sjetiti jednostavnog mnemoničkog pravila: ako je problem oko o suprotnom uglu, onda morate koristiti sa i nous ako - oh pr i laganje, a zatim da o sinus. Obratite pažnju na prve samoglasnike u ključnim riječima. Oni formiraju parove oh i ili i o.

Metoda broj 4: duž polumjera opisane kružnice

Sada, da biste saznali kako pronaći hipotenuzu, morate zapamtiti svojstvo kruga, koji je opisan oko pravokutnog trokuta. Ona glasi kako slijedi. Središte kružnice poklapa se sa središtem hipotenuze. Drugim riječima, najduža stranica pravokutnog trougla jednaka je dijagonali kružnice. Odnosno, udvostručite radijus. Formula za ovaj zadatak bi izgledala ovako:

c = 2 * r, gdje r označava poznati polumjer.

Ovo su svi mogući načini za pronalaženje hipotenuze pravokutnog trokuta. U svakom konkretnom zadatku morate koristiti metodu koja je prikladnija za skup podataka.

Primjer zadatka #1

Uvjet: u pravokutnom trouglu medijane su povučene na obje krake. Dužina one povučene na veću stranu je √52. Drugi medijan ima dužinu od √73. Morate izračunati hipotenuzu.

Pošto su medijane nacrtane u trouglu, one dijele katete na dva jednaka segmenta. Za praktičnost zaključivanja i pronalaženja kako pronaći hipotenuzu, morate uvesti nekoliko oznaka. Neka obje polovine veće noge budu označene slovom “x”, a druga sa “y”.

Sada moramo razmotriti dva pravougla trougla, čije su hipotenuze poznate medijane. Za njih morate dvaput zapisati formulu Pitagorine teoreme:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Ove dvije jednačine čine sistem sa dvije nepoznate. Nakon što ih riješite, iz njih će biti lako pronaći katete originalnog trokuta i njegovu hipotenuzu.

Prvo morate sve podići na drugi stepen. Ispada:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Iz druge jednadžbe se može vidjeti da je y 2 = 73 - 4x 2. Ovaj izraz se mora zamijeniti prvim i izračunati "x":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Nakon konverzije:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 ili 15 x 2 = 240.

Iz posljednjeg izraza x = √16 = 4.

Sada možete izračunati "y":

y 2 = 73 - 4 (4) 2 = 73 - 64 = 9.

Prema uslovu, ispada da su katete originalnog trokuta 6 i 8. Dakle, možete koristiti formulu iz prve metode i pronaći hipotenuzu:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Odgovori: hipotenuza je 10.

Primjer zadatka #2

Uslov: izračunaj dijagonalu povučenu u pravougaoniku sa manjom stranom jednakom 41. Ako je poznato da ona deli ugao na one koji su povezani kao 2 prema 1.

U ovom zadatku, dijagonala pravougaonika je najduža stranica u trouglu od 90º. Dakle, sve se svodi na to kako pronaći hipotenuzu.

Problem je u uglovima. To znači da ćete morati koristiti jednu od formula u kojoj postoje trigonometrijske funkcije. I prvo morate odrediti vrijednost jednog od oštrih uglova.

Neka manji od uglova koji se spominju u uslovu bude označen sa α. Tada će pravi ugao, koji je podijeljen dijagonalom, biti jednak 3α. Matematička notacija za ovo izgleda ovako:

Iz ove jednačine je lako odrediti α. To će biti jednako 30º. Štoviše, ležat će nasuprot manje strane pravokutnika. Stoga će biti potrebna formula opisana u metodi br. 3.

Hipotenuza je jednaka omjeru kateta i sinusa suprotnog ugla, odnosno:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Odgovor: Hipotenuza je 82.

„A kažu nam da je krak kraći od hipotenuze…“ Ovi stihovi iz čuvene pesme koja je zvučala u igranom filmu „Avanture elektronike“ zaista su tačni u pogledu Euklidove geometrije. Na kraju krajeva, noge su dvije strane koje formiraju ugao, čija je mjera stepena 90 stepeni. A hipotenuza je najduža "rastegnuta" strana koja spaja dva kraka okomito jedan na drugi, a leži suprotno od pravog kuta. Zato je hipotenuzu moguće pronaći duž kateta samo u pravokutnom trokutu, a kada bi katet bio duži od hipotenuze, onda takav trokut ne bi postojao.

Kako pronaći hipotenuzu koristeći Pitagorinu teoremu ako su poznate obje noge

Teorema kaže da kvadrat hipotenuze nije ništa drugo do zbir kvadrata kateta: x^2+y^2=z^2, gdje je:

• x - prva etapa;
• y - druga etapa;
• z je hipotenuza.

Ali samo trebate pronaći hipotenuzu, a ne njen kvadrat. Da biste to učinili, izvadite korijen.

Algoritam za pronalaženje hipotenuze pomoću dva poznata kraka:

• Odredite za sebe gdje su noge, a gdje hipotenuza.
• Kvadrirajte prvu nogu.
• Kvadrat drugu nogu.
• Zbrojite rezultirajuće vrijednosti.
• Uzmite korijen broja dobivenog u koraku 4.

Kako pronaći hipotenuzu kroz sinus, ako su poznati krak i oštar ugao koji leži prema njoj

Omjer poznatog kraka i oštrog ugla koji leži nasuprot njemu jednak je vrijednosti hipotenuze: a/sin A = c. Ovo je posljedica definicije sinusa:

Omjer suprotne noge i hipotenuze: sin A = a / c, gdje je:

• a - prva etapa;
• A je oštar ugao nasuprot kraku;
• c je hipotenuza.

Algoritam za pronalaženje hipotenuze pomoću teoreme sinusa:

• Odredite sebi poznatu nogu i ugao nasuprot njoj.
• Podijelite nogu do suprotnog ugla.
• Dobijte hipotenuzu.

Kako pronaći hipotenuzu kroz kosinus, ako su poznati krak i oštar ugao uz nju

Omjer poznatog kraka i oštrog uključenog ugla jednak je vrijednosti hipotenuze a/cos B = c. To je posljedica definicije kosinusa: omjer susjednog kraka i hipotenuze: cos B \u003d a / s, gdje je:

• a - drugi krak;
• B je oštar ugao uz drugu nogu;
• c je hipotenuza.

Algoritam za pronalaženje hipotenuze pomoću kosinus teoreme:

• Odredite sebi poznatu nogu i ugao uz nju.
• Podijelite nogu u susjedni ugao.
• Dobijte hipotenuzu.

Kako pronaći hipotenuzu koristeći "egipatski trokut"

"Egipatski trougao" je trio brojeva, znajući koje možete uštedjeti na vremenu da pronađete hipotenuzu ili čak drugu nepoznatu nogu. Trokut ima takvo ime, jer su u Egiptu neki brojevi simbolizirali bogove i bili su osnova za izgradnju piramida i drugih raznih struktura.

• Prvi trio brojeva: 3-4-5. Ovdje su katete jednake 3 i 4. Tada će hipotenuza nužno biti jednaka 5. Provjerite: (9 + 16 = 25).
• Druga trojka brojeva: 5-12-13. I ovdje su katete 5 i 12. Dakle, hipotenuza će biti 13. Provjerite: (25+144=169).

Takvi brojevi pomažu čak i kada se podijele ili pomnože nekim pojedinačnim brojem. Ako su katete 3 i 4, tada će hipotenuza biti 5. Ako ove brojeve pomnožite sa 2, hipotenuza će se pomnožiti sa 2. Na primjer, trojka brojeva 6-8-10 također će odgovarati Pitagorinoj teoremi i ne možete izračunati hipotenuzu ako zapamtite ove trojke brojeva.



Dakle, postoje 4 načina za pronalaženje hipotenuze pomoću poznatih krakova. Najbolja opcija je Pitagorina teorema, ali isto tako ne bi škodilo da se prisjetite trojki brojeva koji čine "egipatski trokut", jer možete uštedjeti mnogo vremena ako naiđete na takve vrijednosti.

Na samom početku podsjećamo da je trokut poliedar koji ima 3 ugla. Kako pronaći hipotenuzu pravokutnog trokuta ako su poznate druge dimenzije trokuta?

Uputstvo

1. Dužine nogu su poznate. U ovom slučaju, hipotenuza se može izračunati pomoću Pitagorine teoreme. Ova teorema zvuči ovako: zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je za izračunavanje dužine hipotenuze potrebno kvadrirati vrijednost svake katete naizmjence. Zatim dodajte rezultirajuće brojeve i uzmite kvadratni korijen iz ukupnog rezultata.
2. Kako pronaći hipotenuzu u trokutu KFB ako su poznati krak (VC) i ugao uz nju? Poznati ugao označavamo sa α. Jedno od svojstava pravokutnog trokuta je sljedeće: omjer dužine kraka pravokutnog trokuta i dužine hipotenuze jednak je kosinusu ugla između hipotenuze i ove katete. Ovo se može napisati na sljedeći način: FB=BK*cos(α).
3. Drugi krak (KF) je poznat i isti ugao α, sada će biti suprotan. Hipotenuza se također može naći primjenom istih svojstava pravokutnog trokuta. Ovdje dobijamo, omjer dužine kraka pravokutnog trokuta i dužine njegove hipotenuze jednak je sinusu ugla nasuprot kateta. Zapisujemo: FB=KF*sin(α).
4. Kako pronaći hipotenuzu trokuta ako je oko njega opisan krug za koji je poznat njegov polumjer. Iz svojstava kružnice koja je opisana oko pravokutnog trokuta, poznato je da takav krug ima centar koji se poklapa s tačkom hipotenuze koja ga dijeli na pola. Drugim riječima, radijus je jednak polovini hipotenuze. A to znači da dva radijusa čine hipotenuzu: FB=2*R.

Poznavajući svojstva pravouglog trougla i Pitagorinu teoremu, vrlo je lako izračunati dužinu hipotenuze. Ako vam je i dalje teško zapamtiti sva svojstva, onda samo naučite gotove formule u koje je vrlo lako zamijeniti poznate vrijednosti za izračunavanje dužine hipotenuze.

Uputstvo

Ako trebate računati prema Pitagorinoj teoremi, koristite sljedeći algoritam: - Odredite u trokutu koje su stranice katete, a koje hipotenuza. Dvije strane koje formiraju ugao od devedeset stepeni su katete, a preostala trećina je hipotenuza. (cm) - Podignite na drugi stepen svaki krak ovog trougla, odnosno pomnožite sami. Primjer 1. Neka je potrebno izračunati hipotenuzu ako je jedna kateta u trouglu 12 cm, a druga 5 cm. Prvo, kvadrati kateta su: 12 * 12 = 144 cm i 5 * 5 = 25 cm. - Zatim odredite zbir nogu kvadrata. Određeni broj jeste hipotenuza, morate se riješiti drugog stepena broja da biste ga pronašli dužina ovu stranu trougla. Da biste to učinili, izdvojite ispod kvadratnog korijena vrijednost zbira kvadrata nogu. Primjer 1. 144+25=169. Kvadratni korijen od 169 će biti 13. Dakle, dužina ovoga hipotenuza jednaka 13 cm.

Drugi način izračuna dužine hipotenuza leži u terminologiji sinusa i uglova u trokutu. Po definiciji: sinus ugla alfa suprotnog kraka hipotenuzi. Odnosno, gledajući sliku, griješite \u003d CB / AB. Dakle, hipotenuza AB = CB / sin a. Primjer 2. Neka je ugao 30 stepeni, a suprotni krak - 4 cm. Trebate pronaći hipotenuzu. Rješenje: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Odgovor: dužina hipotenuza jednaka 8 cm.

Sličan način pronalaženja hipotenuza iz definicije kosinusa ugla. Kosinus ugla je omjer noge koja se nalazi uz njega i hipotenuza. To jest, cos a = AC / AB, dakle AB = AC / cos a. Primer 3. U trouglu ABC, AB je hipotenuza, ugao BAC je 60 stepeni, krak AC je 2 cm.Nađi AB.
Rješenje: AB = AC / cos 60 = 2 / 0,5 = 4 cm Odgovor: hipotenuza je dužine 4 cm.

Koristan savjet

Kada pronađete vrijednost sinusa ili kosinusa ugla, koristite tablicu sinusa i kosinusa ili Bradisovu tablicu.

Savjet 2: Kako pronaći dužinu hipotenuze u pravokutnom trokutu

Hipotenuza se naziva najdužom od stranica u pravokutnom trokutu, pa nije iznenađujuće da se ova riječ s grčkog prevodi kao "rastegnuta". Ova strana uvijek leži nasuprot ugla od 90°, a stranice koje formiraju ovaj ugao nazivaju se kracima. Poznavajući dužine ovih stranica i veličinu oštrih uglova u različitim kombinacijama ovih vrijednosti, može se izračunati i dužina hipotenuze.

Uputstvo

Ako su poznate dužine oba trokuta (A i B), onda koristite dužine hipotenuze (C), možda najpoznatijeg matematičkog postulata - Pitagorine teoreme. Kaže da je kvadrat dužine hipotenuze zbir kvadrata dužina nogu, iz čega slijedi da treba izračunati korijen zbira kvadrata dužina dviju strana: C \u003d √ (A² + B²). Na primjer, ako je dužina jedne noge 15, a - 10 centimetara, tada će dužina hipotenuze biti približno 18,0277564 centimetara, jer √ (15² + 10²) = √ (225 + 100) = √ 2003 √ 375 √ 375 .

Ako je poznata dužina samo jedne od kateta (A) u pravokutnom trokutu, kao i vrijednost ugla nasuprot njemu (α), tada se dužina hipotenuze (C) može odrediti pomoću jednog od trigonometrijskih funkcije - sinus. Da biste to učinili, podijelite dužinu poznate stranice sa sinusom poznatog ugla: C=A/sin(α). Na primjer, ako je dužina jedne od nogu 15 centimetara, a kut na suprotnom vrhu trokuta je 30 °, tada će dužina hipotenuze biti 30 centimetara, budući da je 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Ako je u pravokutnom trokutu poznata vrijednost jednog od oštrih uglova (α) i dužina kraka koji je uz njega (B), onda se druga trigonometrijska funkcija, kosinus, može koristiti za izračunavanje dužine hipotenuze (C ). Trebali biste podijeliti dužinu poznatog kraka kosinusom poznatog ugla: S=V/ cos(α). Na primjer, ako je dužina ove noge 15 centimetara, a vrijednost oštrog ugla uz nju je 30 °, tada će dužina hipotenuze biti približno 17,3205081 centimetara, budući da je 15 / cos (30 °) = 15 / (0,5 * √3)=30/√3≈17,3205081.

Dužina je rastojanje između dve tačke na segmentu prave. Može biti ravna, isprekidana ili zatvorena linija. Dužinu možete izračunati na prilično jednostavan način, ako znate još neke pokazatelje segmenta.

Uputstvo

Ako trebate pronaći dužinu stranice kvadrata, to neće biti ako znate njegovu površinu S. Zbog činjenice da sve strane kvadrata imaju , možete izračunati vrijednost jedne od njih koristeći formulu : a = √S.

Kao što znate, geometrija je teška nauka koja zahtijeva posebnu tačnost i tačnost u rješavanju problema. Mnogi izrazi i formule koje ćemo kasnije koristiti u složenijim proračunima navedeni su u udžbenicima matematike za 6-7 razred. Kako bismo proces učenja trigonometrijskih funkcija učinili lakšim i ugodnijim, u ovom članku ćemo pogledati nekoliko kratkih načina izračunavanja hipotenuze pravokutnog trokuta.

Kako pronaći hipotenuzu na nogama?

Prisjetimo se malo teorije: pravougli trokut je ravna figura koja ima tri ugla. Jedna od njih ima vrijednost 90º, a stranice se nazivaju kracima i hipotenuzom. Strana koja je naspram pravog ugla je hipotenuza, a druge dvije su susjedne noge. Glavna igra partija se manifestuje u Pitagorinoj teoremi, prema kojoj je hipotenuza jednaka zbiru kvadrata kateta. Međutim, ovo samo izgleda zbunjujuće, jer je u stvari sve mnogo jednostavnije.

Svojstva geometrijske figure

Prije nego što pronađete hipotenuzu trokuta, morate shvatiti koje karakteristike ima ova figura. Razmotrimo glavne:

1. U pravokutnom trokutu, oba oštra ugla su zbir 90º.
2. Noga koja leži nasuprot ugla od 30º bit će jednaka ½ hipotenuze.
3. Ako je krak jednak ½ vrijednosti hipotenuze, onda će drugi ugao imati istu vrijednost - 30º.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu. Najjednostavnije rješenje je proračun kroz noge. Recimo da znate vrijednosti kateta stranica A i B. Tada u pomoć dolazi Pitagorina teorema koja nam govori da ako kvadriramo svaku vrijednost kraka i zbrojimo dobivene podatke, saznat ćemo kolika je hipotenuza je. Dakle, samo trebamo izdvojiti vrijednost kvadratnog korijena:

Na primjer, ako je noga A = 3 cm i noga B = 4 cm, onda bi izračun izgledao ovako:

Kako pronaći hipotenuzu kroz ugao?

Drugi način da se sazna koliko je hipotenuza u pravokutnom trokutu jednaka je izračunavanje kroz dati ugao. Da bismo to učinili, trebamo izvesti vrijednost kroz formulu sinusa. Pretpostavimo da znamo vrijednost kraka (A) i vrijednost suprotnog ugla (α). Tada je cijelo rješenje u jednoj formuli: S=A/sin(α).

Na primjer, ako je dužina kateta 40 cm, a kut 45°, tada se dužina hipotenuze može izvesti na sljedeći način:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Također možete odrediti željenu vrijednost kroz kosinus zadanog ugla. Pretpostavimo da znamo vrijednost jedne noge (B) i oštrog uključenog ugla (α). Tada je potrebna jedna formula za rješavanje problema: S=V/ cos(α).

Na primjer, ako je dužina noge 50 cm, a kut je 45°, tada se hipotenuza može izračunati na sljedeći način:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Stoga smo ispitali glavne načine za pronalaženje hipotenuze u trokutu. Prilikom rješavanja zadatka važno je fokusirati se na dostupne podatke, tada će pronalaženje nepoznate vrijednosti biti prilično jednostavno. Potrebno je znati samo nekoliko formula i proces rješavanja problema će postati jednostavan i ugodan.