Primjer

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva koeficijent proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pada na jedinicu druge.

Direktna proporcionalnost

Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj neka veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijenio u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.

Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:

f(x) = ax,a = const

Inverzna proporcionalnost

Inverzna proporcija- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, inverzna proporcionalnost se piše kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Wikimedia fondacija. 2010 .

I. Direktno proporcionalne veličine.

Neka vrijednost y zavisi od veličine X. Ako sa povećanjem X nekoliko puta veća at raste za isti faktor, onda takve vrijednosti X i at nazivaju se direktno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i trošak kupovine (po fiksnoj cijeni jedne jedinice robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je puta više robe kupljeno, toliko puta više i plaćeno.

2 . Prijeđeni put i vrijeme provedeno na njemu (pri konstantnoj brzini). Koliko puta duži put, koliko puta više vremena ćemo na njemu potrošiti.

3 . Zapremina tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo direktne proporcionalnosti količina.

Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.

Zadatak 1. Za džem od malina 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko šećera će biti potrebno ako se uzme 9 kg maline?

Rješenje.

Raspravljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer uključen 9 kg maline. Masa malina i masa šećera su direktno proporcionalne: koliko puta manje malina, potrebna je ista količina šećera. Dakle, omjer uzetih (po masi) malina ( 12:9 ) će biti jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobijamo proporciju:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema moglo se uraditi ovako:

Pusti 9 kg maline uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru i nije bitno gore ili dolje. Značenje: koliko puta broj 12 više broja 9 , isti broj 8 više broja X, tj. ovdje postoji direktna ovisnost).

odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Zadatak 2. auto za 3 sata pređenu udaljenost 264 km. Koliko će mu to trebati 440 km ako putuje istom brzinom?

Rješenje.

Neka za x sati auto će preći put 440 km.

odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

I. Direktno proporcionalne veličine.

Neka vrijednost y zavisi od veličine X. Ako sa povećanjem X nekoliko puta veća at raste za isti faktor, onda takve vrijednosti X i at nazivaju se direktno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i trošak kupovine (po fiksnoj cijeni jedne jedinice robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je puta više robe kupljeno, toliko puta više i plaćeno.

2 . Prijeđeni put i vrijeme provedeno na njemu (pri konstantnoj brzini). Koliko puta duži put, koliko puta više vremena ćemo na njemu potrošiti.

3 . Zapremina tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo direktne proporcionalnosti količina.

Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.

Zadatak 1. Za džem od malina 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko šećera će biti potrebno ako se uzme 9 kg maline?

Rješenje.

Raspravljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer uključen 9 kg maline. Masa malina i masa šećera su direktno proporcionalne: koliko puta manje malina, potrebna je ista količina šećera. Dakle, omjer uzetih (po masi) malina ( 12:9 ) će biti jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobijamo proporciju:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema moglo se uraditi ovako:

Pusti 9 kg maline uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru i nije bitno gore ili dolje. Značenje: koliko puta broj 12 više broja 9 , isti broj 8 više broja X, tj. ovdje postoji direktna ovisnost).

odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Zadatak 2. auto za 3 sata pređenu udaljenost 264 km. Koliko će mu to trebati 440 km ako putuje istom brzinom?

Rješenje.

Neka za x sati auto će preći put 440 km.

odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

Zadatak 3. Voda ulazi u bazen iz cijevi. Per 2 sata ona puni 1/5 bazen. Za koji se dio bazena puni vodom 5 sati?

Rješenje.

Odgovaramo na pitanje zadatka: za 5 sati napuniti 1/x dio bazena. (Cijeli bazen se uzima kao jedna cjelina).

Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na časovima matematike, već i van školskih zidova.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost navedite dvije veličine koje su međusobno zavisne jedna od druge.

Zavisnost može biti direktna i obrnuta. Prema tome, odnos između veličina opisuje direktnu i inverznu proporcionalnost.

Direktna proporcionalnost- ovo je takav odnos između dvije veličine, u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. One. njihov stav se ne menja.

Na primjer, što više truda uložite u pripremu za ispite, to će vam biti veće ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, teže je nositi ruksak. One. količina truda utrošenog na pripremu ispita je direktno proporcionalna dobijenim ocjenama. A broj stvari spakovanih u ranac je direktno proporcionalan njegovoj težini.

Inverzna proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta nezavisne vrijednosti (to se zove argument) uzrokuje proporcionalno (tj. za isti iznos) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija ).

Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na pijaci. Jabuke na tezgi i količina novca u vašem novčaniku su obrnuto povezani. One. što više jabuka kupite, manje novca vam ostaje.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. Gde x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Opseg su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ni minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne prelazi koordinatne ose.
7. Nema nule.
8. Ako a k> 0 (to jest, argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako a k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanjuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Inverzno proporcionalni problemi

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirane, a njihovo rješenje pomoći će vam da vizualizirate koliki je inverzni proporcija i kako vam to znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.

Zadatak broj 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne na odredište. Koliko će mu trebati da pređe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo početi tako što ćemo zapisati formulu koja opisuje odnos vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas jako podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. I to ukazuje da su vrijeme koje automobil provodi na putu i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uvjetu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Zatim izračunavamo udaljenost koristeći formulu S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetu zadatka: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina su zaista obrnuto proporcionalni: sa brzinom 2 puta većom od originalne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na putu.

Rješenje ovog problema se također može napisati kao proporcija. Zašto pravimo dijagram ovako:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice pokazuju inverzni odnos. I također sugeriraju da se prilikom sastavljanja proporcije desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 \u003d x / 6. Gdje ćemo dobiti x = 60 * 6/120 = 3 sata.

Zadatak broj 2. U radionici je zaposleno 6 radnika koji se sa zadatom količinom posla nose za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Zapisujemo uslove problema u obliku vizuelnog dijagrama:

↓ 6 radnika - 4 sata

↓ 3 radnika - x h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijemo x = 6 * 4/3 = 8 sati. Ako ima 2 puta manje radnika, ostali će potrošiti 2 puta više vremena da završe sav posao.

Zadatak broj 3. Dvije cijevi vode do bazena. Kroz jednu cijev voda ulazi brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev, bazen će se napuniti za 75 minuta. Koliko brzo voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak ćemo sve količine koje su nam date prema stanju problema dovesti na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama po minuti: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Pošto iz uslova proizlazi da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina dotoka vode manja. Na licu inverzne proporcije. Izrazimo nam nepoznatu brzinu u terminima x i nacrtajmo sljedeću shemu:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda ćemo napraviti proporciju: 120 / x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrima u sekundi, dovedemo naš odgovor u isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak broj 4. Vizit karte se štampaju u maloj privatnoj štampariji. Zaposleni u štampariji radi brzinom od 42 vizit karte na sat i radi puno radno vreme - 8 sati. Ako je radio brže i štampao 48 vizitkarti na sat, koliko bi prije mogao otići kući?

Idemo na dokazan način i sastavljamo shemu prema stanju problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 vizit karte/h – 8 h

↓ 48 posjetnica/h – xh

Pred nama je obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više vizitkarti zaposleni u štampariji odštampa po satu, toliko će mu vremena trebati da završi isti posao. Znajući ovo, možemo postaviti proporciju:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 sati.

Dakle, pošto je posao završio za 7 sati, radnik štamparije je mogao da ide kući sat ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ovi problemi inverzne proporcionalnosti zaista jednostavni. Nadamo se da ih sada i vi smatrate takvima. I što je najvažnije, znanje o obrnuto proporcionalnoj zavisnosti količina može vam zaista biti korisno više puta.

Ne samo na časovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada idete na put, u kupovinu, odlučite da zaradite nešto novca tokom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverzne i direktne proporcionalnosti primjećujete oko sebe. Neka ovo bude igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite "podijeliti" ovaj članak na društvenim mrežama kako bi i vaši prijatelji i drugovi mogli igrati.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Primjer

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva koeficijent proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pada na jedinicu druge.

Direktna proporcionalnost

Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj neka veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijenio u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.

Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:

f(x) = ax,a = const

Inverzna proporcionalnost

Inverzna proporcija- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, inverzna proporcionalnost se piše kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Wikimedia fondacija. 2010 .