Njega lica: masna koža

Zbir prvih šest brojeva aritmetičke progresije. Kako pronaći zbroj aritmetičke progresije: formule i primjer njihove upotrebe

28.09.2019
Zbir prvih šest brojeva aritmetičke progresije. Kako pronaći zbroj aritmetičke progresije: formule i primjer njihove upotrebe

Prvi nivo

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019)

Numerički niz

Pa hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju, njih). Koliko god brojeva da napišemo, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se -ti član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Takav numerički niz naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. vijeku i shvaćen je u širem smislu kao beskrajni numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije neprekidnih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, koji se dodaje istim brojem. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedite naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati prethodnoj vrijednosti broja progresije sve dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri sabiranju brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji ne morate dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo šta čini vrijednost -tog člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte na ovaj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.

Izračunati? Uporedite svoje unose sa odgovorom:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - dovodimo je u opći oblik i dobivamo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije se ili povećavaju ili smanjuju.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju članova u rastućim i opadajućim terminima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva:


Od tada:

Tako smo se uvjerili da formula radi i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo zadatak - izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnite računati prema formuli koju već znate:

Neka, a, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite greške u proračunima.
Sada razmislite, da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno, da, i pokušaćemo da to iznesemo sada.

Označimo željeni član aritmetičke progresije kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

  • prethodni član progresije je:
  • sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodne i sljedeće članove progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da bismo pronašli vrijednost člana progresije sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, potrebno ih je sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Popravimo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, jer to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da se sazna samo jedna formula koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako zaključio za sebe...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica je, zauzeta provjeravanjem rada učenika iz drugih razreda, na času postavila sljedeći zadatak: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključujući. " Kakvo je bilo iznenađenje učitelja kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina učenika iz razreda drznika nakon dugih proračuna dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je obrazac koji možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Moramo pronaći zbir datih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako trebamo pronaći zbir njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pažljivo pogledajte označene brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Probao? Šta ste primetili? Ispravno! Njihove sume su jednake


Sada odgovorite, koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, i sličnih jednakih parova, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku u progresiji. Pokušajte zamijeniti formulu sume, formulom th člana.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je dat Carlu Gausu: izračunajte sami koliki je zbir brojeva koji počinju od -tog, a zbir brojeva koji počinju od -tog.

Koliko si dobio?
Gauss se pokazao da je zbir članova jednak i zbir članova. Jeste li tako odlučili?

U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, a sve to vreme, duhoviti ljudi su koristili svojstva aritmetičke progresije u potpunosti.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najveće gradilište tog vremena - izgradnju piramide... Na slici je prikazana jedna njena strana.

Kažete gde je napredovanje? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožje. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati i na monitoru: uporedite dobijene vrijednosti ​​​sa brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se složilo? Bravo, savladali ste zbir th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor su blokovi:

Vježbati

Zadaci:

  1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko će puta Maša čučnuti u sedmicama ako je radila čučnjeve na prvom treningu.
  2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
  3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je osnova zidanja trupci.

odgovori:

  1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
    (sedmice = dani).

    odgovor: Za dvije sedmice, Maša treba da čučne jednom dnevno.

  2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
    Razlika aritmetičke progresije.
    Broj neparnih brojeva u - pola, međutim, provjerite ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:

    Brojevi sadrže neparne brojeve.
    Dostupne podatke zamjenjujemo u formulu:

    odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

  3. Prisjetite se problema s piramidama. Za naš slučaj, a, pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo gomila slojeva, tj.
    Zamijenite podatke u formuli:

    odgovor: U zidovima su trupci.

Sažimanje

  1. - numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Ona se povećava i smanjuje.
  2. Pronalaženje formulečlan aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
  3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
  4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:

    , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO

Numerički niz

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možete reći koji je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to samo jednim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se -ti član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se --ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika). Ili (, razlika).

n-ti termin formula

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali --ti pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći takvu formulu, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, sad je jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo do, pomnoženo nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo udobnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. A koja je razlika? A evo šta:

(na kraju krajeva, naziva se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbroj svih dvocifrenih višekratnika.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći se dobija dodavanjem broja prethodnom. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula za th pojam za ovu progresiju je:

Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

  1. Svakog dana sportista trči 1m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u sedmicama ako je pretrčao km m prvog dana?
  2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara od prethodnog. Prvog dana prešao je km. Koliko dana treba da vozi da bi prešao kilometar? Koliko će kilometara preći posljednjeg dana putovanja?
  3. Cijena frižidera u radnji se svake godine umanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se cijena hladnjaka smanjivala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

  1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
    .
    odgovor:
  2. Ovdje je dato: potrebno je pronaći.
    Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
    .
    Zamijenite vrijednosti:

    Korijen se očito ne uklapa, pa odgovor.
    Izračunajmo pređenu udaljenost tokom posljednjeg dana koristeći formulu -tog člana:
    (km).
    odgovor:

  3. Dato: . Pronađite: .
    Ne postaje lakše:
    (rub).
    odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija se povećava () i smanjuje ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

je napisan kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Olakšava pronalaženje člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete zbir:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan položen ispit, za upis na institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

  1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
  2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator "6000 zadataka sa rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve nivoe složenosti." Definitivno je dovoljno da se uhvatite u koštac sa rješavanjem problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je mnogo više od samo simulatora - cijeli program obuke. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrite šta je niz brojeva, pošto je aritmetička progresija poseban slučaj niza brojeva.

Numerički niz je numerički skup čiji svaki element ima svoj serijski broj. Elementi ovog skupa nazivaju se članovima niza. Redni broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- "n-ti" element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji zavisnost između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga, možemo smatrati niz kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, to se može reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može odrediti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tabele. U ovom slučaju, jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, neko je odlučio upravljati osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tokom sedmice. Upisivanjem vremena u tabelu, dobiće niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi red tabele sadrži broj dana u sedmici, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedeljak Neko proveo 125 minuta na VKontakteu, odnosno u četvrtak - 248 minuta, a u petak samo 15.

2 . Slijed se može specificirati korištenjem formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza od njegovog broja izražava se direktno kao formula.

Na primjer, ako , onda

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa datim brojem, zamjenjujemo broj elementa u formulu za n-ti član.

Isto radimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Umjesto toga zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbi funkcije:

ako npr. , onda

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, samo prirodni broj može biti argument.

3 . Niz se može specificirati pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza sa brojem n o vrijednosti prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvog člana ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ovaj način sekvenciranja se zove ponavljajuća, od latinske riječi recurro- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj numeričkog niza.

Aritmetička progresija naziva se numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodanom istim brojem.


Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili nula.

Ako title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećanje.

Na primjer, 2; 5; osam; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je opadanje.

Na primjer, 2; -jedan; -četiri; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarno.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, i istovremeno

Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo:

.

Podijelite obje strane jednačine sa 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štaviše, pošto

, i istovremeno

, onda

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije počinje sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula th člana.

Vidimo da za članove aritmetičke progresije vrijede sljedeće relacije:

i na kraju

Imamo formula n-tog člana.

BITAN! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti u terminima i . Znajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbir n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji, sumi članova koji su jednako udaljeni od ekstremnih jednaki su jedni drugima:

Razmotrimo aritmetičku progresiju sa n članova. Neka je zbir n članova ove progresije jednak .

Rasporedite pojmove progresije prvo rastućim redoslijedom brojeva, a zatim opadajućim redoslijedom:

Hajde da ga uparimo:

Zbir u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobijamo:

dakle, zbir n članova aritmetičke progresije može se naći pomoću formula:

Razmislite rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dat formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Dobili smo da razlika dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Stoga je po definiciji ovaj niz aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 termin progresije.

b) Odredite da li je broj 41 uključen u ovu progresiju.

a) Vidimo to;

Zapišimo formulu za n-ti član za našu progresiju.

Uglavnom

U našem slučaju , zbog toga

Problemi aritmetičke progresije postoje od davnina. Pojavili su se i tražili rješenje, jer su imali praktičnu potrebu.

Dakle, u jednom od papirusa starog Egipta, koji ima matematički sadržaj - Rhindov papirus (XIX vek pne) - sadrži sledeći zadatak: podelite deset mera hleba na deset ljudi, pod uslovom da je razlika između svakog od njih jedna osmina mjere.

A u matematičkim radovima starih Grka postoje elegantne teoreme vezane za aritmetičku progresiju. Tako je Hipsikle iz Aleksandrije (2. vek, koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao četrnaestu knjigu Euklidovim „Elementima“), formulisao ideju: „U aritmetičkoj progresiji sa parnim brojem članova, zbir članova 2. pol. je veći od zbira članova 1. za kvadrat 1/2 članova.

Niz an je označen. Brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju slovima sa indeksima koji označavaju serijski broj ovog člana (a1, a2, a3 ... čitaju: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” i tako dalje).

Niz može biti beskonačan ili konačan.

Šta je aritmetička progresija? Podrazumijeva se da se dobije dodavanjem prethodnog člana (n) sa istim brojem d, što je razlika progresije.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda se smatra da se takva progresija povećava.

Za aritmetičku progresiju se kaže da je konačna ako se uzme u obzir samo nekoliko njenih prvih članova. Sa veoma velikim brojem članova, ovo je već beskonačan napredak.

Bilo koja aritmetička progresija data je sljedećom formulom:

an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.

Tvrdnja, koja je suprotna, apsolutno je tačna: ako je niz zadan sličnom formulom, onda je to upravo aritmetička progresija, koja ima svojstva:

  1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana.
  2. Suprotno: ako je, počevši od 2., svaki član aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg, tj. ako je uslov ispunjen, tada je dati niz aritmetička progresija. Ova jednakost je istovremeno i znak progresije, pa se obično naziva karakterističnim svojstvom progresije.
    Na isti način, tačna je teorema koja odražava ovo svojstvo: niz je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost istinita za bilo koji od članova niza, počevši od 2.

Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji neophodan (N-ti) član se može pronaći primjenom sljedeće formule:

Na primjer: prvi član (a1) u aritmetičkoj progresiji je dat i jednak je tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Morate pronaći četrdeset peti član ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vam omogućava da odredite n-ti član aritmetičke progresije kroz bilo koji njen k-ti član, pod uslovom da je poznat.

Zbir članova aritmetičke progresije (pod pretpostavkom da je 1. n članova konačne progresije) izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1+an) n/2.

Ako je i 1. član poznat, onda je druga formula pogodna za izračunavanje:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Zbir aritmetičke progresije koja sadrži n članova izračunava se na sljedeći način:

Izbor formula za proračun zavisi od uslova zadataka i početnih podataka.

Prirodni niz bilo kojih brojeva kao što su 1,2,3,...,n,... je najjednostavniji primjer aritmetičke progresije.

Pored aritmetičke progresije, postoji i geometrijska, koja ima svoja svojstva i karakteristike.


Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(osam\); \(jedanaest\); \(14\)… je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):

U ovoj progresiji, razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), i stoga je svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećanje.

Međutim, \(d\) može biti i negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(deset\); \(četiri\); \(-2\); \(-8\)… razlika u progresiji \(d\) je jednaka minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Zapis aritmetičke progresije

Progresija se označava malim latiničnim slovom.

Zovu se brojevi koji formiraju progresiju članovi(ili elemenata).

Označeni su istim slovom kao i aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) se sastoji od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\)

Rješavanje zadataka u aritmetičkoj progresiji

U principu, gore navedene informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema u aritmetičkoj progresiji (uključujući i one koje nudi OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Rješenje:

odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Prva tri člana aritmetičke progresije su data: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Rješenje:

Dati su nam prvi elementi niza i znamo da je to aritmetička progresija. Odnosno, svaki element se razlikuje od susjednog za isti broj. Saznajte koji oduzimanjem prethodnog od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\).

Sada možemo vratiti naš napredak na željeni (prvi negativni) element.

Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dato je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Rješenje:


Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razlika u progresiji. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\).

I sada bez problema nalazimo ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\).


Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data sledećim uslovima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Rješenje:

Moramo pronaći zbir prvih šest članova progresije. Ali ne znamo njihova značenja, dat nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti ​​​​, koristeći dato nam:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
I nakon što smo izračunali šest elemenata koji su nam potrebni, nalazimo njihov zbir.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Traženi iznos je pronađen.

odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Rješenje:

odgovor: \(d=7\).

Važne formule aritmetičke progresije

Kao što vidite, mnogi problemi aritmetičke progresije mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom (razlika progresije).

Međutim, ponekad postoje situacije kada je vrlo nezgodno riješiti "na čelo". Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već trista osamdeset šesti \(b_(386)\). Šta je to, mi \ (385 \) puta da saberemo četiri? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Brojanje je zbunjujuće...

Stoga se u takvim slučajevima ne rješavaju "na čelo", već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbir \(n\) prvih članova.

Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj potrebnog elementa;
\(a_n\) je član progresije s brojem \(n\).


Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo najmanje tristoti, čak i milioniti element, znajući samo prvi i progresivnu razliku.

Primjer. Aritmetička progresija je data uslovima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Rješenje:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbir prvih n članova je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je



\(a_n\) je posljednji zbrojeni pojam;


Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima \(a_n=3.4n-0.6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Rješenje:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Da bismo izračunali zbir prvih dvadeset pet elemenata, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana.
Naša progresija je data formulom n-og člana u zavisnosti od njegovog broja (vidi detalje). Izračunajmo prvi element zamjenom \(n\) sa jedan.

\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)

Sada pronađimo dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)

Pa, sada bez problema izračunavamo potrebnu količinu.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbir \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobijamo:

Formula za zbir prvih n članova je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je

\(S_n\) – traženi zbir \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) je prvi pojam koji se zbraja;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) - broj elemenata u zbroju.

Primjer. Pronađite zbir prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(četrnaest\)…
Rješenje:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve informacije koje su vam potrebne da riješite gotovo svaki problem aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem problema u kojima ne samo da treba primijeniti formule, već i malo razmisliti (u matematici ovo može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Pronađite zbir svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rješenje:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati na isti način: prvo pronađemo \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Sada bismo zamijenili \(d\) u formulu za zbir ... i ovdje se pojavljuje mala nijansa - ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko termina treba dodati. Kako to saznati? Hajde da razmislimo. Prestat ćemo sa dodavanjem elemenata kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. Odnosno, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračunavanje bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)

Trebamo da \(a_n\) bude veći od nule. Hajde da saznamo zbog čega će se to \(n\) dogoditi.

\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)

\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Obje strane nejednakosti dijelimo sa \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)

Prenosimo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove

\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)

Računanje...

\(n>65,333…\)

…i ispostavilo se da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Prema tome, posljednji negativ ima \(n=65\). Za svaki slučaj, hajde da proverimo.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)

Dakle, moramo dodati prve \(65\) elemente.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pronađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključujući.
Rješenje:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

U ovom zadatku također morate pronaći zbir elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Nemamo formulu za ovo. Kako odlučiti?
Lako - da biste dobili zbir od \(26\) do \(42\), prvo morate pronaći zbir od \(1\) do \(42\), a zatim od njega oduzeti zbroj od \(42\) prvi do \ (25 \) th (vidi sliku).


Za našu progresiju \(a_1=-33\), i razliku \(d=4\) (na kraju krajeva, prethodnom elementu dodajemo četiri da pronađemo sljedeći). Znajući ovo, nalazimo zbir prvih \(42\)-uh elemenata.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Sada zbir prvih \(25\)-tih elemenata.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

I konačno, izračunavamo odgovor.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmotrili u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Ili aritmetika - ovo je vrsta uređenog numeričkog niza, čija se svojstva proučavaju u školskom kursu algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije.

Šta je ovo napredovanje?

Prije nego što pređemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbir aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, lako možete vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da sljedeća jednakost vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Što je zbir aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, morate pronaći njihov zbir. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno sabrati sve elemente po redu.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedno je razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki pojam razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d = 1, tada će parno zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat . stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, ovih suma je samo 5, odnosno tačno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim pomnožite broj zbroja (5) sa rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generalizujemo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n, kao i ukupan broj članova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji mu je postavio učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbir elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom pasusu odgovara na pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije (prvih elemenata), ali je često u zadacima potrebno sabrati niz brojeva u sredini progresije. Kako uraditi?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbir članova od m-tog do n-og. Da bi se riješio problem, dati segment od m do n progresije treba predstaviti kao novi brojevni niz. U ovom predstavljanju, m-ti član a m će biti prvi, a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za sumu, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbir njegovih članova, počevši od 5. i završavajući sa 12.:

Dati brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 = 29.

Znajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, kao i znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom paragrafu. Nabavite:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbir prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbir prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .

Možda ćete biti zainteresovani