Jasno je da svaki događaj ima određeni stepen mogućnosti svog nastanka (svoje implementacije). Da bismo kvantitativno uporedili događaje jedni s drugima prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno svakom događaju povezati određeni broj, koji je veći, što je događaj mogući. Ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja.

Vjerovatnoća događaja- je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti nastanka ovog događaja.

Razmotrimo stohastički eksperiment i slučajni događaj A koji je uočen u ovom eksperimentu. Ponovimo ovaj eksperiment n puta i neka m(A) bude broj eksperimenata u kojima se dogodio događaj A.

Relacija (1.1)

pozvao relativna frekvencija događaj A u seriji eksperimenata.

Lako je provjeriti ispravnost svojstava:

ako su A i B nekompatibilni (AB= ), tada je ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Relativna frekvencija se određuje tek nakon serije eksperimenata i, općenito govoreći, može varirati od serije do serije. Međutim, iskustvo pokazuje da se u mnogim slučajevima, kako se broj eksperimenata povećava, relativna frekvencija približava određenom broju. Ova činjenica stabilnosti relativne frekvencije je više puta provjerena i može se smatrati eksperimentalno utvrđenom.

Primjer 1.19.. Ako bacite jedan novčić, niko ne može predvidjeti na koju će stranu pasti. Ali ako bacite dvije tone novčića, onda će svi reći da će oko jedne tone pasti kao grb, odnosno relativna učestalost pada grba je otprilike 0,5.

Ako, kako se broj eksperimenata povećava, relativna frekvencija događaja ν(A) teži nekom fiksnom broju, onda kažemo da događaj A je statistički stabilan, i ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja A.

Vjerovatnoća događaja ALI poziva se neki fiksni broj P(A) kojem teži relativna frekvencija ν(A) ovog događaja sa povećanjem broja eksperimenata, tj.

Ova definicija se zove statistička definicija vjerovatnoće .

Razmotrimo neki stohastički eksperiment i pustimo da se prostor njegovih elementarnih događaja sastoji od konačnog ili beskonačnog (ali prebrojivog) skupa elementarnih događaja ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . pretpostavimo da je svakom elementarnom događaju ω i dodeljen određeni broj - r i , koji karakteriše stepen mogućnosti pojave ovog elementarnog događaja i zadovoljava sledeća svojstva:

Takav broj p i se zove verovatnoća elementarnog događajaω i .

Sada neka je A slučajni događaj uočen u ovom eksperimentu, a određeni skup mu odgovara

U takvom okruženju verovatnoća događaja ALI naziva se zbir verovatnoća elementarnih događaja koji favorizuju A(uključeno u odgovarajući set A):

(1.4)

Ovako uvedena vjerovatnoća ima ista svojstva kao i relativna frekvencija, i to:

A ako AB \u003d (A i B su nekompatibilni),

onda P(A+B) = P(A) + P(B)

Zaista, prema (1.4)

U posljednjoj vezi, iskoristili smo činjenicu da nijedan elementarni događaj ne može istovremeno favorizirati dva nespojiva događaja.

Posebno napominjemo da teorija vjerovatnoće ne ukazuje na metode za određivanje p i, one se moraju tražiti iz praktičnih razmatranja ili dobiti iz odgovarajućeg statističkog eksperimenta.

Kao primjer, razmotrite klasičnu shemu teorije vjerovatnoće. Da biste to učinili, razmotrite stohastički eksperiment, čiji se prostor elementarnih događaja sastoji od konačnog (n) broja elemenata. Uzmimo dodatno da su svi ovi elementarni događaji jednako vjerovatni, odnosno da su vjerovatnoće elementarnih događaja p(ω i)=p i =p. Otuda to sledi

Primjer 1.20. Prilikom bacanja simetričnog novčića, grb i rep su podjednako mogući, njihove vjerovatnoće su 0,5.

Primjer 1.21. Kada se baci simetrična kocka, sva lica su jednako vjerovatna, njihove vjerovatnoće su 1/6.

Neka sada događaj A favorizuje m elementarnih događaja, oni se obično nazivaju ishodi koji favorizuju događaj A. Onda

Imam klasična definicija vjerovatnoće: vjerovatnoća P(A) događaja A jednaka je omjeru broja ishoda koji favorizuju događaj A i ukupnog broja ishoda

Primjer 1.22. Urna sadrži m bijelih i n crnih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?

Rješenje. Ukupno ima m+n elementarnih događaja. Svi su podjednako nevjerovatni. Povoljan događaj A od njih m. shodno tome, .

Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:

Nekretnina 1. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan.

Zaista, ako je događaj pouzdan, onda svaki elementarni ishod testa favorizira događaj. U ovom slučaju m=p, shodno tome,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Nekretnina 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan od elementarnih ishoda suđenja ne ide u prilog tom događaju. U ovom slučaju t= 0, dakle, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Nekretnina 3.Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Zaista, samo dio ukupnog broja elementarnih ishoda testa favorizira slučajni događaj. To jest, 0≤m≤n, što znači 0≤m/n≤1, dakle, vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava dvostruku nejednakost 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Upoređujući definicije vjerovatnoće (1.5) i relativne frekvencije (1.1), zaključujemo: definiciju vjerovatnoće ne zahtijeva testiranje u stvarnosti; definicija relativne frekvencije pretpostavlja da testovi su zaista obavljeni. Drugim riječima, vjerovatnoća se izračunava prije iskustva, a relativna učestalost - nakon iskustva.

Međutim, izračunavanje vjerovatnoće zahtijeva prethodne informacije o broju ili vjerovatnoćama elementarnih ishoda koji favorizuju dati događaj. U nedostatku takvih preliminarnih informacija, empirijski podaci se koriste za određivanje vjerovatnoće, odnosno relativna učestalost događaja se utvrđuje iz rezultata stohastičkog eksperimenta.

Primjer 1.23. Odjel tehničke kontrole otkriveno 3 nestandardni dijelovi u seriji od 80 nasumično odabranih dijelova. Relativna učestalost pojavljivanja nestandardnih dijelova r (A)= 3/80.

Primjer 1.24. Po namjeni.proizvedeno 24 pucao, a registrovano je 19 pogodaka. Relativna učestalost pogađanja mete. r (A)=19/24.

Dugoročna zapažanja su pokazala da ako se eksperimenti izvode pod istim uvjetima, u svakom od kojih je broj testova dovoljno velik, tada relativna frekvencija pokazuje svojstvo stabilnosti. Ova nekretnina je da se u raznim eksperimentima relativna frekvencija malo mijenja (što je manje, to se više testova radi), fluktuirajući oko određenog konstantnog broja. Pokazalo se da se ovaj konstantni broj može uzeti kao približna vrijednost vjerovatnoće.

Odnos između relativne frekvencije i vjerovatnoće će biti opisan detaljnije i preciznije u nastavku. Sada ćemo ilustrirati svojstvo stabilnosti primjerima.

Primjer 1.25. Prema švedskoj statistici, relativnu stopu nataliteta djevojčica 1935. godine po mjesecima karakterišu sljedeći brojevi (brojevi su raspoređeni po mjesecima, počevši od Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Relativna frekvencija fluktuira oko broja 0,481, što se može uzeti kao približna vrijednost za vjerovatnoću rađanja djevojčica.

Imajte na umu da statistike različitih zemalja daju približno istu vrijednost relativne učestalosti.

Primjer 1.26. Izvođeni su ponovljeni eksperimenti bacanjem novčića, u kojima se računao broj pojavljivanja "grba". Rezultati nekoliko eksperimenata prikazani su u tabeli.

Želite li znati koje su matematičke šanse da vaša opklada bude uspješna? Onda imamo dvije dobre vijesti za vas. Prvo: da biste izračunali prohodnost, ne morate vršiti složene proračune i trošiti puno vremena. Dovoljno je koristiti jednostavne formule za koje će vam trebati nekoliko minuta za rad. Drugo, nakon čitanja ovog članka, lako ćete moći izračunati vjerovatnoću da prođete bilo koju od vaših transakcija.

Da biste ispravno odredili prohodnost, morate poduzeti tri koraka:

• Izračunajte procenat vjerovatnoće ishoda nekog događaja prema kladioničarskoj kancelariji;
• Izračunajte sami vjerovatnoću iz statističkih podataka;
• Saznajte vrijednost opklade s obzirom na obje vjerovatnoće.

Razmotrimo detaljno svaki od koraka, koristeći ne samo formule, već i primjere.

Brzi prolaz

Izračunavanje vjerovatnoće ugrađene u kvote klađenja

Prvi korak je saznati s kojom vjerovatnoćom kladionica procjenjuje šanse za određeni ishod. Uostalom, jasno je da kladionice ne klade kvote tek tako. Za to koristimo sljedeću formulu:

PB=(1/K)*100%,

gdje je P B vjerovatnoća ishoda prema kladionici;

K - kladioničarske kvote na ishod.

Recimo da je kvota 4 za pobedu londonskog Arsenala u duelu protiv Bajerna.To znači da se verovatnoća njegove pobede KK smatra (1/4) * 100% = 25%. Ili Đoković igra protiv Juga. Množilac za Novakovu pobedu je 1,2, njegove šanse su jednake (1/1,2)*100%=83%.

Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i tima. Nakon što smo završili prvi korak, prelazimo na drugi.

Proračun vjerovatnoće događaja od strane igrača

Druga tačka našeg plana je naša vlastita procjena vjerovatnoće događaja. Budući da ne možemo matematički uzeti u obzir parametre kao što su motivacija, ton igre, koristit ćemo pojednostavljeni model i koristiti samo statistiku prethodnih susreta. Za izračunavanje statističke vjerovatnoće ishoda koristimo formulu:

PI\u003d (UM / M) * 100%,

gdjePI- vjerovatnoća događaja prema igraču;

UM - broj uspješnih utakmica u kojima se takav događaj održao;

M je ukupan broj utakmica.

Da bi bilo jasnije, navedimo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 mečeva. U 6 od njih zabilježeno je ukupno manje od 21 utakmice, u 8 - ukupno više. Potrebno je saznati vjerovatnoću da će se sljedeći meč odigrati za ukupno više: (8/14)*100=57%. Valensija je na Mestalli protiv Atletica odigrala 74 utakmice u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Verovatnoća pobede Valensije: (29/74)*100%=39%.

A to svi znamo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, takva vjerovatnoća se ne može izračunati za neki novi tim ili igrača, pa je ova strategija klađenja pogodna samo za utakmice u kojima se protivnici ne sastaju prvi put. Sada znamo kako odrediti klađenje i vlastite vjerovatnoće ishoda, i imamo sve znanje da pređemo na posljednji korak.

Određivanje vrijednosti opklade

Vrijednost (vrijednost) opklade i prolaznost su u direktnoj vezi: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:

V=PI*K-100%,

gdje je V vrijednost;

P I - vjerovatnoća ishoda prema boljem;

K - kladioničarske kvote na ishod.

Recimo da želimo da se kladimo da će Milan dobiti meč protiv Rome i izračunali smo da je verovatnoća pobede crveno-crnih 45%. Kladionica nam nudi koeficijent 2,5 za ovaj ishod. Da li bi takva opklada bila vredna? Izvodimo proračune: V = 45% * 2,5-100% = 12,5%. Odlično, imamo vrijednu opkladu sa dobrim šansama za prolaz.

Uzmimo drugi slučaj. Marija Šarapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo da se dogovorimo da Maria pobedi, što prema našim proračunima ima 60% verovatnoće. Kladionice nude množitelj od 1,5 za ovaj ishod. Odredite vrijednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kao što vidite, ova opklada nema nikakvu vrijednost i treba je suzdržati.

Znajući da se vjerovatnoća može izmjeriti, pokušajmo je izraziti brojevima. Postoje tri moguća puta.

Rice. 1.1. Measuring Probability

VEROVATNOĆA ODREĐENA SIMETRIJOM

Postoje situacije u kojima su mogući ishodi jednako vjerovatni. Na primjer, kada se novčić baci jednom, ako je novčić standardan, vjerovatnoća dobijanja grla ili repa je ista, tj. P(glave) = P(repove). Pošto su moguća samo dva ishoda, onda je P(glava) + P(repova) = 1, dakle P(glava) = P(repova) = 0,5.

U eksperimentima u kojima ishodi imaju jednake šanse za nastanak, vjerovatnoća događaja E, P(E) je:

Primjer 1.1. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerovatnoća dvije glave i jednog repa?

Za početak, hajde da pronađemo sve moguće ishode: Da bismo bili sigurni da smo pronašli sve moguće opcije, koristićemo dijagram stabla (pogledajte Poglavlje 1, odeljak 1.3.1).

Dakle, postoji 8 jednako vjerovatnih ishoda, pa je vjerovatnoća za njih 1/8. Događaj E - dva "orla" i "repa" - bila su tri. Zbog toga:

Primjer 1.2. Standardna kocka se baca dvaput. Kolika je vjerovatnoća da je zbir bodova 9 ili više?

Hajde da pronađemo sve moguće ishode.

Tabela 1.2. Ukupan broj bodova dobijen bacanjem kocke dva puta

Dakle, u 10 od 36 mogućih ishoda, zbir bodova je 9, odnosno:

EMPIRIJSKI UTVRĐENA VEROVATNOĆA

Primjer sa novčićem iz tabele. 1.1 jasno ilustruje mehanizam za određivanje vjerovatnoća.

Uz ukupan broj eksperimenata od kojih su uspješni, vjerovatnoća željenog rezultata izračunava se na sljedeći način:

Omjer je relativna učestalost pojavljivanja određenog rezultata u dovoljno dugom eksperimentu. Vjerovatnoća se izračunava ili na osnovu podataka eksperimenta, na osnovu podataka iz prošlosti.

Primjer 1.3. Od pet stotina testiranih električnih lampi, 415 je radilo više od 1000 sati. Na osnovu podataka ovog eksperimenta može se zaključiti da je vjerovatnoća normalnog rada lampe ovog tipa duže od 1000 sati:

Bilješka. Kontrola je destruktivna, tako da se sve lampe ne mogu testirati. Kada bi se testirala samo jedna lampa, tada bi vjerovatnoća bila 1 ili 0 (tj. da li će moći da radi 1000 sati ili ne). Stoga je potrebno ponoviti eksperiment.

Primjer 1.4. U tabeli. 1.3 prikazuje podatke o iskustvu muškaraca koji rade u kompaniji:

Tabela 1.3. Muško radno iskustvo

Kolika je vjerovatnoća da će sljedeća osoba koju zaposli firma raditi najmanje dvije godine?

Rješenje.

Tabela pokazuje da je 38 od 100 zaposlenih u kompaniji duže od dvije godine. Empirijska vjerovatnoća da će sljedeći zaposlenik ostati u kompaniji duže od dvije godine je:

Istovremeno, pretpostavljamo da je novi zaposlenik „tipičan, a uslovi rada nepromijenjeni.

SUBJEKTIVNA PROCJENA VEROVATNOĆE

U poslovanju se često dešavaju situacije u kojima nema simetrije, a nema ni eksperimentalnih podataka. Stoga je određivanje vjerovatnoće povoljnog ishoda pod uticajem pogleda i iskustva istraživača subjektivno.

Primjer 1.5.

1. Investicioni stručnjak smatra da je vjerovatnoća ostvarivanja dobiti tokom prve dvije godine 0,6.

2. Prognoza marketing menadžera: vjerovatnoća prodaje 1000 jedinica proizvoda u prvom mjesecu nakon njegovog izlaska na tržište je 0,4.

• Vjerovatnoća - stepen (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim. Prevlast pozitivnih osnova nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitom stepenu, zbog čega je vjerovatnoća (i nevjerovatnost) veća ili manja. Stoga se vjerovatnoća često procjenjuje na kvalitativnom nivou, posebno u slučajevima kada je manje ili više tačna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije "nivoa" vjerovatnoće.

  Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta je posebna disciplina - teorija vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, koncept vjerovatnoće je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerovatnoće (ili njegova vrijednost) - mjera skupa događaja (podskupova skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti ​od

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Značenje

  (\displaystyle 1)

  Odgovara važećem događaju. Nemogući događaj ima vjerovatnoću 0 (obrnuto općenito nije uvijek tačno). Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi

  (\displaystyle p)

  Tada je vjerovatnoća da se ne pojavi jednaka

  (\displaystyle 1-p)

  Konkretno, vjerovatnoća

  (\displaystyle 1/2)

  Označava jednaku vjerovatnoću nastanka i nenastupanja događaja.

  Klasična definicija vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednake vjerovatnoće ishoda. Vjerovatnoća je omjer broja ishoda koji favorizuju dati događaj i ukupnog broja jednako vjerovatnih ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja glave ili repa pri nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da će se pojaviti samo ove dvije mogućnosti i da su jednako vjerovatne. Ova klasična „definicija“ vjerovatnoće može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti – na primjer, ako se događaj može dogoditi s jednakom vjerovatnoćom u bilo kojoj tački (broj tačaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostor (ravan), tada je vjerovatnoća da će se to dogoditi u nekom dijelu ove dopuštene površine jednaka omjeru zapremine (površine) ovog dijela prema zapremini (površini) površine svih mogućih tačaka .

  Empirijska "definicija" vjerovatnoće se odnosi na učestalost pojave događaja, na osnovu činjenice da kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost treba težiti objektivnom stepenu mogućnosti ovog događaja. U savremenom prikazu teorije vjerovatnoće, vjerovatnoća se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. Ipak, veza između apstraktne mjere i vjerovatnoće, koja izražava stepen mogućnosti nekog događaja, jeste upravo učestalost njegovog posmatranja.

  Probabilistički opis određenih pojava je postao široko rasprostranjen u savremenoj nauci, posebno u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sistema, gde je čak iu slučaju klasičnog determinističkog opisa kretanja čestica, deterministički opis čitavog sistema čestica nije praktično moguće i prikladno. U kvantnoj fizici, sami opisani procesi su vjerovatnoće prirode.

U privredi, kao iu drugim oblastima ljudskog djelovanja ili u prirodi, stalno se suočavamo sa događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obim prodaje robe zavisi od potražnje, koja može značajno da varira, i od niza drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga se u organizaciji proizvodnje i prodaje ishod takvih aktivnosti mora predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se također u velikoj mjeri zasniva na eksperimentalnim podacima.

Da bi se na neki način vrednovao događaj koji se razmatra, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično ako se, kao rezultat eksperimenta, može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavi kao rezultat ovog iskustva, i nemoguće ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati određenim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatnoće je problem određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.

suma događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

rad događaji se nazivaju događaji koji se sastoje od istovremenog nastupa svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji u pojavi dvije robe u isto vrijeme u prodavnici je proizvod događaja: - pojavljivanja jednog proizvoda, - pojavljivanja drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih nužno javlja u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za brodove. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo plovila na vezovima, - prisustvo jednog plovila na jednom od vezova, - prisustvo dva plovila na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji su suprotni označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Prema broju bodova na stranama može biti šest elementarnih ishoda.

Od elementarnih ishoda možete sastaviti složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka događaja koji se razmatra je vjerovatnoća.

Dvije definicije vjerovatnoće događaja se najčešće koriste: klasična i statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je sa pojmom povoljnog ishoda.

Egzodus se zove povoljno ovaj događaj, ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U datom primjeru, događaj koji se razmatra je paran broj bodova na oborenoj ivici, ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. Dakle, ovdje možete koristiti klasičnu definiciju vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja, broj povoljnih ishoda za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se po formuli

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizuje (uspostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja uzima se kao vjerovatnoća događaja.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja može se vidjeti da nejednakost uvijek vrijedi

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), kombinatoričke formule se često koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.