Prenoseći ove nejednakosti do granice kao Δ x→ 0 i uzimajući u obzir da je izvod f "(x 0) postoji, pa stoga granica na lijevoj strani ne ovisi o tome kako Δ x→ 0, dobijamo: za Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 i na Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Pošto f"(x 0) definira broj, onda su ove dvije nejednakosti kompatibilne samo ako f"(x 0) = 0.

Dokazana teorema kaže da maksimum i minimum točke mogu biti samo među onim vrijednostima argumenta za koje derivacija nestaje.

Razmotrili smo slučaj kada funkcija ima derivaciju u svim tačkama određenog segmenta. Šta se dešava kada izvod ne postoji? Razmotrite primjere.

Primjeri.

1. y=|x|.

   Funkcija nema izvod u tački x=0 (u ovom trenutku graf funkcije nema definitivnu tangentu), ali u ovom trenutku funkcija ima minimum, jer y(0)=0, i za sve x≠ 0y > 0.



Funkcija nema izvod at x=0, pošto ide u beskonačnost kada x=0. Ali u ovom trenutku funkcija ima maksimum.



Funkcija nema izvod at x=0 jer at x→0. U ovom trenutku funkcija nema ni maksimum ni minimum. stvarno, f(x)=0 i at x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.



Dakle, iz datih primera i formulisane teoreme jasno je da funkcija može imati ekstrem samo u dva slučaja: 1) u tačkama gde izvod postoji i jednak je nuli; 2) u tački u kojoj izvod ne postoji.

Međutim, ako u nekom trenutku x 0 mi to znamo f"(x 0 ) =0, onda se iz ovoga ne može zaključiti da je u tački x 0 funkcija ima ekstrem.

Na primjer. .



Ali poenta x=0 nije tačka ekstrema, jer se lijevo od ove tačke vrijednosti funkcije nalaze ispod ose Ox, i iznad desno.

Vrijednosti argumenta iz domene funkcije, za koje derivacija funkcije nestaje ili ne postoji, nazivaju se kritične tačke.




Iz prethodnog proizilazi da su tačke ekstrema funkcije među kritičnim tačkama, ali, međutim, nije svaka kritična tačka tačka ekstrema. Stoga, da biste pronašli ekstremu funkcije, morate pronaći sve kritične točke funkcije, a zatim ispitati svaku od ovih tačaka zasebno za maksimum i minimum. Za to služi sljedeća teorema.

Teorema 2. (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma.) Neka je funkcija kontinuirana na nekom intervalu koji sadrži kritičnu tačku x 0 , i diferencibilan je u svim tačkama ovog intervala (osim, možda, same tačke x 0). Ako pri prolasku s lijeva na desno kroz ovu tačku derivacija promijeni predznak sa plusa na minus, tada u tački x = x 0 funkcija ima maksimum. Ako, prilikom prolaska x 0 s lijeva na desno, derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, tada funkcija ima minimum u ovoj tački.

Dakle, ako

Dokaz. Pretpostavimo prvo da kada prolazimo x 0, derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, tj. za sve x blizu tačke x 0 f "(x)> 0 for x< x 0 , f"(x)< 0 for x > x 0 . Primijenimo Lagrangeov teorem na razliku f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), gdje c leži između x i x 0 .

1. Neka x< x 0 . Onda c< x 0 i f "(c)> 0. Zbog toga f "(c)(x-x 0)< 0 i, prema tome,

   f(x) - f(x 0 )< 0, tj. f(x)< f(x 0 ).

2. Neka x > x 0 . Onda c> x 0 i f"(c)< 0. Sredstva f "(c)(x-x 0)< 0. Zbog toga f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Dakle, za sve vrijednosti x dovoljno blizu x 0 f(x)< f(x 0 ) . A to znači da u ovom trenutku x 0 funkcija ima maksimum.

Slično se dokazuje i drugi dio minimalne teoreme.



Ilustrujmo značenje ove teoreme na slici. Neka f"(x 1 ) =0 i za bilo koje x, dovoljno blizu x 1, nejednakosti

f"(x)< 0 at x< x 1 , f "(x)> 0 at x > x 1 .

Zatim lijevo od tačke x 1 funkcija raste, a desno opada, dakle, kada x = x 1 funkcija ide od povećanja ka opadajućoj, odnosno ima maksimum.

Slično, mogu se razmotriti tačke x 2 i x 3 .


Šematski se sve navedeno može prikazati na slici:

Pravilo za proučavanje funkcije y=f(x) za ekstrem

1. Pronađite opseg funkcije f(x).
2. Pronađite prvi izvod funkcije f"(x).
3. Odredite kritične tačke, za ovo:
   1. pronađite prave korijene jednačine f"(x)=0;
   2. pronađite sve vrijednosti x pod kojim derivat f"(x) ne postoji.
4. Odredite predznak derivacije lijevo i desno od kritične tačke. Pošto predznak izvoda ostaje konstantan između dvije kritične tačke, dovoljno je odrediti predznak izvoda u bilo kojoj tački lijevo i u jednoj tački desno od kritične tačke.
5. Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama ekstrema.

Primjeri. Istražite funkcije za minimum i maksimum.




NAJVEĆE I MINIMALNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE NA PRESETKU

najveći vrijednost funkcije na segmentu je najveća od svih njenih vrijednosti na ovom segmentu, i najmanje je najmanja od svih njegovih vrijednosti.

Razmotrite funkciju y=f(x) kontinuirano na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti, bilo na granici segmenta, bilo unutar njega. Ako je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije dostignuta u unutrašnjoj tački segmenta, tada je ta vrijednost maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije, odnosno dostiže se u kritičnim tačkama.

Tako dobijamo sledeće pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu [ a, b] :

1. Pronađite sve kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b) i izračunajte vrijednosti funkcije u tim točkama.
2. Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta za x=a, x=b.
3. Od svih dobijenih vrijednosti odaberite najveću i najmanju.

Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i važan dio drugih zadataka, posebno, studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o izvodu, što toplo preporučujem za preliminarnu studiju (ili ponavljanje)- također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suština derivatašto je skladan nastavak ovog članka. Mada, ako vrijeme ističe, onda je moguća i čisto formalna razrada primjera današnje lekcije.

I danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju koristeći derivat. Stoga se razumna dobra vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vaših monitora.

Zašto? Jedan od najpraktičnijih razloga je: da vam bude jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Za svaki slučaj, odmah ćemo se riješiti mogućih iluzija, posebno za one čitatelje koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnosti predznaka funkcije. Sada mi NEZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje prelazi os). Za uvjerljivost, mentalno obrišite osi i ostavite jedan grafikon. Jer interes je u tome.

Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. To jest, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Demo funkcija raste u intervalu .

Isto tako, funkcija opadajući na intervalu ako za bilo koje dvije točke danog intervala, tako da je , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija se smanjuje tokom intervala .

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u intervalu, onda se ona poziva strogo monotono na ovom intervalu. Šta je monotonost? Shvatite to doslovno - monotonija.

Također je moguće definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Funkcija koja se ne opada ili ne raste na intervalu naziva se monotonom funkcijom na datom intervalu (stroga monotonost je poseban slučaj "samo" monotonosti).

Teorija također razmatra i druge pristupe određivanju povećanja / smanjenja funkcije, uključujući polu-intervali, segmente, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, pristajemo da radimo s otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije i sasvim dovoljno za rješavanje mnogih praktičnih problema.

Na ovaj način, u mojim člancima, formulacija “monotonost funkcije” će se gotovo uvijek sakriti intervalima stroga monotonija(strogo povećanje ili strogo smanjenje funkcije).

Point susjedstvo. Riječi nakon kojih se učenici razbacuju gdje god mogu, i užasnuto se skrivaju po uglovima. …Iako nakon objave Cauchy granice vjerovatno se više ne kriju, već se samo lagano zadrhte =) Ne brinite, sada neće biti dokaza o teoremama matematičke analize - trebao mi je susjedstvo da rigoroznije formuliram definicije ekstremne tačke. pamtimo:

Neighbourhood point imenuje interval koji sadrži datu tačku, dok se radi pogodnosti često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:

U osnovi definicije:

Tačka se zove stroga maksimalna tačka, ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost ispunjena. U našem konkretnom primjeru, ovo je poenta.

Tačka se zove stroga minimalna tačka, ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost ispunjena. Na crtežu - tačka "a".

Bilješka : zahtjev da susjedstvo bude simetrično uopće nije potrebno. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (iako sićušno, čak i mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uslove

Tačke se zovu tačke strogog ekstrema ili jednostavno ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.

Kako razumjeti riječ "ekstremum"? Da, direktno kao i monotonija. Ekstremne tačke rolerkostera.

Kao iu slučaju monotonosti, u teoriji postoje i još češći nestrogi postulati (pod koje, naravno, spadaju smatrani strogi slučajevi!):

Tačka se zove maksimalni poen, ako postoji njegovu okolinu, tako da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, ako postoji njegovu okolinu, tako da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.

Imajte na umu da se prema posljednje dvije definicije, svaka tačka konstantne funkcije (ili „ravno područje“ neke funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, te argumente prepuštamo teoretičarima, jer u praksi gotovo uvijek razmišljamo o tradicionalnim "brdima" i "udubinama" (vidi crtež) sa jedinstvenim "kraljem brda" ili "močvarnom princezom". Kao varijanta, javlja se tačka, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u točki .

Oh, i kad smo kod kraljevske porodice:
- značenje se zove maksimum funkcije;
- značenje se zove minimum funkcije.

Uobičajeno ime - ekstremi funkcije.

Molimo budite oprezni sa svojim riječima!

ekstremne tačke su "x" vrijednosti.
Ekstremi- vrijednosti "igre".

! Bilješka : ponekad se navedeni pojmovi odnose na tačke "x-y" koje leže direktno na GRAFIKU funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, … itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačan broj minimuma i maksimuma.

BITAN! Izraz "maksimalna funkcija" nije identično izraz "maksimalna vrijednost funkcije". Lako je uočiti da je vrijednost maksimalna samo u ovdašnjoj četvrti, a u gornjem lijevom kutu su „naglo drugovi“. Isto tako, "minimalna funkcija" nije isto što i "minimalna vrijednost funkcije", a na crtežu možemo vidjeti da je vrijednost minimalna samo na određenom području. U tom smislu se nazivaju i ekstremne tačke lokalne ekstremne tačke, i ekstremi lokalni ekstremi. Oni šetaju i lutaju okolo i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi "lokalni" / "globalni" ne bi trebali biti iznenađeni.

Sumirajmo našu kratku digresiju u teoriju uz kontrolni snimak: šta podrazumijeva zadatak „pronaći intervale monotonosti i ekstremne tačke funkcije“?

Formulacija traži da se pronađe:

- intervali povećanja / smanjenja funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuju mnogo rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako ih ima). Pa, bolje je pronaći minimume/maksimume iz neuspjeha ;-)

Kako sve ovo definisati? Uz pomoć derivacijske funkcije!

Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
ekstremne tačke i ekstremumi funkcije?

Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena lekcija o značenju izvedenice.

Tangentni derivat nosi dobre vijesti da se funkcija sve više povećava domene.

Sa kotangensom i njegovim derivatom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste na intervalu - izvod je ovdje pozitivan: .
Za , funkcija je definirana, ali nije diferencibilna. Međutim, u kritičnoj tački postoje desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici njihovi lijevi parnjaci.

Mislim da vam neće biti teško izvesti slično rezoniranje za arc kosinus i njegovu derivaciju.

Svi ovi slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz definicije derivata.

Zašto istraživati ​​funkciju s derivatom?

Da biste dobili bolju predstavu o tome kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide "odozdo prema gore", gdje ide "od vrha prema dolje", gdje dostiže najniže razine (ako uopće). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva generalno nemamo ni najmanju ideju o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da pređemo na značajnije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Pronađite intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije

Rješenje:

1) Prvi korak je pronaći opseg funkcije, a također zabilježite tačke prekida (ako postoje). U ovom slučaju, funkcija je kontinuirana na cijeloj realnoj liniji, a ova radnja je donekle formalna. Ali u nekim slučajevima ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se prema paragrafu odnosimo bez zanemarivanja.

2) Druga tačka algoritma je dospjela

neophodan uslov za ekstrem:

Ako u tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.

Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije "modulo x" .

uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u točki . Klasičan primjer je već osvijetljen iznad - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.

Ali kako god bilo, neophodni uslov za ekstrem diktira potrebu za pronalaženjem sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : "... uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ... Dakle, rješenje naše jednadžbe: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole ...". Sada, mislim da je svima jasno zašto je vrh parabole upravo u ovoj tački =) Uopšteno govoreći, ovdje bi trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivirajuća funkcija. Pa da podignemo nivo:

Primjer 2

Pronađite intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i približan završni uzorak problema na kraju lekcije.

Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcionim racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju koristeći prvi izvod

Obratite pažnju na to kako se varijantno može preformulisati jedan te isti zadatak.

Rješenje:

1) Funkcija trpi beskonačne prekide u točkama .

2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom:

Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je nula kada mu je brojilac nula:

Tako dobijamo tri kritične tačke:

3) Odvojite SVE otkrivene tačke na brojevnoj pravoj i intervalna metoda definisati predznake DERIVATA:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku intervala, izračunati vrijednost derivacije u njoj i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procenjivati“. Uzmite, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršite zamjenu: .

Dva "plusa" i jedan "minus" daju "minus", dakle, što znači da je izvod negativan na cijelom intervalu.

Akcija, kao što razumijete, mora se izvesti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku bilo kojeg intervala, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za i smanjuje se za . Pogodno je pričvrstiti intervale iste vrste pomoću ikone spoja.

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dostigne svoj minimum:

Razmislite zašto ne možete preračunati drugu vrijednost ;-)

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMA - i smanjila se i ostala u opadanju.

! Ponovimo jednu važnu tačku: tačke se ne smatraju kritičnim - one imaju funkciju nije utvrđeno. Shodno tome, evo ekstremumi u principu ne mogu biti(čak i ako derivacija promijeni predznak).

Odgovori: funkcija se povećava za i opada na U tački kada je dostignut maksimum funkcije: , a u tački - minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju o izgledu grafa funkcije. Prosječna osoba može verbalno utvrditi da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo naseg heroja:

Pokušajte ponovo povezati rezultate studije sa grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji krivulja(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

... samo neka vrsta praznika X-u-a-cube ispada danas ....
Jaooo, ko je tamo u galeriji ponudio piće za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.

Funkcije, uopće nije potrebno znati o prisutnosti prve i druge izvedenice i razumjeti njihovo fizičko značenje. Prvo morate razumjeti sljedeće:

• ekstremi funkcije maksimiziraju ili, obrnuto, minimiziraju vrijednost funkcije u proizvoljno malom susjedstvu;
• u tački ekstrema ne bi trebalo biti diskontinuiteta funkcije.

A sada ista stvar, samo jednostavnim riječima. Pogledajte vrh hemijske olovke. Ako je olovka postavljena okomito, s krajem za pisanje prema gore, tada će sama sredina kuglice biti krajnja tačka - najviša tačka. U ovom slučaju govorimo o maksimumu. Sada, ako okrenete olovku s krajem za pisanje prema dolje, tada će na sredini lopte već biti minimum funkcije. Uz pomoć ovdje date slike, možete zamisliti navedene manipulacije za olovku za papir. Dakle, ekstremi funkcije su uvijek kritične tačke: njeni maksimumi ili minimumi. Susedni deo grafikona može biti proizvoljno oštar ili gladak, ali mora postojati sa obe strane, samo u ovom slučaju tačka je ekstrem. Ako je grafikon prisutan samo na jednoj strani, ova tačka neće biti ekstrem čak i ako su uslovi ekstrema ispunjeni na jednoj od njegovih strana. Proučimo sada ekstreme funkcije sa naučne tačke gledišta. Da bi se tačka smatrala ekstremom, potrebno je i dovoljno da:

• prvi izvod je bio jednak nuli ili nije postojao u tački;
• prvi izvod mijenja predznak u ovoj tački.

Uslov se tumači nešto drugačije sa stanovišta derivacija višeg reda: za funkciju diferencibilnu u nekoj tački, dovoljno je da postoji izvod neparnog reda koji nije jednak nuli, dok svi derivati ​​nižeg reda moraju postojati i biti jednaka nuli. Ovo je najjednostavnije tumačenje teorema iz udžbenika, ali za najobičnije ljude, vrijedi objasniti ovu tačku na primjeru. Osnova je obična parabola. Odmah rezervišite, na nultoj tački ima minimum. Samo malo matematike:

• prvi izvod (X 2) | = 2X, za nultu tačku 2X = 0;
• drugi izvod (2X) | = 2, za nultu tačku 2 = 2.

Na tako jednostavan način ilustrirani su uvjeti koji određuju ekstreme funkcije kako za izvode prvog reda tako i za derivate višeg reda. Ovome se može dodati da je drugi izvod upravo isti izvod neparnog reda, nejednak nuli, što je spomenuto malo više. Kada su u pitanju ekstremi funkcije dvije varijable, uvjeti moraju biti ispunjeni za oba argumenta. Kada dođe do generalizacije, tada u igru ​​dolaze parcijalni derivati. Odnosno, neophodno je da postoji ekstremum u tački da su oba izvoda prvog reda jednaka nuli, ili da barem jedan od njih ne postoji. Za dovoljnost prisustva ekstrema istražuje se izraz, koji je razlika između umnoška izvoda drugog reda i kvadrata mješovitog izvoda drugog reda funkcije. Ako je ovaj izraz veći od nule, onda postoji ekstremum, a ako postoji jednakost sa nulom, onda pitanje ostaje otvoreno i potrebno je dodatno istraživanje.