Zadatak № 1 (1).
Stanje:
Opcija 1. P 6 , P 8 , A 6 2 , A 8 5 , C 6 2 , C 8 5 .
Rješenje:
P6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 P 8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320
6 5 = 30 == 8 7 6 = 336
15 = = = 56
Zadatak № 2 (2) .
Stanje:
U kutiji je nasumično 10 majica, od kojih su 4 premium. Kupac nasumce uzima 3 komada. Pronađite vjerovatnoću da je barem 1 majica najvišeg kvaliteta.
Rješenje:
Metoda 1:
A - događaj uzimanja 1 majice najvišeg kvaliteta
B - događaj uzimanja 2 majice najvišeg razreda
C - događaj uzimanja 3 majice najvišeg razreda
R - događaj uzimanja najmanje jedne majice najvišeg razreda
P(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =
2 način:
A - događaj uzimanja najmanje jedne majice najvišeg razreda
Nije uzeta nijedna majica vrhunskog kvaliteta
P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()
P() = = = P(A) = 1 - =
Zadatak № 3 (1) .
Stanje:
Postoje 3 serije delova sa po 30 delova. Broj standardnih dijelova u prvoj seriji je 30, u drugoj - 20, u trećoj - 15. Dio koji se pokazao kao standardni se nasumično uklanja iz nasumično odabrane serije. Stavka se vraća u seriju i ponovo se vadi iz iste serije, što se takođe pokazalo standardnim. Pronađite vjerovatnoću da su dijelovi uzeti iz treće serije.
Rješenje:
A je standardni događaj ekstrakcije dijela u svakom od dva testa
B 1 - dijelovi su uklonjeni iz prve serije
B 2 - dijelovi su uklonjeni iz druge serije
B 3 - dijelovi su uklonjeni iz treće serije
Pošto su dijelovi uzeti iz nasumično uzete serije, onda je P(B1) = P(B2) = P(B3) =
(A) \u003d 1 - vjerojatnost vađenja standardnih dijelova iz 1 serije
(A) = = - vjerovatnoća izdvajanja standardnih dijelova iz serije 2
(A) = = - vjerovatnoća izdvajanja standardnih dijelova iz serije 3
P A (B 3) = == =
Zadatak № 4 (3) .
Stanje:
Odeljenje tehničke kontrole proverava standardnost 1000 delova. Vjerovatnoća da je dio standardan je 0,9. Pronađite sa vjerovatnoćom od 0,95 granice koje će sadržavati m standardni dijelovi među testiranim.
Rješenje:
P = 0,9 - vjerovatnoća da je dio standardan
q = 1-P = 0,1 - vjerovatnoća da je dio nestandardan
Verovatnoća da apsolutna vrijednost odstupanje relativne frekvencije standardnih dijelova od broja P neće premašiti pozitivan broj?, određuje se iz udvostručene Laplaceove formule:
F(105?) = =0,475
Prema tabeli vrijednosti funkcije F(h), nalazimo da je x = 1,96. Odakle je 105? = 1,96 znači? ? 0,0186.
Dakle, granice unutar kojih će biti zaključene m standardnim dijelovima među testiranim, zadovoljava jednakost:
0,0186 ili 0,8814??0,9186
Dakle, željeni broj standardnih delova među 1000 testiranih delova sa verovatnoćom Q = 0,95 nalazi se unutar granica
881?m?917
Zadatak № 5 (4).
Stanje:
Ekonomista smatra da je vjerovatnoća rasta vrijednosti akcija kompanije u sljedeće godine biće 0,8 ako je ekonomija zemlje u usponu, a 0,25 ako se privreda ne razvija uspješno. Vjerovatnoća ekonomskog oporavka je, prema procjenama stručnjaka, 0,55. Procijenite vjerovatnoću da će dionice kompanije porasti sljedeće godine.
Rješenje:
A - događaj da će dionice kompanije porasti sljedeće godine
H 1 - događaj da će privreda zemlje biti u usponu
H 2 - događaj da se privreda zemlje neće uspješno razvijati
Događaji H 1 i H 2 čine kompletnu grupu događaja. jer:
P(H 1) = 0,55 - vjerovatnoća da će privreda zemlje biti u usponu
P(H 2) = 0,45 - vjerovatnoća da se privreda zemlje neće uspješno razvijati
0,8 - vjerovatnoća rasta dionica uz uspon ekonomije zemlje
0,25 - vjerovatnoća rasta dionica u slučaju neuspješnog razvoja ekonomije zemlje
Prema formuli ukupne vjerovatnoće dobijamo:
P(A) = P(H 1) + P(H 2) = 0,8 0,55+0,25 0,45 = 0,44+0,1125 = 0,5525
Zadatak № 6 (5).
Stanje:
Investitor je uložio u hartije od vrijednosti dvije finansijske kompanije. Istovremeno, on se nada da će dobiti prihod u predviđenom roku od prve firme sa verovatnoćom od 0,88, od druge - sa verovatnoćom od 0,85. Međutim, postoji mogućnost bankrota firmi nezavisno jedna od druge, što je za prvu firmu procenjeno sa verovatnoćom od 0,16, za drugu - 0,018. U slučaju stečaja, investitor dobija samo uloženi kapital. Kolika je vjerovatnoća ostvarivanja profita?
ocjena stepena vrijednosti vjerovatnoće
Rješenje:
A - događaj da investitor dobije profit
B 1 - slučaj stečaja prve firme
B 2 - slučaj stečaja druge firme
C 1 \u003d B 1 - stečajni slučaj samo prve firme
C 2 \u003d B 2 - slučaj stečaja samo druge firme
C 3 \u003d B 1 B 2 - slučaj bankrota obje firme
C 4 = - događaj rada obje firme
R(V 1) = 0,16 - vjerovatnoća bankrota prve firme
R(V 2) = 0,018 - vjerovatnoća bankrota druge firme
P C1 (A) \u003d 0,85 - vjerovatnoća ostvarivanja dobiti ako samo prva kompanija ode u stečaj
R S 2 (A) = 0,88 - vjerovatnoća ostvarivanja dobiti u slučaju bankrota samo druge firme
P C 3 (A) \u003d 0 - vjerovatnoća ostvarivanja profita ako obje firme bankrotiraju
P C4 (A) \u003d 1 - vjerovatnoća ostvarivanja profita kada obje firme rade
R(S 1) = 0,16 0,982 = 0,1571 - vjerovatnoća bankrota prve firme
R(S 2) = 0,84 0,018 = 0,0151 - vjerovatnoća bankrota druge firme
R(S 3) = 0,16 0,018 = 0,0029 - vjerovatnoća bankrota obje firme
R(S 4) = 0,84 0,982 = 0,8223 - vjerovatnoća da dvije firme rade
Tada, prema formuli ukupne vjerovatnoće, dobijamo:
P(A) = P C1 (A) P(C 1)+ P C2 (A) P(C 2)+ P C3 (A) P(C 3)+ P C4 (A) P(C 4) =
0.85 0.1571+0.88 0.0151+0 0.0029+1 0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691
Zadatak № 7 (1).
Stanje:
Verovatnoća pobede srećka jednako 0,04. Kolika je vjerovatnoća da od 15 kupljenih ulaznica budu 3 dobitne?
Rješenje:
Potrebno je pronaći vjerovatnoću n=3 uspjeha iz N=15 Bernoullijevih pokušaja sa vjerovatnoćom uspjeha p=0,04. Prema Bernoullijevoj formuli, ova vjerovatnoća je jednaka:
P 15 (3) = = 0,04 3 0,96 12 =455 0,000064 0,613=0,018
Zadatak № 8 (6).
Stanje:
Vjerovatnoća bankrota jedne od 9 firmi do kraja godine je 0,24. Kolika je vjerovatnoća da do kraja godine ne propadne više od 3 firme?
P(n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P 9 (0)+P 9 (1)+P 9 (2)+P 9 (3) =
1 0.0846+ 0.24 0.1113+ 0.0576 0.1465+ 0.138 0.01927 =
0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847
Zadatak № 9 (1).
Stanje:
Trenutna cijena hartije od vrijednosti je normalno raspoređena vrijednost X sa srednjom vrijednosti =55 i varijansom D X =4. Naći vjerovatnoću da će cijena neke imovine biti u rasponu od X 1 =53 do X 2 =57 den. jedinice.
Rješenje:
Od M(X) ? =55, ? = = 2, dakle
P(53 Zadatak
№
1
0 (7).
Stanje: Ukupan prihod 10 firmi je u prosjeku S=11000. U 80% slučajeva ovaj prihod ne odstupa od prosjeka za najviše ?S = 500. Nađite vjerovatnoću da sljedeći mjesečni prihod bude između 1000 i 10000. Rješenje: Prema uslovu problema =P (10500 2=0.8, =0.4 onda prema tabeli vrijednosti funkcije F(h) nalazimo =1,28, ? = =390.625 P(1000 Algoritam za određivanje vjerovatnoće događaja i ispunjenje statističkih očekivanja. Procjena mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihove vjerovatnoće. Proračun matematičkog očekivanja, varijanse i standardne devijacije. Analiza karakteristika osobina. test, dodano 13.01.2014 Primjena klasične definicije vjerovatnoće u rješavanju ekonomskih problema. Određivanje vjerovatnoće da neispravni i neispravni dijelovi uđu u sklop. Izračunavanje vjerovatnoće i vrijednosti uzorka statistike korištenjem Bernoullijeve formule. test, dodano 18.09.2010 Klasična definicija vjerovatnoće događaja. Metode za izračunavanje pojave očekivanog događaja. Izgradnja distributivnog poligona. Traži slučajne varijable sa datom gustinom distribucije. Rješavanje problema vezanih za temu vjerovatnoće. zadatak, dodan 14.01.2011 Primjena klasične definicije vjerovatnoće za pronalaženje datih kombinacija među određenim brojem dijelova. Određivanje vjerovatnoće da putnik ode do prve blagajne. Korištenje lokalne Moivre-Laplaceove teoreme za procjenu odstupanja. test, dodano 23.11.2014 Pojava teorije vjerovatnoće kao nauke. Klasična definicija vjerovatnoće. Učestalost događaja. Operacije na događajima. Sabiranje i množenje vjerovatnoće. Šema ponovljenih nezavisnih testova (Bernoulli sistem). Formula ukupne vjerovatnoće. sažetak, dodan 22.12.2013 Opšti koncept i karakteristike najjednostavnijeg prostora elementarnih ishoda. Metode za izračunavanje vjerovatnoće događaja. Klasični probabilistički model, njegova glavna svojstva i dokazi. Osnovni aksiomi teorije vjerovatnoće, primjeri rješavanja problema. sažetak, dodan 24.04.2009 Načini izračunavanja nastanka nekog događaja. Rješavanje problema vezanih za teoriju vjerovatnoće. Korištenje tablice Laplaceovih funkcija za određivanje teoretskih frekvencija normalne distribucije. Određivanje ispravljene varijanse uzorka. test, dodato 14.03.2015 Karakterizacija kompletne grupe događaja kao skupa svih mogućih rezultata eksperimenta. Metode za određivanje vjerovatnoće događaja u zadacima različitih pravaca. Pronalaženje vjerovatnoće broja nestandardnih dijelova. Konstrukcija funkcije distribucije. zadatak, dodan 19.03.2011 Proučavanje suštine i iznošenje pretpostavke o zakonu raspodjele vjerovatnoće eksperimentalnih podataka. Pojam i evaluacija asimetrije. Odlučivanje o obliku zakona raspodjele vjerovatnoće rezultata. Prijelaz sa slučajne vrijednosti na neslučajnu vrijednost. seminarski rad, dodan 27.04.2013 Određivanje i procena verovatnoće da će se dati događaj. Tehnika za rješavanje problema korištenjem teorema sabiranja i množenja, formule ukupne vjerovatnoće ili Bayesa. Primjena Bernoullijeve sheme u rješavanju problema. Proračun kvadratne devijacije. Često počinjemo našu analizu vjerovatnoće s preliminarnim, a priori vrijednosti vjerovatnoće događaja koji nas zanimaju. Zatim iz izvora informacija kao što su uzorak, izvještaj, iskustvo itd. dobijamo dodatne informacije o događaju koji nas zanima. Sa ovim novim informacijama možemo precizirati, preračunati vrijednosti apriornih vjerovatnoća. Nove vjerovatnoće za iste događaje koji nas zanimaju biće uže. a posteriori(posteksperimentalne) vjerovatnoće. Bayesova teorema nam daje pravilo za izračunavanje takvih vjerovatnoća. Neka događaj ALI može se desiti samo sa jednim od događaja B 1 , B 2 , B 3 ,…, B n, formirajući kompletnu grupu. Neka su vjerovatnoće poznate P (B 1), P (B 2), P (B 3), ..., P (B n). Od događaja U i formirajte kompletnu grupu, zatim . Poznate su i uslovne vjerovatnoće događaja A: P (A / B 1), P (A / B 2), ..., P (A / B i), ..., P (A / B n). Pošto se unapred ne zna sa kojim od događaja U i desiće se događaj ALI, zatim događaji U i naziva hipotezama. Potrebno je odrediti vjerovatnoću događaja ALI i precijeniti vjerovatnoće događaja U i uzimajući u obzir potpune informacije o događaju ALI. Vjerovatnoća događaja ALI definirano kao: Ova vjerovatnoća se zove puna vjerovatnoća. Ako se događaj A može dogoditi samo s jednim od događaja B 1 , B 2 , B 3 ,…, B n , formirajući kompletnu grupu nekompatibilnih događaja zvanih hipoteze, tada je vjerovatnoća događaja A jednaka zbroju proizvoda vjerovatnoće svakog od događaja B 1 , B 2 , B 3 ,…,B n, o odgovarajućoj uslovnoj vjerovatnoći događaja A. Uslovne vjerovatnoće hipoteza se izračunavaju po formuli: Ovo su Bayesove formule (nazvane po engleskom matematičaru T. Bayesu, koji ih je objavio 1764. godine), gdje je imenilac P(A) ukupna vjerovatnoća. Primjer 1 Ekonomista smatra da je vjerovatnoća porasta vrijednosti dionica određene kompanije u narednoj godini 0,75 ako je privreda zemlje u usponu; a ista vjerovatnoća je jednaka 0,30 ako se privreda zemlje ne razvija uspješno. Prema njegovom mišljenju, vjerovatnoća ekonomskog oporavka sljedeće godine je 0,80. Koristeći pretpostavke ekonomista, kolika je vjerovatnoća da će dionice kompanije rasti sljedeće godine? Rješenje. Hajde da definišemo događaje: ALI“Akcije kompanije će poskupjeti sljedeće godine.” Događaj ALI- "akcije kompanije će poskupjeti sljedeće godine" - može se dogoditi samo uz jednu od sljedećih hipoteza: B1- privreda zemlje će biti u usponu i B2 Ekonomija zemlje se neće uspješno razvijati. Po uslovu su poznate vjerovatnoće hipoteza: P(B1)=0,8; P(B2)=0,2 i uslovne vjerovatnoće događaja A: P(A/B 1)=0,75; P (A / B 2) \u003d 0,3. Hipoteze čine kompletnu grupu, zbir njihovih vjerovatnoća jednak je 1. Razmotrite događaj ALI- ovo (ili B 1 A ili B 2 A). Razvoj B 1 A i B 2 A -B1 i B2- su nekompatibilni. Razvoj B1 i A, B 2 i ALI- zavisna. Prethodno nam omogućava da se primenimo da odredimo željenu verovatnoću događaja ALI formula ukupne vjerovatnoće: odgovor: 0,66. Primjer 2 Ekonomista smatra da će u periodu aktivnog ekonomskog rasta američki dolar poskupjeti sa vjerovatnoćom od 0,7; tokom perioda umjerenog ekonomskog rasta, dolar će poskupjeti sa vjerovatnoćom od 0,4; a pri niskim stopama ekonomskog rasta dolar će poskupjeti sa vjerovatnoćom od 0,2. U bilo kom datom vremenskom periodu, vjerovatnoća snažnog privrednog rasta je 0,3, umjerenog ekonomskog rasta je 0,5, a niskog rasta 0,2. Pretpostavimo da dolar apresira tokom tekućeg perioda. Kolika je vjerovatnoća da se analizirani period poklopio sa periodom aktivnog privrednog rasta? Rješenje. Hajde da definišemo događaje: ALI- Dolar raste. Može se dogoditi samo zajedno s jednom od hipoteza: B1– „aktivan ekonomski rast“; B2– „umjereni ekonomski rast“; B3- nizak privredni rast. Po uslovu su poznate preteksperimentalne (apriorne) verovatnoće hipoteza i uslovne verovatnoće događaja ALI: P(B1)=0,3; P(B2)=0,5; P(B3)=0,2. P(A/B 1)=0,7; P (A / B 2) \u003d 0,4; P (A / B 3) \u003d 0,2. Hipoteze čine kompletnu grupu, zbir njihovih vjerovatnoća jednak je 1. 1. Događaj ALI- ovo (ili B 1 A, ili B 2 A, ili B 3 A). Razvoj B 1 A i B 2 A i B 3 A - nespojivo u parovima, od događaja B1, B2 i B3– nekompatibilno. Događaji B1 i A, B 2 i AA i B2– zavisno.Prema uslovu potrebno je pronaći rafiniranu (posteksperimentalnu, a posteriori) vjerovatnoću prve hipoteze, tj. potrebno je pronaći vjerovatnoću aktivnog ekonomskog rasta, pod uslovom da dolar apresira (događaj ALI već se desilo), tj P (B 1 / A) -? Koristeći Bayesovu formulu (5.2) i zamjenom datih vjerovatnoća, imamo: Očekivani povrat i standardna devijacija. Ovaj primjer će vam omogućiti da praktično izračunate učinak koji možemo očekivati od investicionog portfelja. S obzirom na dvije vrste dionica i tri stanja ekonomije: Izračunajte standardnu devijaciju i očekivani prinos za svaku vrstu dionica. Rizik i prinos portfelja. Vratimo se na primjer 11.1 i pretpostavimo da imate ukupno 20.000 dolara. Ako uložite 6000 dolara u dionice A, a ostalo unutra B, koliki će biti očekivani prinos i standardna devijacija vašeg portfelja? Rizik i povrat. Pretpostavimo da razmatrate sljedeću situaciju: Ako je bezrizična stopa 8%, da li su ove hartije od vrijednosti pravilno cijene? Koja bi bila stopa bez rizika da su hartije od vrijednosti ispravno procijenjene? CAPM. Pretpostavimo da je stopa bez rizika 8%. Očekivani prinos na tržištu je 14%. Ako određena vrsta imovine ima (3 = 0,6), koliki je onda očekivani prinos na to sredstvo, na osnovu CAPM? Ako druga imovina ima očekivani prinos od 20%, koliki bi trebao biti (3. koeficijent? Odgovori Očekivani prinosi se izračunavaju kao proizvod mogućih prinosa i njihove vjerovatnoće: E( R A) = 0,1 x (-0,2) + 0,6 x (0,1) + 0,3 x (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 x (0,3) + 0,6 x (0,2) + 0,3 x (0,5) = 30% Volatilnost se izračunava kao zbir proizvoda kvadrata odstupanja očekivanih prinosa i njihovih vjerovatnoća: Od \u003d 0,1 x (-0,2 - 0,25) 2 + 0,6 x (0,1 - 0,25) 2 + 0,3 x (0,7 - 0,25) 2 \u003d \u003d 0,1 x (-0,45)2 + 0,1 x) (0,6 x 2 + 0,3 x (0,45)2 = = 0,1 x 0,2025 + 0,6 x 0,0225 + 0,3 x 0,2025 = 0,0945 a2, \u003d 0,1 x (0,3 - 0,3) 2 + 0,6 x (0,2 - 0,3) 2 + 0,3 x (0,5 - 0,3) 2 \u003d 0,1 x (0,0)2 + 0,6 x (-0,1)2 + 0,3 x (0,2)2 = 0,1 x 0,0 + 0,6 x 0,01 + 0,3 x 0,04 = 0,0180 Standardne devijacije su: aA = VO.0945 = 30,74% aB = VO.0180 = 13,42 % Težina svake vrste akcija u portfelju je: 6.000 USD/20.000 = 0,3 i 14 000 USD/20 000 = 0,7. Očekivani prinos na portfelj je tada: W / Y = 0,3 x E (RA) + 0,7 x E (RB) = 0,3 x 25% + 0,7 x 30% \u003d 28,50% Tada je prinos portfelja E( Rp) = 0,1 x (0,15) + 0,6 x (0,17) - 0 3 x (0,56) = 28,50%. Ovo je isti rezultat koji smo dobili ranije. Izračunajte volatilnost portfelja Op \u003d 0,1 x (0,15 - 0,285) 2 + 0,6 x (0,17 - 0,285) 2 + 0,3 x (0,56 - 0,285) 2 = 0,03245 Tada je standardna devijacija kvadratni korijen od 0,03245 i jednaka je 18,01% Ako izračunamo koeficijent nagrade za rizik za hartije od vrijednosti svake kompanije, na kraju ćemo dobiti (19% - 8%)/1,6 = 6,875% za Cooley i 6,67% za Myer. Što se tiče Cooleya, očekivani prinos Myer-a je prenizak , pa su mu cijene previsoke Ako su hartije od vrijednosti obje kompanije ispravno procijenjene, onda bi one trebale ponuditi isti omjer nagrade za rizik, tako da možemo formulisati jednačinu (19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2 Nakon što smo napravili male algebarske transformacije, dobivamo /? y = 7% (19% - Rf) \u003d (16% - OTROV 1,6 / 1,2) 19% - 16% x (4/3) = Rf - Rf x (4/3) yu = 7% Pošto je tržišni očekivani prinos 14%, onda je premija tržišnog rizika, odnosno (14% - 8%) = 6% (bezrizična stopa je 8%) Prva vrsta hartija od vrednosti ima P = 0,6, što znači očekivani povrat je 8% + 0,6x6%= 11,6% Za drugi tip, premija rizika je 20% - 8% = 12% Pošto je ovo tačno dvostruko više od premije tržišnog rizika, p koeficijent mora biti tačno 2. To možemo proveriti pomoću teorije CAPM 20% = 8% + x p P, \u003d 12% / 6% \u003d 2,0 Pitanja i zadaci Očekivani prinosi portfelja. Ako portfolio ima pozitivne investicije u svaku vrstu imovine, može li očekivani prinos takvog portfelja biti veći od prinosa svake imovine u ovom portfelju? Manje? Ako ste odgovorili potvrdno na jedno ili oba pitanja, navedite primjer koji će podržati svoju odluku. Pojedinačna volatilnost i diversifikacija aktive. Tačno ili netačno: Najvažnija karakteristika u određivanju očekivanog prinosa dobro diverzificiranog portfelja je volatilnost pojedinačnih sredstava portfelja. Objasni. portfolio rizik. Ako portfolio ima pozitivna ulaganja u svaku vrstu imovine, može li standardna devijacija takvog portfelja biti manja od standardne devijacije svake imovine u tom portfelju? Šta možete reći o b takvog portfelja? portfolio prinosi. Koristeći informacije iz prethodnog poglavlja o historiji tržišta dionica, koliki je bio prinos na portfelj koji je jednako podijeljen između običnih dionica i dugoročnih državnih obveznica? Što je jednako raspoređeno između malih dionica i državnih zapisa? CAPM. Koristeći CAPM, dokazati da je koeficijent premije rizika dvije aktive jednak njihovim koeficijentima p. Portfolio prinosi i varijanse. S obzirom na sljedeće informacije o portfelju od tri vrste vrijednosnih papira, odredite: Ako ste uložili 30% u A i B, 40% in C Koliki je očekivani prinos na portfelj? Nestalnost? Standardna devijacija? Ako je očekivana stopa povrata T račun iznosi 5,25%, kolika je premija rizika portfelja? Ako je očekivana stopa inflacije 5%, koliki je realni očekivani prinos na portfelj? Koja je stvarna premija rizika portfelja? Analiza portfelja. Želite da kreirate portfolio sa istim nivoom rizika kao i tržište akcija u celini. Imate 200.000 dolara. Sa donjim informacijama popunite pozicije koje nedostaju: Analiza portfelja. Imate 100.000 dolara za ulaganje u bilo koje vrijednosne papire, kao što su D, bilo u F ili u nerizičnoj imovini. Morate uložiti sav svoj novac. Vaš cilj je da kreirate portfolio sa očekivanim povratom od 10% i samo 60% rizika u poređenju sa ostatkom tržišta. Ako a D ima očekivani prinos od 20% i P = 1,50, F ima očekivani prinos od 15% i P = 1,15, stopa bez rizika je 5%, koliko novca ćete staviti u F? Sistematski naspram nesistematskog rizika. Imate sljedeće informacije: Premija tržišnog rizika je 8%, a stopa bez rizika 6%. Koja vrsta hartija od vrijednosti ima najveći sistematski rizik? Koja vrsta ima najveći nesistemski rizik? Koja vrsta hartija od vrijednosti je najrizičnija? Objasni. Napredna pitanja Koeficijenti b. Može li rizično sredstvo imati b = 0? Objasni. Korištenje modela CAPM Koliki je očekivani prinos na takvo sredstvo? Može li rizična imovina imati negativan koeficijent b? Šta predviđa CAPM o nivou očekivanog povrata za takvo sredstvo? Možete li pojasniti svoj odgovor? Statusna linija berze ( SML). Pretpostavimo da razmatrate sljedeću situaciju: Pretpostavimo da su ove hartije od vrijednosti ispravno procijenjene. Na osnovu CAPM Koliki je očekivani tržišni povrat? Koja je stopa bez rizika? Ispit CFA- ispit za sertifikat finansijskog analitičara koji se izdaje specijalistima iz oblasti ulaganja u Sjedinjenim Državama. Rješenje. Neka je slučaj da je nasumično uzet dio iz opće proizvodnje automata standardan. Ovaj događaj se događa zajedno s jednom od hipoteza Hipoteze čine kompletnu grupu događaja, zbir njihovih vjerovatnoća je 1. Uslovne vjerovatnoće događaja koji nas zanima su: Željenu vjerovatnoću događaja pronalazimo koristeći formulu ukupne vjerovatnoće, koja je u našem slučaju zapisana na sljedeći način: Konačno dobijamo Zadatak 2. Slagač koristi 2 seta fontova iste veličine, od kojih je 1 80%, a 2 - 70% font visokog kvaliteta. Ispostavilo se da je nasumično izvučeno pismo iz nasumično uzetog skupa visokog kvaliteta. Nađite vjerovatnoću da je ovo slovo uzeto iz 2. skupa. Rješenje. Događaj je visokokvalitetno pismo uzeto nasumično. Kao iu prethodnom problemu, javlja se zajedno sa jednom od hipoteza Po uslovu Gdje U ovom slučaju A 3.1. Od 20 odabranih delova, 5 je izrađeno na mašini br. 1, 10 na mašini br. 2, ostali su izrađeni na mašini br. 3. Verovatnoća izrade standardnog dela na mašini br. 1 je 0,96, na mašina br. 2 - 0,98. Odrediti vjerovatnoću izrade standardnog dijela na mašini br. 3 ako je vjerovatnoća dobijanja standardnog dijela od navedenih 20 0,98 slučajnim odabirom. A 3.2. Za montažu se isporučuju dijelovi od 4 mašine. Drugi daje 40% A 3.3. Od 20 strijelaca, 7 je pogodilo metu sa vjerovatnoćom 0,6; A 3.4. Tri serije delova sadrže 1/2, 2/3 i 1/2 neispravnih delova, respektivno. 1 dio je uzet iz svake serije, i A 3.5. Iz serije od 4 dijela, jedan je nasumično uzet, što se i pokazalo A 3.6. Broj neispravnih artikala među 6 artikala nije unaprijed poznat i sve pretpostavke o broju neispravnih artikala jednako su vjerovatne. Ispostavilo se da je nasumično uzet proizvod neispravan. Nađi A 3.7. 2 kutije sadrže po 20 dijelova, od kojih je 12 u 1. kutiji, a 15 standardnih u 2. Iz 1. kutije se prenosi u 2. jedan komad. Odredite vjerovatnoću da će nasumično izvučeni dio iz 2. kutije biti standardan. A 3.8. Prodavnica je dobila električne lampe koje proizvode dvije fabrike. Među njima, 70% proizvodi 1. pogon, a ostatak - 2. pogon. Poznato je da 3% fabričkih 1 lampi i 5% fabričkih 2 lampe ne zadovoljavaju standard. Kolika je vjerovatnoća da će nasumično odabrana lampa biti standardna? A 3.9. Od 20 strijelaca, 7 je pogodilo metu sa vjerovatnoćom 0,9; A 3.10. Kroz stajalište u blizini stanice prolaze autobusi na linijama br. 2, br. 3, br. 10 i br. 29. Putnik čeka autobus br. 2 ili broj 10. Među 50 autobusa u prometu je 6 autobusa br. 2 i 9 - br. 10. Odrediti vjerovatnoću da će 1-d autobus koji se približava stanici krenuti putem koji putnik traži, ako se pretpostavi da je pojavljivanje bilo kojeg autobusa na stajalištu jednako vjerovatno. A 3.11. Postoje 2 kutije proizvoda, au 1 kutiji sve A 3.12. Iz posude koja sadrži istu količinu A 3.13. 2 kutije sadrže 20 dijelova, od kojih A 3.14. Poznato je da je 5% svih muškaraca i 25% svih žena daltonisti. Na pregled je stigao podjednak broj muškaraca i žena. Nasumično odabrano lice pokazalo se daltonistima. A 3.15. Od 18 strijelaca, 5 je pogodilo metu sa vjerovatnoćom 0,8; 7 - sa vjerovatnoćom od 0,7; 4 - sa vjerovatnoćom od 0,6; 2 - sa vjerovatnoćom od 0,5. Nasumično odabrani strijelac je opalio, ali je promašio cilj. Koja je grupa najvjerovatnije pripadala ovom strijelcu? A 3.16. Poznato je da 96% proizvedenih proizvoda zadovoljava standarde. Pojednostavljena upravljačka shema je prepoznata kao prikladna A 3.17. Uređaj se može sastaviti od visokog kvaliteta A 3.18. Vjerovatnoće da će tokom rada računara doći do kvara u aritmetičkoj jedinici, u RAM-u i u A 3.19. Od deset studenata koji su došli na ispit iz teorije vjerovatnoće i uzeli karte, 2 znaju 20 listića od 30, 1 je uspio da ponovi samo 15 listića, ostali studenti znaju svih 30 listića. Nakon vremena predviđenog za pripremu, ispitivač nasumično poziva jednog od učenika da odgovori. Kolika je vjerovatnoća da je pozvano lice položilo ispit ako poznavanje tiketa garantuje polaganje ispita sa vjerovatnoćom od 0,85, i ako A 3.20. U grupi od 25 ljudi koji su došli da polažu ispit iz teorije vjerovatnoće, ima 5 odličnih učenika, 12 dobro pripremljenih, 5 zadovoljavajućih i 3 osobe slabo pripremljene. Odlični učenici znaju svih 30 pitanja iz programa, dobro pripremljeni - 25, zadovoljavajuće pripremljeni - 15, slabo pripremljeni znaju samo 10 pitanja. Nasumično odabran učenik je odgovorio na dva pitanja. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja: a) učenik je odličan ili dobro pripremljen; b) učenik je na zadovoljavajući način pripremljen; c) učenik je loše pripremljen. A 3.21. Na prodaju su 3 vrste televizora. Proizvodi A 3.22. Prilikom transfuzije krvi potrebno je voditi računa o krvnoj grupi davaoca i pacijenta. Osoba sa 4. krvnom grupom može se transfuzirati krvlju bilo koje grupe; osobi sa 2. ili 3. krvnom grupom može se transfuzirati krv ili iste ili 1. krvne grupe; A 3.23. U kutiji se nalazi 20 teniskih loptica, uključujući 15 novih i 5 polovnih. Za igranje nasumično, biraju se 2 loptice koje se vraćaju nazad nakon igre. Zatim se za drugu igru izvlače još 2 loptice nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će 2. utakmica biti odigrana sa novim loptama? A 3.24. Radionica proizvodi kineskope za televizore, a 70% svih kineskopa je dizajnirano za televizore u boji, a 30% za crno-bijele. Poznato je da se 50% svih proizvoda izvozi, a od ukupnog broja kineskopa namenjenih televizorima u boji, 40% se izvozi. Naći vjerovatnoću da će kineskop, nasumično uzet za kontrolu, namijenjen crno-bijelom televizoru, biti izvezen. A 3.25. Postoji 25 serija iste vrste proizvoda: 10 serija po 10 proizvoda, od kojih su 8 standardnih, 2 nestandardne; 5 serija po 8 proizvoda, od kojih 6 standardnih, 2 nestandardnih; 5 serija po 8 proizvoda, od kojih 6 standardnih, 2 nestandardnih; 5 serija po 5 proizvoda, od kojih su 4 standardna, 1 nestandardna. Jedna stavka se uklanja iz nasumično odabrane serije. Kolika je vjerovatnoća da je nestandardna? A 3.26. Tri daktilografa su prekucala rukopis. Prvi je štampao 1/3 cjelokupnog rukopisa, 2. - 1/4, ostatak - 3.. Verovatnoća da će prvi daktilograf pogrešiti je 0,15, drugi - 0,1, treći - 0,1. Prilikom verifikacije pronađena je greška. Pronađite vjerovatnoću da je grešku napravio prvi daktilograf. A 3.27. Vjerovatnoća proizvodnje dijela s defektom je 0,05. Vjerovatnoća pronalaska kvara je 0,95, a vjerovatnoća da će dobar dio biti odbijen je 0,02. Naći vjerovatnoću da će: a) dio biti prihvaćen; b) prihvaćeni dio će biti neispravan; c) dio koji nije prihvaćen neće imati nedostatak. A 3.28. A priori je utvrđeno da broj neispravnih dijelova ne prelazi 3 na 100 i sve vrijednosti (0, 1, 2, 3) broja neispravnih A 3.29. Student ne zna sve ispitne liste. U kom slučaju je šansa za polaganje ispita veća: kada prvi povuče kartu ili ne prvi? A 3.30. Urna sadrži kuglu nepoznate boje - bijelu ili crnu sa jednakom vjerovatnoćom. 1 bela loptica se ubacuje u urnu, a nakon temeljitog mešanja, 1 loptica se nasumično izvlači. A 3.31. Uređaje istog tipa proizvode tri fabrike u omjeru 2:5:8, a vjerovatnoće odbijanja za ove fabrike su A 3.32. Sedamdeset odsto kineskopa dostupnih u magacinu televizijskog studija proizvedeno je u fabrici broj 1, a ostatak - u fabrici broj 2. Vjerovatnoća da će kineskop postrojenja br. 1 izdržati garantni rok je 0,9, za postrojenje br. 2 ta vjerovatnoća je 0,8. Pronađite vjerovatnoću da će kineskop uzet nasumično preživjeti garantni rok. A 3.33. Dvije kutije sadrže po 20 dijelova, od kojih prva kutija sadrži 16, a druga kutija sadrži 10 standardnih dijelova. Jedan predmet se uklanja iz prve kutije i prenosi u drugu. Odrediti vjerovatnoću da će nasumično izvučena stavka iz druge kutije biti standardna? A 3.34. Od 20 odabranih dijelova, 5 je izrađeno na mašini 1, 10 na mašini 2, a ostalo na mašini 3. Verovatnoća izrade standardnog dela na mašini 1 je 0,96, a na mašini 2 0,98. Nađite vjerovatnoću proizvodnje standardnog dijela na trećoj mašini ako je vjerovatnoća dobijanja standardnog dijela od navedenih 20 0,97 slučajnim odabirom. A 3.35. Operater radarske stanice fiksira neprijateljski avion sa vjerovatnoćom od 0,8 i preuzima smetnje za avion sa A 3.36. Od 20 strijelaca, sedam je pogodilo metu sa vjerovatnoćom od 0,6; osam sa vjerovatnoćom od 0,5 i pet sa vjerovatnoćom od 0,7. A 3.37. Za izgradnju objekta isporučuju se armirano betonske ploče iz 4 cementare u količini od 50, 10, 40 i 30 komada A 3.38. Ekonomista smatra da će vjerovatnoća rasta vrijednosti akcija kompanije sljedeće godine biti 0,75 ako je ekonomija zemlje u usponu, odnosno 0,30 ako se privreda ne bude uspješno razvijala. Vjerovatnoća ekonomskog oporavka je, prema procjenama stručnjaka, 0,6. Procijenite vjerovatnoću da će dionice kompanije porasti sljedeće godine. A 3.39. Investitor je uložio u hartije od vrijednosti dvije finansijske kompanije. Istovremeno, on se nada da će dobiti prihod u predviđenom roku od prve firme sa vjerovatnoćom od 0,9; od drugog - sa vjerovatnoćom od 1, međutim, postoji mogućnost bankrota firmi nezavisno jedna od druge, što se za prvu firmu procjenjuje sa vjerovatnoćom od 0,1; za drugi - 0,02. U slučaju stečaja kompanije, investitor dobija samo uloženi kapital. Kolika je vjerovatnoća da će investitor ostvariti profit? A 3.40. U zanatskoj radnji rade 3 majstora i 6 njihovih šegrta. Majstor priznaje brak u proizvodnji proizvoda sa vjerovatnoćom od 0,05; student - sa vjerovatnoćom 0,15. Proizvod primljen u radionici je bio neispravan. Kolika je vjerovatnoća da ga je napravio majstor? Blok B C 3a Inspektori poreske službe provjeravaju rad preduzeća: prvi služi A) slučajno odabrano preduzeće nema dugovanja; B) preduzeće koje nema dugovanja je provjerio prvi inspektor? Slični dokumenti
. (5.1)
Hartije od vrijednosti Beta Očekivani povratak
Cooley Inc. 1,6
19%
Moyer Co. 1,2
16%
Imovina Investicije, $ b
Pogled A
1,20
Pogled B
0,85
Pogled C
??
1,40
Imovina bez rizika ??
??
Hartije od vrijednosti kompanije b Očekivani povratak
Abel Co. 1,15
18%
Baker Co. 0,80
15%
Potrebno je uneti i precizno definisati hipoteze i završni događaj 
, ukazuju na vjerovatnoće hipoteza 
i uslovne vjerovatnoće događaja pri nastanku svake hipoteze 
. U ovom slučaju treba formirati skup hipoteza kompletna grupa događaja, pa je zbir njihovih vjerovatnoća 1: 
.
^
Rješenje tipičnih zadataka
Zadatak 1. Sklop dobija delove od 3 automatske mašine, čija je izvedba povezana kao 2:3:5. Brak u njihovim proizvodima je 2%, 1%, 3%. Naći vjerovatnoću da je slučajno odabran dio iz ukupne proizvodnje automata standardan. 
, koji se sastoji u činjenici da je dio sa i-th mašina. Vjerovatnoće ovih hipoteza su:
; 
; 
.
; 
; 
.
- pismo sa i-th set - čije vjerovatnoće 
. Hipoteze 
i 
čine kompletnu grupu događaja.
, 
. Moramo pronaći vjerovatnoću 
, tj. precijeniti vjerovatnoću hipoteze, pod uslovom da se događaj već dogodio. Koristimo Bayesova formula
,
– formula ukupne vjerovatnoće.
.
^
Zadaci za izvještaj nastavniku
Blok A
i treći - 30% proizvoda koji ulaze u montažu. Prva mašina oslobađa 0,125% braka, a druga, treća i četvrta - po 0,25%. Koliko posto proizvoda ide u sklop iz 4. mašine, ako je vjerovatnoća da neispravni dijelovi uđu u sklop 0,00225?
8 - sa vjerovatnoćom od 0,5 i 5 - sa vjerovatnoćom od 0,7. Nasumično odabrani strijelac je ispalio hitac i pogodio metu. Koja je grupa najvjerovatnije pripadala ovom strijelcu?
pronađena 2 neispravna. Odredite vjerovatnoću da benigni dio pripada 3. seriji.
benigni. Broj visokokvalitetnih dijelova jednako je moguć bilo koji. Koja je najvjerovatnija pretpostavka o broju neispravnih dijelova i koja je vjerovatnoća?
vjerovatnoća da je: a) broj neispravnih artikala 6; b) uzet je neispravan proizvod jedini.
8 - sa vjerovatnoćom od 0,5 i 5 - sa vjerovatnoćom od 0,6. Nasumično odabrani strijelac je opalio, ali je promašio cilj. Koja je grupa najvjerovatnije pripadala ovom strijelcu?
proizvodi su dobrog kvaliteta, au 2 - samo polovina. Proizvod, nasumično uzet iz odabrane kutije, pokazao se dobrog kvaliteta. Koja je razlika između vjerovatnoća da proizvod pripada 1. i 2. kutiji, ako je broj proizvoda u kutijama
isto?
dijelovi 4 preduzeća, jedan dio su uzeli na verifikaciju. Kolika je vjerovatnoća otkrivanja neispravnih proizvoda ako proizvodi 2 preduzeća sadrže 3/4 neispravnih dijelova, a sve
Da li su proizvodi drugih kompanija kvalitetni?
1. kutija - 16, au 2. - 10 standardnih. Iz 1. kutije uklanjaju se 2 dijela i prebacuju u 2. kutiju. Definiraj
vjerovatnoća da je nasumično izvučen dio iz
Druga fioka će biti standardna.
Kolika je vjerovatnoća da je u pitanju muškarac?
standardni proizvodi sa vjerovatnoćom od 0,98 i nestandardni proizvodi sa vjerovatnoćom od 0,05. Pronađite vjerovatnoću da proizvod koji je prošao pojednostavljenu kontrolu zadovoljava standarde.
dijelovi i od dijelova običnog kvaliteta. 40% uređaja je sastavljeno od visokokvalitetnih dijelova. Ako je uređaj sastavljen od visokokvalitetnih dijelova, onda je njegova pouzdanost (vjerovatnost rada bez kvarova tokom vremena t) je jednako 0,95; ako od detalja uobičajenog
kvaliteta, zatim 0,7. Instrument je testiran u određenom vremenskom periodu t i
radio besprekorno. Pronađite vjerovatnoću da je sastavljen od visokokvalitetnih dijelova.
ostali uređaji se tretiraju kao 3:2:5. Vjerojatnosti otkrivanja kvara u aritmetičkoj jedinici, RAM-u i drugim uređajima su 0,8; 0,9; 0.9. Pronađite vjerovatnoću da će kvar u mašini biti otkriven.
nepoznavanje tiketa može položiti ispit samo sa vjerovatnoćom od 0,1?
1. fabrika sadrži 20% televizora sa skrivenim nedostacima,
2. - 10% i 3. - 5%. Kolika je vjerovatnoća nabavke ispravnog televizora ako je prodavnica dobila 30% televizora iz 1. fabrike, 20% iz 2. i 50% iz 3.?
osoba sa 1. krvnom grupom može se transfuzirati samo krvlju 1. grupe. Među stanovništvom 33,7% ima prvu, 37,5% drugu, 20,9% treću i 7,9% četvrtu krvnu grupu. Pronađite vjerovatnoću da se slučajno uzetom pacijentu može transfuzirati krv nasumično uzetog donora.
detalji su podjednako mogući. Kolika je vjerovatnoća da među 1000 proizvedenih dijelova nema neispravnih dijelova ako od 100 dijelova uzetih na pregled nije bilo neispravnih dijelova?
Ispostavilo se da je bijelac. Kolika je vjerovatnoća da urna sadrži
bela lopta?
su respektivno jednake 0,05, 0,03, 0,02. Uređaj koji ste kupili je neispravan. Kolika je vjerovatnoća da je napravljen
1. fabrika?
vjerovatnoća 0,1. U 15% slučajeva se pojavi ekran operatera
smetnja. Operater je doneo odluku o prisustvu u vazduhu
prostor neprijateljske letelice. Odredite vjerovatnoću da je signal zaista primljen iz aviona.
Nasumično odabrani strijelac je ispalio hitac i pogodio metu. Koja je grupa najvjerovatnije pripadala ovom strijelcu?
respektivno. Svaka od tvornica dozvoljava brak (neusklađenost sa GOST-om) u proizvodnji ploča, jednakih u procentima, odnosno 1, 5, 2 i 3. Kolika je vjerovatnoća da će nasumično uzeta ploča ispuniti zahtjeve GOST-a ?
Blok C
Među delovima koji stižu na sklapanje sa prve mašine, 0,1% je neispravnih, sa druge - 0,2%, sa treće - 0,25%, sa četvrte - 0,5%. Njihove izvedbe su povezane kao 4:3:2:1 respektivno. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Odrediti vjerovatnoću da je napravljeno: a) na početku; b) na drugom; c) na trećem; d) na četvrtoj mašini. Kako provjeriti tačnost proračuna ovih vjerovatnoća?
Četiri učenika iz prve grupe, šest učenika iz druge grupe i pet učenika iz treće grupe odabrano je za učešće na studentskim kvalifikacionim sportskim takmičenjima. Vjerovatnoće da će odabrani student iz prve, druge, treće grupe ući u tim instituta jednake su 0,5, 0,4 i 0,3, respektivno. Slučajno odabrani učesnik takmičenja ušao je u reprezentaciju. Kojoj od ove tri grupe najvjerovatnije pripada?
Ima pet pušaka, od kojih su tri sa teleskopskim nišanom. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim hicem iz puške sa optičkim nišanom je 0,95 za datog strijelca, a 0,8 bez optičkog nišana. Nađite vjerovatnoću da pogodite metu ako strijelac ispali jedan hitac iz puške uzete nasumice.
Od prve mašine 40% ide na montažu, od druge - 30%, od treće - 20%, od četvrte - 10% svih delova. Među dijelovima prve mašine je 0,1% neispravnih, druge - 0,2%, treće - 0,25%, četvrte - 0,5%. Pronađite vjerovatnoću da je dio primljen na montažu neispravan.
Radio cevi se proizvode u dve fabrike, od kojih prva obezbeđuje 70% ukupne proizvodnje, a druga 30%. Od svakih 100 sijalica prve fabrike, 80 je standardnih, a od 100 lampi druge fabrike samo 60 je standardnih. Naći vjerovatnoće sljedećih događaja: a) kupac je dobio standardnu lampu; b) lampu je proizvela prva fabrika, ako se zna da je ispala standardna.
U nekim industrijama 30% proizvoda se proizvodi u prvoj fabrici, 25% u drugoj, a ostatak u trećoj. U prvoj fabrici nedostatak je 1% ukupne količine proizvedenih proizvoda, u drugoj - 1,5%, u trećoj - 2%. Ispostavilo se da je proizvod koji je kupac kupio neispravan. Kolika je vjerovatnoća da je proizveden u prvoj fabrici?
Postoje tri urne identičnog izgleda. Prvi ima 3 bijele i 4 crne lopte, drugi 5 bijelih i 7 crnih, a treći samo bijele kuglice. Jedna loptica se nasumično izvlači iz jedne urne. Pronađite vjerovatnoću da je on bijelac.
Tri strijelca su istovremeno pucala u metu, što je rezultiralo jednom rupom na meti. Verovatnoća da pogodite prvog strelca je 0,3, drugog - 0,5, trećeg - 0,8. Pronađite vjerovatnoću da je drugi strijelac pogodio metu.
Postoje tri urne identičnog izgleda. Prva ima 4 bijele i 6 crnih loptica, druga ima sve bijele, treća sve crne lopte. Jedna kuglica se izvlači iz urne odabrane nasumično. Odrediti vjerovatnoću da je: a) lopta crna; b) lopta je izvučena iz prve urne ako se ispostavi da je bijela.
Učenik zna odgovore na 25 karata od 30. Jedna karta je već izvučena prije njega. Kolika je vjerovatnoća da student zna kartu koju je dobio?
U grupi je 20 djevojčica i 10 dječaka. Domaći zadatak nisu uradile 4 djevojčice i 3 dječaka. Nasumično pozvan učenik nije bio spreman. Kolika je vjerovatnoća da se radi o dječaku?
preduzeća, među kojima 
% nemaju dugova, drugi 
preduzeća, od kojih 
% bez dugova. Kolika je vjerovatnoća da:
Broj
opcija
Početni podaci
Broj
opcija
Početni podaci
%
%
%
%
Od 3.1
50
15
70
20
Od 3.6
55
20
75
40
Od 3.2
70
25
80
30
Od 3.7
85
35
95
15
Od 3.3
65
20
75
40
Od 3.8
90
25
70
30
Od 3.4
80
25
100
40
Od 3.9
80
20
55
45
Od 3.5
70
30
90
20
Od 3.10
60
30
90
50
