Funkcije kompleksne varijable.
Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Ovaj članak otvara niz lekcija u kojima ću razmatrati tipične probleme vezane za teoriju funkcija kompleksne varijable. Da biste uspješno savladali primjere, morate imati osnovno znanje o kompleksnim brojevima. Za konsolidaciju i ponavljanje gradiva dovoljno je posjetiti stranicu. Također će vam trebati vještine za pronalaženje parcijalni derivati ​​drugog reda. Evo ih, ovih parcijalnih derivata...i sad sam se malo iznenadio koliko se često javljaju...

Tema koju počinjemo analizirati nije posebno teška, a u funkcijama složene varijable, u principu, sve je jasno i dostupno. Glavno je pridržavati se osnovnog pravila, koje sam ja empirijski izveo. Čitajte dalje!

Koncept funkcije kompleksne varijable

Prvo, osvježimo naše znanje o školskoj funkciji jedne varijable:

Funkcija jedne varijable je pravilo prema kojem svaka vrijednost nezavisne varijable (iz domene definicije) odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti funkcije. Naravno, "x" i "y" su realni brojevi.

U složenom slučaju, funkcionalna ovisnost je data slično:

Jednovrijedna funkcija kompleksne varijable je pravilo da svi integrisan vrijednost nezavisne varijable (iz domene) odgovara jednoj i samo jednoj sveobuhvatan vrijednost funkcije. U teoriji se razmatraju i viševrijedne i neke druge vrste funkcija, ali radi jednostavnosti fokusirat ću se na jednu definiciju.

Koja je funkcija kompleksne varijable?

Glavna razlika je u tome što su brojevi složeni. Nisam ironičan. Od takvih pitanja često padaju u stupor, na kraju članka ću ispričati cool priču. Na lekciji Kompleksni brojevi za lutke razmatrali smo kompleksan broj u obliku . Od sada je slovo "Z" postalo varijabla, tada ćemo ga označiti na sljedeći način: , dok "x" i "y" mogu uzeti različite validan vrijednosti. Grubo govoreći, funkcija kompleksne varijable ovisi o varijablama i , koje uzimaju "uobičajene" vrijednosti. Od ovu činjenicu logično slijedi sljedeća tačka:

Funkcija kompleksne varijable može se napisati kao:
, gdje su i dvije funkcije od dva validan varijable.

Funkcija se poziva pravi deo funkcije .
Funkcija se poziva imaginarni deo funkcije .

To jest, funkcija kompleksne varijable ovisi o dvije realne funkcije i . Da konačno sve razjasnimo, pogledajmo praktične primjere:

Primjer 1

Rješenje: Nezavisna varijabla "z", kao što se sjećate, piše se kao , dakle:

(1) Zamijenjeno u originalnu funkciju.

(2) Za prvi član korišćena je redukovana formula množenja. U mandatu su otvorene zagrade.

(3) Pažljivo na kvadrat, ne zaboravljajući to

(4) Preuređenje pojmova: prvo prepišite pojmove , u kojoj nema zamišljene jedinice(prva grupa), zatim pojmovi, gdje postoji (druga grupa). Treba napomenuti da nije potrebno mijenjati termine, i ovoj fazi može se preskočiti (zapravo se to radi usmeno).

(5) Druga grupa se vadi iz zagrada.

Kao rezultat toga, ispostavilo se da je naša funkcija predstavljena u obliku

odgovor:
je pravi dio funkcije .
je imaginarni dio funkcije .

Koje su to funkcije? Najobičnije funkcije dvije varijable, od kojih se mogu naći tako popularne parcijalni derivati. Bez milosti - naći ćemo. Ali malo kasnije.

Ukratko, algoritam riješenog problema može se zapisati na sljedeći način: zamjenjujemo u izvornu funkciju, vršimo pojednostavljenja i dijelimo sve pojmove u dvije grupe - bez imaginarne jedinice (stvarni dio) i sa imaginarnom jedinicom (imaginarni dio).

Primjer 2

Pronađite stvarni i imaginarni dio funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Prije nego što se bacite u bitku na složenom avionu sa golim damama, dozvolite mi da vam dam najvažniji savjet na tu temu:

BUDI PAZLJIV! Morate biti oprezni, naravno, svuda, ali u složenim brojevima trebali biste biti oprezniji nego ikad! Zapamtite to, pažljivo proširite zagrade, nemojte ništa izgubiti. Prema mojim zapažanjima, najčešća greška je gubitak znaka. Ne žuri!

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Sada kocka. Koristeći skraćenu formulu za množenje, izvodimo:
.

Formule su vrlo zgodne za korištenje u praksi, jer uvelike ubrzavaju proces rješenja.

Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Imam dvije vijesti: dobru i lošu. Počeću sa dobrim. Za funkciju kompleksne varijable vrijede pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Dakle, derivacija se uzima na potpuno isti način kao u slučaju funkcije realne varijable.

Loša vijest je da za mnoge funkcije kompleksne varijable uopće ne postoji derivacija i morate shvatiti je diferencibilan jednu ili drugu funkciju. A "shvatiti" kako se vaše srce osjeća povezano je s dodatnim problemima.

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable. Da bi ova funkcija bila diferencibilna, potrebno je i dovoljno da:

1) Da postoje parcijalni derivati ​​prvog reda. Odmah zaboravite na ove notacije, jer se u teoriji funkcije kompleksne varijable tradicionalno koristi druga verzija notacije: .

2) Za obavljanje tzv Cauchy-Riemann uslovi:

Samo u ovom slučaju će derivat postojati!

Primjer 3

Rješenje podeljeno na tri uzastopne faze:

1) Pronađite stvarni i imaginarni dio funkcije. Ovaj zadatak je analiziran u prethodnim primjerima, pa ću ga zapisati bez komentara:

Od tada:

Na ovaj način:

je imaginarni dio funkcije .

Zadržaću se na još jednoj tehničkoj stvari: kojim redosledom pisati pojmove u realnim i imaginarnim dijelovima? Da, u suštini nije važno. Na primjer, pravi dio se može napisati ovako: , a imaginarni - ovako: .

2) Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ima ih dvoje.

Počnimo sa provjerom stanja. Mi nalazimo parcijalni derivati:

Dakle, uslov je ispunjen.

Bez sumnje, dobra vijest je da su parcijalni derivati ​​gotovo uvijek vrlo jednostavni.

Provjeravamo ispunjenost drugog uslova:

Ispostavilo se isto, ali sa suprotnih znakova, odnosno uslov je takođe zadovoljen.

Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni, pa je funkcija diferencibilna.

3) Pronađite izvod funkcije. Izvod je također vrlo jednostavan i može se pronaći iz uobičajena pravila:

Imaginarna jedinica u diferencijaciji smatra se konstantom.

odgovor: - pravi deo je imaginarni dio.
Cauchy-Riemann uvjeti su ispunjeni, .

Postoje još dva načina za pronalaženje izvedenice, oni se naravno koriste rjeđe, ali informacije će biti korisne za razumijevanje druge lekcije - Kako pronaći funkciju kompleksne varijable?

Izvod se može naći pomoću formule:

AT ovaj slučaj:

Na ovaj način

Potrebno je riješiti inverzni problem - u rezultirajućem izrazu potrebno je izolirati . Da bi se to uradilo, potrebno je u terminima i izvaditi iz zagrada:

Obrnutu radnju je, kao što su mnogi primijetili, nešto teže izvesti, za provjeru je uvijek bolje uzeti izraz i na nacrtu ili usmeno otvoriti zagrade natrag, pazeći da ispadne tačno

Formula ogledala za pronalaženje izvoda:

U ovom slučaju: , zbog toga:

Primjer 4

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ako su ispunjeni Cauchy-Riemann uvjeti, pronađite derivaciju funkcije.

Quick Solution i približan uzorak završne obrade na kraju lekcije.

Da li su Cauchy-Riemann uvjeti uvijek zadovoljeni? Teoretski, češće nisu ispunjeni nego što jesu. Ali u praktičnim primjerima, ne sjećam se slučaja da nisu izvršeni =) Dakle, ako se vaši parcijalni derivati ​​"nisu konvergirali", onda s vrlo velikom vjerovatnoćom možemo reći da ste negdje pogriješili.

Zakomplikujmo naše funkcije:

Primjer 5

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati

Rješenje: Algoritam rješenja je u potpunosti sačuvan, ali na kraju je dodat novi hir: pronalaženje derivacije u tački. Za kocku, potrebna formula je već izvedena:

Definirajmo stvarne i imaginarne dijelove ove funkcije:

Pažnja i opet pažnja!

Od tada:


Na ovaj način:
je pravi dio funkcije ;
je imaginarni dio funkcije .

Provjera drugog uslova:

Ispostavilo se isto, ali sa suprotnim predznacima, odnosno uslov je takođe ispunjen.

Cauchy-Riemannovi uvjeti su zadovoljeni, stoga je funkcija diferencibilna:

Izračunajte vrijednost derivacije u traženoj tački:

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni,

Funkcije s kockama su uobičajene, pa primjer za konsolidaciju:

Primjer 6

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati .

Odluka i završetak uzorka na kraju lekcije.

U teoriji kompleksne analize definiraju se i druge funkcije kompleksnog argumenta: eksponencijalna, sinusna, kosinusna itd. Ove funkcije imaju neobična, pa čak i bizarna svojstva - i to je zaista zanimljivo! Stvarno želim da vam kažem, ali evo, jednostavno se dogodilo, ne priručnik ili udžbenik, već rješenje, pa ću razmotriti isti zadatak sa nekim uobičajenim funkcijama.

Prvo o tzv Eulerove formule:

Za bilo koga validan brojeva, važeće su sljedeće formule:

Takođe ga možete kopirati u svoju bilježnicu kao referencu.

Strogo govoreći, postoji samo jedna formula, ali obično, radi praktičnosti, i oni pišu poseban slučaj sa minus indikatorom. Parametar ne mora biti jedno slovo, može biti složen izraz, funkcija, važno je samo da oni uzmu samo važi vrijednosti. Zapravo, videćemo to upravo sada:

Primjer 7

Pronađite derivat.

Rješenje: Generalna linija stranke ostaje nepokolebljiva - potrebno je izdvojiti stvarni i imaginarni dio funkcije. Dat ću detaljno rješenje i komentarisati svaki korak u nastavku:

Od tada:

(1) Zamjena za "z".

(2) Nakon zamjene potrebno je odvojiti stvarni i imaginarni dio prvi u eksponentu izlagači. Da biste to učinili, otvorite zagrade.

(3) Grupiramo imaginarni dio indikatora, stavljajući imaginarnu jedinicu iz zagrada.

(4) Koristite školsku akciju sa ovlastima.

(5) Za množitelj koristimo Eulerovu formulu , dok .

(6) Otvaramo zagrade, kao rezultat:

je pravi dio funkcije ;
je imaginarni dio funkcije .

Dalje radnje su standardne, provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Primjer 9

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Neka bude tako, nećemo naći derivat.

Rješenje: Algoritam rješenja je vrlo sličan prethodna dva primjera, ali ima vrlo važne tačke, pa ću opet komentirati početnu fazu korak po korak:

Od tada:

1) Zamjenjujemo umjesto "z".

(2) Prvo odaberite stvarni i imaginarni dio unutar sinusa. U tu svrhu otvorite zagrade.

(3) Koristimo formulu , dok .

(4) Upotreba paritet hiperboličkog kosinusa: i hiperbolička sinusna neparnost: . Hiperbolika, iako nije sa ovog svijeta, ali na mnogo načina podsjeća na slične trigonometrijske funkcije.

na kraju:
je pravi dio funkcije ;
je imaginarni dio funkcije .

Pažnja! Znak minus se odnosi na imaginarni dio i ni u kom slučaju ga ne smijemo izgubiti! Za vizuelna ilustracija Gornji rezultat se može prepisati ovako:

Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Cauchy-Riemannovi uslovi su ispunjeni.

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni.

Sa kosinusom, dame i gospodo, sami razumemo:

Primjer 10

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Namjerno sam uzeo složenije primjere, jer svako može podnijeti nešto poput oguljenog kikirikija. Istovremeno, trenirajte svoju pažnju! Orašar na kraju lekcije.

Pa, u zaključku, razmotrit ću još jednu zanimljiv primjer kada je kompleksni argument u nazivniku. Sreli smo se par puta u praksi, hajde da analiziramo nešto jednostavno. Oh, starim...

Primjer 11

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Rješenje: Opet, potrebno je odvojiti stvarni i imaginarni dio funkcije.
Ako onda

Postavlja se pitanje šta učiniti kada je "Z" u nazivniku?

Sve je jednostavno - standard će pomoći metoda množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom, već je korišteno u primjerima lekcije Kompleksni brojevi za lutke. Prisjetimo se školske formule. U nazivniku već imamo , tako da će konjugirani izraz biti . Dakle, morate pomnožiti brojilac i imenilac sa: