Posebnosti

Jedno od svojstava Pitagorinog stabla je da ako je površina prvog kvadrata jednaka jedan, tada će na svakom nivou i zbir površina kvadrata biti jednak jedan.

Ako je u klasičnom Pitagorinom stablu ugao 45 stepeni, onda je moguće konstruisati i generalizovano Pitagorino stablo koristeći druge uglove. Ovo drvo se često naziva Pitagorino drvo razneseno vjetrom. Ako nacrtamo samo segmente koji na neki način povezuju odabrane “centre” trouglova, dobićemo golo Pitagorino drvo.

Primjeri

Pitagorino drvo 1.gif

Klasično pitagorejsko drvo

Pitagorino drvo 2.gif

Pitagorino drvo koje je razvejao vjetar

Pitagorino drvo 3.gif

Pitagorino golo drvo

Pitagorino drvo 4.gif

Izloženo Pitagorino drvo razneseno vjetrom

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Pitagorino drvo"

Odlomak koji karakteriše Pitagorino drvo

Dok je Rusija bila napola osvojena, a stanovnici Moskve bježali u daleke pokrajine, a milicija za milicijom dizala se da brane otadžbinu, nama, koji još nismo živjeli u to vrijeme, nehotice se čini da su svi ruski ljudi, mladi i stari, bili zauzet samo time da se žrtvuje, spasi otadžbinu ili plače zbog njenog uništenja. Priče i opisi tog vremena, bez izuzetka, govore samo o samopožrtvovanju, ljubavi prema otadžbini, očaju, tuzi i herojstvu Rusa. U stvarnosti to nije bio slučaj. Čini nam se da je to tako samo zato što iz prošlosti vidimo jedan zajednički istorijski interes tog vremena, a ne vidimo sve one lične, ljudske interese koje su imali ljudi tog vremena. Međutim, u stvarnosti, ti lični interesi sadašnjosti su toliko značajniji od opštih interesa da se zbog njih opšti interes nikada ne oseća (čak i nije primetan). Većina ljudi tog vremena nije obraćala pažnju na opšti tok stvari, već su se rukovodili samo ličnim interesima sadašnjosti. A ti ljudi su bili najkorisnije ličnosti tog vremena.
Oni koji su pokušavali da shvate opšti tok stvari i hteli da u njemu učestvuju sa samopožrtvovanjem i junaštvom bili su najbeskorisniji članovi društva; sve su gledali naopačke, a sve što su radili za dobrobit ispostavilo se kao beskorisna glupost, poput puka Pjera, Mamonova, pljačkanja ruskih sela, poput vlakana koje su dame čupale i nikad do ranjenika ne stižu itd. Čak i oni koji, voleći da budu pametni i da izraze svoja osećanja, pričali su o sadašnjoj situaciji u Rusiji, nehotice noseći u svojim govorima otisak ili pretvaranja i laži, ili beskorisne osude i ljutnje na ljude optužene za nešto za šta niko ne može biti kriv. U istorijskim događajima, najočiglednija je zabrana jedenja plodova sa drveta znanja. Samo nesvjesna aktivnost daje plodove, a osoba koja igra ulogu u istorijskom događaju nikada ne razumije njegov značaj. Ako pokuša da je shvati, zapanjen je njenom uzaludnošću.

Proučavajući algoritme za detekciju događaja na elektrokardiogramu za istraživački dio moje teze, otkrio sam da trajanje R-R intervala kardiograma, izračunato čak i na drugu decimalu, prilično precizno karakteriše kardiovaskularni sistem određene osobe. Budući da me fraktalna geometrija fascinira već duže vrijeme, odmah mi se u glavi pojavila ideja kako nekom jednostavnom fraktalnom objektu dati “lične” kvalitete.

Tako se pojavilo "Elektrokardiografsko pitagorejsko drvo".

Teorijski dio – 1. O elektrokardiogramu

Grafički zapis razlike potencijala koji se stvara između različitih dijelova srčanog mišića tokom njegove ekscitacije naziva se elektrokardiogram (EKG). Orijentacija i veličina ovih srčanih potencijala na elektrokardiogramu se izražavaju u amplitudi talasa i njihovom pravcu (polaritetu) u odnosu na izoelektričnu liniju. I pokrivaju opseg od 0,15...300 Hz pri nivou signala od 0,3...3 mV.

Normalan EKG se sastoji od talasa i horizontalno lociranih segmenata linija između njih (slika 1).

Slika 1 – Šematski prikaz normalnog elektrokardiograma.

U kliničkoj praksi, elektrode se koriste sa različitih dijelova površine tijela. Ovi odvodi se nazivaju površni. Prilikom snimanja EKG-a obično se koristi 12 konvencionalnih elektroda, šest iz udova i šest iz grudnog koša. Prva tri standardna odvoda je predložio Einthoven. Brzina otkucaja srca (HR) određena je trajanjem jednog srčanog ciklusa, tj. trajanjem intervala R – R.

Standardno i najpogodnije za određivanje otkucaja srca je olovo II po Einthovenu, jer u njemu je R talas koji ima najveću amplitudu.

Praktični dio – 1

Za proračune ćemo koristiti pravi EKG zdrave osobe u elektrodi II po Einthovenu, dobijen iz baze fizioloških signala.

EKG parametri:
ADC rezolucija 12 bita;
Frekvencija uzorkovanja 100 Hz;
Trajanje 10 sekundi;

Slika 2 – Slika normalnog EKG-a iz baze podataka.

Zatim ćemo odrediti QRS kompleks kako bismo potom iz njega izdvojili talas R. Za to ćemo koristiti algoritam baziran na ponderiranom i kvadratnom operatoru prve derivacije i filteru pokretnog prosjeka.

Zvuči komplikovanije nego što izgleda:

Gdje x(n)- EKG signal, N-širina prozora unutar kojeg se izračunava razlika prvog reda, kvadrira i ponderira pomoću koeficijenta (N-i+1).

Težinski koeficijent opada linearno, počevši od trenutne razlike, do razlike izračunate na N računa se ranije u vremenu, što pruža efekat zaglađivanja.

Dalje izglađivanje se vrši pomoću filtera pokretnog prosjeka M bodovi:

Pri frekvenciji uzorkovanja od 100Hz, širina prozora filtera je postavljena kao M=N=8. Ovaj algoritam proizvodi jedan vrh za svaki QRS kompleks i potiskuje P i T talase. Kao rezultat obrade dobijamo sledeći EKG prikaz (slika 3).

Slika 3 – EKG slika nakon filtriranja.

Pronalaženje R talasa u obrađenom signalu može se obaviti pomoću jednostavnog algoritma za pronalaženje vrhova:
1. Skeniranje fragmenta signala g(n), na kojem se očekuje prisustvo vrha i određivanje maksimalne vrijednosti gmax.
2. Definicija praga kao određenog dijela maksimuma, Th=0.8gmax.
3. Za sva g(n)>Th, biraju se ona očitanja za koja odgovaraju odgovarajuće vrijednosti g(n) više od određenog datog broja M prethodna ili naredna čitanja g(n).

Ovako definisan skup (p) sadrži indekse svih onih koji se nalaze u signalu g(n) vrhovi
Vrhovi uzrokovani artefaktima mogu se odbaciti dodatnim uvjetima, na primjer, minimalnim intervalom između dva susjedna vrha.

Slika 4 – EKG slika sa označenim R-talasima.

Slijedi sam jednostavan zadatak - određivanje prosječne dužine R-R intervala datog EKG-a. I u ovom slučaju je jednako 733ms. Za zabavu, izračunajmo broj otkucaja srca: 60/0.733=81.85 otkucaja/min. Sada imamo vrijednost koja karakterizira rad srca određene osobe.

Malo objašnjenje:
Srce nije metronom; ono ne može otkucati otkucaje sa jednakim vremenskim intervalima između otkucaja. R-R interval za zdravu osobu varira u malim granicama. Ako su fluktuacije u intervalu značajne, to ukazuje na prisustvo aritmija i drugih poremećaja. Oscilacijski mehanizam je vrlo složen skup procesa povezanih s električnom provodljivošću određenog srca.

Koristeći vrijednost prosječnog R-R intervala kao parametar prilikom konstruiranja Pitagorinog stabla, možete mu dati „jedinstvene“ („osobne“) karakteristike.

Teorijski dio – 2. O fraktalima

Fraktali su geometrijski objekti: linije, površine, prostorna tijela koja imaju vrlo hrapav oblik i imaju svojstvo samosličnosti. Osnivač teorije fraktala, francusko-američki matematičar Benoit Mandelbrot, formirao je termin fraktal od latinskog participa fractus. Odgovarajući glagol frangere prevodi se kao break, break, tj. stvaraju fragmente nepravilnog oblika. Samosličnost predodređuje invarijantnost skale (skaliranje) glavnih geometrijskih karakteristika fraktalnog objekta, njihovu nepromjenjivost kada se skala mijenja. Ponovljivost nazubljenih linija fraktalnih objekata može biti potpuna (u ovom slučaju govorimo o regularnim fraktalima), ili se može uočiti neki element slučajnosti (takvi fraktali se nazivaju slučajni). Struktura nasumičnih fraktala na malim skalama nije potpuno identična cijelom objektu, ali su njihove statističke karakteristike iste.

Pitagorino drvo je vrsta geometrijskog pravilnog fraktala zasnovanog na figuri poznatoj kao "Pitagorine pantalone".

Princip konstruisanja geometrijskog fraktala je rekurzija.

Praktični dio – 2

Algoritam za konstruisanje Pitagorinog stabla:
1) Konstruisati vertikalni segment;
2) Od gornjeg kraja ovog segmenta rekurzivno gradimo još 2 segmenta kraće dužine pod uglom od 90° jedan prema drugom;
3) Pozvati funkciju za konstruisanje dva naredna segmenta za svaku granu stabla;

Funkcija za konstruisanje Pitagorinog stabla u C jeziku.

Void Draw (dvostruki x, dupli y, dupli L, dupli a) ( if(L > max) (L*=0,7; moveto(x,y); lineto((int)(x+L*cos(a)) ,(int)(y-L*sin(a))); x=x+L*cos(a); y=y-L*sin(a); Crtanje(x,y,L,a+Pi/n); Crtanje (x,y,L,a-Pi/m); ) )
Slika 5 – Pitagorino stablo za EKG na R-R: 733ms.

Jedino što je preostalo je da se kao varijabla L koristi izračunata dužina prosječnog R-R EKG intervala u programu.

Na ovaj način možete dobiti “lično” pitagorino drvo koje će “disati”, ovisno o fizičkoj aktivnosti, a dužina grana i njihov zavoj će što preciznije “opisati” vašu ličnost.

Bibliografija

1. Resurs za istraživanje kompleksnih fizioloških signala:

Pitagorino drvo- vrsta fraktala zasnovana na figuri poznatoj kao Pitagorine pantalone.

Priča

Pitagora je, dokazujući svoju čuvenu teoremu, konstruisao lik sa kvadratima na stranicama pravouglog trougla. U našem vijeku, ova Pitagorina figura je izrasla u cijelo drvo. Pitagorino drvo prvi je izgradio A.E. Bosman (1891-1961) tokom Drugog svjetskog rata, koristeći obični lenjir za crtanje.

Posebnosti

Jedno od svojstava Pitagorinog stabla je da ako je površina prvog kvadrata jednaka jedan, tada će na svakom nivou i zbir površina kvadrata biti jednak jedan.

Ako je u klasičnom Pitagorinom stablu ugao 45 stepeni, onda je moguće konstruisati i generalizovano Pitagorino stablo koristeći druge uglove. Ovo drvo se često naziva Pitagorinim drvom koje nosi vjetar. Ako prikažete samo segmente koji na neki način spajaju odabrane „centre“ trouglova, dobićete golo Pitagorino drvo.

algoritam:

1) Konstruirajte vertikalni segment
2) Od gornjeg kraja ovog segmenta rekurzivno konstruiramo još 2 segmenta pod određenim uglovima
3) Pozovite funkciju za izgradnju dva naredna segmenta za svaku granu stabla

Primjeri

Klasično pitagorejsko drvo

Pitagorino drvo koje je razvejao vjetar

Pitagorino golo drvo

Izloženo Pitagorino drvo razneseno vjetrom

Ako je najveća površina L × L, cijelo Pitagorino stablo se čvrsto uklapa u kutiju od 6L × 4L. Suptilnosti drveta podsjećaju na Levyjevu krivulju.

Izgradnja

Konstrukcija Pitagorinog drveta počinje kvadratom. Na ovoj površini su izgrađena dva kvadrata, svaki smanjen linearni koeficijent½ √ 2, pa se uglovi kvadrata poklapaju u parovima. Isti postupak se primjenjuje rekurzivno, a zatim na dva - još manja kvadrata, ad infinitum. Slika ispod prikazuje prvih nekoliko iteracija u procesu izgradnje.

Square

N - iteracija u konstrukciji dodaje 2n kvadrata veličine (½ √ 2) N, za ukupnu površinu od 1. Dakle, u ovom dijelu izgleda da drvo raste bez ograničenja u granici N → ∞. Međutim, neka od područja se preklapaju počevši od redoslijeda iteracije 5, a drvo zapravo ima konačnu površinu budući da odgovara dimenzijama 6 × 4. Nije teško dokazati da površina A Pitagorinog drveta mora biti u raspon od 5<А <18, которая может быть сужена в дальнейшем дополнительными усилиями.

Promjena ugla

Zanimljiv skup varijacija se može konstruisati održavanjem jednakokračnog trougla, ali promenom osnovnog ugla (90 stepeni za standardno pitagorino stablo). Konkretno, kada je osnovni poluugao 30° = arksinus (0,5), lako je vidjeti da veličina ćelija ostaje konstantna. Prvo preklapanje se dešava u četvrtoj iteraciji. Cjelokupni dizajn je u suštini dijamantno-triheksagonalna pločica, gdje je niz šesterokuta oivičen dizajnom kvadrata.

U granici, kada je poluugao 90 stepeni, očigledno nema preklapanja, a ukupna površina je dvostruko veća od površine osnove kvadrata. Bilo bi zanimljivo znati postoji li veza između algoritamske vrijednosti osnovnog poluugla i iteracije u kojoj se kvadrati međusobno preklapaju.

Modificirano i modificirano Pitagorino stablo (fraktal) za korištenje u antenskoj tehnologiji.

Koristeći original fraktalno drvo Pitagoru (UPTF) je izmislio holandski matematičar Albert E. Bosman 1942. godine. Pitagorino drvo je 2D fraktal konstruisan od kvadrata. Kao što je ranije opisano, počevši od pete iteracije, neke oblasti se preklapaju i fraktalno stablo zapravo ima konačnu površinu jer se uklapa u okvir 6×4. Iz tog razloga, potrebno je odgoditi preklapanje prstiju lijeve i desne ruke UPTF u 4. iteraciji, pa dizajniramo MPT - fraktal eliminacijom prve iteracije velike površine i promijenimo jednakokraki pravokutni trokut u jednakokraki trokut sa strmim uglovi (α = 10 stepeni) tako da smanjuju visinu fraktala i dizajniraju kompaktne antene. Naš cilj u dizajniranju zdravstvene ustanove je da koristimo ovaj fraktal za kontrolu širine pojasa i otpornosti rezonancija. Na osnovu rezultata simulacije modifikacije pitagorinog stabla, uočen je veoma dobar potencijal za minijaturizaciju zbog svojstva samosličnosti, bez značajnog smanjenja kapaciteta i efikasnosti antene.

Flamanski umjetnik Jos de Mey stvorio je mnoga djela sa Pitagorinim stablom kao glavnim motivom. U nastavku možete pogledati njegov rad.

http://demonstrations.wolfram.com/PythagorasTree/- Fraktalni dizajn zasnovan na Pitagorinoj teoremi. Ovo je asimetrična opcija; moguća je i simetrična opcija.

http://demonstrations.wolfram.com/download-cdf-player.html- preuzmite plejer za gledanje

Izvor: http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_tree_(fractal)

Prevod: Dmitrij Šahov

Pitagorina naučna dostignuća

Pitagora sa Samosa (570-490 pne) - starogrčki filozof i matematičar, tvorac religijske i filozofske škole Pitagorejaca. Pitagorinu životnu priču je teško odvojiti od legendi...

Pitagorina naučna dostignuća

Istina će ostati vječna čim je slaba osoba prepozna! I sada je Pitagorina teorema istinita, Baš kao u njegovom dalekom dobu... Teško je naći osobu čije se ime Pitagora ne vezuje za njegovu teoremu...

Pitagorina naučna dostignuća

Zadatak br. 1 Rješenje: D ABC je pravougaona sa hipotenuzom AB, prema Pitagorinoj teoremi: AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 82 + 62, AB2 = 64 + 36, AB2 = 100, AB = 10. Odgovor: AB = 10 Zadatak br. 2 Rješenje: D DCE - pravougaonik sa hipotenuzom DE, prema Pitagorinoj teoremi: DE2 = DC2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...

Neeuklidska geometrija

N.I. Lobačevski je primetio da se neeuklidska geometrija koju je stvorio u infinitezimalnoj, odnosno u prvoj aproksimaciji, poklapa sa geometrijom euklidske ravni. Ilustrujmo to na primjeru Pitagorine teoreme...

Numerologija

Glavne odredbe trenutne verzije zapadne numerologije razvijene su u 6. veku pre nove ere. e. starogrčki filozof i matematičar Pitagora, koji je ujedinio matematičke sisteme Arapa, Druida...

Numerologija

Pitagora, njegovi učenici i sljedbenici sveli su sve brojeve na brojeve od 1 do 9 uključujući, jer su to izvorni brojevi iz kojih se mogu dobiti svi ostali (ovo samo po sebi više nije vjerodostojno...

Numerologija

Pitagora smatra da brojevi nisu samo apstraktne zamjene za stvarne stvari, već i živa bića koja odražavaju svojstva prostora, energije ili zvučne vibracije. Glavna nauka o brojevima, aritmetika...

O pitagorejskoj matematici

Pitagora nije samo najpopularniji naučnik, već i najmisterioznija ličnost, čovek simbol, čovek fantom, filozof i prorok. Osnivač deduktivnog naučnog znanja matematike i osnivač mnogih mističnih učenja...

Glavni problem ovog rada može se podijeliti na podprobleme i predstaviti u obliku stabla problema (vidi sliku 1.1) 1. Složenost sekvencijalne obrade svih mogućih različitih stanja Rubikove kocke 1.1...

Sistemska analiza grupa transformacija stanja Rubikove kocke

Glavni cilj ovog rada može se podijeliti na podciljeve i predstaviti u obliku stabla ciljeva (vidi sliku 1.2). 1. Istražite mogućnost kreiranja algoritama i formulirajte preporuke...

Statistička analiza bankarskih aktivnosti. Proučavanje modela procjene kreditnog rizika

Klasifikaciono stablo je opštiji algoritam za segmentiranje uzorka za obuku presedana. U metodi klasifikacionog stabla, segmentacija presedana nije specificirana pomoću n-dimenzionalne mreže...

Elementi kombinatorike

Ciljevi: · provjeriti znanje o temama: „Traženje obrazaca“, „Pregledavanje mogućih opcija. Stablo mogućih opcija”, „Pravilo sume i pravilo proizvoda”. Oprema: kartice sa samostalnim radom Napredak časa 1...