Paralelepiped je geometrijska figura čiji su svih 6 lica paralelogrami.

Ovisno o vrsti ovih paralelograma, razlikuju se sljedeće vrste paralelopipeda:

• ravno;
• inclined;
• pravougaona.

Pravi paralelepiped je četvorougaona prizma čije ivice čine ugao od 90° sa ravninom osnove.

Pravougaoni paralelepiped je četvorougaona prizma čija su sva lica pravougaonici. Kocka je vrsta četvorougaone prizme u kojoj su sve strane i ivice jednake jedna drugoj.

Osobine figure unaprijed određuju njena svojstva. One uključuju sljedeće 4 izjave:

Lako je zapamtiti sva navedena svojstva, lako su razumljiva i izvedena su logički na osnovu tipa i karakteristika geometrijskog tijela. Međutim, jednostavne izjave mogu biti nevjerovatno korisne pri rješavanju tipičnih USE zadataka i uštedjet će vrijeme potrebno za polaganje testa.

Paralelepipedne formule

Da biste pronašli odgovore na problem, nije dovoljno znati samo svojstva figure. Možda će vam trebati i neke formule za pronalaženje površine i zapremine geometrijskog tijela.

Površina baza nalazi se na isti način kao i odgovarajući indikator paralelograma ili pravokutnika. Možete sami odabrati bazu paralelograma. U pravilu, pri rješavanju problema lakše je raditi s prizmom čija je osnova pravougaonik.

Formula za pronalaženje bočne površine paralelepipeda također može biti potrebna u testnim zadacima.

Primjeri rješavanja tipičnih zadataka Jedinstvenog državnog ispita

Vježba 1.

Dato: pravougaoni paralelepiped dimenzija 3, 4 i 12 cm.
Neophodno pronađite dužinu jedne od glavnih dijagonala figure.
Rješenje: Svako rješenje geometrijskog problema mora započeti izradom ispravnog i jasnog crteža, na kojem će biti naznačeno „dato“ i željena vrijednost. Na slici ispod prikazan je primjer ispravnog izvršavanja uslova zadatka.

Nakon što smo pregledali napravljeni crtež i zapamtili sva svojstva geometrijskog tijela, dolazimo do jedinog na pravi način rješenja. Primjenom 4. svojstva paralelepipeda dobijamo sljedeći izraz:

Nakon jednostavnih proračuna dobijamo izraz b2=169, dakle b=13. Odgovor na zadatak je pronađen, ne morate potrošiti više od 5 minuta tražeći ga i crtajući.

Ciljevi lekcije:

1. Obrazovni:

Upoznati pojam paralelepipeda i njegove vrste;
- formulisati (koristeći analogiju sa paralelogramom i pravougaonikom) i dokazati svojstva paralelepipeda i kvadra;
- ponoviti pitanja vezana za paralelizam i okomitost u prostoru.

2. Razvojni:

Nastavite razvijati takve vještine kod učenika kognitivni procesi kao percepcija, razumijevanje, razmišljanje, pažnja, pamćenje;
- promoviraju razvoj elemenata kod učenika kreativna aktivnost kao kvaliteti mišljenja (intuicija, prostorno razmišljanje);
- razviti kod učenika sposobnost izvođenja zaključaka, uključujući i analogiju, što pomaže u razumijevanju unutarpredmetnih veza u geometriji.

3. Obrazovni:

Doprinijeti razvoju organizacije i navika sistematskog rada;
- doprinose formiranju estetskih vještina prilikom pisanja bilješki i crtanja.

Vrsta lekcije: lekcija - učenje novog materijala (2 sata).

Struktura lekcije:

1. Organizacioni momenat.
2. Ažuriranje znanja.
3. Proučavanje novog gradiva.
4. Sumiranje i postavljanje domaće zadaće.

Oprema: posteri (slajdovi) sa dokazima, modeli raznih geometrijskih tijela, uključujući sve vrste paralelepipeda, grafički projektor.

Tokom nastave.

1. Organizacioni momenat.

2. Ažuriranje znanja.

Saopštavanje teme časa, formulisanje ciljeva i zadataka zajedno sa učenicima, pokazivanje praktičnog značaja proučavanja teme, ponavljanje prethodno proučenih pitanja vezanih za ovu temu.

3. Proučavanje novog gradiva.

3.1. Paralelepiped i njegove vrste.

Demonstrirani su modeli paralelepipeda, identificirajući njihove karakteristike, koji pomažu u formuliranju definicije paralelepipeda koristeći koncept prizme.

definicija:

paralelepiped naziva se prizma čija je osnova paralelogram.

Napravljen je crtež paralelepipeda (slika 1), navedeni su elementi paralelepipeda kao posebnog slučaja prizme. Prikazan je slajd 1.

Šematski zapis definicije:

Formulisani su zaključci iz definicije:

1) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD paralelogram, onda je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelepiped.

2) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelepiped, tada je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD paralelogram.

3) Ako ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram, tada
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelepiped.

4) . Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelepiped, tada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram.

Zatim se razmatraju posebni slučajevi paralelepipeda sa konstrukcijom klasifikacione šeme (vidi sliku 3), demonstriraju se modeli, naglašavaju karakteristična svojstva ravnih i pravokutnih paralelepipeda i formuliraju se njihove definicije.

definicija:

Paralelepiped se naziva ravnim ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu.

definicija:

Paralelepiped se zove pravougaona, ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu, a osnova je pravougaonik (vidi sliku 2).

Nakon što se definicije zabilježe u šematskom obliku, formuliraju se zaključci iz njih.

3.2. Svojstva paralelepipeda.

Potražite planimetrijske figure čiji su prostorni analozi paralelepiped i kuboid (paralelogram i pravougaonik). U ovom slučaju imamo posla s vizualnom sličnošću figura. Koristeći pravilo zaključivanja po analogiji, tabele se popunjavaju.

Pravilo zaključivanja po analogiji:

1. Odaberite neku od prethodno proučenih figure figure, slično ovome.
2. Formulirajte svojstvo odabrane figure.
3. Formulirajte slično svojstvo originalne figure.
4. Dokažite ili opovrgnite formulisanu tvrdnju.

Nakon formuliranja svojstava, dokaz svakog od njih provodi se prema sljedećoj shemi:

• rasprava o planu dokaza;
• demonstracija slajda sa dokazima (slajdovi 2 – 6);
• Učenici popunjavaju dokaze u svojim sveskama.

3.3 Kocka i njena svojstva.

Definicija: Kocka je pravougaoni paralelepiped u kojem su sve tri dimenzije jednake.

Po analogiji s paralelepipedom, učenici samostalno prave šematski zapis definicije, izvode posljedice iz nje i formulišu svojstva kocke.

4. Sumiranje i postavljanje domaće zadaće.

Zadaća:

1. Koristeći napomene iz udžbenika geometrije za 10-11 razred, L.S. Atanasyan i drugi, proučite Poglavlje 1, §4, stav 13, Poglavlje 2, §3, stav 24.
2. Dokazati ili opovrgnuti svojstvo paralelepipeda, tačka 2 tabele.
3. Odgovorite na sigurnosna pitanja.

Kontrolna pitanja.

1. Poznato je da su samo dvije bočne strane paralelepipeda okomite na osnovu. Koja vrsta paralelepipeda?

2. Koliko bočnih strana pravougaonog oblika može imati paralelepiped?

3. Da li je moguće imati paralelepiped sa samo jednom bočnom stranom:

1) okomito na osnovu;
2) ima oblik pravougaonika.

4. U desnom paralelepipedu sve su dijagonale jednake. Da li je pravougaona?

5. Da li je tačno da su kod pravog paralelepipeda dijagonalni presjeci okomiti na ravni baze?

6. Navedite teoremu obrnutu teoremi o kvadratu dijagonale pravokutnog paralelepipeda.

7. Koje dodatne karakteristike razlikuju kocku od pravougaonog paralelepipeda?

8. Hoće li paralelepiped biti kocka u kojoj su sve ivice na jednom od vrhova jednake?

9. Navedite teoremu o kvadratu dijagonale kvadra za slučaj kocke.

Paralelepiped je četvorougaona prizma sa paralelogramima u osnovi. Visina paralelepipeda je udaljenost između ravnina njegovih baza. Na slici je visina prikazana segmentom . Postoje dvije vrste paralelepipeda: ravni i nagnuti. Po pravilu, nastavnik matematike prvo daje odgovarajuće definicije za prizmu, a zatim ih prenosi na paralelepiped. I mi ćemo učiniti isto.

Dozvolite mi da vas podsjetim da se prizma naziva ravna ako su njene bočne ivice okomite na osnovice, ako nema okomitosti, prizma se naziva nagnuta; Ovu terminologiju nasljeđuje i paralelepiped. Desni paralelepiped nije ništa drugo do vrsta ravne prizme, čija se bočna ivica poklapa s visinom. Sačuvane su definicije pojmova kao što su lice, ivica i vrh, koji su zajednički za cijelu porodicu poliedara. Pojavljuje se koncept suprotnih lica. Paralelepiped ima 3 para suprotnih strana, 8 vrhova i 12 ivica.

Dijagonala paralelepipeda (dijagonala prizme) je segment koji spaja dva vrha poliedra i ne leži ni na jednoj njegovoj strani.

Dijagonalni presjek - presjek paralelepipeda koji prolazi kroz njegovu dijagonalu i dijagonalu njegove baze.

Svojstva nagnutog paralelepipeda:
1) Sve njegove strane su paralelogrami, a suprotne strane su jednaki paralelogrami.
2)Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele se u ovoj tački.
3)Svaki paralelepiped se sastoji od šest trouglastih piramida jednake zapremine. Da bi ih pokazao učeniku, nastavnik matematike mora odsjeći polovicu paralele s dijagonalnim presjekom i podijeliti ga posebno na 3 piramide. Njihove baze moraju ležati na različitim stranama originalnog paralelepipeda. Nastavnik matematike će naći primjenu ovog svojstva u analitička geometrija. Koristi se za izvođenje volumena piramide kroz mješoviti proizvod vektora.

Formule za zapreminu paralelepipeda:
1) , gdje je površina osnove, h visina.
2) Zapremina paralelepipeda jednaka je proizvodu površine poprečnog presjeka i bočne ivice.
Tutor matematike: Kao što znate, formula je zajednička za sve prizme i ako je učitelj to već dokazao, nema smisla ponavljati istu stvar za paralelepiped. Međutim, kada se radi sa učenikom prosječnog nivoa (formula nije korisna slabom učeniku), savjetuje se da nastavnik postupi upravo suprotno. Ostavite prizmu na miru i izvršite pažljiv dokaz za paralelepiped.
3) , gdje je zapremina jedne od šest trouglastih piramida koje čine paralelepiped.
4) Ako , onda

Površina bočne površine paralelepipeda je zbir površina svih njegovih strana:
Ukupna površina paralelepipeda je zbir površina svih njegovih strana, odnosno površina + dvije površine baze: .

O radu nastavnika sa nagnutim paralelepipedom:
Predavači matematike često ne rade na problemima koji uključuju nagnute paralelepipede. Vjerovatnoća da će se pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu je prilično mala, a didaktika je nepristojno loša. Manje-više pristojan problem za jačinu poziva nagnutog paralelepipeda ozbiljni problemi, povezano s određivanjem lokacije točke H - osnove njene visine. U ovom slučaju, nastavniku matematike se može savjetovati da odsiječe paralelepiped na jednu od svojih šest piramida (o tome mi pričamo u svojstvu br. 3), pokušajte pronaći njegovu zapreminu i pomnožiti je sa 6.

Ako bočna ivica paralelepipeda ima jednake uglove sa stranicama baze, tada H leži na simetrali ugla A osnove ABCD. A ako je, na primjer, ABCD romb, onda

Zadaci za nastavnike matematike:
1) Lica paralelepipeda su jednaka jedna drugoj sa stranicom od 2 cm i oštrim uglom. Pronađite zapreminu paralelepipeda.
2) U kosom paralelepipedu bočna ivica je 5 cm. Presjek okomit na njega je četverougao sa međusobno okomitim dijagonalama dužine 6 cm i 8 cm.
3) U kosom paralelepipedu je poznato da je , a u ABCD osnova je romb sa stranicom od 2 cm i kutom . Odrediti zapreminu paralelepipeda.

Tutor matematike, Aleksandar Kolpakov

Pravougaoni paralelepiped

Pravougaoni paralelepiped je pravi paralelepiped kojemu su sve strane pravokutnici.

Dovoljno je pogledati oko sebe, pa ćemo vidjeti da predmeti oko nas imaju oblik sličan paralelepipedu. Mogu se razlikovati po boji, imaju puno dodatnih detalja, ali ako se te suptilnosti odbace, onda možemo reći da, na primjer, ormar, kutija itd., imaju približno isti oblik.

S konceptom pravougaonog paralelepipeda nailazimo skoro svaki dan! Pogledaj oko sebe i reci mi gdje vidiš pravougaone paralelepipede? Pogledajte knjigu, potpuno je istog oblika! Cigla, kutija šibica, drveni blok imaju isti oblik, a čak ste i sada unutar pravougaonog paralelepipeda, jer je učionica najsjajnija interpretacija ovoga geometrijska figura.

vježba: Koje primjere paralelepipeda možete navesti?

Pogledajmo izbliza kvadar. I šta vidimo?

Prvo, vidimo da je ova figura formirana od šest pravougaonika, koji su lica kvadra;

Drugo, kvadar ima osam vrhova i dvanaest ivica. Rubovi kvadra su stranice njegovih strana, a vrhovi kvadra su vrhovi lica.

vježba:

1. Kako se zove svako od lica pravougaonog paralelepipeda? 2. Zahvaljujući kojim parametrima se može mjeriti paralelogram? 3. Definirajte suprotna lica.

Vrste paralelepipeda

Ali paralelepipedi nisu samo pravokutni, već mogu biti i ravni i nagnuti, a prave se dijele na pravokutne, nepravokutne i kocke.

Zadatak: Pogledaj sliku i reci koji su paralelepipedi prikazani na njoj. Po čemu se pravougaoni paralelepiped razlikuje od kocke?

Svojstva pravougaonog paralelepipeda

Pravougaoni paralelepiped ima niz važnih svojstava:

Prvo, kvadrat dijagonale ove geometrijske figure jednak je zbroju kvadrata njegova tri glavna parametra: visine, širine i dužine.

Drugo, sve četiri njegove dijagonale su apsolutno identične.

Treće, ako su sva tri parametra paralelepipeda ista, odnosno, dužina, širina i visina su jednake, tada se takav paralelepiped naziva kocka, a sve će njegove strane biti jednake istom kvadratu.

Vježbajte

1. Da li pravougaoni paralelepiped ima jednake stranice? Ako ih ima, pokažite ih na slici. 2. Koje? geometrijski oblici Koja su lica pravougaonog paralelepipeda? 3. Kakav je raspored jednakih ivica jedna u odnosu na drugu? 4. Navedite broj parova jednakih lica ove figure. 5. Pronađite rubove pravokutnog paralelepipeda koji označavaju njegovu dužinu, širinu, visinu. Koliko ste izbrojali?

Zadatak

Kako bi lijepo ukrasila rođendanski poklon svojoj majci, Tanya je uzela kutiju u obliku pravokutnog paralelepipeda. Veličina ove kutije je 25cm*35cm*45cm. Kako bi ovo pakovanje bilo prelijepo, Tanja ga je odlučila pokriti prelep papir, čija je cijena 3 grivne po 1 dm2. Koliko novca trebate potrošiti na papir za umotavanje?

Znaš li to poznati iluzionista Kao dio eksperimenta, David Blaine je proveo 44 dana u staklenom paralelepipedu obješenom iznad Temze. Ova 44 dana nije jeo, već je samo pio vodu. U svom dobrovoljnom zatvoru David je uzeo samo materijal za pisanje, jastuk i dušek i maramice.