geometrik alan- bu şeklin boyutunu gösteren bir geometrik şeklin sayısal bir özelliği (bu şeklin kapalı bir konturu ile sınırlanan yüzeyin bir kısmı). Alanın boyutu, içerdiği kare birimlerin sayısı ile ifade edilir.
Üçgen alan formülleri
- Kenar ve yükseklik için üçgen alan formülü
Bir üçgenin alanıüçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir - Üç kenar verilen bir üçgenin alanı ve çevrelenmiş dairenin yarıçapı için formül
- Üç kenar verilen bir üçgenin alanı ve yazılı bir dairenin yarıçapı için formül
Bir üçgenin alanıüçgenin yarım çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir. S, üçgenin alanıdır,
- üçgenin kenarlarının uzunlukları,
- üçgenin yüksekliği,
- kenarlar arasındaki açı ve,
- yazılı dairenin yarıçapı,
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı,
Kare alan formülleri
- Bir kenar uzunluğu verilen karenin alan formülü
kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir. - Köşegenin uzunluğu verilen bir karenin alanı için formül
kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.S= 1 2 2 S karenin alanıdır,
karenin kenar uzunluğu,
karenin köşegeninin uzunluğudur.
Dikdörtgen alan formülü
- dikdörtgen alan komşu iki kenarının uzunluklarının çarpımına eşittir
S, dikdörtgenin alanıdır,
dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır.
Paralelkenar alanı için formüller
- Kenar uzunluğu ve yüksekliği için paralelkenar alan formülü
paralelkenar alanı - İki taraf ve aralarındaki açı verilen bir paralelkenarın alanı için formül
paralelkenar alanı kenarlarının uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.bir b sinα
S, paralelkenarın alanıdır,
paralelkenarın kenarlarının uzunlukları,
paralelkenarın yüksekliği,
paralelkenarın kenarları arasındaki açıdır.
Bir eşkenar dörtgen alanı için formüller
- Kenar uzunluğu ve yüksekliği verilen eşkenar dörtgen alan formülü
eşkenar dörtgen alanı kenarının uzunluğu ile bu kenara indirilen yüksekliğin çarpımına eşittir. - Kenar uzunluğu ve açı verilen bir eşkenar dörtgen alan formülü
eşkenar dörtgen alanı kenar uzunluğunun karesi ile eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir. - Köşegenlerinin uzunluklarından bir eşkenar dörtgen alan formülü
eşkenar dörtgen alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir. S, eşkenar dörtgenin alanıdır,
- eşkenar dörtgen tarafının uzunluğu,
- eşkenar dörtgen yüksekliğinin uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açı,
1, 2 - köşegenlerin uzunlukları.
yamuk alan formülleri
- Bir yamuk için Heron'un formülü
S, yamuğun alanı olduğunda,
- yamuk tabanlarının uzunluğu,
- yamuğun kenarlarının uzunluğu,
paralelkenar alanı
Teorem 1
Paralelkenarın alanı, kenarının uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır.
$a$ paralelkenarın kenarı olduğunda, $h$ bu tarafa çizilen yüksekliktir.
Kanıt.
Bize $AD=BC=a$ olan bir $ABCD$ paralelkenar verelim. $DF$ ve $AE$ yüksekliklerini çizelim (Şekil 1).
Resim 1.
$FDAE$ rakamının bir dikdörtgen olduğu açıktır.
\[\açı BAE=(90)^0-\açı A,\ \] \[\açı CDF=\açı D-(90)^0=(180)^0-\açı A-(90)^0 =(90)^0-\açı A=\açı BAE\]
Bu nedenle, $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$ olduğundan, $I$ ile üçgen eşitlik testi yapılır. O zamanlar
Dikdörtgen alan teoremine göre:
Teorem kanıtlanmıştır.
Teorem 2
Bir paralelkenarın alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun, bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımı olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak, bu aşağıdaki gibi yazılabilir
$a,\ b$ paralelkenarın kenarları olduğunda, $\alpha $ aralarındaki açıdır.
Kanıt.
Bize $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ ile $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF=h$ yüksekliğini çizin (Şekil 2).
Şekil 2.
Sinüs tanımına göre,
Sonuç olarak
Dolayısıyla, Teoreme göre $1$:
Teorem kanıtlanmıştır.
Bir üçgenin alanı
Teorem 3
Bir üçgenin alanı, kenarının uzunluğunun ve ona çizilen yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak, bu aşağıdaki gibi yazılabilir
$a$ üçgenin kenarı olduğunda, $h$ bu tarafa çizilen yüksekliktir.
Kanıt.
Figür 3
Yani Teoreme göre $1$:
Teorem kanıtlanmıştır.
teorem 4
Bir üçgenin alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun, bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak, bu aşağıdaki gibi yazılabilir
$a,\ b$ üçgenin kenarları olduğunda, $\alpha $ aralarındaki açıdır.
Kanıt.
Bize $AB=a$ olan bir $ABC$ üçgeni verilsin. $CH=h$ yüksekliğini çizin. Bunu $ABCD$ paralelkenarına kadar oluşturalım (Şekil 3).
Açıkçası, $\triangle ACB=\triangle CDB$ ile $I$. O zamanlar
Yani Teoreme göre $1$:
Teorem kanıtlanmıştır.
yamuk alanı
Teorem 5
Bir yamuğun alanı, taban uzunlukları ile yüksekliğinin toplamının çarpımının yarısı olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak, bu aşağıdaki gibi yazılabilir
Kanıt.
Bize $AK=a,\ BC=b$ olan bir yamuk $ABCK$ verilsin. Bunun içine $BM=h$ ve $KP=h$ yüksekliklerini ve ayrıca $BK$ köşegenini çizelim (Şekil 4).
Şekil 4
Teorem 3$'a göre,
Teorem kanıtlanmıştır.
Görev örneği
örnek 1
Kenar uzunluğu $a.$ ise bir eşkenar üçgenin alanını bulun.
Çözüm.
Üçgenin eşkenar olduğu için tüm açıları $(60)^0$'a eşittir.
O zaman, Teorem 4$'a göre,
Cevap:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.
Bu sorunun sonucunun, belirli bir kenarı olan herhangi bir eşkenar üçgenin alanını bulmak için kullanılabileceğini unutmayın.
Öklid geometrisinde olduğu gibi, nokta ve düz çizgi, düzlemler teorisinin ana unsurlarıdır, bu nedenle paralelkenar, dışbükey dörtgenlerin kilit figürlerinden biridir. Ondan, bir topun iplikleri gibi, "dikdörtgen", "kare", "eşkenar dörtgen" ve diğer geometrik miktarlar kavramlarını akar.
Temas halinde
Paralelkenarın tanımı
dışbükey dörtgen, Her bir çifti paralel olan parçalardan oluşan, geometride paralelkenar olarak bilinir.
Klasik bir paralelkenar dörtgen bir ABCD'ye benziyor. Kenarlara tabanlar (AB, BC, CD ve AD), herhangi bir tepe noktasından bu tepenin karşı tarafına çizilen dikme yükseklik (BE ve BF), AC ve BD doğruları köşegenlerdir.
Dikkat! Kare, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.
Kenarlar ve açılar: oran özellikleri
Temel özellikler, genel olarak, atamanın kendisi tarafından önceden belirlenmiş, teorem ile ispatlanırlar. Bu özellikler aşağıdaki gibidir:
- Zıt taraflar çiftler halinde aynıdır.
- Birbirine zıt açılar çift olarak eşittir.
İspat: ABCD dörtgeninin AC doğrusuna bölünmesiyle elde edilen ∆ABC ve ∆ADC'yi ele alalım. ∠BCA=∠CAD ve ∠BAC=∠ACD, çünkü AC onlar için ortaktır (sırasıyla BC||AD ve AB||CD için dikey açılar). Buradan şu sonuç çıkar: ∆ABC = ∆ADC (üçgenlerin eşitliği için ikinci kriter).
∆ABC'deki AB ve BC segmentleri, ∆ADC'deki CD ve AD satırlarına çiftler halinde karşılık gelir, bu da aynı oldukları anlamına gelir: AB = CD, BC = AD. Böylece, ∠B, ∠D'ye karşılık gelir ve eşittirler. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD çiftler halinde aynı olduğundan, ∠A = ∠C. Mülkiyet kanıtlanmıştır.
Figürün köşegenlerinin özellikleri
Ana özellik bu paralelkenar çizgileri: kesişme noktası onları ikiye böler.
İspat: ABCD şeklinin AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası m E olsun. İki orantılı üçgen oluştururlar - ∆ABE ve ∆CDE.
AB=CD zıt oldukları için. Doğrulara ve sekanslara göre ∠ABE = ∠CDE ve ∠BAE = ∠DCE.
İkinci eşitlik işaretine göre, ∆ABE = ∆CDE. Bu, ∆ABE ve ∆CDE öğelerinin AE = CE, BE = DE olduğu ve ayrıca AC ve BD'nin orantılı parçaları olduğu anlamına gelir. Mülkiyet kanıtlanmıştır.
Bitişik köşelerin özellikleri
Bitişik kenarlarda açıların toplamı 180° dir., çünkü paralel çizgiler ve sekantın aynı tarafında yer alırlar. ABCD dörtgeni için:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Bisektör özellikleri:
- , bir tarafa düşürüldü, dik;
- zıt köşeler paralel açıortaylara sahiptir;
- bisektör çizilerek elde edilen üçgen ikizkenar olacaktır.
Bir paralelkenarın karakteristik özelliklerini teoremle belirleme
Bu şeklin özellikleri, aşağıdaki gibi okunan ana teoreminden kaynaklanmaktadır: dörtgen paralelkenar olarak kabul edilir köşegenlerinin kesişmesi durumunda ve bu nokta onları eşit parçalara böler.
İspat: ABCD dörtgeninin AC ve BD doğruları t.E'de kesişsin. ∠AED = ∠BEC ve AE+CE=AC BE+DE=BD olduğundan, ∆AED = ∆BEC (üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretiyle). Yani, ∠EAD = ∠ECB. Bunlar aynı zamanda AD ve BC doğruları için AC sekantının iç kesişim açılarıdır. Böylece paralellik tanımı gereği - AD || M.Ö. BC ve CD çizgilerinin benzer bir özelliği de türetilmiştir. Teorem kanıtlanmıştır.
Bir figürün alanını hesaplama
Bu rakamın alanı birkaç şekilde bulunur en basitlerinden biri: çizildiği yüksekliği ve tabanı çarpmak.
İspat: B ve C köşelerinden BE ve CF diklerini çizin. AB = CD ve BE = CF olduğundan ∆ABE ve ∆DCF eşittir. ABCD, EBCF dikdörtgenine eşittir, çünkü bunlar aynı zamanda orantılı rakamlardan oluşur: S ABE ve S EBCD'nin yanı sıra S DCF ve S EBCD. Bu geometrik şeklin alanının dikdörtgeninkiyle aynı olduğu sonucu çıkar:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Bir paralelkenarın alanı için genel formülü belirlemek için yüksekliği şu şekilde belirtiriz: hb, ve yan b. Sırasıyla:
Alan bulmanın diğer yolları
Alan hesaplamaları paralelkenar ve açının kenarları boyunca oluşturdukları, bilinen ikinci yöntemdir.
,
Spr-ma - alan;
a ve b onun kenarları
α - a ve b segmentleri arasındaki açı.
Bu yöntem pratik olarak ilkine dayanmaktadır, ancak bilinmiyor olması durumunda. her zaman parametreleri trigonometrik özdeşlikler tarafından bulunan bir dik üçgeni keser, yani . Oranı dönüştürerek elde ederiz. Birinci yöntemin denkleminde yüksekliği bu çarpımla değiştiriyoruz ve bu formülün geçerliliğine dair bir kanıt elde ediyoruz.
Bir paralelkenar ve bir açının köşegenleri boyunca, kesiştiklerinde oluşturdukları alanı da bulabilirsiniz.
Kanıt: AC ve BD kesişen dört üçgen oluşturur: ABE, BEC, CDE ve AED. Toplamları bu dörtgenin alanına eşittir.
Bunların her birinin alanı ∆ ifadesinden bulunabilir, burada a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. olduğundan, hesaplamalarda sinüsün tek bir değeri kullanılır. Yani . AE+CE=AC= d 1 ve BE+DE=BD= d 2 olduğundan, alan formülü şuna indirgenir:
.
Vektör cebirinde uygulama
Bu dörtgenin bileşenlerinin özellikleri vektör cebirinde uygulama bulmuştur, yani: iki vektörün eklenmesi. Paralelkenar kuralı şunu belirtir: vektörler verilirseveolumsuzlukdoğrusaldır, o zaman toplamları, tabanları bu vektörlere karşılık gelen bu şeklin köşegenine eşit olacaktır.
Kanıt: keyfi olarak seçilmiş bir başlangıçtan - yani. - vektörler oluşturuyoruz ve . Ardından, OA ve OB segmentlerinin yan olduğu bir paralelkenar OASV oluşturuyoruz. Bu nedenle, işletim sistemi vektör veya toplam üzerinde bulunur.
Paralelkenarın parametrelerini hesaplamak için formüller
Kimlikler aşağıdaki koşullar altında verilir:
- a ve b, a - taraflar ve aralarındaki açı;
- d 1 ve d 2 , γ - köşegenler ve kesişme noktalarında;
- h a ve h b - a ve b taraflarına indirilen yükseklikler;
| Parametre | formül |
| taraf bulma | |
| köşegenler boyunca ve aralarındaki açının kosinüsü | 
|
| çapraz ve yanlamasına | 
|
| yükseklik ve karşı köşe boyunca | |
| Köşegenlerin uzunluğunu bulma | |
| yanlarda ve aralarındaki üst boyutu | |
| kenarlar ve köşegenlerden biri boyunca | 
ÇözümGeometrinin kilit figürlerinden biri olan paralelkenar, yaşamda, örneğin inşaatta sitenin alanını veya diğer ölçümleri hesaplarken kullanılır. Bu nedenle, ayırt edici özellikleri ve çeşitli parametrelerini hesaplama yöntemleri hakkında bilgi, yaşamın herhangi bir zamanında faydalı olabilir. |
Paralelkenar - genellikle geometri dersinin görevlerinde (planimetri bölümü) bulunan geometrik bir şekil. Bu dörtgenin temel özellikleri, karşıt açıların eşitliği ve iki çift paralel karşı kenarın varlığıdır. Paralelkenarın özel durumları eşkenar dörtgen, dikdörtgen, karedir.
Bu tür çokgenin alanının hesaplanması birkaç şekilde yapılabilir. Her birini düşünelim.
Kenarı ve yüksekliği biliniyorsa paralelkenarın alanını bulun
Bir paralelkenarın alanını hesaplamak için, kenarının değerlerini ve üzerine indirilen yüksekliğin uzunluğunu kullanabilirsiniz. Bu durumda, elde edilen veriler hem bilinen bir taraf için - şeklin tabanı için hem de şeklin tarafı elinizin altındaysa - güvenilir olacaktır. Bu durumda, istenen değer aşağıdaki formülle elde edilecektir:
S = a * h(a) = b * h(b),
- S belirlenecek alandır,
- a, b - bilinen (veya hesaplanan) taraf,
- h, üzerine indirilen yüksekliktir.
Örnek: Paralelkenarın taban değeri 7 cm, karşı köşeden üzerine düşen dikmenin uzunluğu 3 cm'dir.
Çözüm: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
2 kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa paralelkenarın alanını bulun
Şeklin iki tarafının büyüklüğünü ve birbirleriyle oluşturdukları açının derece ölçüsünü bildiğiniz durumu düşünün. Sağlanan veriler, paralelkenarın alanını bulmak için de kullanılabilir. Bu durumda, formül ifadesi şöyle görünecektir:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a - yan,
- c bilinen (veya hesaplanan) bir bazdır,
- α, β, a ve c kenarları arasındaki açılardır.
Örnek: Bir paralelkenarın tabanı 10 cm, kenarı 4 cm daha küçüktür. Şeklin geniş açısı 135 ° 'dir.
Çözüm: ikinci tarafın değerini belirleyin: 10 - 4 \u003d 6 cm.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * günah(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Köşegenler ve aralarındaki açı biliniyorsa paralelkenarın alanını bulun
Belirli bir çokgenin köşegenlerinin bilinen değerlerinin yanı sıra kesişmeleri sonucunda oluşturdukları açının varlığı, şeklin alanını belirlemeyi mümkün kılar.
S = (d1*d2)/2*siny,
S = (d1*d2)/2*sinφ,
S belirlenecek alandır,
d1, d2 bilinen (veya hesaplanan) köşegenlerdir,
γ, φ d1 ve d2 köşegenleri arasındaki açılardır.
Paralelkenarın tanımı
Paralelkenar karşılıklı kenarları birbirine eşit ve paralel olan dörtgendir.
Cevrimici hesap makinesi
Paralelkenar, bu şekille ilgili sorunları çözmeyi kolaylaştıran bazı yararlı özelliklere sahiptir. Örneğin, bir özellik, bir paralelkenarın zıt açılarının eşit olmasıdır.
Birkaç yöntem ve formül düşünün, ardından basit örnekleri çözün.
Tabana ve yüksekliğe göre bir paralelkenar alanı formülü
Bu alanı bulma yöntemi muhtemelen en temel ve basit olanlardan biridir, çünkü birkaç istisna dışında bir üçgenin alanını bulma formülüyle hemen hemen aynıdır. Sayıları kullanmadan genelleştirilmiş bir durumla başlayalım.
Tabanlı keyfi bir paralelkenar olsun bir a, yan bb b ve yükseklik hs hüssümüze çekildi. O zaman bu paralelkenarın alanı için formül:
S = a ⋅ h S=a\cdot h S=bir ⋅h
bir a- temel;
hs h- yükseklik.
Tipik problemleri çözme alıştırması yapmak için kolay bir probleme bir göz atalım.
ÖrnekTabanın 10 (cm) ve yüksekliğin 5 (cm) olduğu bilinen bir paralelkenarın alanını bulun.
Çözüm
A=10 a=10 bir =1
0
h=5 h=5 h =5
Formülümüzde yerine koyun. Alırız:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1
0
⋅
5
=
5
0
(bkz. sq.)
Cevap: 50 (bkz. kare)
İki taraf ve aralarındaki açı verilen bir paralelkenarın alanı için formül
Bu durumda istenen değer şu şekilde bulunur:
S = a ⋅ b ⋅ günah (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=bir ⋅b ⋅günah(α)
a, b a, b bir, b- paralelkenarın kenarları;
α\alfa α
- kenarlar arasındaki açı bir a ve bb b.
Şimdi başka bir örnek çözelim ve yukarıdaki formülü kullanalım.
ÖrnekTarafı biliniyorsa paralelkenarın alanını bulun bir a, taban ve uzunluğu 20 (bkz.) ve çevresi olan kişi p, sayısal olarak 100'e eşit (bkz.), bitişik taraflar arasındaki açı ( bir a ve bb b) 30 dereceye eşittir.
Çözüm
A=20 a=20 bir =2
0
p=100 p=100 p=1
0
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Cevabı bulmak için bu dörtgenin sadece ikinci tarafını bilmiyoruz. Onu bulalım. Bir paralelkenarın çevresi şu şekilde verilir:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=bir +bir +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1
0
0
=
2
0
+
2
0
+
b +b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1
0
0
=
4
0
+
2b
60=2b 60=2b 6
0
=
2b
b=30 b=30 b=3
0
En zor kısım bitti, sadece kenarlar ve aralarındaki açı için değerlerimizi değiştirmek kalıyor:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ günah (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2
0
⋅
3
0
⋅
günah(3 0
∘
)
=
3
0
0
(bkz. sq.)
Cevap: 300 (bkz. sq.)
Köşegenler ve aralarındaki açı verilen bir paralelkenarın alanı için formül
S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ günah (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D ⋅d ⋅günah(α)
DD D- büyük köşegen;
gün d- küçük köşegen;
α\alfa α
köşegenler arasındaki dar açıdır.
Paralelkenarın köşegenleri 10'a (bkz.) ve 5'e (bkz.) eşit olarak verilmiştir. Aralarındaki açı 30 derecedir. alanını hesaplayınız.
Çözüm
D=10 D=10 D=1
0
d=5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ günah (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ günah(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (bkz. sq.)
