Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije
Pronalaženje intervala povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i važan dio drugih zadataka, posebno, studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o izvodu, što toplo preporučujem za preliminarnu studiju (ili ponavljanje)- također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suština derivatašto je skladan nastavak ovog članka. Mada, ako vrijeme ističe, onda je moguća i čisto formalna razrada primjera današnje lekcije.
I danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati funkciju koristeći derivat. Stoga se razumna dobra vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vaših monitora.
Zašto? Jedan od najpraktičnijih razloga je: da vam bude jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!
Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije
Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:
Za svaki slučaj, odmah ćemo se riješiti mogućih iluzija, posebno za one čitatelje koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnosti predznaka funkcije. Sada mi NEZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje prelazi os). Za uvjerljivost, mentalno obrišite osi i ostavite jedan grafikon. Jer interes je u tome.
Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. To je, više vrijednosti argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema gore“. Demo funkcija raste u intervalu .
Isto tako, funkcija opadajući na intervalu ako za bilo koje dvije točke danog intervala, tako da je , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija se smanjuje tokom intervala 
.
Ako se funkcija povećava ili smanjuje u intervalu, onda se ona poziva strogo monotono na ovom intervalu. Šta je monotonost? Shvatite to doslovno - monotonija.
Također je moguće definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Funkcija koja se ne opada ili ne raste na intervalu naziva se monotonom funkcijom na datom intervalu (stroga monotonost - poseban slučaj"samo" monotonija).
Teorija također razmatra i druge pristupe određivanju povećanja / smanjenja funkcije, uključujući polu-intervali, segmente, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, pristajemo da radimo s otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije i sasvim dovoljno za rješavanje mnogih praktičnih problema.
Na ovaj način, u mojim člancima, formulacija “monotonost funkcije” će se gotovo uvijek sakriti intervalima stroga monotonija(strogo povećanje ili strogo smanjenje funkcije).
Point susjedstvo. Riječi nakon kojih se učenici razbacuju gdje god mogu, i užasnuto se skrivaju po uglovima. …Iako nakon objave Cauchy granice vjerovatno se više ne kriju, već se samo lagano zadrhte =) Ne brinite, sada neće biti dokaza o teoremama matematičke analize - trebao mi je susjedstvo da rigoroznije formuliram definicije ekstremne tačke. pamtimo:
Neighbourhood point imenuje interval koji sadrži datu tačku, dok se radi pogodnosti često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:
U osnovi definicije:
Tačka se zove stroga maksimalna tačka, ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost ispunjena. U našem konkretan primjer ovo je tačka.
Tačka se zove stroga minimalna tačka, ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost ispunjena. Na crtežu - tačka "a".
Bilješka : zahtjev da susjedstvo bude simetrično uopće nije potrebno. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (iako sićušno, čak i mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uslove
Tačke se zovu tačke strogog ekstrema ili jednostavno ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.
Kako razumjeti riječ "ekstremum"? Da, direktno kao i monotonija. ekstremne tačke rollercoaster.
Kao iu slučaju monotonosti, u teoriji postoje i još češći nestrogi postulati (pod koje, naravno, spadaju smatrani strogi slučajevi!):
Tačka se zove maksimalni poen, ako postoji njegovu okolinu, tako da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, ako postoji njegovu okolinu, tako da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.
Imajte na umu da se prema posljednje dvije definicije, svaka tačka konstantne funkcije (ili „ravno područje“ neke funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, te argumente prepuštamo teoretičarima, jer u praksi gotovo uvijek razmišljamo o tradicionalnim "brdima" i "udubinama" (vidi crtež) sa jedinstvenim "kraljem brda" ili "močvarnom princezom". Kao varijanta, javlja se tačka, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u točki .
Oh, usput, oh royalty:
- značenje se zove maksimum funkcije;
- značenje se zove minimum funkcije.
Uobičajeno ime - ekstremi funkcije.
Molimo budite oprezni sa svojim riječima!
ekstremne tačke su "x" vrijednosti.
Ekstremi- vrijednosti "igre".
! Bilješka : ponekad se navedeni pojmovi odnose na tačke "x-y" koje leže direktno na GRAFIKU funkcije.
Koliko ekstrema može imati funkcija?
Ništa, 1, 2, 3, … itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačan broj minimuma i maksimuma.
BITAN! Izraz "maksimalna funkcija" nije identično izraz " maksimalna vrijednost funkcije". Lako je uočiti da je vrijednost maksimalna samo u ovdašnjoj četvrti, a u gornjem lijevom kutu su „naglo drugovi“. Isto tako, "minimalna funkcija" nije isto što i "minimalna vrijednost funkcije", a na crtežu možemo vidjeti da je vrijednost minimalna samo na određenom području. U tom smislu se nazivaju i ekstremne tačke lokalne ekstremne tačke, i ekstremi lokalni ekstremi. Oni šetaju i lutaju okolo i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi "lokalni" / "globalni" ne bi trebali biti iznenađeni.
Sumirajmo našu kratku digresiju u teoriju uz kontrolni snimak: šta podrazumijeva zadatak „pronaći intervale monotonosti i ekstremne tačke funkcije“?
Formulacija traži da se pronađe:
- intervali povećanja / smanjenja funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuju mnogo rjeđe);
– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako ih ima). Pa, bolje je pronaći minimume/maksimume iz neuspjeha ;-)
Kako sve ovo definisati? Uz pomoć derivacijske funkcije!
Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
ekstremne tačke i ekstremumi funkcije?
Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena lekcija o značenju izvedenice.
Tangentni derivat 
nosi dobre vijesti da se funkcija sve više povećava domene.
Sa kotangensom i njegovim derivatom 
situacija je upravo suprotna.
Arksinus raste na intervalu - izvod je ovdje pozitivan: 
.
Za , funkcija je definirana, ali nije diferencibilna. Međutim, u kritičnoj tački postoje desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici njihovi lijevi parnjaci.
Mislim da vam neće biti teško izvesti slično rezoniranje za arc kosinus i njegovu derivaciju.
Svi ovi slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz definicije derivata.
Zašto istraživati funkciju s derivatom?
Da biste dobili bolju predstavu o tome kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide "odozdo prema gore", gdje ide "od vrha prema dolje", gdje dostiže najniže razine (ako uopće). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva generalno nemamo ni najmanju ideju o grafu određene funkcije.
Vrijeme je da pređemo na značajnije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:
Primjer 1
Pronađite intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije
Rješenje:
1) Prvi korak je pronaći opseg funkcije, a također zabilježite tačke prekida (ako postoje). AT ovaj slučaj funkcija je kontinuirana na cijeloj realnoj liniji, a ova akcija je donekle formalna. Ali u nekim slučajevima ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se prema paragrafu odnosimo bez zanemarivanja.
2) Druga tačka algoritma je dospjela
neophodan uslov za ekstrem:
Ako u tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.
Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije "modulo x" .
uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u točki . Klasičan primjer je već osvijetljen iznad - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.
Ali kako god bilo, neophodno stanje ekstrem diktira potrebu pronalaženja sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:
Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer 
: "... uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ... Dakle, rješenje naše jednadžbe: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole ...". Sada, mislim da je svima jasno zašto je vrh parabole upravo u ovoj tački =) Uopšteno govoreći, ovdje bi trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivirajuća funkcija. Pa da podignemo nivo:
Primjer 2
Pronađite intervale monotonosti i ekstreme funkcije
Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i približan završni uzorak problema na kraju lekcije.
Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcionim racionalnim funkcijama:
Primjer 3
Istražite funkciju koristeći prvi izvod
Obratite pažnju na to kako se varijantno može preformulisati jedan te isti zadatak.
Rješenje:
1) Funkcija trpi beskonačne prekide u točkama .
2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom: 
Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je nula kada mu je brojilac nula:
Tako dobijamo tri kritične tačke: 
3) Odvojite SVE otkrivene tačke na brojevnoj pravoj i intervalna metoda definisati predznake DERIVATA:
Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku intervala, izračunati vrijednost derivacije u njoj 
i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procenjivati“. Uzmite, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršite zamjenu: 
. 
Dva "plusa" i jedan "minus" daju "minus", dakle, što znači da je izvod negativan na cijelom intervalu.
Akcija, kao što razumijete, mora se izvesti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku bilo kojeg intervala, što uvelike pojednostavljuje zadatak.
Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za 
i smanjuje se za . Pogodno je pričvrstiti intervale iste vrste pomoću ikone spoja.
U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dostigne svoj minimum: 
Razmislite zašto ne možete preračunati drugu vrijednost ;-)
Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMA - i smanjila se i ostala u opadanju.
! Hajde da ponovimo važna tačka : tačke se ne smatraju kritičnim - one imaju funkciju nije utvrđeno. Shodno tome, evo ekstremumi u principu ne mogu biti(čak i ako derivacija promijeni predznak).
Odgovori: funkcija se povećava za 
i opada na U tački kada je dostignut maksimum funkcije: 
, a u tački - minimum: .
Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote daje vrlo dobru ideju izgled graf funkcije. Prosječna osoba može verbalno utvrditi da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo naseg heroja: 
Pokušajte ponovo povezati rezultate studije sa grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji krivulja(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).
Primjer 4
Pronađite ekstreme funkcije
Primjer 5
Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije
... samo neka vrsta praznika X-u-a-cube ispada danas ....
Jaooo, ko je tamo u galeriji ponudio piće za ovo? =)
Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.
Monotonska funkcija je funkcija prirast koji ne mijenja predznak, odnosno uvijek nije negativan ili uvijek nepozitivan. Ako je dodatno inkrement različit od nule, tada se poziva funkcija strogo monotono. Monotona funkcija je funkcija koja varira u istom smjeru.
Funkcija se povećava ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Neka je data funkcija Tada
Kaže se da je (strogo) rastuća ili opadajuća funkcija (strogo) monotona.
Definicija ekstrema
Funkcija y = f(x) naziva se rastućom (opadajućom) u nekom intervalu ako je za x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).
Ako se diferencijabilna funkcija y = f(x) na segmentu povećava (smanjuje), tada je njen izvod na ovom segmentu f "(x) > 0
(f "(x)< 0).
Tačka xo naziva se tačka lokalnog maksimuma (minimuma) funkcije f(x) ako postoji susjedstvo tačke xo, za sve točke čije je nejednakost f(x) ≤ f(xo) (f(x ) ≥ f(xo)) je tačno.
Točke maksimuma i minimuma nazivaju se ekstremne točke, a vrijednosti funkcije u tim tačkama nazivaju se njene ekstremne tačke.
ekstremne tačke
Neophodni uslovi za ekstrem. Ako je tačka xo tačka ekstrema funkcije f (x), tada ili f "(xo) = 0, ili f (xo) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičnim, a sama funkcija je definirana na Ekstremu funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.
Prvi dovoljan uslov. Neka je xo kritična tačka. Ako f "(x) promijeni predznak iz plusa u minus kada prolazi kroz tačku xo, tada funkcija ima maksimum u tački xo, u suprotnom ima minimum. Ako derivacija ne promijeni predznak kada prolazi kroz kritičnu tačku, tada u tački xo ne postoji ekstremum.
Drugi dovoljan uslov. Neka funkcija f (x) ima izvod f "(x) u blizini tačke xo i drugi izvod u samoj tački xo. Ako je f" (xo) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
Na segmentu, funkcija y = f(x) može dostići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo u kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.
7. Intervali konveksnosti, konkavnosti funkcije .Pregibne tačke.
|
Funkcija Graf y=f(x) pozvao konveksan na intervalu (a;b), ako se nalazi ispod bilo koje svoje tangente na ovom intervalu. Funkcija Graf y=f(x) pozvao konkavna na intervalu (a;b), ako se nalazi iznad bilo koje svoje tangente u ovom intervalu. Na slici je prikazana kriva konveksna (a;b) i konkavno do (b;c). Primjeri. Uzmite u obzir dovoljan znak koji vam omogućava da odredite da li će graf funkcije u datom intervalu biti konveksan ili konkavan. Teorema. Neka y=f(x) diferenciran po (a;b). Ako u svim tačkama intervala (a;b) drugi izvod funkcije y = f(x) negativan, tj. f""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 je konkavno. Dokaz. Pretpostavimo za određenost da f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Uzmite graf funkcije y = f(x) proizvoljna tačka M 0 sa apscisom x 0 (a; b) i povucite kroz tačku M 0 tangenta. Njena jednadžba. Moramo pokazati da je graf funkcije na (a;b) leži ispod ove tangente, tj. sa istom vrednošću x ordinata krive y = f(x)će biti manji od ordinate tangente. |
|
Prelomna tačka funkcije
Ovaj izraz ima i druga značenja. tačka pregiba.
Funkcija unutarnja tačka prevojne tačke domene, takav da je kontinuiran u toj tački, postoji beskonačni izvod konačnog ili određenog predznaka u toj tački, i to je i kraj striktno konveksnog uzlaznog intervala i početak striktno silaznog konveksnog intervala, ili obrnuto.
Nezvanično
U ovom slučaju, poenta je tačka pregiba graf funkcije, odnosno graf funkcije u tački "savijanja". tangenta na nju u ovoj tački: za , tangenta leži ispod grafa, a pričvršćena je iznad grafa (ili obrnuto)
Funkcija at = f(X) naziva se povećanjem (opadanjem) na intervalu X, ako za bilo koju nejednakost 
Teorema (dovoljan uslov za povećanje funkcije). Ako je derivacija diferencijabilne funkcije pozitivna unutar nekog intervala x, onda se povećava na ovom intervalu.
Uzmite u obzir dvije vrijednosti x 1 i x 2 na ovom intervalu x. Neka .
Hajde da dokažemo 
Za funkciju f(x) na segmentu [ x 1; x 2] uslovi Lagranžove teoreme su, dakle, zadovoljeni
gdje 
, tj. pripada intervalu na kojem je derivacija pozitivna, što implicira da 
a desna strana jednakosti je pozitivna. Odavde 
i 
Slično se dokazuje i druga teorema.
Teorema (dovoljan uslov da se funkcija smanji). Ako je derivacija diferencijabilne funkcije negativna unutar nekog intervala X, onda se smanjuje na ovom intervalu.
Geometrijska interpretacija uslova monotonosti funkcije prikazana je na slici 7.
Ako su tangente na krivu u određenom intervalu usmjerene pod oštrim uglovima na osu apscise (slika 7a), tada funkcija raste, ako je pod tupom (slika 7b), onda se smanjuje.
Slika 7 - Geometrijska interpretacija uvjeta monotonosti funkcije
Primjer 1 at = X 2 – 4X + 3.
Rješenje. Imamo 
Očigledno 
at X> 2and 
u"<
0 at X<
2, tj. funkcija se smanjuje na intervalu 
i povećava se tokom intervala 
gdje X 0 =
2 -
apscisa vrha parabole.
Imajte na umu da je neophodan uslov za monotonost slabiji. Ako funkcija raste (opada) u nekom intervalu X, tada možemo samo tvrditi da je derivacija nenegativna (nepozitivna) na ovom intervalu: tj. u nekim tačkama derivacija monotone funkcije može biti jednaka nuli.
Primjer 2. Pronađite intervale monotonosti funkcije at = X 3 .
Rješenje. Nađimo derivat 
Očigledno je da at> 0 u . At X= 0 derivacija nestaje. Funkcija se monotono povećava na cijeloj brojevnoj osi.
Ekstremum funkcije
Definicija 1. Dot X 0 se naziva tačka maksimum funkcije f(XX 0 
Definicija 2. Dot X 1 se naziva tačka minimum funkcije f(X) ako je u nekom susjedstvu tačke X 1, nejednakost 
Vrijednosti funkcije u bodovima X 0 i X 1 se pozivaju respektivno maksimum i minimum funkcije.
Kombinuju se maksimum i minimum funkcije uobičajeno ime Ekstrem funkcije.
Ekstremum funkcije se često naziva lokalni ekstrem, naglašavajući činjenicu da je koncept ekstremuma povezan samo s dovoljno malim susjedstvom tačke x n. Dakle, na jednom intervalu funkcija može imati nekoliko ekstrema, a može se dogoditi da je minimum u jednoj tački veći od maksimuma u drugoj, na primjer na slici 8. 
Prisutnost maksimuma (ili minimuma) u zasebnoj tački u intervalu X uopće ne znači da u ovom trenutku funkcija f(X) uzima najveću (najmanju) vrijednost na ovom intervalu (ili, kako kažu, ima globalni maksimum (minimum)).
Neophodan uslov za ekstremum: Da bi funkcija y = f(X) je imao ekstrem u tački X 0 , potrebno je da njegov izvod u ovoj tački bude jednak nuli ( 
)ili nije postojao.
Tačke u kojima je zadovoljen neophodan ekstremni uslov, tj. derivacija je nula ili ne postoji, nazivaju se kritičan (ili stacionarno ).
Dakle, ako u bilo kojoj tački postoji ekstremum, onda je ova tačka kritična. Međutim, veoma je važno napomenuti da obrnuto nije tačno. Kritična tačka nije nužno tačka ekstrema.
Slika 8 – Ekstremi funkcije f(X)
Primjer 1. Pronađite kritične tačke funkcije i provjerite prisustvo ili odsustvo ekstremuma u tim tačkama.
povećanje na intervalu \(X\) ako za bilo koje \(x_1, x_2\u X\) tako da je \(x_1 Funkcija se poziva neopadajući \(\blacktriangleright\) Poziva se funkcija \(f(x)\). opadanje na intervalu \(X\) ako za bilo koje \(x_1, x_2\u X\) tako da je \(x_1 Funkcija se poziva bez povećanja na intervalu \(X\) ako za bilo koje \(x_1, x_2\u X\) tako da je \(x_1 \(\blacktriangleright\) Pozivaju se rastuće i opadajuće funkcije strogo monotono, i nerastuće i neopadajuće - samo monotono. \(\crni trougao desno\) Osnovna svojstva: I. Ako je funkcija \(f(x)\) striktno monotona na \(X\) , tada jednakost \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\u X\) ) implicira \(f(x_1) = f(x_2)\) i obrnuto. Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x\) je striktno rastuća za sve \(x\in \) , tako da jednačina \(x^2=9\) ima najviše jedno rješenje na ovom intervalu, odnosno jedan: \(x=-3\) . funkcija \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) je strogo rastuća za sve \(x\in (-1;+\infty)\) , tako da je jednadžba \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) ima najviše jedno rješenje na ovom intervalu, odnosno nijedno, jer brojilac na lijevoj strani nikada ne može biti nula. III. Ako je funkcija \(f(x)\) neopadajuća (ne rastuća) i kontinuirana na segmentu \(\) , a na krajevima segmenta uzima vrijednosti \(f(a)= A, f(b)=B\) , tada za \(C\in \) (\(C\in \) ) jednačina \(f(x)=C\) uvijek ima barem jedno rješenje. Primjer: funkcija \(f(x)=x^3\) je strogo rastuća (to jest, strogo monotona) i kontinuirana za sve \(x\in\mathbb(R)\) , tako da za bilo koje \(C\ u ( -\infty;+\infty)\) jednačina \(x^3=C\) ima tačno jedno rješenje: \(x=\sqrt(C)\) . Zadatak 1 #3153 Nivo zadatka: EGE lakši ima tačno dva korena. Prepišimo jednačinu u obliku: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Razmotrimo funkciju \(f(t)=t^3+t\) . Tada će jednačina biti prepisana u obliku: \ Istražujemo funkciju \(f(t)\) . \ Dakle, funkcija \(f(t)\) raste za sve \(t\) . To znači da svaka vrijednost funkcije \(f(t)\) odgovara tačno jednoj vrijednosti argumenta \(t\) . Dakle, da bi jednadžba imala korijen, potrebno je: \
Da bi rezultirajuća jednačina imala dva korijena, njen diskriminanta mora biti pozitivna: \
odgovor: \(\lijevo(-\infty;\dfrac1(12)\desno)\) Zadatak 2 #2653 Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) za koje je jednadžba \
ima dva korena. (Zadatak od pretplatnika.) Napravimo zamjenu: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Tada će jednačina poprimiti oblik: \
Razmotrimo funkciju \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Tada će naša jednadžba poprimiti oblik: Nađimo derivat \
Imajte na umu da je za sve \(w\ne 0\) derivacija \(f"(w)>0\) , jer \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . da je sama funkcija \(f(w)\) definirana za sve \(w\) . Osim toga, \(f(w)\) je kontinuirana, možemo zaključiti da je \(f (w)\) raste na svim \(\mathbb(R)\) . \
Da bi ova jednadžba imala dva korijena, ona mora biti kvadratna i njen diskriminanta mora biti pozitivna: \[\begin(slučajevi) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(slučajevi) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
odgovor: \((-\infty;1)\cup(1;2)\) Zadatak 3 #3921 Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu Pronađite sve pozitivne vrijednosti parametra \(a\) za koje je jednadžba ima najmanje \(2\) rješenja. Pomaknimo sve članove koji sadrže \(ax\) ulijevo, a one koji sadrže \(x^2\) udesno i razmotrimo funkciju Tada će originalna jednadžba poprimiti oblik: Nađimo derivat: Jer \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), zatim \(f"(t)\geqslant 0\) za bilo koji \(t\in \mathbb(R)\) . Štaviše, \(f"(t)=0\) ako je \((t-2)^2=0\) i \(1+\cos(2t)=0\) u isto vrijeme, što nije tačno za bilo koje \ (t\) Dakle, \(f"(t)> 0\) za bilo koje \(t\in \mathbb(R)\) . Tako je funkcija \(f(t)\) striktno rastuća za sve \(t\in \mathbb(R)\) . Dakle, jednačina \(f(ax)=f(x^2)\) je ekvivalentna jednačini \(ax=x^2\) . Jednačina \(x^2-ax=0\) sa \(a=0\) ima jedan korijen \(x=0\) , a sa \(a\ne 0\) ima dva različita korijena \(x_1 =0 \) i \(x_2=a\) . odgovor: \((0;+\infty)\) . Zadatak 4 #1232 Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \
ima jedinstveno rešenje. Pomnožite desnu i lijevu stranu jednačine sa \(2^(\sqrt(x+1))\) (jer \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) i prepišite jednačinu kao : \
Razmotrite funkciju \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) za \(t\geqslant 0\) (jer \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ). Derivat \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\desno)\). Jer \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) za sve \(t\geqslant 0\) , tada \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Posljedično, za \(t\geqslant 0\) funkcija \(y\) monotono opada. Jednačina se može posmatrati kao \(y(t)=y(z)\) , gdje je \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Iz monotonosti funkcije slijedi da je jednakost moguća samo ako je \(t=z\) . To znači da je jednačina ekvivalentna jednadžbi: \(ax=\sqrt(x+1)\) , što je zauzvrat ekvivalentno sistemu: \[\početak(slučajevi) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(slučajevi)\] Za \(a=0\) sistem ima jedno rješenje \(x=-1\) , koje zadovoljava uvjet \(ax\geqslant 0\) . Razmotrimo slučaj \(a\ne 0\) . Diskriminanta prve jednadžbe sistema \(D=1+4a^2>0\) za sve \(a\) . Prema tome, jednadžba uvijek ima dva korijena \(x_1\) i \(x_2\) i imaju različite predznake (jer prema Vietinoj teoremi \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). To znači da za \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) pozitivni korijen odgovara uslovu. Stoga sistem uvijek ima jedinstveno rješenje. Dakle \(a\in \mathbb(R)\) . odgovor: \(a\in \mathbb(R)\) . Zadatak 5 #1234 Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \
ima barem jedan korijen iz intervala \([-1;0]\) . Razmotrite funkciju \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) za neke fiksne \(a\) . Nađimo njen derivat: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). Imajte na umu da je \(f"(x)\geqslant 0\) za sve vrijednosti \(x\) i \(a\) , i da je jednako \(0\) samo za \(x=a=1 Ali za \(a=1\) : Dakle, za sve \(a\ne 1\) funkcija \(f(x)\) je strogo rastuća, stoga jednačina \(f(x)=0\) može imati najviše jedan korijen. S obzirom na svojstva kubične funkcije, graf \(f(x)\) za neki fiksni \(a\) će izgledati ovako: Dakle, da bi jednadžba imala korijen iz segmenta \([-1;0]\) potrebno je: \[\početak(slučajevi) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(slučajevi) \Desno \begin(slučajevi) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(slučajevi) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] Dakle \(a\u [-2;0]\) . odgovor: \(a\u [-2;0]\) . Zadatak 6 #2949 Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] ima korene. (Zadatak od pretplatnika) odz jednadžba: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Dakle, da bi jednadžba imala korijen, potrebno je da barem jedna od jednadžbi \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] imao odluke o ODZ-u. 1) Razmotrite prvu jednačinu \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(poravnano) \end(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Ova jednadžba mora imati korijen u \(\) . Zamislite krug: Dakle, vidimo da će za bilo koje \(2a+2\in [\sin 0;\\sin 1]\) jednačina imati jedno rješenje, a za sva ostala neće imati rješenja. Stoga, kada \(a\u \lijevo[-1;-1+\sin 1\desno]\) jednačina ima rješenja. 2) Razmotrimo drugu jednačinu \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] Razmotrimo funkciju \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Nađimo njen derivat: \
Na ODZ-u derivacija ima jednu nulu: \(x=\frac34\) , što je ujedno i maksimalna tačka funkcije \(f(x)\) . Stoga, da bi jednadžba imala rješenja, potrebno je da se graf \ (f (x) \) siječe s pravom \ (y \u003d -a \) (jedna od odgovarajućih opcija je prikazana na slici) . Odnosno, neophodno je to \
. Sa ovim \(x\): Funkcija \(y_1=\sqrt(x-1)\) je striktno rastuća. Graf funkcije \(y_2=5x^2-9x\) je parabola čiji je vrh u tački \(x=\dfrac(9)(10)\) . Dakle, za sve \(x\geqslant 1\) funkcija \(y_2\) je također striktno rastuća (desna grana parabole). Jer zbir strogo rastućih funkcija je striktno rastući, tada je \(f_a(x)\) striktno rastući (konstanta \(3a+8\) ne utiče na monotonost funkcije). Funkcija \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) za sve \(x\geqslant 1\) je dio desne grane hiperbole i striktno je opadajuća. Rješavanje jednadžbe \(f_a(x)=g_a(x)\) znači pronalaženje presječnih tačaka funkcija \(f\) i \(g\) . Iz njihove suprotne monotonosti proizlazi da jednačina može imati najviše jedan korijen. Za \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\cup odgovor: \(a\in(-\infty;-1]\šalica)
Dakle, jednakost \(f(t)=f(u)\) je moguća ako i samo ako je \(t=u\) . Vratimo se na originalne varijable i riješimo rezultirajuću jednadžbu:
\
\
\
Moramo pronaći vrijednosti \(a\) za koje će jednadžba imati najmanje dva korijena, također uzimajući u obzir činjenicu da je \(a>0\) .
Dakle, odgovor je: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Strelica desno f(x)=2(x-1)^3 \Strelica desno\) jednadžba \(2(x-1)^3=0\) ima jedan korijen \(x=1\) koji ne zadovoljava uvjet. Prema tome, \(a\) ne može biti jednako \(1\) .
Imajte na umu da \(f(0)=f(1)=0\) . Dakle, shematski, graf \(f(x)\) izgleda ovako: 
