Država obrazovne ustanove

srednji stručno obrazovanje

Tula region

"Aleksinsky Engineering College"

Numerički

setovi

Dizajnirano

nastavnik

matematike

Hristoforova M.Yu.

Broj - osnovni koncept koristi za karakteristike, poređenja, i njihovi dijelovi. Slova za označavanje brojeva su , kao i matematički .

Koncept broja nastao je u antičko doba iz praktičnih potreba ljudi i razvio se u procesu ljudskog razvoja. Širilo se polje ljudske aktivnosti i, shodno tome, porasla je potreba za kvantitativnim opisom i istraživanjem. U početku je pojam broja bio određen potrebama brojanja i mjerenja koje su se pojavile u praktične aktivnostičovjek, postaje sve složeniji. Kasnije broj postaje osnovni pojam matematike, a potrebe ove nauke određuju dalji razvoj ovaj koncept.

Skupovi čiji su elementi brojevi nazivaju se brojevi.

Primjeri numeričkih skupova su:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - skup prirodnih brojeva;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - skup nenegativnih cijelih brojeva;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - skup cijelih brojeva;

Q=(m/n: m Z,n N) je skup racionalnih brojeva.

R-skup realnih brojeva.

Između ovih skupova postoji relacija

N Zo Z Q R.

Unesite brojeveN = (1, 2, 3, ....) pozvaoprirodno . Prirodni brojevi su se pojavili u vezi sa potrebom za brojanjem objekata.

Bilo koji , veći od jedan, može se predstaviti kao proizvod potencija prostih brojeva, i jedini način do reda faktora. Na primjer, 121968=2 4 3 2 7 11 2

Ako am, n, k - onda prirodni brojevim - n = k oni to kažum - smanjeno, n - oduzeto, k - razlika; atm:n=k oni to kažum - dividenda, n - delilac, k - količnik, brojm takođe pozvanvišestruko brojevin, i brojn - djelitelj brojevim, Ako brojm- višestruko odn, onda postoji prirodan brojk, takav dam = kn.

Od brojeva uz pomoć znakova aritmetičkih operacija i zagrada,numeričke izraze. Ako izvršite naznačene radnje u numeričkom izrazu, poštujući prihvaćeni redoslijed, tada ćete dobiti broj koji se zovevrijednost izraza .

Redoslijed aritmetičkih operacija: radnje u zagradama se prvo izvode; unutar bilo koje zagrade, prvo izvršite množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.

Ako je prirodan brojm nije djeljiv prirodnim brojemn, one. ne postoji takavprirodni broj k, štam=kn, onda razmislitepodjela s ostatkom: m = np + r, gdjem - dividenda, n - djelitelj (m>n), p - količnik, r - ostatak .

Ako broj ima samo dva djelitelja (sam broj i jedan), onda se zovejednostavno : ako broj ima više od dva djelitelja, onda se zovekompozitni.

Svaki složeni prirodni broj može bitifaktorisati , i samo na jedan način. Kada dekomponujete brojeve na proste faktore, koristiteznakove djeljivosti .

a ib može se naćinajveći zajednički djelitelj. To je označenoD(a,b). Ako brojevia ib su takvi daD(a, b) = 1, zatim brojevia ib pozvaoobostrano jednostavno.

Za bilo koje prirodne brojevea ib može se naćinajmanji zajednički višekratnik. To je označenoK(a,b). Bilo koji zajednički višekratnik brojevaa ib podijeljenaK(a,b).

Ako brojevia ib coprime , tj.D(a, b) = 1, ondaK(a,b) = ab .

Unesite brojeve:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) pozvao cijeli brojevi , one. Cijeli brojevi su prirodni brojevi, suprotnosti prirodnim brojevima i broj 0.

Prirodni brojevi 1, 2, 3, 4, 5.... nazivaju se i pozitivni cijeli brojevi. Brojevi -1, -2, -3, -4, -5, ..., suprotni prirodnim brojevima, nazivaju se negativnim cijelim brojevima.

Značajni brojevi brojevima nazivaju se sve njegove cifre, osim vodećih nula.

Grupa znamenki koja se uzastopno ponavlja iza decimalnog zareza u decimalnom zapisu broja naziva seperiod, a beskonačan decimalni razlomak koji ima takav period u svojoj notaciji naziva seperiodični . Ako period počinje odmah nakon decimalnog zareza, tada se naziva razlomakčista periodična ; ako između zareza i tačke ima drugih decimalnih mjesta, tada se naziva razlomakmješoviti periodični .

Zovu se brojevi koji nisu cijeli ili razlomciiracionalno .

Svaki iracionalni broj je predstavljen kao neperiodični beskonačni decimalni razlomak.

Zove se skup svih konačnih i beskonačnih decimalnih razlomakamnogi realni brojevi : racionalno i iracionalno.

Skup R realnih brojeva ima sljedeća svojstva.

1. Naređeno je: za bilo koja dva različita broja α i b, jedna od dvije relacije a

2. Skup R je gust: između bilo koja dva razni brojevi a i b sadrže beskonačan skup realnih brojeva x, tj. brojeva koji zadovoljavaju nejednakost a<х

Dakle, ako a

(a 2a< a+ba+b<2b  2 a a<(a+b)/2

Realni brojevi se mogu predstaviti kao tačke na brojevnoj pravoj. Za postavljanje brojevne linije potrebno je na pravoj liniji označiti tačku koja će odgovarati broju 0 ​​- referentnoj tački, a zatim odabrati jedan segment i naznačiti pozitivan smjer.

Svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara broju, koji je definisan kao dužina segmenta od početka do tačke o kojoj je reč, dok se kao jedinica mere uzima jedan segment. Ovaj broj je koordinata tačke. Ako se tačka uzme desno od početka, njena koordinata je pozitivna, a ako je lijevo negativna. Na primjer, tačke O i A imaju koordinate 0 i 2, koje se mogu napisati na sljedeći način: 0 (0), A (2).

Iz velike raznolikosti setovi od posebnog interesa su tzv setovi brojeva, odnosno skupovi čiji su elementi brojevi. Jasno je da za ugodan rad s njima morate biti u mogućnosti da ih zapišete. Sa notacijom i principima pisanja numeričkih skupova, započećemo ovaj članak. Zatim ćemo razmotriti kako su numerički skupovi prikazani na koordinatnoj liniji.

Navigacija po stranici.

Pisanje numeričkih skupova

Počnimo s prihvaćenom notacijom. Kao što je poznato, velika slova latinice koriste se za označavanje skupova. Numerički skupovi, kao poseban slučaj skupova, takođe se označavaju. Na primjer, možemo govoriti o numeričkim skupovima A, H, W itd. Od posebnog značaja su skupovi prirodnih, celobrojnih, racionalnih, realnih, kompleksnih brojeva itd., za koje su usvojene sopstvene oznake:

• N je skup svih prirodnih brojeva;
• Z je skup cijelih brojeva;
• Q je skup racionalnih brojeva;
• J je skup iracionalnih brojeva;
• R je skup realnih brojeva;
• C je skup kompleksnih brojeva.

Iz ovoga je jasno da nije potrebno označavati skup koji se sastoji, na primjer, od dva broja 5 i −7 kao Q, ova oznaka će biti pogrešna, jer slovo Q obično označava skup svih racionalnih brojeva. Za označavanje navedenog numeričkog skupa, bolje je koristiti neko drugo "neutralno" slovo, na primjer, A.

Pošto je riječ o notaciji, ovdje se podsjećamo i na notaciju praznog skupa, odnosno skupa koji ne sadrži elemente. Označava se znakom ∅.

Prisjetimo se i oznake pripadnosti i nečlanstva elementa u skupu. Da biste to učinili, koristite znakove ∈ - pripada i ∉ - ne pripada. Na primjer, unos 5∈N znači da broj 5 pripada skupu prirodnih brojeva, a 5.7∉Z - decimalni razlomak 5.7 ne pripada skupu cijelih brojeva.

Podsjetimo se i na notaciju koja je usvojena za uključivanje jednog skupa u drugi. Jasno je da su svi elementi skupa N uključeni u skup Z, pa je skup brojeva N uključen u Z, to se označava kao N⊂Z. Možete koristiti i zapis Z⊃N, što znači da skup svih cijelih brojeva Z uključuje skup N. Relacije koje nisu uključene i koje nisu uključene su označene znakovima ⊄ i , respektivno. Također se koriste nestriktni znaci uključivanja oblika ⊆ i ⊇, što znači, respektivno, uključeno ili podudara se i uključuje ili podudara.

Razgovarali smo o notaciji, prijeđimo na opis numeričkih skupova. U ovom slučaju ćemo se dotaknuti samo glavnih slučajeva koji se najčešće koriste u praksi.

Počnimo s numeričkim skupovima koji sadrže konačan i mali broj elemenata. Numerički skupovi koji se sastoje od konačnog broja elemenata mogu se prikladno opisati navođenjem svih njihovih elemenata. Svi elementi brojeva su napisani odvojeni zarezima i zatvoreni u , što je u skladu sa zajedničkim postavite pravila opisa. Na primjer, skup koji se sastoji od tri broja 0 , −0.25 i 4/7 može se opisati kao (0, −0.25, 4/7) .

Ponekad, kada je broj elemenata numeričkog skupa dovoljno velik, ali se elementi pokoravaju nekom obrascu, za opisivanje se koristi elipsa. Na primjer, skup svih neparnih brojeva od 3 do uključujući 99 može se napisati kao (3, 5, 7, ..., 99) .

Tako smo glatko pristupili opisu numeričkih skupova čiji je broj elemenata beskonačan. Ponekad se mogu opisati koristeći sve iste tri tačke. Na primjer, hajde da opišemo skup svih prirodnih brojeva: N=(1, 2. 3, …) .

Oni također koriste opis numeričkih skupova ukazujući na svojstva njegovih elemenata. U ovom slučaju se koristi notacija (x| svojstva). Na primjer, notacija (n| 8 n+3, n∈N) definira skup takvih prirodnih brojeva koji, kada se podijele sa 8, daju ostatak od 3. Isti skup se može opisati kao (11,19, 27, ...) .

U posebnim slučajevima, numerički skupovi sa beskonačnim brojem elemenata su poznati skupovi N, Z, R, itd. ili praznine u brojevima. I općenito, numerički skupovi su predstavljeni kao udruženje pojedinačni numerički intervali koji ih čine i numerički skupovi sa konačnim brojem elemenata (o kojima smo govorili malo više).

Hajde da pokažemo primer. Neka skup brojeva budu brojevi −10, −9, −8.56, 0, svi brojevi intervala [−5, −1.3] i brojevi otvorenog brojevnog zraka (7, +∞). Na osnovu definicije unije skupova, naznačeni numerički skup se može zapisati kao {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Takva notacija zapravo znači skup koji sadrži sve elemente skupova (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] i (7, +∞) .

Slično, kombinovanjem različitih numeričkih opsega i skupova pojedinačnih brojeva, može se opisati bilo koji skup brojeva (koji se sastoji od realnih brojeva). Ovdje postaje jasno zašto su uvedene takve vrste numeričkih intervala kao što su interval, poluinterval, segment, otvoreni numerički zrak i numerički zrak: svi oni, zajedno s notacijom skupova pojedinačnih brojeva, omogućavaju da opiše bilo koje numeričke skupove kroz njihovu uniju.

Imajte na umu da se prilikom pisanja numeričkog skupa njegovi sastavni brojevi i numerički intervali sortiraju uzlaznim redoslijedom. Ovo nije obavezan, ali poželjan uslov, jer je uređeni numerički skup lakše predstaviti i prikazati na koordinatnoj liniji. Također imajte na umu da takvi unosi ne koriste numeričke opsege sa zajedničkim elementima, jer takvi unosi mogu biti zamijenjeni unijom numeričkih raspona bez zajedničkih elemenata. Na primjer, unija numeričkih skupova sa zajedničkim elementima [−10, 0] i (−5, 3) je poluinterval [−10, 3) . Isto važi i za uniju numeričkih intervala sa istim graničnim brojevima, na primer, unija (3, 5]∪(5, 7] je skup (3, 7] , na tome ćemo se posebno zadržati kada naučimo da pronaći presjek i uniju brojčanih skupova.

Slika skupova brojeva na koordinatnoj liniji

U praksi je zgodno koristiti geometrijske slike numeričkih skupova - njihove slike na . Na primjer, kada rješavanje nejednačina, u kojem je potrebno uzeti u obzir ODZ, potrebno je prikazati numeričke skupove kako bi se pronašli njihov presjek i/ili unija. Stoga će biti korisno dobro razumjeti sve nijanse predstavljanja numeričkih skupova na koordinatnoj liniji.

Poznato je da postoji korespondencija jedan-na-jedan između tačaka koordinatne linije i realnih brojeva, što znači da je sama koordinatna linija geometrijski model skupa svih realnih brojeva R. Dakle, da bi se prikazao skup svih realnih brojeva, potrebno je nacrtati koordinatnu liniju sa šrafiranjem cijelom dužinom:

A često čak ni ne navode porijeklo i jedan segment:

Sada razgovarajmo o slici numeričkih skupova, koji su neki konačan broj pojedinačnih brojeva. Na primjer, nacrtajmo skup brojeva (−2, −0.5, 1.2) . Geometrijska slika ovog skupa, koja se sastoji od tri broja -2, -0,5 i 1,2 biće tri tačke koordinatne linije sa odgovarajućim koordinatama:

Imajte na umu da obično za potrebe prakse nema potrebe da se crtež izvede precizno. Često je dovoljan shematski crtež, koji podrazumijeva opcionu skalu, dok je važno samo održavati relativni položaj tačaka jedna u odnosu na drugu: svaka točka s manjom koordinatom mora biti lijevo od točke s većom koordinatom. Prethodni crtež će shematski izgledati ovako:

Zasebno, od svih mogućih numeričkih skupova izdvajaju se numerički intervali (intervali, poluintervali, zraci itd.), koji predstavljaju njihove geometrijske slike, detaljno smo ispitali u odjeljku. Nećemo se ponavljati ovdje.

I ostaje samo da se zadržimo na slici numeričkih skupova, koji su unija nekoliko numeričkih intervala i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva. Ovdje nema ništa lukavo: prema značenju unije, u ovim slučajevima, na koordinatnoj liniji, trebate prikazati sve komponente skupa datog numeričkog skupa. Kao primjer, pokažimo sliku skupa brojeva (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

I hajde da se zadržimo na prilično čestim slučajevima kada je prikazani numerički skup čitav skup realnih brojeva, sa izuzetkom jedne ili više tačaka. Takvi skupovi su često specificirani uslovima kao što su x≠5 ili x≠−1, x≠2, x≠3,7 itd. U ovim slučajevima, geometrijski, oni predstavljaju cijelu koordinatnu liniju, sa izuzetkom odgovarajućih tačaka. Drugim riječima, ove tačke moraju biti “izbijene” iz koordinatne linije. Oni su prikazani kao krugovi sa praznim središtem. Radi jasnoće, prikazujemo numerički skup koji odgovara uslovima (ovaj set je u suštini):

Sažmite. U idealnom slučaju, informacije iz prethodnih paragrafa trebale bi formirati isti pogled na snimanje i reprezentaciju numeričkih skupova kao i pogled na pojedinačne numeričke intervale: snimanje numeričkog skupa treba odmah dati svoju sliku na koordinatnoj liniji, a od slike dalje. koordinatnu liniju, trebali bismo biti spremni da jednostavno opišemo odgovarajući numerički skup kroz uniju pojedinačnih praznina i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14:00 Deo 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Broj je apstrakcija koja se koristi za kvantifikaciju objekata. Brojevi su nastali u primitivnom društvu u vezi s potrebom da ljudi broje predmete. Vremenom, razvojem nauke, broj je postao najvažniji matematički pojam.

Da biste riješili probleme i dokazali različite teoreme, morate razumjeti koje su vrste brojeva. Glavne vrste brojeva su: prirodni brojevi, cijeli brojevi, racionalni brojevi, realni brojevi.

Integers- to su brojevi dobijeni prirodnim brojanjem objekata, odnosno njihovim numerisanjem ("prvi", "drugi", "treći" ...). Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N (može se zapamtiti na osnovu engleske riječi natural). To se može reći N ={1,2,3,....}

Cijeli brojevi su brojevi iz skupa (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ovaj skup se sastoji od tri dijela - prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva (suprotno prirodnim brojevima) i broja 0 (nula). Cijeli brojevi su označeni latiničnim slovom Z . To se može reći Z ={1,2,3,....}.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Latinsko slovo se koristi za označavanje racionalnih brojeva Q . Svi prirodni i celobrojni brojevi su racionalni. Također, kao primjere racionalnih brojeva možete navesti: ,,.

Realni (realni) brojevi su brojevi koji se koriste za mjerenje kontinuiranih veličina. Skup realnih brojeva označava se latiničnim slovom R. Realni brojevi uključuju racionalne i iracionalne brojeve. Iracionalni brojevi su brojevi koji se dobiju kao rezultat izvođenja različitih operacija nad racionalnim brojevima (na primjer, vađenje korijena, izračunavanje logaritama), ali istovremeno nisu racionalni. Primjeri iracionalnih brojeva su ,,.

Bilo koji realan broj može se prikazati na brojevnoj liniji:

Za gore navedene skupove brojeva, tačna je sljedeća izjava:

To jest, skup prirodnih brojeva je uključen u skup cijelih brojeva. Skup cijelih brojeva je uključen u skup racionalnih brojeva. A skup racionalnih brojeva je uključen u skup realnih brojeva. Ova izjava se može ilustrirati korištenjem Ojlerovih krugova.

Integers

Brojevi koji se koriste u brojanju nazivaju se prirodni brojevi. Na primjer, $1,2,3$ itd. Prirodni brojevi čine skup prirodnih brojeva, koji se označava sa $N$. Ova notacija dolazi od latinske riječi naturalis- prirodno.

Suprotni brojevi

Definicija 1

Ako se dva broja razlikuju samo po predznacima, nazivaju se u matematici suprotni brojevi.

Na primjer, brojevi $5$ i $-5$ su suprotni brojevi, jer razlikuju se samo u znakovima.

Napomena 1

Za bilo koji broj postoji suprotan broj, i osim toga, samo jedan.

Napomena 2

Nula je suprotna samoj sebi.

Cijeli brojevi

Definicija 2

cijeli prirodni brojevi, njihovi suprotni brojevi i nula nazivaju se brojevi.

Skup cijelih brojeva uključuje skup prirodnih brojeva i njihovih suprotnosti.

Označite cijele brojeve $Z.$

Razlomci brojeva

Brojevi oblika $\frac(m)(n)$ nazivaju se razlomci ili razlomci. Također, razlomci se mogu pisati u decimalnom zapisu, tj. u obliku decimala.

Na primjer: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ itd.

Baš kao i cijeli brojevi, razlomci mogu biti pozitivni ili negativni.

Racionalni brojevi

Definicija 3

Racionalni brojevi je skup brojeva koji sadrži skup cijelih i razlomaka brojeva.

Bilo koji racionalni broj, bilo cijeli ili razlomak, može se predstaviti kao razlomak $\frac(a)(b)$, gdje je $a$ cijeli broj, a $b$ prirodan broj.

Dakle, isti racionalni broj se može napisati na različite načine.

Na primjer,

Ovo pokazuje da se svaki racionalni broj može predstaviti kao konačni decimalni razlomak ili beskonačan decimalni periodični razlomak.

Skup racionalnih brojeva je označen sa $Q$.

Kao rezultat izvođenja bilo koje aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima, rezultat će biti racionalan broj. To je lako dokazati, zbog činjenice da pri sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju običnih razlomaka dobijete običan razlomak

Iracionalni brojevi

U toku izučavanja matematičkog predmeta često se susrećemo u rješavanju brojeva koji nisu racionalni.

Na primjer, da bismo potvrdili postojanje skupa neracionalnih brojeva, rješavamo jednačinu $x^2=6$ Korijeni ove jednačine su brojevi $\surd 6$ i -$\surd 6$. Ove brojke neće biti racionalne.

Također, kada se pronađe dijagonala kvadrata sa stranicom $3$, primjenom Pitagorine teoreme, dobijamo da će dijagonala biti jednaka $\surd 18$. Ovaj broj takođe nije racionalan.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalno.

Dakle, iracionalan broj naziva se beskonačan decimalni neperiodični razlomak.

Jedan od najčešćih iracionalnih brojeva je broj $\pi $

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija s iracionalnim brojevima, dobiveni rezultat može biti i racionalan i iracionalan broj.

To ćemo dokazati na primjeru pronalaženja proizvoda iracionalnih brojeva. Hajde da pronađemo:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Odluka

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Ovaj primjer pokazuje da rezultat može biti racionalan ili iracionalan broj.

Ako su racionalni i iracionalni brojevi istovremeno uključeni u aritmetičke operacije, tada će rezultat biti iracionalan broj (osim, naravno, množenja sa $0$).

Realni brojevi

Skup realnih brojeva je skup koji sadrži skup racionalnih i iracionalnih brojeva.

Skup realnih brojeva je označen sa $R$. Simbolično, skup realnih brojeva može se označiti sa $(-?;+?).$

Ranije smo rekli da se beskonačan decimalni neperiodični razlomak naziva iracionalnim brojem, a svaki racionalni broj može biti predstavljen kao konačni decimalni razlomak ili beskonačan decimalni periodični razlomak, tako da će svaki konačni i beskonačni decimalni razlomak biti realan broj.

Prilikom izvođenja algebarskih operacija poštivat će se sljedeća pravila

1. kada se množe i dijele pozitivni brojevi, rezultirajući broj će biti pozitivan
2. pri množenju i dijeljenju negativnih brojeva, rezultirajući broj će biti pozitivan
3. kada se množe i dijele negativni i pozitivni brojevi, rezultirajući broj će biti negativan

Realni brojevi se takođe mogu međusobno porediti.

Matematička analiza je grana matematike koja se bavi proučavanjem funkcija zasnovanih na ideji infinitezimalne funkcije.

Osnovni koncepti matematičke analize su količina, skup, funkcija, infinitezimalna funkcija, granica, izvod, integral.

Vrijednost sve što se može izmjeriti i izraziti brojem naziva se.

mnogi je skup nekih elemenata ujedinjenih nekom zajedničkom osobinom. Elementi skupa mogu biti brojevi, figure, objekti, koncepti itd.

Skupovi se označavaju velikim slovima, a elementi skupa malim slovima. Elementi skupa su zatvoreni u vitičaste zagrade.

If element x pripada skupu X, a zatim napišite x∈X (∈ - pripada).
Ako je skup A dio skupa B, onda napišite A ⊂ B (⊂ - sadržano je).

Skup se može definirati na jedan od dva načina: nabrajanjem i definiranjem svojstva.

Na primjer, nabrajanje definira sljedeće skupove:

• A=(1,2,3,5,7) - skup brojeva
• H=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) je skup nekih elemenata x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) je skup prirodnih brojeva
• Z=(0,±1,±2,...,±n) je skup cijelih brojeva

Skup (-∞;+∞) se poziva brojevnu liniju, i bilo koji broj je tačka ove prave. Neka je a proizvoljna tačka na pravoj, a δ pozitivan broj. Interval (a-δ; a+δ) se zove δ-okolina tačke a.

Skup X je ograničen odozgo (odozdo) ako postoji takav broj c da je za bilo koje x ∈ X zadovoljena nejednakost x≤s (x≥c). Broj c u ovom slučaju se zove gornja (donja) ivica skupovi X. Poziva se skup ograničen i odozgo i odozdo ograničeno. Poziva se najmanja (najveća) gornja (donja) strana skupa tačno gornje (donje) lice ovaj set.

Osnovni numerički skupovi

N	(1,2,3,...,n) Skup svih
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Podesite cijeli brojevi. Skup cijelih brojeva uključuje skup prirodnih brojeva.
Q	Mnogo racionalni brojevi. Pored celih brojeva, postoje i razlomci. Razlomak je izraz oblika , gdje str je cijeli broj, q- prirodno. Decimale se također mogu pisati kao . Na primjer: 0,25 = 25/100 = 1/4. Cijeli brojevi se također mogu napisati kao . Na primjer, u obliku razlomka sa nazivnikom "jedan": 2 = 2/1. Dakle, svaki racionalni broj može biti zapisan kao decimalni razlomak - konačno ili beskonačno periodičan.
R	Mnogi od svih realni brojevi. Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični razlomci. To uključuje: Zajedno, dva skupa (racionalni i iracionalni brojevi) čine skup realnih (ili realnih) brojeva.

Ako skup ne sadrži elemente, onda se poziva prazan set i snimljeno Ø .

Elementi logičke simbolike

Oznaka ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kvantifikator

Prilikom pisanja matematičkih izraza često se koriste kvantifikatori.

kvantifikator naziva se logičkim simbolom koji kvantitativno karakterizira elemente koji ga slijede.

• ∀- opšti kvantifikator, koristi se umjesto riječi "za sve", "za bilo koga".
• ∃- egzistencijalni kvantifikator, koristi se umjesto riječi "postoji", "ima". Koristi se i kombinacija simbola ∃!, koja se čita kao da postoji samo jedan.

Operacije na skupovima

Dva skupovi A i B su jednaki(A=B) ako se sastoje od istih elemenata.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) onda je A=B.

sindikat (zbir) skup A i B naziva se skup A ∪ B, čiji elementi pripadaju barem jednom od ovih skupova.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), onda je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

raskrsnica (proizvod) skup A i B naziva se skup A ∩ B, čiji elementi pripadaju i skupu A i skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), onda je A ∩ B = (2,4)

razlika skup A i B naziva se skup AB, čiji elementi pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), onda je AB = (1,2)

Simetrična razlika skup A i B naziva se skup A Δ B, koji je unija razlika skupova AB i BA, odnosno A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), onda je A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

Svojstva skupnih operacija

Svojstva permutabilnosti

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

asocijativno svojstvo

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Prebrojivi i nebrojivi skupovi

Da bi se uporedila bilo koja dva skupa A i B, uspostavlja se korespondencija između njihovih elemenata.

Ako je ova korespondencija jedan prema jedan, tada se skupovi nazivaju ekvivalentni ili ekvivalentni, A B ili B A.

Primjer 1

Skup tačaka kraka BC i hipotenuze AC trougla ABC su jednake snage.