9. számú gyakorlati óra téma származéka. Gyakorlati lecke "származékok számítása". problémamegoldásról

Praktikus munka

matematika

1. Egy függvény határértékének megtalálása. Az első és a második csodálatos határok.

2. Komplex függvény deriváltja. Egy változó függvényének vizsgálata és grafikonok ábrázolása.

3. „A differenciálszámítás alkalmazása a függvények tanulmányozására” teszt.

4. Határozatlan integrálok keresése. Határozott integrálok számítása.

5. Determinánsok számítása.

6. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerrel. Teszt.

7. Feladatok megoldása a „Szettek” témában. Logikai algebrai képletek.

8. Véletlenszerű események valószínűségének számítása. Teljes valószínűségi képlet.

9. Numerikus jellemzők számítása.

10. „A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapjai” teszt

11. Komplex szám trigonometrikus alakja.

12. Műveletek komplex számokkal különböző formában.

MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK MATEMATIKAI GYAKORLATI MUNKÁHOZ

2. TANFOLYAM

A gyakorlati óra az oktatási folyamat olyan szervezési formája, amely során a tanulók egy vagy több gyakorlati munkát végeznek megbízásra és tanári irányítás mellett.

Így a matematika gyakorlati óráin a tanulókban kialakul a problémamegoldó képesség, amelyet a jövőben speciális tudományágak szakmai problémáinak megoldására kell használni.

A gyakorlati munka során a hallgatók elsajátítják az információforrások használatának, a szabályozási dokumentumokkal és oktatóanyagokkal, segédkönyvekkel való munkavégzést, rajzok, diagramok, táblázatok készítését, különféle feladatok megoldását, számításokat.

Matematika gyakorlati órákon megoldandó feladatok:

1) az előadások során megszerzett matematikai elméleti ismeretek bővítése és megszilárdítása;

2) a matematikai problémák sikeres megoldásához szükséges gyakorlati készségek és képességek fejlesztése a tanulókban;

3) a tanulók önképzés iránti igényének fejlesztése, valamint ismeretek és készségek fejlesztése a matematika tanulási folyamatában;

4) kreatív attitűd és kutatási szemlélet kialakítása a matematika tanulási folyamatában;

5) a leendő szakember szakmailag jelentős tulajdonságainak és a megszerzett ismeretek szakmai területen történő alkalmazásának készségeinek kialakítása.

1. sz. gyakorlati óra. Függvényhatárok számítása. Az első és a második csodálatos határok.

Tantárgy : Függvényhatárok számítása.

Cél: alapvető ismeretek elsajátítása a matematika alapvető ágaiban . Az ismeretek asszimilációjának tesztelése a függvényhatárok számításán. Ismételje meg és rendszerezze a témával kapcsolatos ismereteket.

Feladatok:

Kreatív szakmai gondolkodás fejlesztése;

A tudomány nyelvének elsajátítása, a fogalmak működtetésének készsége;

A problémák felállításának és megoldásának készségeinek elsajátítása;

Elméleti és gyakorlati képzés elmélyítése;

A tanulók kezdeményezőkészségének, önállóságának fejlesztése.

Számítástechnikai ismeretek erősítése;

Folytassa a matematikai beszéddel való munkát.

Az önálló munkavégzéshez, a tankönyvvel való munkavégzéshez szükséges készségek kialakítása, az önálló ismeretszerzés készségei;

A fő dolog kiemelésének képességének fejlesztése a szöveggel végzett munka során;

Önálló gondolkodás kialakítása, mentális műveletek: összehasonlítás, elemzés, szintézis, általánosítás, hasonlat;

Mutassa meg a tanulóknak a szisztematikus munka szerepét a tudás elmélyítésében és erősítésében, a feladatok elvégzésének kultúrájában;

A tanulók kreatív képességeinek fejlesztése.

Gyakorlati munka biztosítása:

Módszertani ajánlások elméleti anyaga a gyakorlati munkához.

Matematika, – Sorozat: Középfokú szakképzés. - Rostov-on-Don „Phoenix”, p.

A gyakorlati óra előrehaladása.

1.Az óra témájának megfogalmazása, a téma más tudományági témáival való kapcsolatának magyarázata;

2.A tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése;

3. A tényleges óra lebonyolítása a témának megfelelően, a tudományág munkaprogramjának megfelelően:

Tanulmányi elméleti anyagot a „Függvények határainak kiszámítása” témában.

Vegyünk példákat a tipikus feladatok megoldására.

Végezzen önálló munkát a függvények határainak kiszámításán az első és a második figyelemre méltó határérték segítségével.

Válaszold meg a biztonsági kérdéseket.

Elméleti információk és módszertani ajánlások

problémamegoldásról.

1. Elméleti anyag bemutatása.

Egy függvény határértékének kiszámításához egy ponton a következőket kell tennie:

1) Helyettesítsd be az x változó helyett azt, amire x hajlamos.

2) Ha az 1) lépés végrehajtása után bizonytalanságot kapunk https://pandia.ru/text/78/405/images/image003_6.png" width="19" height="22 src=">és cserélje ki a nyíl mínuszjel: (x-a).

3) Ha az 1. lépés végrehajtása után a következő formátumú bizonytalanságot kapjuk: https://pandia.ru/text/78/405/images/image002_13.png" width="18" height="31 src="> A trigonometrikus függvények értékeivel kapcsolatban az első figyelemre méltó határértéket kell használnunk.

Meghatározás. Az első figyelemre méltó határt határnak nevezzük

https://pandia.ru/text/78/405/images/image007_4.png" alt="$\displaystyle \lim_(x\to0)\dfrac(\sin x)(x)=1. $" width="102" height="52">!}

5) Meghatározás:A második figyelemre méltó határ limitnek nevezzük

Az e határérték által adott szám nagyon fontos szerepet játszik mind a matematikai elemzésben, mind a matematika más ágaiban. A számot hívják természetes logaritmus alapja ( https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_4.png" alt="$ e$" width="11" height="14">показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:!}

2. A tanult anyag konszolidációja.

1. példa

https://pandia.ru/text/78/405/images/image015_1.png" width="28" height="30 src=">= -4

Az 1) szabályt használtuk, és behelyettesítettük x helyett azt, amire x-nek törekednie kell, azaz x=2.

2. példa

https://pandia.ru/text/78/405/images/image017_1.png" width="154" height="32 src=">.png" width="21" height="30 src=">= 5

3. példa

https://pandia.ru/text/78/405/images/image021_1.png" width="199" height="37 src=">.png" width="137" height="35 src=">. png" width="138" height="24 src=">=3+3=6

4. példa

https://pandia.ru/text/78/405/images/image004_7.png" width="22" height="31 src=">.png" width="104" height="46 src=">. png" height="30 src=">

5. példa

https://pandia.ru/text/78/405/images/image032_0.png" width="61" height="46 src=">.png" height="30 src=">=2

6. példa

https://pandia.ru/text/78/405/images/image036_0.png" width="18" height="28 src=">

3. Az ismeretek, készségek és képességek megszilárdítása.

Végezzen önálló munkát a függvények határainak kiszámításában.

1. sz. gyakorlati munka.

1.opció

Számítsa ki a függvény határát:

1. .

2. .

3. .

10. .

1. sz. gyakorlati munka.

2. lehetőség

Számítsa ki a függvény határát:

1. .

2. .

3. .

10.

2. sz. gyakorlati munka.

Tantárgy : Egy függvény deriváltjának megkeresése. Egy változó függvényének vizsgálata és grafikon ábrázolása.

Cél : Tesztelje a gyakorlatban a függvény deriváltja fogalmának ismeretét, elemi függvények deriváltjainak, komplex függvényeknek, inverz függvényeknek a megtalálásának képességét, a derivált táblázat és a differenciálási szabályok segítségével, az összetett és inverz függvény fogalmát, a képességét. hogy egy deriváltot használjunk a függvények tanulmányozásához.

Gyakorlati munka biztosítása:

Tankönyv. "Matematika". – M.: Túzok, 2010.

Matematika. M: Fórum-Infa 2008.

Egyedi kártyák gyakorlati munkavégzési lehetőséggel.

1. Elméleti anyag és példák egy függvény deriváltjának megtalálására.

Meghatározás: Az f(x) (f"(x)) függvény deriváltja az x pontban a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image061_0.png" width="209 height=235" height="235">

A megkülönböztetés szabályai.

Ha az f(x) és g(x) függvényeknek deriváltjai vannak, akkor

2. (u+v)′=u′+v′

3. (uv)′=u′v+v′u

4. (C u)′=C u′, ahol C=állandó

5..png" width="49" height="54 src=">

6. Komplex függvény deriváltja:

f′(g(x))=f′(g) g′(x)

2. Példák.

1..png" width="61" height="41 src=">.png" width="20" height="41 src=">.png" width="20" height="41 src="> .png" width="69" height="41 src=">+4).

A függvény két tényező eredménye: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image071_0.png" width="72" height="41 src=">.png" width=" 64" height="41 src=">.png" width="19" height="41 src=">.png" width="45" height="51 src=">.

A függvény két kifejezés hányadosa: u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image079.png" width="52" height="41 src=">..png" width= "215" " height="57 src=">.png" width="197 height=36" height="36">

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a deriváltját az összetett függvények differenciálási szabályával (6. képlet):

5. Ha , akkor

6. y = x 3 – 3x 2 + 5x+ 2. Keressük y "(–1).

y " = 3x 2 – 6x+ 5. Ezért y "(–1) = 14.

7. Ha y= log x kötözősaláta x, Azt y" = (ln x)"kötözősaláta x+ln x(kötözősaláta x) " =1/x∙cos x– ln x bűn x.

Legyen adott függvény. Tanulmányozásához szüksége van:

1) Keresse meg a definíciós tartományát. Ha nem túl nehéz, akkor érdemes megkeresni a tartományt is. (A keresés kérdését azonban sok esetben elhalasztják, amíg a függvény szélső részét meg nem találjuk.)

2) Ismerje meg a függvény általános tulajdonságait, amelyek segítenek a viselkedésének meghatározásában: páros-e vagy páratlan, periodikus-e.

3) Állapítsa meg, hogyan viselkedik a függvény, amikor az argumentum megközelíti a definíciós tartomány határpontjait, ha vannak ilyen határpontok. Ha egy függvénynek vannak megszakadási pontjai, akkor ezeket a pontokat is ellenőrizni kell a függvény függőleges aszimptotáinak megléte szempontjából. Keresse meg a ferde aszimptotákat.

4) Keresse meg a gráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjait, ami abból áll, hogy egyszerűen kiszámítjuk a függvény értékét a feltétel mellett:

OX tengellyel: y=0;

OY tengellyel: x=0.

A tengellyel való metszéspontok megtalálása egy összetett algebrai egyenlet megoldásához vezethet, ami talán csak megközelítőleg megoldható. Miután megtaláltuk a függvény gyökereit és a folytonossági pontokat, meghatározhatjuk a függvény előjelét az egyes pontok közötti intervallumokban. Ez megtehető a függvény értékének az intervallum bármely pontján történő kiszámításával, vagy az intervallum módszerrel.

5) Keresse meg a monotonitás intervallumait. Ehhez keresse meg a deriváltot, és oldja meg az egyenlőtlenséget:

https://pandia.ru/text/78/405/images/image089.png" width="49" height="19 src=">, a funkció csökken.

A monotonitás intervallumainak megtalálása után azonnal meghatározhatjuk a lokális szélsőség pontjait: ahol a növekedést csökkenés váltja fel, ott a lokális maximumok, ahol a csökkenés helyére növekedés lép fel, ott a lokális minimumok találhatók.

6) A konvexitás és konkávitás intervallumainak megtalálása a második derivált..png" width="39" height="19 src="> segítségével történik az intervallumokon:

ha https://pandia.ru/text/78/405/images/image090.png" width="39" height="19 src=">‹0, akkor a függvénygráf görbe konvex.

Ugyanakkor az inflexiós pontokat úgy definiáljuk, mint azokat a pontokat, ahol a függvény a konvexitás irányát megváltoztatja (és folytonos).

7) A gráf metszéspontjainak megtalálása az aszimptotával és a további pontokkal. Ez a pont nem kötelező, de az ilyen pontok megtalálása teljessé és teljessé teszi a függvény és grafikonjának tanulmányozását.

Megjegyzendő, hogy a rajzon a függvények tanulmányozása során kapott pontokat hasznos azonnal ábrázolni a koordinátatengelyeken és a grafikonon. Ez segít megérteni a grafikon megjelenését az út során.

3. Csináld magad:

választási lehetőség	Keresse meg az y függvény deriváltját:	választási lehetőség	Keresse meg az y függvény deriváltját:
	1.y=6-		1. y=-6- 5.y=
	1. y=-7-1		1. y=-7-1
	1.y=4x-3tgx+6x-8		1.y=-5x+2ctgx+3x-2

Az óra céljai:

Nevelési- ismerni a differenciálási képleteket; differenciálási szabályok;
komplex függvény differenciálása; származék fizikai és geometriai jelentése;
függvény grafikonjának érintőjének egyenlete.

Fejlesztő - tudjon függvények származékait megtalálni; problémák megoldása fizikai jelentés, geometriai jelentés felhasználásával; keresse meg egy függvény deriváltjának értékét egy pontban; matematikailag helyesen magyarázza és indokolja az elvégzett cselekvéseket.

Oktatási – fejleszteni a függetlenséget, a felelősséget, a reflexiót.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

II. Házi feladat ellenőrzése
(a szünetekben a konzulensek ellenőrzik (diákok) és osztályzatokat adnak).

III. Célkitűzés és motiváció

A tanár tájékoztatja a tanulókat, hogy ez a lecke az utolsó lecke a „Származékok számítása” témában, és felkéri őket, hogy fogalmazzák meg saját céljaikat.

Tanár: „A nagy filozófus, Konfuciusz egyszer azt mondta: „Három út vezet a tudáshoz: az elmélkedés útja a legnemesebb út, az utánzás útja a legkönnyebb út, és a tapasztalat útja a legkeserűbb út.” Tehát ma az órán mindenki eldönti, hogy e témával kapcsolatos tudáshoz melyik úton jár.”

A tanulók azt a feladatot kapják, hogy mutassák be tudásukat és készségeiket a deriváltak kiszámításában, és kapnak egy óratervet.

I. szakasz: A feladat végrehajtása az „Emlékezz” kártya segítségével.
(képletek és differenciálási szabályok ismeretének tesztelése).

II. szakasz: Szóbeli frontális munka az ismeretek ismétléséről és általánosításáról.

III. szakasz:„Tesztelőrejelzés” (a feladat elvégzése során a tanácsadók segítsége elfogadható).

énV. szakasz: Egy gyakorlati probléma megoldása.

V. szakasz:Önálló munkavégzés

A munka és a házi feladat I., III., V. szakaszát értékelik. A tanácsadók ellenőrzik és beírják az eredményeket az értékelő táblázatba.

Értékelési szempontok: "5"- 19-20 pont;
"4"- 15-18 pont;
"3"- 10-14 pont.

A tudáshoz vezető utak

A referencia ismeretek sokszorosítása, javítása

I. szakasz.

Cél: a képletek és a megkülönböztetési szabályok ismeretének kontrollja, önkontrollja

Emlékezik! F.I. _______________________________________________________
	Derivált


c,c - cons t









	f"(x)+ g"(x)
f(x)* g(x)

A feladat végén öntesztet hajtunk végre a „Származékok táblázata” segítségével. A kártyákat ellenőrzésre átadjuk tanácsadóknak (a kártyákon nem végezhető javítások).

V. Az ismeretek általánosítása és rendszerezése
szakasz II.

1. Szóbeli frontális munka.

A. Generáljon feladatot ehhez a feltételhez, és oldja meg.

1. Határozza meg a függvény deriváltjának értékét a t = 3 pontban. (Válasz: 21.)

2. Készítsen egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére a t = 3 pontban. (Válasz: y = 21x-45.).

3. Határozza meg a test sebességét és gyorsulását t=3c pillanatban, ha a mozgás törvénye a képlettel adott! (Válasz: 21 m/s, 16 m/s²).

4. Határozza meg a függvény grafikonjára húzott érintő szögegyütthatóját a t = 3 pontban. (Válasz: 21.).

5. Határozza meg a függvény grafikonjának érintőjének dőlésszögének érintőjét a t = 3 pontban, és határozza meg az érintő és az Ox tengely pozitív iránya közötti szög típusát! (Válasz: tgα, az α szög hegyes)

B. Keresse meg a függvények deriváltjait

2. szakasz III„Tesztelőrejelzés”

A feladat végén a végső válaszok alapján öntesztet hajtanak végre, és a teszteket átadják tanácsadóknak. (a kártyákon a javítások nem megengedettek).
Válaszok:


1 lehetőség
2. lehetőség

A probléma megoldása

énV. szakasz
Egy emelt szintű probléma frontális megoldása (a megoldást tanácsadók végzik az osztállyal együtt).

Feladat

Milyen paraméterértékeken a egy függvény grafikonjának érintői

az X tengellyel való metszéspontjaiban 60°-os szöget zárnak be egymással?

A grafikon egy parabola, amelynek felfelé ágai két pontban metszik az X tengelyt (az eset a=0 nem felel meg a probléma értelmének):

IX. Összegzés és osztályozás

1. Kérdések: a) Megvalósult-e az óra célja?
b) Melyik szakasz tűnt a legnehezebbnek?
c) Mi volt a legérdekesebb?

2. A tanácsadók kihirdetik az eredményeket (az úton lévő tanulók száma és neve
utánzás, reflexió és tapasztalati módok).

Gyakorlati lecke

Tantárgy: Származékok keresése. A derivált alkalmazása függvények tanulmányozására és grafikonok ábrázolására.

Cél: Sajátítsa el a deriváltak számítását, tanuljon meg egy függvényt a derivált segítségével felfedezni

Az oktatás eszközei: jegyzetfüzetek gyakorlati feladatokhoz, prezentációk a témában, internetes források.

1. Tekintse meg elméleti anyagát a következő témákban: „Derivatalszámítási szabályok”, „Függvény szélsőértéke”, „Konvexitás, homorúság. Inflexiós pont."

2. Tekintse át a feladatok mintáit.

3. Végezze el az 1. számú tesztfeladatot!

Ellenőrző kérdések:

1. Határozza meg egy függvény maximumát (minimumát) egy pontban. Mit mondhatunk a függvény növekményének előjeléről a maximum (minimum) pont meglehetősen kis környezetében?

2. Mik a szükséges feltételek egy függvény szélsőértéke létezéséhez? Mi a geometriai jelentésük?

3. Mi a szabály a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására egy szegmensen?

4. Határozza meg egy görbe konvexitását (konkávságát) egy intervallumon.

5. Mi a szabály a görbe konvexitási és konkávsági intervallumainak meghatározására?

6. A görbe inflexiós pontja. Hogyan lehet megtalálni őt?

7. Mi az algoritmus egy függvény gráfjának elkészítéséhez?

A derivatívák kiszámításának szabályai

Komplex függvény származéka.

Ha nál nél=ƒ( És), u=φ(x), akkor nál nél¢ ( x)=ƒ¢ (i)·φ¢ (x).

Egy összeg származéka.

Ha nál nél(x)=És(x)+v (x), Ez nál nél¢ (x)=És¢ (x)+v ¢ (x)

A termék származéka.

Ha y(x)=u(x)· v (x), Ez nál nél¢ = És¢ · v + u · v ¢ .

Különösen, ( Val vel· És)¢ =c· És¢, azaz a konstans tényező kikerül a származékjel alól. Ezt könnyű ellenőrizni

(u 2 ) ¢ = 2 u u ¢ , (u 3 ) ¢ =3u 2 u ¢ , … , (u n ) ¢ =n·u n–1 u ¢ .

A hányados származéka.

Ha akkor
.

Származékos táblázat

1. (Val vel)¢ =0

Összetett függvény esetén: ha u=u(x), Ez:

2. (X)¢ =1

3. (X α )¢ = α · xα–1, A– bármilyen valós szám.

4. (A x ) ¢ =a x · ln A

5. (log a x) ¢ =

6. (bűn x)¢ =cos x

7. (cos x)¢ = –sin x

8. (tg x)¢ =

9. (ctg x)¢ =

10.

11.

12.

13.

Tekintse át a példákat

1. példa

y=(3–2 sin 5x ) 4 | Származtatott képleteket alkalmazunk a És α ,bűn u |

y ¢ =4·(3–2·sin5x) 3·(3–2sin5x) ¢ =4·(3–2·sin5x) 3 ·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x) 3 .

2. példa

3. példa

4. példa

5. példa.

A függvény szélsőértéke

Az egyik szélsőértékben lévő függvény vizsgálata a deriváltak egyik legfontosabb alkalmazása. Nézzük meg a minimumok és maximumok meghatározását, és hogyan találhatjuk meg őket.

Legyen a ƒ( x) meghatározott és differenciálható egy bizonyos halmazon és egy ponton x A 0 egy pont benne.

Meghatározás. Funkció ƒ (x) pontban x 0 rendelkezik maximális(minimum), ha van ilyen környéke a pontnak x 0, ami mindenkinek szól x erről a területről ƒ (x) < ƒ (x 0 ) (ƒ (x) > ƒ (x 0 )).

Pont x A 0-t ekkor pontnak nevezzük maximális(minimális).

Rizs. 1.

Egy olyan függvény grafikonja látható, amelynek két maximális pontja van ( x 1 és x 3) és két minimum pont ( x 2 és x 4), és a maximális érték kisebb lehet, mint a minimum ( ƒ (x 1 ) < ƒ (x 4)). Ez hangsúlyozza azt a tényt, hogy egy függvény szingularitását csak egy bizonyos pont közelében jellemezzük.

A függvény értékeit a maximum és minimum pontokon szélsőséges értékeknek, ill szélsőségek. A fenti grafikon azt mutatja, hogy a szélsőpontok ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4) határozza meg a függvény monotonitási intervallumait, amelyek mindegyikében a derivált megtart egy bizonyos előjelet. A szélsőpontoknál természetesen a derivált nullára megy. Fogalmazzunk meg egy tételt arról szükséges feltétel szélsőség megléte.

Tétel. Ha a funkció ƒ (x) pontban x 0-nak szélsőértéke van, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton egyenlő nullával, azaz ƒ¢ ( x 0)=0.

Rögtön jegyezzük meg, hogy ez a feltétel nem elégséges, vagyis a fordított állítás nem mindig igaz. Az egyenlőségtől ƒ ¢ ( x 0)= A 0 nem feltétlenül jelenti azt a ponton x 0 van egy szélsőség.

Ezt megerősíti a függvény példája ƒ (x)=x 3 .

meg fogjuk találni ƒ ¢ ( x)= 3x 2 . Azon a ponton x=0 ƒ ¢ (0)=0 . De olyan közel a lényeghez, amennyire csak akarja x=0 meg fogjuk találni x> 0, hol ƒ (x)=x 3 > 0, meg fogjuk találni x< 0, где ¦ (x)=x 3 < 0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки x=0, ahol minden x függvény értéke egy pontban x=0 lesz a legnagyobb vagy a legkisebb. Ezért pont x A =0 nem szélsőpont.

Lehet másképp vitatkozni. Mivel a származék ƒ ¢ (x) = 3x 2 , majd a függvény ƒ(x)=x 3 bármely valós x esetén növekszik, és nincs szélsőértéke.

Pontok, ahol a szükséges szélsőfeltétel teljesül (ƒ ¢ (x)=0) hívják kritikai .

Nyilvánvalóan a függvény grafikonjának érintője azokban a pontokban, ahol ƒ ¢ (x)=0, párhuzamos az x tengellyel Ox .

Elegendő állapot extrémum a következő tételekben van megadva.

1. tétel. Ha x A 0 a függvény kritikus pontja, amelyen áthaladva a derivált előjelet vált, ekkor x A 0 egy szélsőpont, vagyis ha a derivált előjelet változtat pluszról mínuszra, akkor az maximum pont, ha pedig mínuszról pluszra, akkor minimum pont.

Figyeljük meg, hogy nincs szélsőérték egy pontban, ha a derivált nem változtat előjelet. Az iskolai kurzusból ismert az extrémum első származékot használó tanulmányozásának szabálya. Néha célszerűbb egy szélsőséghez elegendő feltételt megfogalmazni a második származék használatával.

Legyen a ƒ( x) kétszer differenciálható bizonyos tartományokban (azaz ƒ( x) van ƒ¢ ( x) És ƒ ¢¢ ( x)).

2. tétel. Ha x 0 – a függvény kritikus pontja ƒ(x)és ƒ ¢¢ (X 0 ) > 0 , Azt x 0 – minimum pont, ha ƒ ¢¢ (X 0 ) < 0, то x 0 – maximum pont.

A második derivált segítségével meghatározzuk egy függvény grafikonjának konvexitását vagy konkavitását.

Konvexitás, homorúság. Inflexiós pont.

Ív y=ƒ(x) nak, nek hívják domborúanth lent bármelyikét tangens

ƒ ¢¢ ( x) < 0.

Ív y=ƒ(x) nak, nek hívják homorú intervallumon, ha a görbe minden pontja fekszik magasabb bármelyikét tangens ezen az intervallumon. Aztán ezen az intervallumon

ƒ ¢¢(x) > 0

Meghatározás. Inflexiós pont a görbe egy olyan pont, ahol a görbe egyik oldalán konvex, a másikon homorú.

Az inflexiós pontban ƒ ¢¢ ( x)=0.

Tehát a második derivált előjele (valamint magának a függvénynek és annak első deriváltjának előjele) jelzi a függvénygráf jellemzőit. Nézzük őket újra.

Ha mindenkinek x az intervallumon ( A, b) ƒ (x) > 0 (ƒ (x) < 0), akkor a grafikon az x tengely felett (alatt) helyezkedik el.

Ha mindenkinek x az intervallumon ( A, b) ƒ ¢ ( x) > 0 (ƒ ¢ ( x) < 0), то функция на (A, b) növekszik (csökken).

Ha mindenkinek x az intervallumon ( A, b) ƒ ¢¢ ( x) > 0 (ƒ ¢¢ ( x) < 0), то график на (A, b) homorú (domború).

ƒ( x A )=0 a függvény „nullapontjait”, azaz a gráf Ox tengellyel való metszéspontjait határozza meg.

Az egyenlet ƒ ¢ ( x)=0 a kritikus pontokat határozza meg.

Az egyenlet ƒ ¢¢ ( x A )=0 a lehetséges inflexiós pontokat határozza meg.

Funkcióvizsgálati séma

A függvény tanulmányozására ƒ (x) és az ábrázolás y=ƒ(x) kell találni:

1) a függvény definíciós tartománya és a gráf és a koordinátatengelyek metszéspontja;

2) a monotónia intervallumai;

3) szélsőpontok és függvényértékek ezeken a pontokon;

4) a gráf konvexitási és konkávsági intervallumai;

5) a gráf inflexiós pontjai;

6) Szerkessze meg derékszögű koordinátarendszerben az összes kapott pontot (néha a gráf tisztázása érdekében további pontokat kapunk) és magát a gráfot.

Egy függvény legkisebb és legnagyobb értéke egy szegmensen

Az optimalizálási módszer egyes problémáinak megoldása során fontos, hogy egy adott szegmensen meg tudjuk találni egy függvény legkisebb vagy legnagyobb értékét. A függvény ezeket az értékeket a kritikus pontokon vagy a szegmens végén éri el.

Keresési séma a függvény legkisebb és legnagyobb értéke ƒ (x) a szegmensen [ A, b].

1. Keresse meg a függvény deriváltját! ƒ ¢ ( x).

2. Keresse meg az egyenlet kritikus pontjait! ƒ ¢ ( x)=0.

3. Válassza ki azokat a kritikus pontokat, amelyek ehhez a szegmenshez tartoznak [ A, b], és keresse meg a függvény értékét ƒ (x) minden ilyen ponton.

4. Számítsa ki a függvényértékeket ƒ (x) a szegmens végén: ƒ( A) és ƒ( b).

5. A kapott függvényértékek közül válassza ki a legnagyobbat (legnagyobb) és a legkisebbet (legkisebbet).

2. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét ƒ(x)=x 3 -9x 2 +24х–10 a szegmensen.

1. ƒ ¢ ( x)= 3x 2 – 9·2 x 2 + 24.

2. ƒ ¢ ( x)=0, 3(x 2 –6x+8)=0, x 1 =2, x 2 =4.

3. Az x 2 =4 pont nem tartozik a szakaszhoz. Ezért a függvény értékét csak a pontban számítjuk ki x 1 =2

ƒ(2)=2 3 –9·2 2 +24·2–10=10.

4. Funkcióértékek a szakasz végén: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3 3 –9·3 2 +24·3–10, ƒ(3)=8.

5. Megszerzett értékek:

ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8.

A legmagasabb érték 10, és a ponton érjük el x=2. A legkisebb értéke –10, és a ponton érhető el x=0.

3. példa

Határozza meg a görbe konvexitási és homorúsági és inflexiós pontjait! y=x+36x 2 –2x 3 –x 4 .

Ennek a függvénynek a definíciós tartománya az összes valós szám halmaza, azaz. xЄ(–∞, +∞).

Keressük a második származékot.

nál nél¢ =1+72 x–6x 2 –4x 3 .

nál nél¢¢ =72–12 x–12x 2 = –12(x 2 +x–6).

Az Eq. nál nél¢¢ =0 megkapjuk az inflexiós pont abszcisszáját:

–12(x 2 +x–6)=0 x 1 = –3; x 2 =2.

Határozzuk meg a jelet nál nél¢¢ időközönként

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

(–∞, –3)

(–3; 2)

(2; +∞)

nál nél¢¢

görbe alakja

konvex

inflexió

homorú

inflexió

konvex

Keressük meg az inflexiós pontok ordinátáit:

nál nél(–3)=726; M 1 (–3; 726) – inflexiós pont

nál nél(2)=114; M 2 (2; 114) – inflexiós pont.

A (–3; 2) intervallumon a görbe homorú. A (–∞; –3) és (2; +∞) intervallumokon – konvex.

Minták a feladatokból

1. számú feladat.

Keresse meg a függvény töréspontjait, és ábrázolja a grafikont

Funkció ƒ (x) minden valósra van definiálva xés folyamatos a jelzett intervallumok mindegyikén: (–∞; –1), [–1; 0], (0, +∞). Vizsgáljuk meg a funkciót ƒ (x) pontok folytonossága érdekében x= –1 és x=0.

Ehhez mindegyik ponton egyoldalú határértékeket fogunk találni.

Mivel az egyoldalú korlátok eltérőek, akkor x = –1 – az első típusú szakadási pont.

Az egyoldali határértékek egyenlőek, azaz az x=0 pontban van a függvény határértéke és

Hasonlítsuk össze ezt a határértéket a függvény értékével a pontban:

Mert
majd be x=0-nál az ƒ(x) függvény folytonos.

Ábrázoljuk a ƒ függvényt (X), tekintettel arra

1)
– egy egyenes egyenlete,

2)
– a felső félkör egyenlete
az origó középpontjával és a sugárral egyenlő egységgel, és a –1 £ feltétellel x 0 £ egyenlet
negyedkört határoz meg.

3) számára x > 0 a grafikont az egyenlet adja
. Az egyenletből megtaláljuk ennek a görbének az Ox tengellyel való metszéspontjait
x > 0 esetén. x= π n, Ahol n =1, 2, 3, 4,

Rizs. 2.

2. feladat.

Írjon egyenleteket egy egyenes érintőire!
pontokon, ahol x=0 és x=4. Keresse meg az érintők metszéspontját és a köztük lévő szöget! Készítsen rajzot.

Egy egyenes érintőjének egyenlete y=ƒ(x)úgy néz ki, mint a

Ahol nál nél 0 =ƒ( x 0).

Azon a ponton x=0 nál nél(0)=ƒ(0)=5.

nál nél¢ =ƒ ¢ (X)=x–3 ƒ¢ (0)= –3.

M 1 (0, 5) alakja van y- 5= –3(x–0) vagy

y= –3x+5.

Azon a ponton x=4 nál nél(4)=ƒ(4)=1. ƒ¢ (4)=4–3=1.

Érintő egyenlete egy pontban M 2 (4, 1) alakja van y- 1=x–4 ill

y=x–3.

Az érintők metszéspontját a rendszer megoldásával kapjuk meg

Metszéspont M 3 (2, –1).

Sarok φ érintők között a képletből megtaláljuk:

Ahol k 1 = –3; k 2 =1 – érintők szögegyütthatói.

Sarok φ =arctg 2.

Építsük meg ezt a vonalat
– egy parabola, amelynek csúcsa abban a pontban van, ahol x=3, mert nál nél¢ =0 at x=3. meg fogjuk találni
. Pont M 4 (3; ) a parabola csúcsa.

R

van. 3.

3. feladat.

Funkció felfedezése
és kirajzolódik.

1. Ez a függvény egy polinom (a zárójeleket kinyithatod, harmadfokú polinomot kapunk), ezért definiált, folytonos és tetszőlegesre differenciálható x.

2. Keressük a deriváltot.

Az Eq. nál nél¢ =0 keressük meg a kritikus pontokat: 3 x·( x–2)=0, x 1 =0, x 2 =2.

Fedezzük fel őket.

(–∞, 0)

(0; 2)

(2; +∞)

nál nél ¢

nál nél

3. Tehát a függvény a (–∞, 0) és (2, +∞) intervallumon növekszik, a (0; 2) intervallumon csökken, maximuma x=0-nál, minimuma x=2-nél van:

nál nél max = nál nél(0)=4; nál nél min = nál nél(2)=0.

4. Keressük a második deriváltot.

nál nél¢¢ = 6·( x-1).

A görbe hol domború nál nél¢¢ < 0, т. е. 6·(x–1) < 0, x < 1.

A görbe hol homorú nál nél¢¢ > 0, azaz x > 1.

Tehát a (–∞, 1) intervallumon a görbe konvex; az (1, +∞) intervallumon pedig homorú.

5. Az egyenletből megtaláljuk az inflexiós pontot nál nél¢¢ =0. És így, x=1 – az inflexiós pont abszcisszája, mert ez a pont választja el a görbe konvexitási és homorúsági intervallumait. Inflexiós pont ordinátája: nál nél(1)=2.

Egy függvény grafikonja nál nél=(x+1)·( x–2) 2 pontban metszi az Ox tengelyt nál nél=0, azaz mikor x= –1 és x=2;

pontnál keresztezi az Oy tengelyt x=0, azaz mikor nál nél=4. Három pontot kaptunk: (–1; 0), (2; 0), (0; 4). Az összes kapott pontot beírjuk a táblázatba, hozzáadva a szomszédos pontokat.

–2

–1