Geometrik maydon- bu raqamning o'lchamini ko'rsatadigan geometrik shaklning raqamli xarakteristikasi (bu raqamning yopiq konturi bilan chegaralangan sirtning bir qismi). Maydonning kattaligi undagi kvadrat birliklar soni bilan ifodalanadi.

Uchburchak maydoni formulalari

1. Yon va balandlik uchun uchburchak maydoni formulasi
   Uchburchakning maydoni uchburchakning bir tomoni uzunligi va bu tomonga chizilgan balandlik uzunligi ko'paytmasining yarmiga teng
   
2. Uchburchakning maydoni uchun formulada uch tomoni va aylana radiusi berilgan
   
3. Uchburchakning maydoni uchun formulada uchta tomon va chizilgan doira radiusi berilgan
   Uchburchakning maydoni uchburchakning yarim perimetri va chizilgan aylana radiusining mahsulotiga teng.
   
Bu erda S - uchburchakning maydoni,
- uchburchak tomonlarining uzunliklari,
- uchburchakning balandligi,
- tomonlar orasidagi burchak va,
- chizilgan doira radiusi,
R - aylana radiusi,

Kvadrat maydon formulalari

1. Tomonning uzunligi berilgan kvadratning maydoni uchun formula
   kvadrat maydon uning yon uzunligi kvadratiga teng.
2. Diagonal uzunligi berilgan kvadratning maydoni uchun formula
   kvadrat maydon uning diagonali uzunligi kvadratining yarmiga teng.
   

   S=	1	2
   	2

bu erda S - kvadratning maydoni,
kvadrat tomonining uzunligi,
kvadrat diagonalining uzunligi.

To'rtburchaklar maydoni formulasi

To'rtburchaklar maydoni uning ikki qo‘shni tomoni uzunliklarining ko‘paytmasiga teng

Bu erda S - to'rtburchakning maydoni,
to'rtburchak tomonlarining uzunliklari.

Parallelogramm maydoni uchun formulalar

1. Yon uzunligi va balandligi uchun paralelogramma maydoni formulasi
   Paralelogramma maydoni
2. Ikki tomon va ular orasidagi burchakka parallelogramm maydoni formulasi berilgan
   Paralelogramma maydoni uning tomonlari uzunliklarini ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasiga teng.
   

   a b sina

Bu erda S - parallelogrammning maydoni,
- parallelogramm tomonlarining uzunliklari,
parallelogramm balandligi,
- parallelogrammning tomonlari orasidagi burchak.

Romb maydoni uchun formulalar

1. Yon uzunligi va balandligi berilgan romb maydoni formulasi
   Romb maydoni uning tomoni uzunligi va bu tomonga tushirilgan balandlik uzunligi ko'paytmasiga teng.
2. Yonning uzunligi va burchagi berilgan rombning maydoni uchun formula
   Romb maydoni uning tomoni uzunligi kvadrati va romb tomonlari orasidagi burchak sinusining ko'paytmasiga teng.
3. Rombning diagonallari uzunligidan uning maydoni formulasi
   Romb maydoni uning diagonallari uzunliklari ko'paytmasining yarmiga teng.
bu erda S - rombning maydoni,
- romb tomonining uzunligi,
- romb balandligining uzunligi,
- rombning yon tomonlari orasidagi burchak;
1, 2 - diagonallarning uzunliklari.

Trapesiya maydoni formulalari

1. Trapesiya uchun Heron formulasi

   Bu erda S - trapezoidning maydoni,
   - trapetsiya asoslarining uzunligi;
   - trapetsiya tomonlarining uzunligi,
   

Paralelogramma maydoni

Teorema 1

Paralelogrammaning maydoni uning yon tomoni uzunligining unga chizilgan balandlikning ko'paytmasi sifatida aniqlanadi.

bu yerda $a$ - parallelogrammning tomoni, $h$ - bu tomonga chizilgan balandlik.

Isbot.

$AD=BC=a$ bilan $ABCD$ parallelogrammasi berilsin. $DF$ va $AE$ balandliklarini chizamiz (1-rasm).

1-rasm.

Ko'rinib turibdiki, $FDAE$ figurasi to'rtburchakdir.

\[\burchak BAE=(90)^0-\burchak A,\ \] \[\burchak CDF=\burchak D-(90)^0=(180)^0-\burchak A-(90)^0 =(90)^0-\burchak A=\burchak BAE\]

Shuning uchun, $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$ ekan, $I$ tomonidan uchburchak tengligi testi. Keyin

Shunday qilib, to'rtburchaklar maydoni teoremasiga ko'ra:

Teorema isbotlangan.

Teorema 2

Parallelogrammning maydoni uning qo'shni tomonlari uzunligining bu tomonlar orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasi sifatida aniqlanadi.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

bu yerda $a,\ b$ - parallelogrammning tomonlari, $\alpha $ - ular orasidagi burchak.

Isbot.

$BC=a,\ CD=b,\ \burchak C=\alfa $ bo'lgan $ABCD$ parallelogrammasi berilsin. $DF=h$ balandlikni chizamiz (2-rasm).

2-rasm.

Sinusning ta'rifiga ko'ra, biz olamiz

Natijada

Demak, teorema bo'yicha $1$:

Teorema isbotlangan.

Uchburchakning maydoni

Teorema 3

Uchburchakning maydoni uning tomoni uzunligi va unga chizilgan balandlikning yarmi mahsuloti sifatida aniqlanadi.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

bu yerda $a$ - uchburchakning tomoni, $h$ - bu tomonga chizilgan balandlik.

Isbot.

3-rasm

Shunday qilib, teorema bo'yicha $1$:

Teorema isbotlangan.

Teorema 4

Uchburchakning maydoni uning qo'shni tomonlari uzunligining bu tomonlar orasidagi burchak sinusining yarmiga ko'paytmasi sifatida aniqlanadi.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

bu yerda $a,\ b$ uchburchakning tomonlari, $\alfa $ ular orasidagi burchak.

Isbot.

Bizga $AB=a$ bo'lgan $ABC$ uchburchak berilsin. $CH=h$ balandligini chizing. Uni $ABCD$ parallelogrammasigacha quramiz (3-rasm).

Shubhasiz, $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$ ga. Keyin

Shunday qilib, teorema bo'yicha $1$:

Teorema isbotlangan.

Trapesiya maydoni

Teorema 5

Trapezoidning maydoni uning asoslari uzunligi yig'indisining balandligiga ko'paytmasining yarmi sifatida aniqlanadi.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

Isbot.

Bizga $ABCK$ trapesiya berilsin, bunda $AK=a,\ BC=b$. Unda $BM=h$ va $KP=h$ balandliklarini hamda $BK$ diagonalini chizamiz (4-rasm).

4-rasm

Teorema bo'yicha $3$ olamiz

Teorema isbotlangan.

Vazifa namunasi

1-misol

Teng tomonli uchburchakning yuzini toping, agar uning tomoni uzunligi $a.$ boʻlsa

Yechim.

Uchburchak teng yonli bo'lgani uchun uning barcha burchaklari $(60)^0$ ga teng.

Keyin, teorema bo'yicha $4$, bizda bor

Javob:$\ frac (a ^ 2 \ sqrt (3)) (4) $.

E'tibor bering, ushbu muammoning natijasi berilgan tomoni bilan har qanday teng tomonli uchburchakning maydonini topish uchun ishlatilishi mumkin.

Evklid geometriyasida bo'lgani kabi, nuqta va chiziq tekisliklar nazariyasining asosiy elementlari hisoblanadi, shuning uchun parallelogramma qavariq to'rtburchaklarning asosiy figuralaridan biridir. Undan, xuddi to'pdan iplar kabi, "to'rtburchaklar", "kvadrat", "romb" va boshqa geometrik miqdorlar tushunchalari oqadi.

Bilan aloqada

Paralelogramma ta'rifi

qavariq to'rtburchak, har bir jufti parallel bo'lgan segmentlardan iborat bo'lib, geometriyada parallelogramma sifatida tanilgan.

Klassik parallelogramma to'rtburchak ABCDga o'xshaydi. Yonlari asoslar (AB, BC, CD va AD), har qanday cho'qqidan shu cho'qqining qarama-qarshi tomoniga o'tkazilgan perpendikulyar balandlik (BE va BF) deyiladi, AC va BD chiziqlari diagonallardir.

Diqqat! Kvadrat, romb va to'rtburchaklar parallelogrammning maxsus holatlaridir.

Tomonlar va burchaklar: nisbat xususiyatlari

Asosiy xususiyatlar, umuman olganda, belgilashning o'zi tomonidan oldindan belgilanadi, ular teorema bilan isbotlangan. Bu xususiyatlar quyidagilardan iborat:

1. Qarama-qarshi tomonlar juftlikda bir xil.
2. Bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan burchaklar juftlikda tengdir.

Isbot: ∆ABC va ∆ADC ni ko'rib chiqing, ular ABCD to'rtburchakni AC chizig'iga bo'lish orqali olinadi. ∠BCA=∠CAD va ∠BAC=∠ACD, chunki AC ular uchun umumiydir (mos ravishda BC||AD va AB||CD uchun vertikal burchaklar). Bundan kelib chiqadi: ∆ABC = ∆ADC (uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoni).

∆ABC dagi AB va BC segmentlari ∆ADC da CD va AD chiziqlariga juft holda mos keladi, bu ularning bir xil ekanligini bildiradi: AB = CD, BC = AD. Shunday qilib, ∠B ∠D ga mos keladi va ular tengdir. Chunki ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ular juftlikda ham bir xil, u holda ∠A = ∠C. Mulk isbotlangan.

Shakl diagonallarining xarakteristikalari

Asosiy xususiyat bu parallelogramma chiziqlar: kesishish nuqtasi ularni ikkiga bo'ladi.

Isbot: m.E ABCD figurasining AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. Ular ikkita mutanosib uchburchak hosil qiladi - ∆ABE va ∆CDE.

AB=CD, chunki ular qarama-qarshidir. Chiziqlar va sekantlarga ko'ra, ∠ABE = ∠CDE va ​​∠BAE = ∠DCE.

Tenglikning ikkinchi belgisiga ko'ra, ∆ABE = ∆CDE. Bu shuni anglatadiki, ∆ABE va ∆CDE elementlari: AE = CE, BE = DE va ​​bundan tashqari, ular AC va BD ning mutanosib qismlaridir. Mulk isbotlangan.

Qo'shni burchaklarning xususiyatlari

Qo'shni tomonlarda burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng, chunki ular parallel chiziqlar va sekantning bir tomonida yotadi. ABCD to'rtburchak uchun:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bissektrisa xususiyatlari:

1. , bir tomonga tushib ketgan, perpendikulyar;
2. qarama-qarshi cho'qqilarning parallel bissektrisalari bor;
3. bissektrisasini chizish orqali olingan uchburchak teng yon tomonli bo'ladi.

Teorema orqali parallelogrammning xarakterli belgilarini aniqlash

Ushbu raqamning xususiyatlari uning asosiy teoremasidan kelib chiqadi, u quyidagicha o'qiydi: to'rtburchak parallelogramm deb hisoblanadi uning diagonallari kesishgan taqdirda va bu nuqta ularni teng segmentlarga ajratadi.

Isbot: ABCD to‘rtburchakning AC va BD chiziqlari t. E da kesishsin. ∠AED = ∠BEC va AE+CE=AC BE+DE=BD bo'lgani uchun ∆AED = ∆BEC (uchburchaklar tengligining birinchi belgisi bo'yicha). Ya'ni, ∠EAD = ∠ECB. Ular, shuningdek, AD va BC chiziqlari uchun sekant ACning ichki kesishish burchaklaridir. Shunday qilib, parallelizmning ta'rifi bo'yicha - AD || Miloddan avvalgi. BC va CD chiziqlarining xuddi shunday xossasi ham olingan. Teorema isbotlangan.

Shaklning maydonini hisoblash

Ushbu raqamning maydoni bir necha usulda topilgan eng oddiylaridan biri: balandlikni va u chizilgan poydevorni ko'paytirish.

Isbot: B va C cho'qqilardan BE va CF perpendikulyarlarini chizing. AB = CD va BE = CF bo'lgani uchun ∆ABE va ∆DCF teng. ABCD EBCF to'rtburchakka teng, chunki ular ham mutanosib raqamlardan iborat: S ABE va S EBCD, shuningdek S DCF va S EBCD. Bundan kelib chiqadiki, bu geometrik shaklning maydoni to'rtburchakning maydoni bilan bir xil:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paralelogramm maydonining umumiy formulasini aniqlash uchun balandlikni quyidagicha belgilaymiz hb, va tomoni b. Mos ravishda:

Hududni topishning boshqa usullari

Hududni hisoblash parallelogrammning yon tomonlari va burchak orqali, ular hosil qiladi, ikkinchi ma'lum usuldir.

,

Spr-ma - maydon;

a va b uning tomonlari

a - a va b segmentlari orasidagi burchak.

Bu usul amalda birinchisiga asoslangan, ammo noma'lum bo'lsa. har doim parametrlari trigonometrik identifikatsiyalar bilan topilgan to'g'ri burchakli uchburchakni kesib tashlaydi, ya'ni. Nisbatni o'zgartirib, biz . Birinchi usulning tenglamasida biz balandlikni ushbu mahsulot bilan almashtiramiz va ushbu formulaning haqiqiyligini isbotlaymiz.

Paralelogramma va burchakning diagonallari orqali, ular kesishganda yaratadigan, siz hududni ham topishingiz mumkin.

Isbot: AC va BD kesishgan to'rtta uchburchak hosil qiladi: ABE, BEC, CDE va ​​AED. Ularning yig'indisi ushbu to'rtburchakning maydoniga teng.

Ularning har birining maydonini ∆ ifodasidan topish mumkin, bu erda a=BE, b=AE, ∠g =∠AEB. dan beri, u holda hisob-kitoblarda sinusning yagona qiymati qo'llaniladi. Ya'ni . AE+CE=AC= d 1 va BE+DE=BD= d 2 boʻlgani uchun maydon formulasi quyidagicha kamayadi:

.

Vektor algebrasida qo'llanilishi

Ushbu to'rtburchakning tarkibiy qismlarining xususiyatlari vektor algebrasida qo'llanilishini topdi, ya'ni: ikkita vektorni qo'shish. Paralelogramma qoidasi shuni bildiradi vektorlar berilgan bo'lsavaemaskollinear bo'lsa, u holda ularning yig'indisi ushbu raqamning diagonaliga teng bo'ladi, ularning asoslari ushbu vektorlarga mos keladi.

Isbot: o'zboshimchalik bilan tanlangan boshidan - ya'ni. - vektorlarni quramiz va . Keyinchalik, biz OASV parallelogrammasini quramiz, bu erda OA va OB segmentlari tomonlardir. Shunday qilib, OS vektor yoki yig'indida yotadi.

Paralelogramma parametrlarini hisoblash formulalari

Shaxslar quyidagi shartlarda beriladi:

1. a va b, a - tomonlar va ular orasidagi burchak;
2. d 1 va d 2, g - diagonallar va ularning kesishish nuqtasida;
3. h a va h b - a va b tomonlarga tushirilgan balandliklar;

Parametr	Formula
Tomonlarni topish
diagonallar bo'ylab va ular orasidagi burchakning kosinusu
diagonal va yon tomonga
balandlik va qarama-qarshi cho'qqi orqali
Diagonallarning uzunligini topish
yon tomonlarda va ular orasidagi tepaning kattaligi
yon tomonlar va diagonallardan biri bo'ylab	 Xulosa Paralelogramma geometriyaning asosiy ko'rsatkichlaridan biri sifatida hayotda, masalan, qurilishda uchastkaning maydonini yoki boshqa o'lchovlarni hisoblashda qo'llaniladi. Shuning uchun uning turli parametrlarini hisoblashning farqlovchi xususiyatlari va usullari haqidagi bilimlar hayotning istalgan vaqtida foydali bo'lishi mumkin.

Paralelogramma - geometrik figura, ko'pincha geometriya kursi (planimetriya bo'limi) vazifalarida uchraydi. Ushbu to'rtburchakning asosiy xususiyatlari qarama-qarshi burchaklarning tengligi va ikki juft parallel qarama-qarshi tomonlarning mavjudligi. Parallelogrammaning maxsus holatlari romb, to'rtburchak, kvadratdir.

Ushbu turdagi ko'pburchakning maydonini hisoblash bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.

Agar tomoni va balandligi ma'lum bo'lsa, parallelogrammning maydonini toping

Parallelogrammaning maydonini hisoblash uchun siz uning yon tomonining qiymatlaridan, shuningdek, unga tushirilgan balandlikning uzunligidan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, olingan ma'lumotlar ma'lum tomon uchun ham ishonchli bo'ladi - rasmning asosi va agar sizda rasmning yon tomoni bo'lsa. Bunday holda, kerakli qiymat quyidagi formula bo'yicha olinadi:

S = a * h(a) = b * h(b),

• S - aniqlanishi kerak bo'lgan maydon,
• a, b - ma'lum (yoki hisoblangan) tomon,
• h - uning ustiga tushirilgan balandlik.

Misol: parallelogramm asosining qiymati 7 sm, unga qarama-qarshi cho'qqidan tushirilgan perpendikulyar uzunligi 3 sm.

Yechish: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Parallelogrammaning ikki tomoni va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, uning maydonini toping

Shaklning ikki tomonining kattaligini, shuningdek, ular bir-biridan hosil bo'lgan burchakning daraja o'lchovini bilganingizda, vaziyatni ko'rib chiqing. Taqdim etilgan ma'lumotlardan parallelogramm maydonini topish uchun ham foydalanish mumkin. Bunday holda, formula ifodasi quyidagicha ko'rinadi:

S = a * c * sina = a * c * sinb,

• a - tomon,
• c - ma'lum (yoki hisoblangan) asos,
• a, b - a va c tomonlar orasidagi burchaklar.

Misol: parallelogrammning asosi 10 sm, tomoni 4 sm kichikroq. Shaklning o'tmas burchagi 135 ° ga teng.

Yechim: ikkinchi tomonning qiymatini aniqlang: 10 - 4 \u003d 6 sm.

S = a * c * sina = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Agar diagonallar va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, parallelogrammning maydonini toping

Berilgan ko'pburchak diagonallarining ma'lum qiymatlari, shuningdek ularning kesishishi natijasida hosil bo'lgan burchakning mavjudligi raqamning maydonini aniqlashga imkon beradi.

S = (d1*d2)/2*sing,
S = (d1*d2)/2*sinph,

S - aniqlanishi kerak bo'lgan maydon,
d1, d2 ma'lum (yoki hisoblangan) diagonallar,
g, ph - d1 va d2 diagonallari orasidagi burchaklar.

Yon uzunligi va balandligini yon tomonga kiriting:

Paralelogramma ta'rifi

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari teng va parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

Onlayn kalkulyator

Paralelogramma bu raqam bilan bog'liq muammolarni hal qilishni osonlashtiradigan foydali xususiyatlarga ega. Masalan, bir xususiyat shundaki, parallelogrammaning qarama-qarshi burchaklari tengdir.

Bir nechta usul va formulalarni ko'rib chiqing, keyin oddiy misollarni eching.

Paralelogrammaning asosi va balandligi bo'yicha maydoni formulasi

Hududni topishning bu usuli, ehtimol, eng oddiy va sodda usullardan biridir, chunki u bir nechta istisnolardan tashqari, uchburchakning maydonini topish formulasi bilan deyarli bir xil. Raqamlardan foydalanmasdan umumlashtirilgan holatdan boshlaylik.

Asosli ixtiyoriy parallelogramm bo'lsin a a a, tomoni bb b va balandligi h h h bazamizga tortildi. Keyin bu parallelogrammning maydoni formulasi:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- tayanch;
h h h- balandlik.

Keling, oddiy muammolarni echishni mashq qilish uchun bitta oson masalani ko'rib chiqaylik.

Misol

Parallelogrammaning asosi 10 (sm) ga va balandligi 5 (sm) ga teng bo‘lgan maydonni toping.

Yechim

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Bizning formulamizga almashtiring. Biz olamiz:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (kv.ga qarang)

Javob: 50 (kvadratga qarang)

Ikki tomon va ular orasidagi burchakka parallelogramm maydoni formulasi berilgan

Bunday holda, kerakli qiymat quyidagicha topiladi:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (a) S=a\cdot b\cdot\sin(\alfa)S=a ⋅b ⋅gunoh(a)

A, b a, b a, b- parallelogrammning tomonlari;
a\alfa α - tomonlar orasidagi burchak a a a va bb b.

Endi boshqa misolni yechamiz va yuqoridagi formuladan foydalanamiz.

Misol

Agar tomoni ma'lum bo'lsa, parallelogrammning maydonini toping a a a, bu asos va uzunligi 20 (qarang) va perimetri bilan pp p, son jihatdan 100 ga teng (qarang), qo'shni tomonlar orasidagi burchak ( a a a va bb b) 30 darajaga teng.

Yechim

A=20 a=20 a =2 0
p=100 p=100 p=1 0 0
a = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Javobni topish uchun biz bu to'rtburchakning faqat ikkinchi tomonini bilmaymiz. Keling, uni topamiz. Paralelogrammaning perimetri quyidagicha ifodalanadi:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=a +a +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b +b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60=2b 60=2b 6 0 = 2b
b=30 b=30 b=3 0

Eng qiyin qismi tugadi, faqat tomonlar va ular orasidagi burchak uchun qadriyatlarimizni almashtirish qoladi:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ gunoh (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (kv.ga qarang)

Javob: 300 (kv.ga qarang)

Diagonallar va ular orasidagi burchak berilgan parallelogramm maydoni uchun formula

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (a) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alfa)S=2 1 ​ ⋅ D ⋅d ⋅gunoh(a)

D D D- katta diagonal;
d d d- kichik diagonal;
a\alfa α diagonallar orasidagi o'tkir burchakdir.

Misol

Paralelogrammaning diagonallari 10 (qarang) va 5 ga teng (qarang). Ularning orasidagi burchak 30 daraja. Uning maydonini hisoblang.

Yechim

D=10 D=10 D=1 0
d=5 d=5 d=5
a = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ gunoh (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (kv.ga qarang)