بعد دراسة موضوع المثلثات القائمة ، غالبًا ما يرمي الطلاب كل المعلومات المتعلقة بها من رؤوسهم. بما في ذلك كيفية العثور على الوتر ، ناهيك عن ماهيته.

وعبثا. لأنه في المستقبل ، سيتضح أن قطري المستطيل هو هذا الوتر ذاته ، ويجب إيجاده. أو يتطابق قطر الدائرة مع أضخم ضلع في المثلث ، وإحدى زواياه قائمة. ومن المستحيل العثور عليه بدون هذه المعرفة.

هناك عدة طرق لإيجاد وتر المثلث. يعتمد اختيار الطريقة على مجموعة البيانات الأولية في مشكلة الكميات.

الطريقة رقم 1: يتم إعطاء كلا الساقين

هذه هي الطريقة الأكثر تميزًا لأنها تستخدم نظرية فيثاغورس. في بعض الأحيان فقط ينسى الطلاب أن هذه الصيغة هي مربع الوتر. إذن ، لإيجاد الضلع نفسه ، عليك أن تأخذ الجذر التربيعي. لذلك ، فإن صيغة الوتر ، والتي يُشار إليها عادةً بالحرف "c" ، ستبدو كما يلي:

ج = √ (أ 2 + أ 2)، حيث يتم كتابة الحرفين "أ" و "ب" كلا الساقين لمثلث قائم الزاوية.

الطريقة رقم 2: تعرف الساق والزاوية المجاورة لها

لتتعلم كيفية إيجاد الوتر ، عليك أن تتذكر الدوال المثلثية. وهي جيب التمام. للراحة ، سنفترض أنه تم إعطاء الساق "a" والزاوية المجاورة لها.

علينا الآن أن نتذكر أن جيب التمام لزاوية المثلث القائم الزاوية يساوي نسبة الضلعين. سيكون البسط هو قيمة الساق ، وسيكون المقام هو الوتر. ويترتب على ذلك أنه يمكن حساب الأخير بالصيغة:

ج = أ / كوس α.

الطريقة رقم 3: بمعرفة الساق والزاوية المقابلة لها

من أجل عدم الخلط في الصيغ ، نقدم تسمية هذه الزاوية - β ، ونترك الضلع كـ "a". في هذه الحالة ، هناك حاجة إلى دالة مثلثية أخرى - الجيب.

كما في المثال السابق ، فإن الجيب يساوي نسبة الساق إلى الوتر. تبدو صيغة هذه الطريقة كما يلي:

ج \ u003d أ / الخطيئة β.

حتى لا يتم الخلط بينك وبين الدوال المثلثية ، يمكنك تذكر قاعدة تذكر بسيطة: إذا كانت المشكلة تدور حول حولالزاوية المعاكسة ، فأنت بحاجة إلى استخدام وعقل إذا - يا العلاقات العامة والكذب ، ثم ل حولالتجويف. انتبه إلى أحرف العلة الأولى في الكلمات الرئيسية. هم يشكلون أزواج أوه وأو وعن.

الطريقة رقم 4: على طول نصف قطر الدائرة المحصورة

الآن ، لمعرفة كيفية إيجاد الوتر ، عليك أن تتذكر خاصية الدائرة الموصوفة حول المثلث القائم. تقرأ على النحو التالي. يتطابق مركز الدائرة مع منتصف الوتر. بعبارة أخرى ، أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية يساوي قطر الدائرة. أي ضعف نصف القطر. ستبدو صيغة هذه المهمة كما يلي:

ج = 2 * ص، حيث r تشير إلى نصف القطر المعروف.

هذه كلها طرق ممكنة لإيجاد وتر المثلث القائم. في كل مهمة محددة ، تحتاج إلى استخدام الطريقة الأكثر ملاءمة لمجموعة البيانات.

مثال على المهمة رقم 1

الحالة: في المثلث القائم الزاوية ، يتم رسم المتوسطات على كلا الساقين. طول الضلع المرسوم على الجانب الأكبر يساوي √52. الوسيط الآخر يبلغ طوله √73. تحتاج إلى حساب الوتر.

نظرًا لأنه يتم رسم المتوسطات في مثلث ، فإنها تقسم الساقين إلى جزأين متساويين. لتسهيل التفكير وإيجاد كيفية إيجاد الوتر ، تحتاج إلى تقديم عدة رموز. دع نصفي الساق الأكبر يتم تمييزهما بالحرف "x" والآخر بالحرف "y".

نحتاج الآن إلى التفكير في مثلثين قائمين الزاوية ، والوتر الوتران وسطيان معروفان. بالنسبة لهم ، تحتاج إلى كتابة صيغة نظرية فيثاغورس مرتين:

(2 ص) 2 + س 2 = (-52) 2

(ص) 2 + (2 س) 2 = (73) 2.

تشكل هاتان المعادلتان نظامًا به مجهولان. بعد حلها ، سيكون من السهل العثور على أرجل المثلث الأصلي ووتره منها.

تحتاج أولاً إلى رفع كل شيء إلى الدرجة الثانية. اتضح:

4y 2 + x 2 = 52

ص 2 + 4 س 2 = 73.

يمكن أن نرى من المعادلة الثانية أن y 2 \ u003d 73 - 4x 2. يجب استبدال هذا التعبير في الأول وحساب "x":

4 (73 - 4x 2) + × 2 \ u003d 52.

بعد التحويل:

292-16 × 2 + × 2 \ u003d 52 أو 15 × 2 \ u003d 240.

من التعبير الأخير x = √16 = 4.

الآن يمكنك حساب "ص":

ص 2 \ u003d 73-4 (4) 2 \ u003d 73-64 \ u003d 9.

وفقًا للشرط ، اتضح أن ساقي المثلث الأصلي هما 6 و 8. لذلك ، يمكنك استخدام الصيغة من الطريقة الأولى وإيجاد الوتر:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

إجابه: الوتر هو 10.

مثال المهمة رقم 2

الشرط: احسب القطر المرسوم في مستطيل مع ضلع أصغر يساوي 41. إذا كان معروفًا أنه يقسم الزاوية إلى تلك المرتبطة بـ 2 إلى 1.

في هذه المسألة ، القطر في المستطيل هو أطول ضلع في مثلث بزاوية 90 درجة. لذا فإن الأمر كله يتعلق بكيفية إيجاد الوتر.

المشكلة تتعلق بالزوايا. هذا يعني أنك ستحتاج إلى استخدام إحدى الصيغ التي توجد بها دوال مثلثية. وتحتاج أولاً إلى تحديد قيمة إحدى الزوايا الحادة.

دع الزوايا الأصغر المشار إليها في الحالة يتم الإشارة إليها بواسطة α. إذن ، الزاوية القائمة ، المقسومة على القطر ، تساوي 3α. يبدو الترميز الرياضي لهذا كما يلي:

من هذه المعادلة ، من السهل تحديد α. سيكون يساوي 30º. علاوة على ذلك ، سيكون مقابل الجانب الأصغر من المستطيل. لذلك ، ستكون الصيغة الموصوفة في الطريقة رقم 3 مطلوبة.

الوتر يساوي نسبة الساق إلى جيب الزاوية المقابلة ، أي:

41 / الخطيئة 30º = 41 / (0.5) = 82.

الجواب: الوتر هو 82.

"ويخبروننا أن الساق أقصر من الوتر ..." هذه السطور من الأغنية الشهيرة التي ظهرت في الفيلم الروائي "مغامرات الإلكترونيات" صحيحة حقًا من ناحية هندسة إقليدس. بعد كل شيء ، الأرجل وجهان يشكلان زاوية ، قياس درجتها 90 درجة. والوتر هو أطول ضلع "ممتد" يربط قدمين متعامدين مع بعضهما البعض ، ويقع عكس الزاوية القائمة. هذا هو السبب في أنه من الممكن إيجاد الوتر على طول الساقين فقط في مثلث قائم الزاوية ، وإذا كانت الساق أطول من الوتر ، فلن يكون مثل هذا المثلث موجودًا.

كيفية إيجاد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس إذا كانت كلا الساقين معروفة

تقول النظرية أن مربع الوتر ليس أكثر من مجموع مربعات الأرجل: x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 ، حيث:

• x - المحطة الأولى
• ذ - المحطة الثانية
• ض هو الوتر.

لكن ما عليك سوى إيجاد الوتر وليس مربعه. للقيام بذلك ، قم باستخراج الجذر.

خوارزمية إيجاد الوتر بساق معروفة:

• حدد لنفسك مكان الساقين ، ومكان الوتر.
• تربيع المحطة الأولى.
• تربيع المحطة الثانية.
• اجمع القيم الناتجة.
• خذ جذر الرقم الذي تم الحصول عليه في الخطوة 4.

كيفية العثور على الوتر من خلال الجيب ، إذا كانت الساق والزاوية الحادة الواقعة عليه معروفتين

نسبة الضلع المعروفة إلى الزاوية الحادة المقابلة لها تساوي قيمة الوتر: a / sin A = c. هذا نتيجة لتعريف الجيب:

نسبة الساق المعاكسة إلى الوتر: sin A \ u003d a / c ، حيث:

• أ - المحطة الأولى
• أ هي زاوية حادة معاكسة للساق ؛
• ج هو الوتر.

خوارزمية إيجاد الوتر باستخدام نظرية الجيب:

• حدد لنفسك الرجل المعروفة والزاوية المقابلة لها.
• اقسم الساق إلى الزاوية المقابلة.
• احصل على الوتر.

كيفية إيجاد الوتر من خلال جيب التمام إذا عرفت الساق والزاوية الحادة المجاورة له

نسبة الضلع المعروفة إلى الزاوية الحادة المضمنة تساوي قيمة الوتر a / cos B = c. هذا نتيجة لتعريف جيب التمام: نسبة الساق المجاورة إلى الوتر: cos B \ u003d a / s ، حيث:

• أ - المحطة الثانية
• ب هي زاوية حادة مجاورة للساق الثانية ؛
• ج هو الوتر.

خوارزمية إيجاد الوتر باستخدام نظرية جيب التمام:

• حدد لنفسك الرجل المعروفة والزاوية المجاورة لها.
• اقسم الساق إلى زاوية مجاورة.
• احصل على الوتر.

كيفية إيجاد الوتر باستخدام "المثلث المصري"

"المثلث المصري" عبارة عن ثلاثي من الأرقام ، مع العلم أنه يمكنك توفير الوقت للعثور على الوتر أو حتى العثور على ساق أخرى غير معروفة. للمثلث مثل هذا الاسم ، لأن بعض الأرقام في مصر ترمز إلى الآلهة وكانت أساس بناء الأهرامات وغيرها من الهياكل المختلفة.

• الثلاثي الأول من الأرقام: 3-4-5. الأرجل هنا تساوي 3 و 4. ثم يكون الوتر بالضرورة مساويًا لـ 5. تحقق من: (9 + 16 = 25).
• الثلاثي الثاني للأعداد: 5-12-13. هنا أيضًا الأرجل هي 5 و 12. وبالتالي ، سيكون الوتر 13. تحقق: (25 + 144 = 169).

تساعد هذه الأرقام حتى عندما يتم تقسيمها أو ضربها في رقم واحد. إذا كانت الأرجل 3 و 4 ، فسيكون الوتر 5. إذا قمت بضرب هذه الأرقام في 2 ، فسيتم ضرب الوتر في 2. على سبيل المثال ، سيتناسب ثلاثي الأرقام 6-8-10 أيضًا مع نظرية فيثاغورس ولا يمكنك حساب الوتر إذا حفظت هذه الأرقام الثلاثة.



وبالتالي ، هناك 4 طرق لإيجاد الوتر باستخدام الأرجل المعروفة. الخيار الأفضل هو نظرية فيثاغورس ، ولكن لن يضر تذكر ثلاثة توائم من الأرقام التي تشكل "المثلث المصري" ، لأنه يمكنك توفير الكثير من الوقت إذا صادفت مثل هذه القيم.

في البداية ، نتذكر أن المثلث هو متعدد السطوح له 3 زوايا. كيف يمكن إيجاد وتر المثلث القائم الزاوية إذا كانت الأبعاد الأخرى للمثلث معروفة؟

تعليمات

1. أطوال الساقين معروفة. في هذه الحالة ، يمكن حساب الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس. هذه النظرية تبدو كالتالي: مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر. ويترتب على ذلك أنه من أجل حساب طول الوتر ، من الضروري تربيع قيمة كل ساق على حدة. ثم اجمع الأرقام الناتجة ، واحصل على الجذر التربيعي من النتيجة الإجمالية.
2. كيف يمكن إيجاد الوتر في المثلث KFB إذا علمت الضلع (VC) والزاوية المجاورة لها؟ نشير إلى الزاوية المعروفة بـ α. إحدى خصائص المثلث القائم الزاوية هي كما يلي: نسبة طول ضلع مثلث قائم الزاوية إلى طول الوتر تساوي جيب التمام للزاوية بين الوتر وهذه الضلع. يمكن كتابة هذا على النحو التالي: FB = BK * cos (α).
3. ساق أخرى (KF) معروفة ونفس الزاوية α ، الآن ستكون معاكسة. يمكن أيضًا إيجاد الوتر بتطبيق نفس خصائص المثلث القائم. نحصل هنا على نسبة طول ضلع مثلث قائم الزاوية إلى طول الوتر الخاص به يساوي جيب الزاوية المقابلة للساق. نكتب: FB = KF * sin (α).
4. كيفية إيجاد وتر المثلث إذا كانت الدائرة موصوفة حوله ، والتي يُعرف نصف قطرها. من خصائص الدائرة المحصورة حول مثلث قائم الزاوية ، من المعروف أن مثل هذه الدائرة لها مركز يتزامن مع نقطة الوتر ، والتي تقسمها إلى نصفين. بعبارة أخرى ، نصف القطر يساوي نصف طول الوتر. وهذا يعني أن نصف القطر يشكلان الوتر: FB = 2 * R.

بمعرفة خصائص المثلث القائم الزاوية ونظرية فيثاغورس ، من السهل جدًا حساب طول الوتر. إذا كنت لا تزال تجد صعوبة في تذكر جميع الخصائص ، فما عليك سوى تعلم الصيغ الجاهزة التي يسهل فيها استبدال القيم المعروفة لحساب طول الوتر.

تعليمات

إذا كنت بحاجة إلى الحساب وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فاستخدم الخوارزمية التالية: - حدد في المثلث أي الأضلاع هي الأرجل وأيها هي الوتر. الضلعان اللذان يشكلان زاوية تسعين درجة هما الأرجل ، والثلث المتبقي هو الوتر. (سم) - ارفع كل ساق من هذا المثلث إلى القوة الثانية ، أي اضربها بنفسك. مثال 1. فليكن من الضروري حساب الوتر إذا كانت إحدى ساقي المثلث 12 سم والأخرى 5 سم ، أولاً ، مربعات الأرجل هي: 12 * 12 = 144 سم و 5 * 5 = 25 سم. - بعد ذلك ، حدد مجموع أرجل المربعات. عدد معين هو وتر، عليك التخلص من القوة الثانية للرقم لتجدها الطولهذا الجانب من المثلث. للقيام بذلك ، استخرج من تحت الجذر التربيعي قيمة مجموع مربعات الساقين. مثال 1. 144 + 25 = 169. الجذر التربيعي لـ 169 سيكون 13. إذن ، طول هذا وتريساوي 13 سم.

طريقة أخرى لحساب الطول وتريكمن في مصطلحات الجيب والزوايا في المثلث. بحكم التعريف: جيب الزاوية ألفا للساق المقابلة للوتر. وهذا يعني ، بالنظر إلى الشكل ، الخطيئة أ \ u003d CB / AB. ومن ثم ، فإن الوتر AB \ u003d CB / sin a. مثال 2. اجعل الزاوية 30 درجة والضلع المقابل - 4 سم. تحتاج إلى إيجاد الوتر. الحل: AB \ u003d 4 سم / الخطيئة 30 \ u003d 4 سم / 0.5 \ u003d 8 سم. الإجابة: الطول وتريساوي 8 سم.

طريقة مماثلة للعثور وترمن تعريف جيب التمام لزاوية. جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة لها و وتر. وهذا هو ، cos a \ u003d AC / AB ، ومن ثم AB \ u003d AC / cos a. مثال 3. في المثلث ABC ، ​​AB هو الوتر ، والزاوية BAC تساوي 60 درجة ، والضلع AC يساوي 2 سم ، أوجد AB.
الحل: AB \ u003d AC / cos 60 \ u003d 2 / 0.5 \ u003d 4 سم الجواب: طول الوتر 4 سم.

نصيحة مفيدة

عند إيجاد قيمة الجيب أو جيب التمام لزاوية ، استخدم إما جدول الجيب وجيب التمام أو جدول Bradis.

نصيحة 2: كيفية إيجاد طول الوتر في مثلث قائم الزاوية

يُطلق على الوتر أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية ، لذا فليس من المستغرب أن تُترجم هذه الكلمة من اليونانية على أنها "ممتد". يقع هذا الضلع دائمًا في مقابل الزاوية 90 درجة ، وتسمى الأضلاع التي تشكل هذه الزاوية بالأرجل. بمعرفة أطوال هذه الأضلاع وحجم الزوايا الحادة في مجموعات مختلفة من هذه القيم ، يمكن للمرء أيضًا حساب طول الوتر.

تعليمات

إذا كانت أطوال كلا المثلثين (A و B) معروفة ، فاستخدم أطوال الوتر (C) ، ربما أكثر الافتراضات الرياضية شهرة - نظرية فيثاغورس. تقول أن مربع طول الوتر هو مجموع مربعات أطوال الساقين ، ومن ثم يجب حساب جذر مجموع أطوال الضلعين: C \ u003d √ (أ² + ب²). على سبيل المثال ، إذا كان طول ساق واحدة هو 15 ، و- 10 سنتيمترات ، فسيكون طول الوتر 18.0277564 سم تقريبًا ، بما أن √ (15² + 10²) \ u003d √ (225 + 100) \ u003d √ 325 18.0277564 .

إذا كان طول أحد الأرجل (A) في مثلث قائم الزاوية معروفًا ، وكذلك قيمة الزاوية المقابلة له (α) ، فيمكن عندئذٍ قياس طول الوتر (C) باستخدام أحد المثلثات وظائف - الجيب. للقيام بذلك ، اقسم طول الضلع المعروف على جيب الزاوية المعروفة: C = A / sin (α). على سبيل المثال ، إذا كان طول أحد الأرجل 15 سم ، وكانت الزاوية عند الرأس المقابل للمثلث 30 درجة ، فسيكون طول الوتر 30 سم ، لأن 15 / sin (30 درجة) \ u003d 15 / 0.5 = 30.

إذا كانت قيمة إحدى الزوايا الحادة (α) وطول الساق المجاورة لها (B) في مثلث قائم الزاوية معروفة ، فيمكن استخدام دالة مثلثية أخرى ، وهي جيب التمام ، لحساب طول الوتر (C ). يجب أن تقسم طول الساق المعروفة على جيب تمام الزاوية المعروفة: С = В / cos (α). على سبيل المثال ، إذا كان طول هذه الضلع 15 سم ، وكانت قيمة الزاوية الحادة المجاورة لها 30 درجة ، فسيكون طول الوتر 17.3205081 سم تقريبًا ، منذ 15 / cos (30 درجة) \ u003d 15 / (0.5 * √3) = 30 / 3≈17.3205081.

الطول هو المسافة بين نقطتين على قطعة مستقيمة. يمكن أن يكون خطًا مستقيمًا أو مكسورًا أو مغلقًا. يمكنك حساب الطول بطريقة بسيطة إلى حد ما ، إذا كنت تعرف بعض المؤشرات الأخرى للقطاع.

تعليمات

إذا كنت بحاجة إلى إيجاد طول ضلع من المربع ، فلن يكون هذا إذا كنت تعرف مساحته S. نظرًا لحقيقة أن جميع جوانب المربع بها ، يمكنك حساب قيمة أحدها باستخدام الصيغة : أ = √S.

كما تعلم فإن الهندسة علم صعب يتطلب دقة ودقة خاصتين في حل المشكلات. تم وضع العديد من التعبيرات والصيغ التي نستخدمها لاحقًا في عمليات حسابية أكثر تعقيدًا في كتب الرياضيات المدرسية للصفوف 6-7. لجعل عملية تعلم الدوال المثلثية أسهل وأكثر إمتاعًا ، سننظر في هذه المقالة في بعض الطرق القصيرة لحساب وتر المثلث القائم.

كيف تجد الوتر على الساقين؟

لنتذكر نظرية صغيرة: المثلث القائم الزاوية هو شكل مسطح له ثلاث زوايا. قيمة أحدهما 90 درجة ، وتسمى الأضلاع بالأرجل والوتر. الضلع المقابل للزاوية القائمة هو الوتر ، والضلع الآخران هما الضلعان المجاوران. تتجلى اللعبة الرئيسية للأطراف في نظرية فيثاغورس ، والتي بموجبها يكون الوتر مساويًا لمجموع مربعات الساقين. ومع ذلك ، يبدو هذا محيرًا فقط ، لأنه في الواقع كل شيء أبسط بكثير.

خصائص الشكل الهندسي

قبل أن تجد وتر المثلث ، تحتاج إلى معرفة خصائص هذا الشكل. دعونا ننظر في أهمها:

1. في المثلث القائم الزاوية مجموع الزاويتين الحادتين 90 درجة.
2. الساق التي تقابل زاوية قياسها 30º تساوي ½ من الوتر.
3. إذا كانت الضلع تساوي ½ من قيمة الوتر ، فسيكون للزاوية الثانية نفس القيمة - 30º.

توجد عدة طرق لإيجاد الوتر في مثلث قائم الزاوية. أبسط حل هو الحساب من خلال الساقين. لنفترض أنك تعرف قيم ضلعي الضلع A و B. ثم تأتي نظرية فيثاغورس للإنقاذ ، وتخبرنا أنه إذا قمنا بتربيع كل قيمة ضلع وجمعنا البيانات التي تم الحصول عليها ، فسنكتشف ما هو الوتر هو. وبالتالي ، نحتاج فقط إلى استخراج قيمة الجذر التربيعي:

على سبيل المثال ، إذا كانت الساق أ = 3 سم والساق ب = 4 سم ، فسيبدو الحساب كما يلي:

كيف تجد الوتر من خلال زاوية؟

هناك طريقة أخرى للمساعدة في معرفة ما يساوي الوتر في مثلث قائم الزاوية وهي الحساب من خلال زاوية معينة. للقيام بذلك ، علينا اشتقاق القيمة من خلال صيغة الجيب. لنفترض أننا نعرف قيمة الساق (أ) وقيمة الزاوية المقابلة (α). ثم يكون الحل الكامل في صيغة واحدة: С = А / sin (α).

على سبيل المثال ، إذا كان طول الساق 40 سم وكانت الزاوية 45 درجة ، فيمكن اشتقاق طول الوتر على النحو التالي:

40 / الخطيئة (45 درجة) = 40 / 0.71 = 56.33.

يمكنك أيضًا تحديد القيمة المرغوبة من خلال جيب التمام لزاوية معينة. لنفترض أننا نعرف قيمة ساق واحدة (ب) وزاوية حادة مضمنة (α). ثم هناك حاجة إلى صيغة واحدة لحل المشكلة: С = В / cos (α).

على سبيل المثال ، إذا كان طول الساق 50 سم وكانت الزاوية 45 درجة ، فيمكن حساب الوتر على النحو التالي:

50 / كوس (45 درجة) = 50 / 0.71 = 80.42.

وهكذا ، قمنا بفحص الطرق الرئيسية لمعرفة وتر المثلث. أثناء حل المهمة ، من المهم التركيز على البيانات المتاحة ، ثم سيكون العثور على القيمة غير المعروفة أمرًا بسيطًا للغاية. تحتاج إلى معرفة بعض الصيغ فقط وستصبح عملية حل المشكلات بسيطة وممتعة.