تعريف. نشور زجاجي- هذا متعدد السطوح ، تقع جميع رؤوسه في مستويين متوازيين ، وفي نفس المستويين يوجد وجهان للمنشور ، وهما مضلعان متساويان مع جوانب متوازية على التوالي ، وجميع الحواف التي لا تقع في هذين المستويين الطائرات متوازية.

يتم استدعاء وجهين متساويين قواعد المنشور(ABCDE، A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

يتم استدعاء جميع الوجوه الأخرى للمنشور الوجوه الجانبية(AA 1 B 1 B ، BB 1 C 1 C ، CC 1 D 1 D ، DD 1 E 1 E ، EE 1 A 1 A).

تتشكل جميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور .

جميع أوجه المنشور الجانبية عبارة عن متوازي أضلاع .

تسمى الحواف التي لا تقع على القواعد الحواف الجانبية للمنشور ( AA 1, ب 1, CC 1, DD 1, هاء 1).

موشور قطري يسمى المقطع ، نهايته عبارة عن رأسين للمنشور لا يقعان على أحد وجوهه (م 1).

يُطلق على طول المقطع الذي يربط بين قواعد المنشور والعمودي على كلا القاعدتين في نفس الوقت ارتفاع المنشور .

تعيين:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (أولاً ، بترتيب الالتفافية ، يُشار إلى رؤوس قاعدة واحدة ، ثم ، بنفس الترتيب ، رؤوس القاعدة الأخرى ؛ يتم تحديد نهايات كل حافة جانبية بنفس الأحرف ، فقط الرؤوس الموجودة في تتم الإشارة إلى قاعدة واحدة بأحرف بدون فهرس ، وفي الأخرى - مع فهرس)

يرتبط اسم المنشور بعدد الزوايا في الشكل الواقع في قاعدته ، على سبيل المثال ، في الشكل 1 ، القاعدة عبارة عن خماسي ، لذلك يسمى المنشور منشور خماسي. لكن منذ هذا المنشور له 7 وجوه ، إذن سباعي الوجوه(وجهان هما أساس المنشور ، و 5 أوجه متوازية الأضلاع ، هي وجوهه الجانبية)

من بين المنشورات المستقيمة ، يبرز نوع معين: مناشير منتظمة.

المنشور المستقيم يسمى صحيح،إذا كانت قواعدها مضلعات منتظمة.

متوازي السطوح

مكعباني شبيه بالمكعب- متوازي السطوح الأيمن ، قاعدته مستطيل.

الخصائص والنظريات:

,

أين د هو قطر المربع ؛
أ - جانب المربع.

يتم إعطاء فكرة المنشور من خلال:

• مختلف الهياكل المعمارية
• لعب الاطفال
• صناديق التعبئة؛
• عناصر المصمم ، إلخ.

مساحة السطح الكلية والجانبية للمنشور

S ممتلئ \ u003d جانب S + 2S رئيسي,

أين S ممتلئ- المساحة الإجمالية، الجانب S.- مساحة السطح الجانبية ، S الرئيسي- منطقة قاعدة

مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.

الجانب S.\ u003d ف رئيسي * ح ،

أين الجانب S.هي مساحة السطح الجانبي لمنشور مستقيم ،

P main - محيط قاعدة المنشور المستقيم ،

h هو ارتفاع المنشور المستقيم ، يساوي الحافة الجانبية.

حجم المنشور

حجم المنشور يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

في المناهج الدراسية لدورة الهندسة الصلبة ، عادة ما تبدأ دراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد بجسم هندسي بسيط - المنشور متعدد السطوح. يتم تنفيذ دور قواعدها بواسطة مضلعين متساويين يقعان في مستويات متوازية. حالة خاصة هي منشور رباعي الزوايا منتظم. قاعدتهما عبارة عن رباعيتين منتظمتين متطابقتين ، حيث تكون الجوانب متعامدة ، ولها شكل متوازي الأضلاع (أو مستطيلات إذا كان المنشور غير مائل).

كيف يبدو المنشور

المنشور رباعي الزوايا العادي هو شكل سداسي ، يوجد في قاعدته مربعان ، ويتم تمثيل الوجوه الجانبية بمستطيلات. اسم آخر لهذا الشكل الهندسي هو متوازي خط مستقيم.

الشكل ، الذي يصور منشور رباعي الزوايا ، مبين أدناه.

يمكنك أيضا أن ترى في الصورة أهم العناصر التي يتكون منها الجسم الهندسي. يشار إليها عادة باسم:

في بعض الأحيان في مسائل الهندسة يمكنك أن تجد مفهوم القسم. سيبدو التعريف كالتالي: القسم هو كل نقاط الجسم الحجمي التي تنتمي إلى مستوى القطع. المقطع عمودي (يتقاطع مع حواف الشكل بزاوية 90 درجة). بالنسبة للمنشور المستطيل ، يُنظر أيضًا في المقطع القطري (الحد الأقصى لعدد الأقسام التي يمكن بناؤها هو 2) ، ويمر عبر حافتين وأقطار القاعدة.

إذا تم رسم القسم بحيث لا يكون مستوى القطع موازيًا للقواعد أو الوجوه الجانبية ، فإن النتيجة تكون منشورًا مبتورًا.

يتم استخدام النسب والصيغ المختلفة للعثور على العناصر المنشورية المخفضة. بعضها معروف من دورة قياس القياسات (على سبيل المثال ، للعثور على مساحة قاعدة المنشور ، يكفي تذكر صيغة مساحة المربع).

مساحة السطح والحجم

لتحديد حجم المنشور باستخدام الصيغة ، تحتاج إلى معرفة مساحة القاعدة والارتفاع:

V = Sprim h

نظرًا لأن قاعدة المنشور رباعي السطوح العادي هي مربع مع جانب أ،يمكنك كتابة الصيغة بشكل أكثر تفصيلاً:

الخامس = أ² ح

إذا كنا نتحدث عن مكعب - منشور عادي متساوي الطول والعرض والارتفاع ، فسيتم حساب الحجم على النحو التالي:

لفهم كيفية إيجاد مساحة السطح الجانبية للمنشور ، عليك أن تتخيل مدى اكتساحه.

يتضح من الرسم أن السطح الجانبي يتكون من 4 مستطيلات متساوية. تُحسب مساحتها على أنها حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع الشكل:

سايد = Pos h

بما أن محيط المربع هو ف = 4 أتأخذ الصيغة الشكل:

سايد = 4 أ ح

للمكعب:

سايد = 4 أ²

لحساب مساحة السطح الإجمالية لمنشور ، أضف منطقتين أساسيتين إلى المساحة الجانبية:

Sfull = Sside + 2Sbase

كما هو مطبق على منشور منتظم رباعي الزوايا ، فإن الصيغة لها الشكل:

سفل = 4 أ ح + 2 أ²

بالنسبة لمساحة سطح المكعب:

Sfull = 6 أ²

بمعرفة الحجم أو مساحة السطح ، يمكنك حساب العناصر الفردية لجسم هندسي.

البحث عن عناصر المنشور

غالبًا ما توجد مشكلات في تحديد الحجم أو معرفة قيمة مساحة السطح الجانبية ، حيث يكون من الضروري تحديد طول جانب القاعدة أو الارتفاع. في مثل هذه الحالات ، يمكن اشتقاق الصيغ:

• طول جانب القاعدة: a = Sside / 4h = √ (V / h) ؛
• الارتفاع أو طول الضلع الجانبي: ح = Sside / 4a = V / a² ؛
• منطقة قاعدة: Sprim = V / h ؛
• منطقة الوجه الجانبية: جانب غرام = سايد / 4.

لتحديد مساحة المقطع المائل ، تحتاج إلى معرفة طول القطر وارتفاع الشكل. لمربع د = أ√2.وبالتالي:

Sdiag = ah√2

لحساب قطري المنشور ، يتم استخدام الصيغة:

dprize = √ (2a² + h²)

لفهم كيفية تطبيق النسب المذكورة أعلاه ، يمكنك التدرب على بعض المهام البسيطة وحلها.

أمثلة على مشاكل الحلول

فيما يلي بعض المهام التي تظهر في امتحانات الدولة النهائية في الرياضيات.

التمرين 1.

يُسكب الرمل في صندوق له شكل منشور رباعي الزوايا منتظم. ارتفاع مستواه 10 سم ، ماذا سيكون مستوى الرمل إذا قمت بنقله إلى وعاء من نفس الشكل ولكن بطول قاعدته مرتين أطول؟

يجب أن يقال على النحو التالي. لم تتغير كمية الرمل في الوعاءين الأول والثاني ، أي أن الحجم فيهما هو نفسه. يمكنك تحديد طول القاعدة على شكل أ. في هذه الحالة ، بالنسبة للمربع الأول ، سيكون حجم المادة:

V₁ = هكتار 2 = 10 أ²

بالنسبة للمربع الثاني ، يكون طول القاعدة 2 أولكن ارتفاع مستوى الرمال غير معروف:

V₂ = ح (2 أ) ² = 4 هكتار²

بسبب ال V₁ = V₂، يمكن معادلة التعبيرات:

10 أ² = 4 هكتار

بعد تقليل كلا طرفي المعادلة بمقدار a² ، نحصل على:

نتيجة لذلك ، سيكون مستوى الرمال الجديد ح = 10/4 = 2.5سم.

المهمة 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ هو منشور منتظم. من المعروف أن BD = AB₁ = 6√2. أوجد مساحة السطح الكلية للجسم.

لتسهيل فهم العناصر المعروفة ، يمكنك رسم شكل.

بما أننا نتحدث عن منشور منتظم ، يمكننا أن نستنتج أن القاعدة عبارة عن مربع بقطر 6√2. قطر الوجه الجانبي له نفس القيمة ، وبالتالي ، فإن الوجه الجانبي له أيضًا شكل مربع يساوي القاعدة. اتضح أن الأبعاد الثلاثة - الطول والعرض والارتفاع - متساوية. يمكننا أن نستنتج أن ABCDA₁B₁C₁D₁ هو مكعب.

يتم تحديد طول أي حافة من خلال القطر المعروف:

أ = د / √2 = 6√2 / 2 = 6

تم العثور على إجمالي مساحة السطح بواسطة صيغة المكعب:

Sfull = 6 أ² = 6 6² = 216

المهمة 3.

الغرفة قيد التجديد. ومن المعروف أن أرضيته على شكل مربع بمساحة 9 م². ارتفاع الغرفة 2.5 م ما هي أقل تكلفة بورق الجدران إذا كان المتر المربع الواحد يكلف 50 روبل؟

نظرًا لأن الأرضية والسقف مربعات ، أي مربعات منتظمة الزوايا ، وجدرانها متعامدة مع الأسطح الأفقية ، يمكننا أن نستنتج أنه منشور منتظم. من الضروري تحديد مساحة سطحه الجانبي.

طول الغرفة أ = -9 = 3م.

سيتم تغطية المربع بورق الجدران سايد = 4 3 2.5 = 30 م².

أقل تكلفة لورق الحائط لهذه الغرفة ستكون 50 30 = 1500روبل.

وبالتالي ، لحل مسائل المنشور المستطيل ، يكفي أن تكون قادرًا على حساب مساحة ومحيط المربع والمستطيل ، وكذلك معرفة الصيغ الخاصة بإيجاد الحجم ومساحة السطح.

كيفية إيجاد مساحة المكعب

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على أ" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز امتحان الرياضيات بنجاح بنسبة 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من اختبار الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة من الجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.

مساحة السطح الجانبي للمنشور. مرحبًا! في هذا المنشور ، سنقوم بتحليل مجموعة من المهام على القياس الفراغي. ضع في اعتبارك مجموعة من الأجسام - المنشور والأسطوانة. في الوقت الحالي ، تكمل هذه المقالة السلسلة الكاملة من المقالات المتعلقة بالنظر في أنواع المهام في القياس الفراغي.

إذا ظهرت مهام جديدة في بنك المهام ، فستكون هناك بالطبع إضافات إلى المدونة في المستقبل. ولكن ما هو موجود بالفعل يكفي بحيث يمكنك تعلم كيفية حل جميع المشكلات بإجابة قصيرة كجزء من الاختبار. ستكون المادة كافية لسنوات قادمة (البرنامج في الرياضيات ثابت).

ترتبط المهام المعروضة بحساب مساحة المنشور. ألاحظ أننا نعتبر أدناه منشورًا مستقيمًا (وبالتالي ، أسطوانة مستقيمة).

بدون معرفة أي صيغ ، نفهم أن السطح الجانبي للمنشور هو كل أوجهه الجانبية. في المنشور المستقيم ، تكون الوجوه الجانبية مستطيلة.

مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور تساوي مجموع مساحات كل أوجهه الجانبية (أي المستطيلات). إذا كنا نتحدث عن منشور منتظم يتم فيه نقش أسطوانة ، فمن الواضح أن جميع أوجه هذا المنشور عبارة عن مستطيلات متساوية.

بشكل رسمي ، يمكن التعبير عن مساحة السطح الجانبية للمنشور العادي على النحو التالي:

27064. موشور رباعي الزوايا محدد حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها وارتفاعها يساوي 1. أوجد مساحة السطح الجانبي للمنشور.

يتكون السطح الجانبي لهذا المنشور من أربعة مستطيلات متساوية في المساحة. ارتفاع الوجه هو 1 ، وحافة قاعدة المنشور هي 2 (وهما نصف قطر الأسطوانة) ، وبالتالي فإن مساحة الوجه الجانبي هي:

مساحة السطح الجانبية:

73023. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور مثلث منتظم محصور حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها √0.12 وارتفاعها 3.

مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور تساوي مجموع مساحات الوجوه الجانبية الثلاثة (المستطيلات). لإيجاد مساحة الوجه الجانبي ، عليك معرفة ارتفاعه وطول حافة القاعدة. الارتفاع ثلاثة. أوجد طول حافة القاعدة. ضع في اعتبارك الإسقاط (منظر علوي):

لدينا مثلث منتظم كتبت فيه دائرة نصف قطرها √0.12. يمكننا إيجاد AC من المثلث القائم الزاوية AOC. ثم AD (AD = 2AC). حسب تعريف الظل:

إذن AD = 2AC = 1.2. وبالتالي ، فإن مساحة السطح الجانبي تساوي:

27066. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور سداسي منتظم محصور حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها √75 وارتفاعها 1.

المساحة المرغوبة تساوي مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. لمنشور سداسي منتظم ، تكون الوجوه الجانبية مستطيلات متساوية.

لمعرفة مساحة الوجه ، عليك معرفة ارتفاعه وطول حافة القاعدة. الارتفاع معروف ، إنه يساوي 1.

أوجد طول حافة القاعدة. ضع في اعتبارك الإسقاط (منظر علوي):

لدينا شكل سداسي منتظم كتب فيه نصف قطر √75.

ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية ABO. نعرف الساق OB (هذا هو نصف قطر الأسطوانة). يمكننا أيضًا تحديد الزاوية AOB ، وهي تساوي 300 (المثلث AOC متساوي الأضلاع ، OB هو منصف).

دعنا نستخدم تعريف المماس في مثلث قائم الزاوية:

AC \ u003d 2AB ، نظرًا لأن OB متوسط ​​، أي أنه يقسم AC إلى نصفين ، مما يعني AC \ u003d 10.

وبالتالي ، فإن مساحة الوجه الجانبي هي 1 10 = 10 ومساحة السطح الجانبي هي:

76485. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور مثلث منتظم منقوش في أسطوانة نصف قطر قاعدتها 8√3 وارتفاعها 6.

مساحة السطح الجانبي للمنشور المحدد لثلاثة أوجه متساوية الحجم (مستطيلات). لإيجاد المساحة ، عليك معرفة طول حافة قاعدة المنشور (نعرف الارتفاع). إذا أخذنا في الاعتبار الإسقاط (منظر علوي) ، فلدينا مثلث منتظم محفور في دائرة. يتم التعبير عن جانب هذا المثلث بدلالة نصف القطر على النحو التالي:

تفاصيل هذه العلاقة. لذلك ستكون متساوية

إذن مساحة الوجه الجانبي تساوي: 24 6 = 144. والمساحة المطلوبة:

245354. موشور منتظم رباعي الزوايا محصور بالقرب من أسطوانة نصف قطر قاعدتها 2. مساحة السطح الجانبي للمنشور 48. أوجد ارتفاع الأسطوانة.