القيمة المطلقة للرقم أهي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة لكن(أ).

لفهم هذا التعريف ، نعوض به بدلاً من المتغير أأي رقم ، على سبيل المثال 3 وحاول قراءته مرة أخرى:

القيمة المطلقة للرقم 3 هي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة لكن(3 ).

يصبح من الواضح أن الوحدة ليست أكثر من المسافة المعتادة. دعنا نحاول معرفة المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة A ( 3 )

المسافة من أصل الإحداثيات إلى النقطة A ( 3 ) يساوي 3 (ثلاث وحدات أو ثلاث خطوات).

يُشار إلى معامل الرقم بخطين عموديين ، على سبيل المثال:

يُشار إلى معامل الرقم 3 على النحو التالي: | 3 |

يُشار إلى معامل الرقم 4 على النحو التالي: | 4 |

يُشار إلى معامل الرقم 5 على النحو التالي: | 5 |

بحثنا عن مقياس العدد 3 ووجدنا أنه يساوي 3. فنكتب:

يقرأ مثل: "معامل ثلاثة هو ثلاثة"

لنحاول الآن إيجاد مقياس العدد -3. مرة أخرى ، نعود إلى التعريف ونستبدل الرقم -3 فيه. فقط بدلاً من النقطة أاستخدم نقطة جديدة ب. نقطة أاستخدمناها بالفعل في المثال الأول.

معامل العدد هو 3 اتصل بالمسافة من الأصل إلى النقطة ب(—3 ).

لا يمكن أن تكون المسافة من نقطة إلى أخرى سالبة. لذلك ، فإن مقياس أي عدد سالب ، كونه مسافة ، لن يكون سالبًا أيضًا. ستكون الوحدة النمطية للرقم -3 هي الرقم 3. المسافة من الأصل إلى النقطة B (-3) تساوي أيضًا ثلاث وحدات:

يقرأ مثل: "مقياس العدد ناقص ثلاثة يساوي ثلاثة"

معامل الرقم 0 هو 0 ، لأن النقطة ذات الإحداثيات 0 تتطابق مع الأصل ، أي المسافة من نقطة الأصل إلى نقطة يا (0)يساوي صفر:

"معامل الصفر هو صفر"

نستخلص الاستنتاجات:

• لا يمكن أن يكون مقياس العدد سالبًا ؛
• بالنسبة للعدد الموجب والصفر ، فإن المقياس يساوي العدد نفسه ، ولعدد سالب واحد للعدد المقابل ؛
• الأرقام المقابلة لها وحدات متساوية.

أرقام مقابل

يتم استدعاء الأرقام التي تختلف فقط في العلامات عكس. على سبيل المثال ، الرقمان 2 و 2 متضادان. هم يختلفون فقط في العلامات. الرقم −2 له علامة الطرح ، والرقم 2 له علامة الجمع ، لكننا لا نراه ، لأن الجمع ، كما قلنا سابقًا ، لا يُكتب تقليديًا.

المزيد من الأمثلة على الأرقام المعاكسة:

الأرقام المقابلة لها وحدات متساوية. على سبيل المثال ، لنجد وحدات 2 و 2

يوضح الشكل أن المسافة من الأصل إلى النقاط أ (2)و ب (2)يساوي خطوتين.

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات الدروس الجديدة

يعد حل المعادلات التي تحتوي على متغير تحت علامة المعامل من أصعب الموضوعات بالنسبة للطلاب. دعونا نرى في البداية ما الذي يرتبط به؟ لماذا ، على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية ينقر معظم الأطفال مثل المكسرات ، ولكن مع هذا المفهوم بعيدًا عن الأكثر تعقيدًا مثل الوحدة النمطية بها العديد من المشكلات؟

في رأيي ، ترتبط كل هذه الصعوبات بعدم وجود قواعد مصاغة بوضوح لحل المعادلات بمعامل. لذلك ، عند حل معادلة تربيعية ، يعرف الطالب على وجه اليقين أنه يحتاج أولاً إلى تطبيق الصيغة التمييزية ، ثم صيغ جذور المعادلة التربيعية. ولكن ماذا لو تمت مصادفة وحدة نمطية في المعادلة؟ سنحاول وصف خطة العمل الضرورية بوضوح في حالة احتواء المعادلة على مجهول تحت علامة المقياس. نعطي عدة أمثلة لكل حالة.

لكن أولاً ، دعنا نتذكر تعريف الوحدة. إذن ، مقياس العدد أالرقم نفسه يسمى إذا أغير سلبي و -أإذا كان الرقم أأقل من الصفر. يمكنك كتابتها على هذا النحو:

| أ | = أ إذا كانت a 0 و | أ | = -a إذا أ< 0

عند الحديث عن المعنى الهندسي للوحدة ، يجب أن نتذكر أن كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة معينة على محور الأرقام - تنسيق. إذن ، الوحدة النمطية أو القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من هذه النقطة إلى أصل المحور العددي. تُعطى المسافة دائمًا كرقم موجب. وبالتالي ، فإن معامل أي رقم سالب هو رقم موجب. بالمناسبة ، حتى في هذه المرحلة ، يبدأ العديد من الطلاب بالارتباك. يمكن أن يكون أي رقم في الوحدة النمطية ، ولكن نتيجة تطبيق الوحدة تكون دائمًا رقمًا موجبًا.

الآن دعنا ننتقل إلى حل المعادلات.

1. ضع في اعتبارك معادلة بالصيغة | x | = c ، حيث c هو رقم حقيقي. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تعريف المقياس.

نقسم جميع الأعداد الحقيقية إلى ثلاث مجموعات: تلك التي تكون أكبر من الصفر ، وتلك الأقل من الصفر ، والمجموعة الثالثة هي الرقم 0. نكتب الحل في شكل رسم بياني:

(± c إذا كانت c> 0

إذا كان | x | = c ، إذن x = (0 إذا كانت c = 0

(لا جذور إذا كان مع< 0

1) | x | = 5 لأن 5> 0 ، ثم x = ± 5 ؛

2) | x | = -5 ، لأن -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0 ، ثم x = 0.

2. معادلة بالصيغة | f (x) | = ب ، حيث ب> 0. لحل هذه المعادلة ، من الضروري التخلص من المقياس. نقوم بذلك على النحو التالي: f (x) = b أو f (x) = -b. الآن من الضروري حل كل من المعادلات التي تم الحصول عليها بشكل منفصل. إذا كان في المعادلة الأصلية ب< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4 لأن 4> 0 ، إذن

س + 2 = 4 أو س + 2 = -4

2) | × 2-5 | = 11 لأن 11> 0 ، إذن

س 2-5 = 11 أو س 2-5 = -11

× 2 = 16 × 2 = -6

س = ± 4 لا جذور

3) | × 2 - 5 × | = -8 ، لأن -ثمانية< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادلة بالصيغة | f (x) | = ز (س). وفقًا لمعنى الوحدة النمطية ، سيكون لمثل هذه المعادلة حلول إذا كان جانبها الأيمن أكبر من أو يساوي الصفر ، أي g (x) ≥ 0. ثم لدينا:

و (س) = ز (س)أو و (س) = -ج (س).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. هذه المعادلة لها جذور إذا كانت 5x - 10 ≥ 0. هنا يبدأ حل هذه المعادلات.

1. O.D.Z. 5 س - 10 0

2. الحل:

2 س - 1 = 5 س - 10 أو 2 س - 1 = - (5 س - 10)

3. اجمع O.D.Z. والحل نحصل عليه:

لا يتناسب الجذر x \ u003d 11/7 وفقًا لـ O.D.Z. ، فهو أقل من 2 ، و x \ u003d 3 يلبي هذا الشرط.

الجواب: س = 3

2) | س - 1 | \ u003d 1 - × 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. لنحل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفترة:

(1 - س) (1 + س) ≥ 0

2. الحل:

س - 1 \ u003d 1 - × 2 أو س - 1 \ u003d - (1 - × 2)

س 2 + س - 2 = 0 س 2 - س = 0

س = -2 أو س = 1 س = 0 أو س = 1

3. الجمع بين الحل و O.D.Z .:

فقط الجذور x = 1 و x = 0 مناسبة.

الجواب: س = 0 ، س = 1.

4. معادلة بالصيغة | f (x) | = | ك (س) |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين f (x) = g (x) أو f (x) = -g (x).

1) | × 2 - 5 × + 7 | = | 2x - 5 |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين:

x 2-5x + 7 = 2x - 5 أو x 2-5x +7 = -2x + 5

س 2 - 7 س + 12 = 0 س 2 - 3 س + 2 = 0

س = 3 أو س = 4 س = 2 أو س = 1

الجواب: س = 1 ، س = 2 ، س = 3 ، س = 4.

5. تحل المعادلات بطريقة الاستبدال (تغيير المتغير). طريقة الحل هذه أسهل في الشرح بمثال محدد. لذلك ، دعنا نعطي معادلة تربيعية بمعامل:

× 2 - 6 | س | + 5 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

| x | 2–6 | x | + 5 = 0. لنقم بالتغيير | x | = t ≥ 0 ، إذن سيكون لدينا:

t 2-6t + 5 \ u003d 0. لحل هذه المعادلة ، نحصل على t \ u003d 1 أو t \ u003d 5. لنعد إلى الاستبدال:

| x | = 1 أو | x | = 5

س = ± 1 س = ± 5

الإجابة: س = -5 ، س = -1 ، س = 1 ، س = 5.

لنلق نظرة على مثال آخر:

× 2 + | س | - 2 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك

| x | 2 + | س | - 2 = 0. لنقم بالتغيير | x | = t ≥ 0 ، ثم:

t 2 + t - 2 \ u003d 0. حل هذه المعادلة ، نحصل على ، t \ u003d -2 أو t \ u003d 1. لنعد إلى الاستبدال:

| x | = -2 أو | x | = 1

لا جذور س = ± 1

الإجابة: س = -1 ، س = 1.

6. نوع آخر من المعادلات هو المعادلات ذات المعامل "المركب". تتضمن هذه المعادلات المعادلات التي تحتوي على "وحدات داخل وحدة نمطية". يمكن حل المعادلات من هذا النوع باستخدام خصائص الوحدة.

1) | 3 - | x || = 4. سنتصرف بنفس الطريقة المتبعة في المعادلات من النوع الثاني. لان 4> 0 ، ثم نحصل على معادلتين:

3 - | x | = 4 أو 3 - | x | = -4.

الآن دعنا نعبر عن الوحدة النمطية x في كل معادلة ، ثم | x | = -1 أو | x | = 7.

نحل كل من المعادلات الناتجة. لا توجد جذور في المعادلة الأولى لأن -واحد< 0, а во втором x = ±7.

الإجابة س = -7 ، س = 7.

2) | 3 + | س + 1 || = 5. نحل هذه المعادلة بطريقة مماثلة:

3 + | س + 1 | = 5 أو 3 + | س + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | س + 1 | = -8

س + 1 = 2 أو س + 1 = -2. لا جذور.

الإجابة: س = -3 ، س = 1.

هناك أيضًا طريقة عالمية لحل المعادلات بمعامل. هذه هي طريقة التباعد. لكننا سننظر في الأمر كذلك.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

تعليمات

إذا تم تمثيل المعامل كدالة مستمرة ، فيمكن أن تكون قيمة الوسيطة موجبة أو سالبة: | х | = س ، س ≥ 0 ؛ | x | = - س ، س

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) ؛
z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2) ؛

من السهل ملاحظة أن جمع وطرح الأعداد المركبة يتبعان نفس قاعدة الجمع و.

حاصل ضرب عددين مركبين هو:

z1 * z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.

بما أن i ^ 2 = -1 ، فإن النتيجة النهائية هي:

(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).

تُعرّف عمليات الرفع إلى قوة واستخراج جذر للأرقام المركبة بنفس الطريقة التي يتم بها تعريف الأعداد الحقيقية. ومع ذلك ، في المجال المركب ، لأي عدد ، يوجد بالضبط n عدد b مثل أن b ^ n = a ، أي n جذور من الدرجة n.

على وجه الخصوص ، هذا يعني أن أي معادلة جبرية من الدرجة n في متغير واحد لها جذور معقدة n بالضبط ، وبعضها قد يكون و.

فيديوهات ذات علاقة

مصادر:

• محاضرة "الأعداد المركبة" عام 2019

الجذر هو رمز يشير إلى العملية الرياضية لإيجاد مثل هذا الرقم ، ويجب أن يعطي رفعه إلى القوة المشار إليها قبل علامة الجذر الرقم المشار إليه تحت هذه العلامة ذاتها. في كثير من الأحيان ، لحل المشكلات التي لها جذور ، لا يكفي مجرد حساب القيمة. علينا تنفيذ عمليات إضافية ، من بينها إدخال رقم أو متغير أو تعبير تحت علامة الجذر.

تعليمات

حدد الأس للجذر. المؤشر هو عدد صحيح يشير إلى القوة التي يجب رفع نتيجة حساب الجذر إليها للحصول على التعبير الجذر (الرقم الذي يتم استخراج هذا الجذر منه). أُس الجذر ، محدد على أنه نص مرتفع قبل أيقونة الجذر. إذا لم يتم تحديد هذا ، فهو جذر تربيعي أسه اثنان. على سبيل المثال ، الأس الجذر √3 هو اثنان ، والأس 3 هو ثلاثة ، والأس الجذر ⁴√3 هو أربعة ، وهكذا.

ارفع الرقم الذي تريد إضافته تحت علامة الجذر إلى الأس المساوي لأس هذا الجذر ، والذي حددته في الخطوة السابقة. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد إدخال الرقم 5 تحت علامة الجذر ⁴√3 ، فإن أس الجذر هو أربعة وتحتاج إلى نتيجة رفع 5 إلى القوة الرابعة 5⁴ = 625. يمكنك القيام بذلك بأي طريقة مناسبة لك - في عقلك ، باستخدام آلة حاسبة أو الخدمات المقابلة المنشورة.

أدخل القيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة تحت علامة الجذر كمضاعف للتعبير الجذري. بالنسبة للمثال المستخدم في الخطوة السابقة مع الإضافة تحت الجذر ⁴√3 5 (5 * ⁴√3) ، يمكن تنفيذ هذا الإجراء على النحو التالي: 5 * ⁴√3 = ⁴√ (625 * 3).

بسّط التعبير الجذري الناتج إن أمكن. على سبيل المثال من الخطوات السابقة ، هذا هو أنك تحتاج فقط إلى ضرب الأرقام الموجودة أسفل علامة الجذر: 5 * ⁴√3 = ⁴√ (625 * 3) = ⁴√1875. هذا يكمل عملية إضافة رقم تحت الجذر.

إذا كانت هناك متغيرات غير معروفة في المشكلة ، فيمكن تنفيذ الخطوات الموضحة أعلاه بطريقة عامة. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد إدخال متغير غير معروف x تحت جذر الدرجة الرابعة ، والتعبير الجذر هو 5 / x³ ، فيمكن كتابة تسلسل الإجراءات بالكامل على النحو التالي: x * ⁴√ (5 / x³) = ⁴ √ (س⁴ * 5 / س³) = ⁴√ (س * 5).

مصادر:

• ما هي علامة الجذر تسمى

الأعداد الحقيقية ليست كافية لحل أي معادلة من الدرجة الثانية. أبسط المعادلات التربيعية التي ليس لها جذور بين الأعداد الحقيقية هي x ^ 2 + 1 = 0. عند حلها ، اتضح أن x = ± sqrt (-1) ، ووفقًا لقوانين الجبر الأولي ، استخرج جذر درجة زوجية من سالب أعدادممنوع.

يتم احتساب A وفقًا للقواعد التالية:

للإيجاز ، استخدم | أ |. وبالتالي ، | 10 | = 10 ؛ - 1/3 = | 1/3 | ؛ | -100 | = 100 وما إلى ذلك.

اي حجم Xيتوافق مع قيمة دقيقة إلى حد ما | X|. وهذا يعني هوية في= |X| يؤسس فيمثل بعض - يشبه بعض وظيفة الحجة X.

برنامجهذه المهامالواردة أدناه.

إلى عن على x > 0 |x| = x، ولل x< 0 |x|= -x؛ فيما يتعلق بهذا السطر y = | x| في x> 0 محاذاة مع الخط ص = س(منصف أول زاوية إحداثيات) ومتى X< 0 - с прямой ص = -x(منصف زاوية الإحداثيات الثانية).

متفرق المعادلاتقم بتضمين المجهول تحت العلامة وحدة.

أمثلة عشوائية لمثل هذه المعادلات - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 إلخ.

حل المعادلاتيعتمد احتواء المجهول تحت علامة الوحدة على حقيقة أنه إذا كانت القيمة المطلقة للرقم المجهول x تساوي الرقم الموجب a ، فإن هذا الرقم x نفسه يساوي إما a أو -a.

فمثلا: إذا | X| = 10 ، إذن أو X= 10 أو X = -10.

انصح حل المعادلات الفردية.

دعنا نحلل حل المعادلة | X- 1| = 2.

لنفتح الوحدةثم الاختلاف X- 1 يمكن أن يساوي + 2 أو - 2. إذا كانت x - 1 = 2 ، إذن X= 3 ؛ إذا X- 1 = - 2 إذن X= - 1. نجري تعويضًا ونحصل على أن كلتا القيمتين تحققان المعادلة.

إجابه.هذه المعادلة لها جذران: x 1 = 3, x 2 = - 1.

دعنا نحلل حل المعادلة | 6 — 2X| = 3X+ 1.

بعد، بعدما توسيع الوحدةنحصل على: أو 6 - 2 X= 3X+ 1 أو 6-2 X= - (3X+ 1).

في الحالة الأولى X= 1 ، وفي الثانية X= - 7.

فحص.في X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4 ؛ يتبع من المحكمة X = 1 - جذر بمعطى المعادلات.

في x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = - 20 ؛ منذ 20 ≠ -20 ، ثم X= - 7 ليس جذر هذه المعادلة.

إجابه. فيالمعادلات لها جذر واحد فقط: X = 1.

يمكن للمعادلات من هذا النوع حل و بيانيا.

لذلك دعونا نقرر فمثلا، معادلة بيانية | X- 1| = 2.

دعونا نبني أولا الرسم البياني للوظيفة في = |x- 1 |. لنرسم الرسم البياني للدالة أولاً. في=X- 1:

هذا الجزء منها الفنون التصويريةالتي تقع فوق المحور Xلن نتغير. لها X- 1> 0 وبالتالي | X-1|=X-1.

جزء الرسم البياني الذي يقع أسفل المحور X، تصف متماثلحول هذا المحور. لأن لهذا الجزء X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X -واحد). تشكلت نتيجة لذلك خط(خط متصل) والإرادة الرسم البياني للوظيفةص = | X—1|.

سيتقاطع هذا الخط مع مستقيم في= 2 عند نقطتين: M 1 مع حدودي -1 و M 2 مع حدودي 3. وبالتالي ، المعادلة | X- 1 | = 2 سيكون له جذران: X 1 = - 1, X 2 = 3.

يعد حل المعادلات التي تحتوي على متغير تحت علامة المعامل من أصعب الموضوعات بالنسبة للطلاب. دعونا نرى في البداية ما الذي يرتبط به؟ لماذا ، على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية ينقر معظم الأطفال مثل المكسرات ، ولكن مع هذا المفهوم بعيدًا عن الأكثر تعقيدًا مثل الوحدة النمطية بها العديد من المشكلات؟

في رأيي ، ترتبط كل هذه الصعوبات بعدم وجود قواعد مصاغة بوضوح لحل المعادلات بمعامل. لذلك ، عند حل معادلة تربيعية ، يعرف الطالب على وجه اليقين أنه يحتاج أولاً إلى تطبيق الصيغة التمييزية ، ثم صيغ جذور المعادلة التربيعية. ولكن ماذا لو تمت مصادفة وحدة نمطية في المعادلة؟ سنحاول وصف خطة العمل الضرورية بوضوح في حالة احتواء المعادلة على مجهول تحت علامة المقياس. نعطي عدة أمثلة لكل حالة.

لكن أولاً ، دعنا نتذكر تعريف الوحدة. إذن ، مقياس العدد أالرقم نفسه يسمى إذا أغير سلبي و -أإذا كان الرقم أأقل من الصفر. يمكنك كتابتها على هذا النحو:

| أ | = أ إذا كانت a 0 و | أ | = -a إذا أ< 0

عند الحديث عن المعنى الهندسي للوحدة ، يجب أن نتذكر أن كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة معينة على محور الأرقام - تنسيق. إذن ، الوحدة النمطية أو القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من هذه النقطة إلى أصل المحور العددي. تُعطى المسافة دائمًا كرقم موجب. وبالتالي ، فإن معامل أي رقم سالب هو رقم موجب. بالمناسبة ، حتى في هذه المرحلة ، يبدأ العديد من الطلاب بالارتباك. يمكن أن يكون أي رقم في الوحدة النمطية ، ولكن نتيجة تطبيق الوحدة تكون دائمًا رقمًا موجبًا.

الآن دعنا ننتقل إلى حل المعادلات.

1. ضع في اعتبارك معادلة بالصيغة | x | = c ، حيث c هو رقم حقيقي. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تعريف المقياس.

نقسم جميع الأعداد الحقيقية إلى ثلاث مجموعات: تلك التي تكون أكبر من الصفر ، وتلك الأقل من الصفر ، والمجموعة الثالثة هي الرقم 0. نكتب الحل في شكل رسم بياني:

(± c إذا كانت c> 0

إذا كان | x | = c ، إذن x = (0 إذا كانت c = 0

(لا جذور إذا كان مع< 0

1) | x | = 5 لأن 5> 0 ، ثم x = ± 5 ؛

2) | x | = -5 ، لأن -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0 ، ثم x = 0.

2. معادلة بالصيغة | f (x) | = ب ، حيث ب> 0. لحل هذه المعادلة ، من الضروري التخلص من المقياس. نقوم بذلك على النحو التالي: f (x) = b أو f (x) = -b. الآن من الضروري حل كل من المعادلات التي تم الحصول عليها بشكل منفصل. إذا كان في المعادلة الأصلية ب< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4 لأن 4> 0 ، إذن

س + 2 = 4 أو س + 2 = -4

2) | × 2-5 | = 11 لأن 11> 0 ، إذن

س 2-5 = 11 أو س 2-5 = -11

× 2 = 16 × 2 = -6

س = ± 4 لا جذور

3) | × 2 - 5 × | = -8 ، لأن -ثمانية< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادلة بالصيغة | f (x) | = ز (س). وفقًا لمعنى الوحدة النمطية ، سيكون لمثل هذه المعادلة حلول إذا كان جانبها الأيمن أكبر من أو يساوي الصفر ، أي g (x) ≥ 0. ثم لدينا:

و (س) = ز (س)أو و (س) = -ج (س).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. هذه المعادلة لها جذور إذا كانت 5x - 10 ≥ 0. هنا يبدأ حل هذه المعادلات.

1. O.D.Z. 5 س - 10 0

2. الحل:

2 س - 1 = 5 س - 10 أو 2 س - 1 = - (5 س - 10)

3. اجمع O.D.Z. والحل نحصل عليه:

لا يتناسب الجذر x \ u003d 11/7 وفقًا لـ O.D.Z. ، فهو أقل من 2 ، و x \ u003d 3 يلبي هذا الشرط.

الجواب: س = 3

2) | س - 1 | \ u003d 1 - × 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. لنحل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفترة:

(1 - س) (1 + س) ≥ 0

2. الحل:

س - 1 \ u003d 1 - × 2 أو س - 1 \ u003d - (1 - × 2)

س 2 + س - 2 = 0 س 2 - س = 0

س = -2 أو س = 1 س = 0 أو س = 1

3. الجمع بين الحل و O.D.Z .:

فقط الجذور x = 1 و x = 0 مناسبة.

الجواب: س = 0 ، س = 1.

4. معادلة بالصيغة | f (x) | = | ك (س) |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين f (x) = g (x) أو f (x) = -g (x).

1) | × 2 - 5 × + 7 | = | 2x - 5 |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين:

x 2-5x + 7 = 2x - 5 أو x 2-5x +7 = -2x + 5

س 2 - 7 س + 12 = 0 س 2 - 3 س + 2 = 0

س = 3 أو س = 4 س = 2 أو س = 1

الجواب: س = 1 ، س = 2 ، س = 3 ، س = 4.

5. تحل المعادلات بطريقة الاستبدال (تغيير المتغير). طريقة الحل هذه أسهل في الشرح بمثال محدد. لذلك ، دعنا نعطي معادلة تربيعية بمعامل:

× 2 - 6 | س | + 5 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

| x | 2–6 | x | + 5 = 0. لنقم بالتغيير | x | = t ≥ 0 ، إذن سيكون لدينا:

t 2-6t + 5 \ u003d 0. لحل هذه المعادلة ، نحصل على t \ u003d 1 أو t \ u003d 5. لنعد إلى الاستبدال:

| x | = 1 أو | x | = 5

س = ± 1 س = ± 5

الإجابة: س = -5 ، س = -1 ، س = 1 ، س = 5.

لنلق نظرة على مثال آخر:

× 2 + | س | - 2 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك

| x | 2 + | س | - 2 = 0. لنقم بالتغيير | x | = t ≥ 0 ، ثم:

t 2 + t - 2 \ u003d 0. حل هذه المعادلة ، نحصل على ، t \ u003d -2 أو t \ u003d 1. لنعد إلى الاستبدال:

| x | = -2 أو | x | = 1

لا جذور س = ± 1

الإجابة: س = -1 ، س = 1.

6. نوع آخر من المعادلات هو المعادلات ذات المعامل "المركب". تتضمن هذه المعادلات المعادلات التي تحتوي على "وحدات داخل وحدة نمطية". يمكن حل المعادلات من هذا النوع باستخدام خصائص الوحدة.

1) | 3 - | x || = 4. سنتصرف بنفس الطريقة المتبعة في المعادلات من النوع الثاني. لان 4> 0 ، ثم نحصل على معادلتين:

3 - | x | = 4 أو 3 - | x | = -4.

الآن دعنا نعبر عن الوحدة النمطية x في كل معادلة ، ثم | x | = -1 أو | x | = 7.

نحل كل من المعادلات الناتجة. لا توجد جذور في المعادلة الأولى لأن -واحد< 0, а во втором x = ±7.

الإجابة س = -7 ، س = 7.

2) | 3 + | س + 1 || = 5. نحل هذه المعادلة بطريقة مماثلة:

3 + | س + 1 | = 5 أو 3 + | س + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | س + 1 | = -8

س + 1 = 2 أو س + 1 = -2. لا جذور.

الإجابة: س = -3 ، س = 1.

هناك أيضًا طريقة عالمية لحل المعادلات بمعامل. هذه هي طريقة التباعد. لكننا سننظر في الأمر كذلك.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.