مثال
1.6 / 2 = 0.8 ؛ 4/5 = 0.8 ؛ 5.6 / 7 = 0.8 إلخ.عامل التناسب
تسمى النسبة الثابتة للكميات المتناسبة معامل التناسب. يوضح معامل التناسب عدد الوحدات من كمية ما تقع على وحدة من أخرى.
التناسب المباشر
التناسب المباشر- الاعتماد الوظيفي ، حيث تعتمد كمية معينة على كمية أخرى بحيث تظل نسبتها ثابتة. بمعنى آخر ، هذه المتغيرات تتغير بشكل متناسب، في حصص متساوية ، أي إذا تغيرت الوسيطة مرتين في أي اتجاه ، فإن الوظيفة تتغير أيضًا مرتين في نفس الاتجاه.
رياضيا ، التناسب المباشر مكتوب كصيغة:
F(x) = أx,أ = جانسر
التناسب العكسي
تناسب عكسي- هذا هو تبعية وظيفية ، حيث تؤدي الزيادة في القيمة المستقلة (الوسيطة) إلى انخفاض نسبي في القيمة التابعة (الوظيفة).
رياضيا ، التناسب العكسي مكتوب كصيغة:
خصائص الوظيفة:
مصادر
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
I. القيم النسبية المباشرة.
دع القيمة ذيعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فييزيد بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى نسبيًا مباشرًا.
أمثلة.
1 . كمية البضائع المشتراة وتكلفة الشراء (بسعر ثابت لوحدة واحدة من البضائع - قطعة واحدة أو 1 كجم ، إلخ.) كم عدد المرات التي تم فيها شراء البضائع ، مرات أكثر ودفع الثمن.
2 . المسافة المقطوعة والوقت الذي تقضيه فيه (بسرعة ثابتة). كم مرة أطول المسار ، وكم مرة سنقضي الوقت على ذلك.
3 . حجم الجسم وكتلته. ( إذا كانت حبة بطيخة أكبر بمرتين من الأخرى ، فستكون كتلتها أكبر بمرتين)
ثانيًا. خاصية التناسب المباشر للكميات.
إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن نسبة القيمتين التعسفيتين للكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية.
مهمة 1.لمربى التوت 12 كجمالتوت و 8 كجمالصحراء. ما هي كمية السكر المطلوبة إذا تم تناولها 9 كجمتوت العليق؟
المحلول.
نحن نتجادل على هذا النحو: فليكن ضروريًا x كجمالسكر 9 كجمتوت العليق. تتناسب كتلة التوت وكتلة السكر بشكل مباشر: كم مرة أقل من توت العليق ، هناك حاجة إلى نفس الكمية من السكر. لذلك ، فإن نسبة توت العليق (بالوزن) ( 12:9 ) ستكون مساوية لنسبة السكر المأخوذ ( 8: س). نحصل على النسبة:
12: 9=8: X ؛
س = 9 · 8: 12;
س = 6. إجابه:على ال 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.
حل المشكلةكان من الممكن القيام به على هذا النحو:
تساهل 9 كجمالتوت لاتخاذ × كجمالصحراء.
(الأسهم الموجودة في الشكل موجهة في اتجاه واحد ، ولا يهم لأعلى أو لأسفل. المعنى: كم مرة الرقم 12 رقم أكثر 9 ، نفس العدد 8 رقم أكثر X، أي أن هناك تبعية مباشرة هنا).
إجابه:على ال 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.
المهمة 2.سيارة ل 3 ساعاتالمسافة المقطوعة 264 كم. كم من الوقت سيستغرقه 440 كمإذا كان يسافر بنفس السرعة؟
المحلول.
اسمحوا ل x ساعةستغطي السيارة المسافة 440 كم.
إجابه:سوف تمر السيارة 440 كم في 5 ساعات.
I. القيم النسبية المباشرة.
دع القيمة ذيعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فييزيد بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى نسبيًا مباشرًا.
أمثلة.
1 . كمية البضائع المشتراة وتكلفة الشراء (بسعر ثابت لوحدة واحدة من البضائع - قطعة واحدة أو 1 كجم ، إلخ.) كم عدد المرات التي تم فيها شراء البضائع ، مرات أكثر ودفع الثمن.
2 . المسافة المقطوعة والوقت الذي تقضيه فيه (بسرعة ثابتة). كم مرة أطول المسار ، وكم مرة سنقضي الوقت على ذلك.
3 . حجم الجسم وكتلته. ( إذا كانت حبة بطيخة أكبر بمرتين من الأخرى ، فستكون كتلتها أكبر بمرتين)
ثانيًا. خاصية التناسب المباشر للكميات.
إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن نسبة القيمتين التعسفيتين للكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية.
مهمة 1.لمربى التوت 12 كجمالتوت و 8 كجمالصحراء. ما هي كمية السكر المطلوبة إذا تم تناولها 9 كجمتوت العليق؟
المحلول.
نحن نتجادل على هذا النحو: فليكن ضروريًا x كجمالسكر 9 كجمتوت العليق. تتناسب كتلة التوت وكتلة السكر بشكل مباشر: كم مرة أقل من توت العليق ، هناك حاجة إلى نفس الكمية من السكر. لذلك ، فإن نسبة توت العليق (بالوزن) ( 12:9 ) ستكون مساوية لنسبة السكر المأخوذ ( 8: س). نحصل على النسبة:
12: 9=8: X ؛
س = 9 · 8: 12;
س = 6. إجابه:على ال 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.
حل المشكلةكان من الممكن القيام به على هذا النحو:
تساهل 9 كجمالتوت لاتخاذ × كجمالصحراء.
(الأسهم الموجودة في الشكل موجهة في اتجاه واحد ، ولا يهم لأعلى أو لأسفل. المعنى: كم مرة الرقم 12 رقم أكثر 9 ، نفس العدد 8 رقم أكثر X، أي أن هناك تبعية مباشرة هنا).
إجابه:على ال 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.
المهمة 2.سيارة ل 3 ساعاتالمسافة المقطوعة 264 كم. كم من الوقت سيستغرقه 440 كمإذا كان يسافر بنفس السرعة؟
المحلول.
اسمحوا ل x ساعةستغطي السيارة المسافة 440 كم.
إجابه:سوف تمر السيارة 440 كم في 5 ساعات.
المهمة 3.يدخل الماء إلى البركة من الأنبوب. لكل ساعاتينتملأ 1/5 حمام سباحة. أي جزء من البركة مملوء بالماء الساعة 5?
المحلول.
نجيب على سؤال المهمة: ل الساعة 5يملأ 1 / سجزء من البركة. (يتم أخذ البركة كلها ككل واحد).
سننظر اليوم إلى الكميات التي يطلق عليها التناسب العكسي ، وكيف يبدو مخطط التناسب العكسي ، وكيف يمكن أن يكون كل هذا مفيدًا لك ليس فقط في دروس الرياضيات ، ولكن أيضًا خارج جدران المدرسة.
مثل هذه النسب المختلفة
التناسبقم بتسمية كميتين يعتمد كل منهما على الآخر.
يمكن أن يكون الاعتماد مباشرًا وعكسيًا. لذلك ، فإن العلاقة بين الكميات تصف التناسب المباشر والعكسي.
التناسب المباشر- وهي علاقة بين كميتين ، يؤدي فيها زيادة أو نقصان إحداهما إلى زيادة أو نقصان في الأخرى. أولئك. موقفهم لا يتغير.
على سبيل المثال ، كلما بذلت المزيد من الجهد في التحضير للامتحانات ، زادت درجاتك. أو كلما زادت الأشياء التي تأخذها معك في نزهة ، كان من الصعب حمل حقيبة الظهر الخاصة بك. أولئك. يتناسب حجم الجهد المبذول في التحضير للامتحانات بشكل مباشر مع الدرجات التي تم الحصول عليها. وعدد الأشياء المعبأة في حقيبة الظهر يتناسب طرديًا مع وزنها.
التناسب العكسي- هذا هو الاعتماد الوظيفي الذي يؤدي فيه النقص أو الزيادة بعدة مرات من قيمة مستقلة (تسمى وسيطة) إلى زيادة أو نقصان في قيمة تابعة (أي بنفس المقدار) تناسبية (تسمى دالة ).
دعنا نوضح بمثال بسيط. تريد شراء التفاح من السوق. هناك علاقة عكسية بين التفاح الموجود على المنضدة والمبلغ المالي الموجود في محفظتك. أولئك. كلما اشتريت المزيد من التفاح ، قل المال المتبقي.
الوظيفة والرسم البياني الخاص بها
يمكن وصف دالة التناسب العكسي على أنها ص = ك / س. حيث x≠ 0 و ك≠ 0.
هذه الوظيفة لها الخصائص التالية:
- مجال التعريف الخاص به هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية باستثناء x = 0. د(ذ): (-∞؛ 0) ش (0؛ + ∞).
- النطاق هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء ذ= 0. ه (ذ): (-∞; 0) يو (0; +∞) .
- ليس لها قيم قصوى أو أدنى.
- غريب ورسمه البياني متماثل حول الأصل.
- غير دورية.
- لا يتقاطع الرسم البياني الخاص به مع محاور الإحداثيات.
- ليس له أصفار.
- اذا كان ك> 0 (أي زيادة الوسيطة) ، تقل الوظيفة بشكل متناسب في كل فترة من فتراتها. اذا كان ك< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- مع زيادة الحجة ( ك> 0) القيم السالبة للوظيفة موجودة في الفاصل الزمني (-∞ ؛ 0) ، والقيم الموجبة في الفاصل الزمني (0 ؛ + ∞). عندما تتناقص الحجة ( ك< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
يسمى الرسم البياني لدالة التناسب العكسي القطع الزائد. يصور على النحو التالي:
مشاكل التناسب العكسي
لتوضيح الأمر ، دعنا نلقي نظرة على بعض المهام. إنها ليست معقدة للغاية ، وسيساعدك حلها على تصور النسبة العكسية وكيف يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة في حياتك اليومية.
رقم المهمة 1. السيارة تتحرك بسرعة 60 كم / ساعة. استغرق الأمر منه 6 ساعات للوصول إلى وجهته. كم من الوقت سيستغرقه لقطع نفس المسافة إذا تحرك بضعف السرعة؟
يمكننا البدء بكتابة صيغة تصف العلاقة بين الوقت والمسافة والسرعة: t = S / V. موافق ، إنها تذكرنا كثيرًا بدالة التناسب العكسي. ويشير إلى أن الوقت الذي تقضيه السيارة على الطريق والسرعة التي تتحرك بها متناسبان عكسياً.
للتحقق من ذلك ، دعنا نجد V 2 ، والتي ، حسب الشرط ، أعلى مرتين: V 2 \ u003d 60 * 2 \ u003d 120 كم / ساعة. ثم نحسب المسافة باستخدام الصيغة S = V * t = 60 * 6 = 360 km. الآن ليس من الصعب معرفة الوقت t 2 المطلوب منا وفقًا لحالة المشكلة: t 2 = 360/120 = 3 ساعات.
كما ترى ، فإن وقت السفر وسرعته متناسبان عكسيًا بالفعل: مع سرعة أعلى مرتين من السرعة الأصلية ، ستقضي السيارة وقتًا أقل بمرتين على الطريق.
يمكن أيضًا كتابة حل هذه المشكلة على شكل نسبة. لماذا نقوم بإنشاء رسم تخطيطي مثل هذا:
↓ 60 كم / س - 6 ساعات
↓ 120 كم / ساعة - × ح
تشير الأسهم إلى علاقة عكسية. ويقترحون أيضًا أنه عند رسم النسبة ، يجب قلب الجانب الأيمن من السجل: 60/120 \ u003d x / 6. من أين نحصل على x \ u003d 60 * 6/120 \ u003d 3 ساعات.
رقم المهمة 2. توظف الورشة 6 عمال يتعاملون مع قدر معين من العمل في 4 ساعات. إذا انخفض عدد العمال إلى النصف ، فكم من الوقت سيستغرق باقي العمال لإكمال نفس القدر من العمل؟
نكتب شروط المشكلة في شكل رسم بياني مرئي:
↓ 6 عمال - 4 ساعات
↓ 3 عمال - x h
لنكتب هذا كنسبة: 6/3 = x / 4. ونحصل على x \ u003d 6 * 4/3 \ u003d 8 ساعات. إذا كان هناك عدد أقل من العمال مرتين ، فسيقضي الباقون ضعف الوقت لإكمال كل العمل.
رقم المهمة 3. أنبوبان يؤديان إلى المسبح. من خلال أنبوب واحد ، يدخل الماء بمعدل 2 لتر / ثانية ويملأ المسبح في 45 دقيقة. من خلال أنبوب آخر ، سيتم ملء المسبح في 75 دقيقة. ما مدى سرعة دخول الماء إلى البركة من خلال هذا الأنبوب؟
بادئ ذي بدء ، سنقوم بإحضار جميع الكميات المعطاة لنا وفقًا لحالة المشكلة إلى نفس وحدات القياس. للقيام بذلك ، نعبر عن معدل ملء حوض السباحة باللترات في الدقيقة: 2 لتر / ثانية \ u003d 2 * 60 \ u003d 120 لتر / دقيقة.
نظرًا لأنه ينتج عن حالة ملء حوض السباحة بشكل أبطأ من خلال الأنبوب الثاني ، فهذا يعني أن معدل تدفق المياه إلى الداخل أقل. على وجه النسبة العكسية. دعونا نعبر عن السرعة المجهولة لنا من حيث x ونرسم المخطط التالي:
↓ 120 لتر / دقيقة - 45 دقيقة
↓ x لتر / دقيقة - 75 دقيقة
وبعد ذلك سنقوم بعمل نسبة: 120 / x \ u003d 75/45 ، من حيث x \ u003d 120 * 45/75 \ u003d 72 لتر / دقيقة.
في هذه المسألة ، يتم التعبير عن معدل ملء حوض السباحة باللترات في الثانية ، فلنقم بإجابتنا على نفس النموذج: 72/60 = 1.2 لتر / ثانية.
رقم المهمة 4. تتم طباعة بطاقات العمل في دار طباعة خاصة صغيرة. موظف في المطبعة يعمل بسرعة 42 بطاقة عمل في الساعة ويعمل بدوام كامل - 8 ساعات. إذا كان يعمل بشكل أسرع وطبع 48 بطاقة عمل في الساعة ، فكم من الوقت يمكنه العودة إلى المنزل بأسرع ما يمكن؟
نذهب بطريقة مجربة ونرسم مخططًا وفقًا لحالة المشكلة ، مع الإشارة إلى القيمة المرغوبة كـ x:
↓ 42 بطاقة عمل / ساعة - 8 ساعات
↓ 48 بطاقة عمل / ساعة - xh
أمامنا علاقة تناسبية عكسية: كم عدد بطاقات العمل التي يطبعها موظف في مطبعة في الساعة ، وهو نفس مقدار الوقت الذي يستغرقه لإكمال نفس الوظيفة. بمعرفة ذلك ، يمكننا تحديد النسبة:
42/48 = س / 8 ، س = 42 * 8/48 = 7 ساعات.
وبالتالي ، بعد الانتهاء من العمل في 7 ساعات ، يمكن لموظف المطبعة العودة إلى المنزل قبل ساعة.
استنتاج
يبدو لنا أن مشاكل التناسب العكسي هذه بسيطة حقًا. نأمل أن تعتبرهم كذلك الآن. والأهم من ذلك ، أن معرفة الاعتماد المتناسب عكسيًا للكميات يمكن أن يكون مفيدًا لك أكثر من مرة.
ليس فقط في فصول وامتحانات الرياضيات. ولكن حتى ذلك الحين ، عندما تنوي الذهاب في رحلة ، أو الذهاب للتسوق ، أو اتخاذ قرار بكسب بعض المال خلال الإجازات ، وما إلى ذلك.
أخبرنا في التعليقات ما هي أمثلة التناسب العكسي والمباشر التي تلاحظها من حولك. فلتكن هذه لعبة. سترى كم هو مثير. لا تنس "مشاركة" هذه المقالة على الشبكات الاجتماعية حتى يتمكن أصدقاؤك وزملائك في الفصل من اللعب أيضًا.
الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.
مثال
1.6 / 2 = 0.8 ؛ 4/5 = 0.8 ؛ 5.6 / 7 = 0.8 إلخ.عامل التناسب
تسمى النسبة الثابتة للكميات المتناسبة معامل التناسب. يوضح معامل التناسب عدد الوحدات من كمية ما تقع على وحدة من أخرى.
التناسب المباشر
التناسب المباشر- الاعتماد الوظيفي ، حيث تعتمد كمية معينة على كمية أخرى بحيث تظل نسبتها ثابتة. بمعنى آخر ، هذه المتغيرات تتغير بشكل متناسب، في حصص متساوية ، أي إذا تغيرت الوسيطة مرتين في أي اتجاه ، فإن الوظيفة تتغير أيضًا مرتين في نفس الاتجاه.
رياضيا ، التناسب المباشر مكتوب كصيغة:
F(x) = أx,أ = جانسر
التناسب العكسي
تناسب عكسي- هذا هو تبعية وظيفية ، حيث تؤدي الزيادة في القيمة المستقلة (الوسيطة) إلى انخفاض نسبي في القيمة التابعة (الوظيفة).
رياضيا ، التناسب العكسي مكتوب كصيغة:
خصائص الوظيفة:
مصادر
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
